求冪演算法

㈠ 分數冪怎麼算

分子為冪次，分母為根次。
a^(n/m)
a的n次冪開m次方
例如(12/7)的0.4次冪
先將0.4換成2/3原式就是將12/7先平方再開3次方,分子、分母分開做相應的平方開3次方最後再做除法.
再比如2的3/5次冪，就先算2的3次冪，再開5次方
分數指數冪是正分數指數冪和負分數指數冪的統稱。

分數指數冪是一個數的指數為分數，正數的分數指數冪是根式的另一種表示形式。負數的分數指數冪並不能用根式來計算，而要用到其它演算法，是高中代數的重點。
am/n = ( am) 開n 次方 ， （a>0,m、n ∈Z且n>1）
證：
令 ( am) 開n 次方 = b
兩邊取 n次方，有
am = bn
am/n= am(1/n) = ( bn)(1/n) = b = am開n 次方
即 am/n = ( am) 開n 次方
規定：正數的正分數指數冪的意義是——a的n分之m次方=n√a的m次方（a>0,m、n屬於正整數，n>1）
0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒有意義
指出：規定了分數指數冪的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那麼整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪．
對於任意有理數r,s,均有下面的運算性質
(1)ar×as=a(r+s) (a>0,r,s∈Q)
(2) (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q)
(3) (ab)r=ar×br (a>0,b>0,r∈Q)

㈡ 快速冪演算法原理

快速冪
顧名思義，快速冪就是快速算底數的n次冪。其時間復雜度為 O(log2N)， 與樸素的O(N)相比效率有了極大的提高。

中文名
快速冪
外文名
Fast Power
時間復雜度
log(n)
性質
快速算底數的n次冪
快速
導航
實現

代碼比較
原理
快速冪演算法的核心思想就是每一步都把指數分成兩半，而相應的底數做平方運算。這樣不僅能把非常大的指數給不斷變小，所需要執行的循環次數也變小，而最後表示的結果卻一直不會變。
讓我們先來看一個簡單的例子：
3^10=3*3*3*3*3*3*3*3*3*3
3^10=(3*3)*(3*3)*(3*3)*(3*3)*(3*3)
3^10=(3*3)^5
3^10=9^5
9^5=（9^4）*（9^1）
9^5=（9^4）*（9^1）
9^5=（6561^1）*(9^1)
以下以求a的b次方來介紹[1]
把b轉換成二進制數。
該二進制數第i位的權為
例如

11的二進制是1011

因此，我們將a11轉化為算
實現
快速冪可以用位運算來實現
b and 1{也就是取b的二進制最低位(即第0位)判斷b是否為奇數，是則為1}
b shr 1{就是去掉b的二進制最低位(即第0位)}
C++實現為
b & 1//取b二進制的最低位，判斷和1是否相同，相同返回1，否則返回0，可用於判斷奇偶
b>>1//把b的二進制右移一位，即去掉其二進制位的最低位
以下為pascal的實現：
var a,b,n:int64;
function f(a,b,n:int64):int64;
var t,y:int64;
begin
t:=1; y:=a;
while b<>0 do begin
if(b and 1)=1 then t:=t*y mod n;
y:=y*y mod n;{這里用了一個技巧,y*y即求出了a^(2^(i-1))不知道這是什麼的看原理
a^(2^(i-1))*a^(2^(i-1))=a^(2^i)
而且一般情況下a*b mod c =(a mod c)*(b mod c) mod c}
b:=b shr 1;{去掉已經處理過的一位}
end;
exit(t);
end;
begin
read(a,b,n);{n是模}
writeln(f(a,b,n));
end.
[1]
以下為C的實現，為了方便與pascal的對照，變數全部與上面相同.可以對照查看。
遞歸版：[2]
ll pow(ll a,ll i){
if (i==0) return 1;
int temp=pow(a,i>>1);
temp=temp*temp%MOD;
if (i&1) temp=(ll)temp*a%MOD;
return temp%MOD;
}
非遞歸版：
ll f(ll a,ll b,ll n){
int t,y;
t=1; y=a;
while (b!=0){
if (b&1==1) t=t*y%n;
y=y*y%n; b=b>>1;
}
return t;
}

