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最小二乘的遞歸演算法

發布時間: 2022-09-24 13:09:20

『壹』 最小二乘法計算公式是

最小二乘法公式為a=y(平均)-b*x(平均)。

在研究兩個變數(x,y)之間的相互關系時,通常可以得到一系列成對的數據(x1,y1),(x2,y2)...(xm,ym);將這些數據描繪在x-y直角坐標系中,若發現這些點在一條直線附近,可以令這條直線方程如a=y(平均)-b*x(平均)。其中:a、b是任意實數。

(1)最小二乘的遞歸演算法擴展閱讀:

最小二乘法通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數據,並使得這些求得的數據與實際數據之間誤差的平方和為最小。還可用於曲線擬合,其他一些優化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達。

根據樣本數據,採用最小二乘估計式可以得到簡單線性回歸模型參數的估計量。但是估計量參數與總體真實參數的接近程度如何,是否存在更好的其它估計式,這就涉及到最小二乘估計式或估計量的最小方差(或最佳)性、線性及無偏性。

『貳』 什麼是最小二乘法及其原理

最小二乘法(又稱最小平方法)是一種數學優化技術。

它通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數據,並使得這些求得的數據與實際數據之間誤差的平方和為最小。

最小二乘法還可用於曲線擬合。其他一些優化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達。

原理:

在我們研究兩個變數(x,y)之間的相互關系時,通常可以得到一系列成對的數據(x1,y1.x2,y2... xm,ym);將這些數據描繪在x -y直角坐標系中,若發現這些點在一條直線附近,可以令這條直線方程如(式1-1)。

最小時,可用函數 φ 對a0、a1求偏導數,令這兩個偏導數等於零。

∑2(a0 + a1*Xi - Yi)=0(式1-4)

∑2Xi(a0 +a1*Xi - Yi)=0(式1-5)

亦即:na0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)

(∑Xi ) a0 + (∑Xi^2 ) a1 = ∑(Xi*Yi) (式1-7)

得到的兩個關於a0、 a1為未知數的兩個方程組,解這兩個方程組得出:

a0 = (∑Yi) / n - a1(∑Xi) / n (式1-8)

a1 = [n∑(Xi Yi) - (∑Xi ∑Yi)] / (n∑Xi^2 -∑Xi∑Xi)(式1-9)

這時把a0、a1代入(式1-1)中, 此時的(式1-1)就是我們回歸的一元線性方程即:數學模型。

在回歸過程中,回歸的關聯式不可能全部通過每個回歸數據點(x1,y1. x2,y2...xm,ym),為了判斷關聯式的好壞,可藉助相關系數「R」,統計量「F」,剩餘標准偏差「S」進行判斷;「R」越趨近於 1 越好;「F」的絕對值越大越好;「S」越趨近於 0 越好。

R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) *

在(式1-10)中,m為樣本容量,即實驗次數;Xi、Yi分別為任意一組實驗數據X、Y的數值。

『叄』 求回歸方程的最小二乘法,是怎麼計算的

計算方法:

y = Ax + B:a = sigma[(yi-y均值)*(xi-x均值)] / sigma[(xi-x均值)的平方];b = y均值 - a*x均值。

知識拓展

最小二乘法求回歸直線方程的推導過程

這里的是為了區分Y的實際值y(這里的實際值就是統計數據的真實值,我們稱之為觀察值),當x取值(i=1,2,3……n)時,Y的觀察值為,近似值為(或者說對應的縱坐標是)。
其中式叫做Y對x的回歸直線方程,b叫做回歸系數。要想確定回歸直線方程,我們只需確定a與回歸系數b即可。
設x,Y的一組觀察值為:
i = 1,2,3……n
其回歸直線方程為:
當x取值(i=1,2,3……n)時,Y的觀察值為,差刻畫了實際觀察值與回歸直線上相應點縱坐標之間的偏離程度,見下圖:

『肆』 最小二乘法的原理是什麼的

最小二乘大約是1795年高斯在他那星體運動軌道預報工作中提出的[1]。後來,最小二乘法就成了估計理論的奠基石。由於最小二乘法結構簡單,編製程序也不困難,所以它頗受人們重視,應用相當廣泛。
如用標准符號,最小二乘估計可被表示為:
ax=b
(2-43)
上式中的解是最小化
,通過下式中的偽逆可求得:
a'ax=a'b
(2-44)
(a'a)^(-1)a'ax=(a'a)^(-1)a'b
(2-45)
由於
(a'a)^-1a'a=i
(2-46)
所以有
x=(a'a)^(-1)a'b
(2-47)
此即最小二乘的一次完成演算法,現代的遞推演算法,更適用於計算機的在線辨識。
最小二乘是一種最基本的辨識方法,但它具有兩方面的缺陷[1]:一是當模型雜訊是有色雜訊時,最小二乘估計不是無偏、一致估計;二是隨著數據的增長,將出現所謂的「數據飽和」現象。針對這兩個問題,出現了相應的辨識演算法,如遺忘因子法、限定記憶法、偏差補償法、增廣最小二乘、廣義最小二乘、輔助變數法、二步法及多級最小二乘法等。

『伍』 CVX工具包解決最小二乘問題的原理和演算法是什麼

「遞歸最小二次方演算法」——RLS演算法,其又稱最小二乘法。

在我們研究兩個變數(x, y)之間的相互關系時,通常可以得到一系列成對的數據
(x1, y1、x2, y2 xm , ym);
將這些數據描繪在x -y直角坐標系中
若發現這些點在一條直線附近,
可以令這條直線方程如(式1-1)。
Y計= a0 + a1 X (式1-1)

其中:a0、a1 是任意實數

為建立這直線方程就要確定a0和a1,應用《最小二乘法原理》,
將實測值Yi與利用(式1-1)計算值(Y計=a0+a1X)的離差
(Yi-Y計)的平方和〔∑(Yi - Y計)2〕最小為「優化判據」。

令: φ = ∑(Yi - Y計)2 (式1-2)

把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)

當∑(Yi-Y計)平方最小時,可用函數

φ 對a0、a1求偏導數,令這兩個偏導數等於零。

亦即:
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi

(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi)

得到的兩個關於a0、a1為未知數的兩個方程組,解這兩個方程組得出:

a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m

a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)]

這時把a0、a1代入(式1-1)中, 此時的(式1-1)
就是我們回歸的元線性方程即:數學模型。

『陸』 RLS演算法的原理

「遞歸最小二次方演算法」——RLS演算法,其又稱最小二乘法。

在我們研究兩個變數(x, y)之間的相互關系時,通常可以得到一系列成對的數據
(x1, y1、x2, y2... xm , ym);
將這些數據描繪在x -y直角坐標系中
若發現這些點在一條直線附近,
可以令這條直線方程如(式1-1)。
Y計= a0 + a1 X (式1-1)

其中:a0、a1 是任意實數

為建立這直線方程就要確定a0和a1,應用《最小二乘法原理》,
將實測值Yi與利用(式1-1)計算值(Y計=a0+a1X)的離差
(Yi-Y計)的平方和〔∑(Yi - Y計)2〕最小為「優化判據」。

令: φ = ∑(Yi - Y計)2 (式1-2)

把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)

當∑(Yi-Y計)平方最小時,可用函數

φ 對a0、a1求偏導數,令這兩個偏導數等於零。

亦即:
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi

(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi)

得到的兩個關於a0、a1為未知數的兩個方程組,解這兩個方程組得出:

a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m

a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)]

這時把a0、a1代入(式1-1)中, 此時的(式1-1)
就是我們回歸的元線性方程即:數學模型。

『柒』 最小二乘法計算公式是什麼

最小二乘法公式是一個數學的公式,在數學上稱為曲線擬合,此處所講最小二乘法,專指線性回歸方程!最小二乘法公式為a=y(平均)-b*x(平均)。

最小二乘法(又稱最小平方法)是一種數學優化技術。它通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數據,並使得這些求得的數據與實際數據之間誤差的平方和為最小。

(7)最小二乘的遞歸演算法擴展閱讀:

普通最小二乘估計量具有上述三特性:

1、線性特性

所謂線性特性,是指估計量分別是樣本觀測值的線性函數,亦即估計量和觀測值的線性組合。

2、無偏性

無偏性,是指參數估計量的期望值分別等於總體真實參數。

3、最小方差性

所謂最小方差性,是指估計量與用其它方法求得的估計量比較,其方差最小,即最佳。最小方差性又稱有效性。這一性質就是著名的高斯一馬爾可夫( Gauss-Markov)定理。這個定理闡明了普通最小二乘估計量與用其它方法求得的任何線性無偏估計量相比,它是最佳的。

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