㈢ 什麼是冪如何計算

乘方的結果叫做冪 （加法的結果叫和 相類似啊），任何數（零除外）的零次冪都得1

㈣ 同底數冪運演算法則是什麼

具體法則如下：

(1)任何不等於零的數的零次冪都等於1。

即(a≠0)。

(2)任何不等於零的數的-p（p是正整數）次冪，等於這個數的p次冪的倒數。

即(a≠0,p是正整數)。

（規定了零指數冪與負整數指數冪的意義，就把指數的概念從正整數推廣到了整數。正整數指數冪的各種運演算法則對整數指數冪都適用）。

1.同底數冪相乘，底數不變，指數相加。

即（m,n都是有理數）。

2.冪的乘方，底數不變，指數相乘。

即（m,n都是有理數）。

3.積的乘方，等於把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。

即＝·(m,n都是有理數）。

4.分式乘方，分子分母各自乘方。

即（b≠0)。

㈤ 冪的運算

冪其實本身就是跟乘法有關系的，比如m的n次方就轉化為n個m相乘。如圖：

那麼冪的乘法運算是如何計算的呢？進來具體的特例10的² × 10的三次方。有兩種解答方法。第一種算出10的²等於100在算出10的三次方等於1000那麼100×1000等於100,000。第二種方法就是把10的²轉化為10×10，10的三次方轉化成10×10×10最後再把它們一塊乘起來。如圖：那麼10×10×10×10×10不就等於10的五次方嗎？

那麼10的五次方×10的八次方又等於多少呢？可以在用剛才的方法將10的五次方轉化為10×10×10×10×10再乘10的八次方轉化為10×10×10×10×10×10×10×10。將它們合並起來就是 10的13次方但這些例子他都是特例，他都是一個具體的數，那我們應該把它轉換為代數式。變成10的M次方×10的N次方。那就是10 M相乘×10個N相乘那他們就可以變成10的M + N次方。但是你有沒有發現我們研究的懲罰，他們都是同底數的。你換成五的² ×2的²他就不可以轉換成10的M + N次方。因為5×5和2×2他們是無法結合到一起了。所以說冪的乘法運算是只包括在同底數之內。所以不同技術的秘的乘法運算是沒有規律的，因此研究他就沒有什麼意義。

那經過剛剛的幾個式子，從而可以得到同底數冪的乘法運算規律，以一個式子來解決：a的n次方✖️a的m次方等於a的n➕m次方。這是同底數冪的乘法運算。

乘法和除法秀關系的其實可以把所有除法算式轉換為乘法算式，因為除以等於乘以它的倒數。還有就是乘除互逆。10的五次方，×10的三次方等於10的八次方。根據根據乘除互逆。那麼10的八次方÷10的三次方應該就等於10的五次方。同底數冪的除法運算用一個式子表示：a的M次方除以a的N次方等於a的M減N次方。

冪的加法和減法都是沒有規律的。 研究加減運算的意義不大。那還有一種運算叫做積的乘方。特例：（6²）的四次方。。6²被稱之為積，合起來就是積的次方。那記得乘方該如何運算了就比如這個特例：（6²）的四次方。第一種演算法是先將6²算出來。然後再乘方。但是有沒有簡便運算呢？我們可以把6²轉化成6×6。然後再乘方。你把6✖️6當作一個整體。就是四個6×6相乘：6×6×6×6×6×6×6×6×，那再根據同底數冪的乘法可以把它轉化成6的八次方。但我發現6的八次方和6的2次方的4次方他們之間的變化是因式的次方與積的次方相乘。但這是個特例，他不具有普遍性。我們把它換成a的M次方的²。還是M個A相乘再乘方，那積的乘方運算為：先把集中的因式分別乘方，再把所得的冪乘方。用式子表示就是a的M次方的等於a的MN次方。

冪的運算皆為此。

㈥ 冪運算所有的運演算法則。

1、同底數冪的乘法：

aᵐ·aⁿ·aᵖ=aᵐ⁺ⁿ⁺ᵖ(m, n, p都是正整數)。

2、冪的乘方(aᵐ)ⁿ=a(ᵐⁿ)，與積的乘方(ab)ⁿ=aⁿbⁿ

3、同底數冪的除法：

（1）同底數冪的除法：aᵐ÷aⁿ=a（ᵐ⁻ⁿ）(a≠0, m, n均為正整數，並且m>n)

（2）零指數：a⁰=1 (a≠0)；

（3）負整數指數冪：a⁻ᵖ= (a≠0, p是正整數），當a=0時沒有意義，0⁻²，0⁻²都無意義。

3、負指數冪

當底數n≠0時，由於n⁰÷nᵃ=1÷nᵃ=1/nᵃ，根據冪的運算規則可知，n⁰÷nᵃ=n⁰⁻ᵃ=n⁻ᵃ=1/nᵃ

因此定義負指數冪如下：a⁻ᵖ=1/aᵖ，a≠0。

㈦ 冪函數的演算法

1、同底數冪的乘法：

搜狗問問

2、冪的乘方(a^m)^n=a^(mn)，與積的乘方(ab)^n=a^nb^n。
3、同底數冪的除法：
（1）同底數冪的除法：am÷an=a（m-n） (a≠0, m, n均為正整數，並且m>n)。
（2）零指數：a0=1 (a≠0)。
（3）負整數指數冪：a-p= (a≠0, p是正整數）①當a=0時沒有意義，0-2, 0-3都無意義。
法則口訣：
同底數冪的乘法：底數不變，指數相加冪的乘方；
同底數冪的除法：底數不變，指數相減冪的乘方；
冪的指數乘方：等於各因數分別乘方的積商的乘方
分式乘方：分子分母分別乘方，指數不變。
(7)求冪演算法擴展閱讀
計算：x5·xn-3·x4-3x2·xn·x4
解：x^5·x^n-3·x^4-3x^2·x^n·x^4
分析：
①先做乘法再做減法
=x（5+n-3+4）-3x（2+n+4 ）
②運算結果指數能合並的要合並
=x（6+n）-3x（6+n）
③3x2即為3·(x2)
=(1-3)x6+n ④x 6+n，與-3x6+n是同類項，
=-2x 6+n合並時將系數進行運算(1-3)=-2。

㈧ 冪函數計算公式

1、同底數冪的乘法：

其中m,n，k∈N*，且m，n互質。特別，當n=1時為整數指數冪。

㈨ 矩陣的冪怎麼算

有下面三種情況：

1、如果你所要求的是一般矩陣的高次冪的話，是沒有捷徑可走的，只能夠一個個去乘出來。

至於低次冪，如果能夠相似對角化，即：存在簡便演算法的話，在二階矩陣的情況下簡便演算法未必有直接乘來得快，所以推薦直接乘。

2、如果你要求的是能夠相似對角化的矩陣的高次冪的話，是存在簡便演算法的。

設要求矩陣A的n次冪，且A=Q^(-1)*Λ*Q，其中Q為可逆陣，Λ為對角陣。

即：A可以相似對角化。那麼此時，有求冪公式：A^n=Q^(-1)*(Λ)^n*Q，而對角陣求n次方，只需要每個對角元素變為n次方即可，這樣就可以快速求出二階矩陣A的的高次冪。

3、如果矩陣可以相似對角化，求相似對角化的矩陣Q的具體步驟為：

求|λE-A|=0 (其中E為單位陣)的解，得λ1和λ2（不管是否重根），這就是Λ矩陣的對角元素。

依次把λ1和λ2帶入方程（如果λ是重根只需代一次，就可求得兩個基礎解）[λE-A][x]=[0]，求得兩個解向量[x1]、[x2]，從而矩陣Q的形式就是[x1 x2]。

接下來的求逆運算是一種基礎運算，這里不再贅述。

下面可以舉一個例子：

二階方陣：

1 a

0 1

求它的n次方矩陣

方陣A的k次冪定義為 k 個A連乘: A^k = AA...A (k個)

一些常用的性質有：

1. (A^m)^n = A^mn

2. A^mA^n = A^(m+n)

一般計算的方法有：

1. 計算A^2,A^3 找規律, 然後用歸納法證明

2. 若r(A)=1, 則A=αβ^T, A^n=(β^Tα)^(n-1)A

注: β^Tα =α^Tβ = tr(αβ^T)

3. 分拆法: A=B+C, BC=CB, 用二項式公式展開

適用於 B^n 易計算, C的低次冪為零矩陣: C^2 或 C^3 = 0.

4. 用對角化 A=P^-1diagP

A^n = P^-1diag^nP

(9)求冪演算法擴展閱讀：

冪等矩陣的主要性質：

1.冪等矩陣的特徵值只可能是0，1；

2.冪等矩陣可對角化；

3.冪等矩陣的跡等於冪等矩陣的秩，即tr(A)=rank(A)；

4.可逆的冪等矩陣為E；

5.方陣零矩陣和單位矩陣都是冪等矩陣；

6.冪等矩陣A滿足：A(E-A)=(E-A)A=0；

7.冪等矩陣A：Ax=x的充要條件是x∈R(A)；

8.A的核N(A)等於(E-A)的列空間R(E-A),且N(E-A)=R(A)。考慮冪等矩陣運算後仍為冪等矩陣的要求，可以給出冪等矩陣的運算：

1）設 A1，A2都是冪等矩陣，則(A1+A2) 為冪等矩陣的充分必要條件為：A1·A2 =A2·A1=0，且有：R(A1+A2) =R (A1) ⊕R (A2)；N(A1+A2) =N(A1)∩N(A2)；

2）設 A1， A2都是冪等矩陣，則(A1-A2) 為冪等矩陣的充分必要條件為：A1·A2=A2·A1=A2，且有：R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2)；N (A1- A2) =N (A1)⊕R (A2)；

3）設 A1，A2都是冪等矩陣，若A1·A2=A2·A1，則A1·A2為冪等矩陣，且有：R (A1·A2) =R(A1) ∩R (A2)；N (A1·A2) =N (A1) +N (A2)。

㈩ 不同底數冪的運演算法則是什麼

(a^m)*(b^m)=(ab)^m 這是積的乘方運算的逆運算。

若底數和指數都不同，則應先轉化為底數或指數相同，然後運用法則計算。

若底數不同指數相同，則有(a^m)*(b^m)=(ab)^m

這是積的乘方運算的逆運算。

已知中的冪和要求的冪都是2為底，x＋1＝( x-1)＋2，根據同底數冪乘法公式的反向公式「指數相加等於冪相乘」就可以順利求出最終結果，過程如下：一般的解法是先使用同底數冪乘法公式簡化左邊的式子，然後根據兩個冪相等，如果底相等，那麼指數也相等，列方程，最後解方程求出a的值。

(10)求冪演算法擴展閱讀：

（1）先弄清楚底數、指數、冪這三個基本概念的涵義。

（2）它的前提是「同底」，而且底可以是一個具體的數或字母，也可以是一個單項式或多項式，如：

(2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底數就是一個二項式(2x+y)。

（3）指數都是正整數

（4）這個法則可以推廣到三個或三個以上的同底數冪相乘，即am·an·ap....=am+n+p+... (m, n, p都是正整數)。

（5）不要與整式加法相混淆。乘法是只要求底數相同則可用法則計算，即底數不變指數相加，如：

x5·x4=x^（5+4）=x9；而加法法則要求兩個相同；底數相同且指數也必須相同，實際上是冪相同系數相加，如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合並。