演算法特徵值

A. 特徵值的簡易求法

設特徵值為λ，即行列式
-λ 0 1
0 -λ 0
1 0 -λ =0
按第二行展開得到
-λ(λ²-1)=0
顯然解得特徵值λ=0，1，-1

B. 求矩陣特徵值有哪些常用數值的演算法

求矩陣的特徵值就
使用|A-λE|=0計算
如果是實對稱矩陣
那麼特徵值是一定可以算出來的
實際上就是化簡行列式的過程

C. 特徵值的計算方法

設 A 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是A的一個特徵值（characteristic value)或本徵值（eigenvalue)。非零n維列向量x稱為矩陣A的屬於（對應於）特徵值m的特徵向量或本徵向量，簡稱A的特徵向量或A的本徵向量。

(3)演算法特徵值擴展閱讀

判斷相似矩陣的必要條件

設有n階矩陣A和B，若A和B相似（A∽B），則有：

1、A的特徵值與B的特徵值相同——λ(A)=λ(B)，特別地，λ(A)=λ(Λ)，Λ為A的對角矩陣；

2、A的特徵多項式與B的特徵多項式相同——|λE-A|=|λE-B|；

3、A的跡等於B的跡——trA=trB/ ，其中i=1,2,…n（即主對角線上元素的和）；

4、A的行列式值等於B的行列式值——|A|=|B|；

5、A的秩等於B的秩——r(A)=r(B)。[1]

因而A與B的特徵值是否相同是判斷A與B是否相似的根本依據。

D. 線性代數中怎樣求特徵值和特徵向量

特徵值與特徵向量是線性代數的核心也是難點，在機器學習演算法中應用十分廣泛。要求線性代數中的特徵值和特徵向量，就要先弄清楚定義：

設 A 是 n 階矩陣，如果存在一個數 λ 及非零的 n 維列向量 α ，使得Aα=λαAα=λα成立，則稱 λ 是矩陣 A 的一個特徵值，稱非零向量 α 是矩陣 A 屬於特徵值 λ 的一個特徵向量。

觀察這個定義可以發現，特徵值是一個數，特徵向量是一個列向量，一個矩陣乘以一個向量就等於一個數乘以一個向量。

(4)演算法特徵值擴展閱讀：

下面根據一個例子來理解：

設 A 是 3 階矩陣

則稱 λ=4 為矩陣A的特徵值，

也稱 α=[ -4, 5, 17 ]T是矩陣A屬於特徵值為 4 的一個特徵向量。

E. 怎麼計算矩陣的特徵值和特徵向量

題：矩陣a=
0
0
0
10
0
1
00
1
0
01
0
0
0
求矩陣a的特徵值與特徵向量。
解：
特徵矩陣te-a=
t
0
0
-1
0
t
-1
0
0
-1
t
0
-1
0
0
t
|te-a|=(tt-1)^2
註：這個可以用第一列進行代數餘子式展開，看容易看出解來。也可以用第二三行用二階子式及其餘子式的乘積來計算，也很方便。
於是其特徵值有四個，分別是
1,1,-1,-1
特徵矩陣te-a的四個解向量，就是相應的特徵向量。略。

F. 計算機怎麼計算矩陣特徵值和特徵

普通演算法是：
計算特徵多項式，進行因式分解，得到若干特徵值。
特徵向量，是通過解相應特徵方程，得到基礎解系。
對於一些大型矩陣，一般計算特徵值比較不方便，
而採用求主特徵值的演算法，逐漸逼近。

G. 線性代數求特徵值有什麼化簡方法嗎

R1+r2

R3-2r2

也只能得出兩個0，這樣應該已經是最簡單的演算法了。因為特徵值一般比較簡單，所以三次方程也可以快速寫成因式相乘的形式的。

這題求得的三次方程式入^3+6入^2+11入+6=0。通過特殊值，可以輕易知道入=-1時方程成立。

那麼三次方程肯定能抽出（入+1)

可以變為入（入^2+6入+5）+6（入+1）=0

（入+1）（入^2+5入+6）=0

（入+1）（入+2）（入+3）=0

求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：

第一步：計算的特徵多項式；

第二步：求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值。

第三步：對於的每一個特徵值，求出齊次線性方程組。

H. 如何用QR演算法求矩陣特徵值

function l = rqrtz(A,M)
%瑞利商位移的QR演算法求矩陣全部特徵值
%已知矩陣:A
%迭代步數:M
%求得的矩陣特徵值:lA = hess(A);
for(i=1:M)
N = size(A);
n = N(1,1);
u = A(n,n);
[q,r]=qr(A-u*eye(n,n));
A = r*q+u*eye(n,n);
l = diag(A);
end4.4 QR算 法 QR演算法也是一種迭代演算法,是目前計算任意實的非奇異矩陣全部特徵值問題的最有效的方法之一.該方法的基礎是構造矩陣序列 ,並對它進行QR分解. 由線性代數知識知道,若A為非奇異方陣,則A可以分解為正交矩陣Q與上三角形矩陣R的乘積,即A=QR,而且當R的對角線元素符號取定時,分解式是唯一的. 若A為奇異方陣,則零為A的特徵值.任取一數p不是A的特徵值,則A-pI為非奇異方陣.只要求出A-pI的特徵值,就很容易求出A的特徵值,所以假設A為非奇異方陣,並不妨礙討論的一般性. 設A為非奇異方陣,令 ,對 進行QR分解,即把 分解為正交矩陣 與上三角形矩陣 的乘積 = 做矩陣 繼續對 進行QR分解 並定義 一般地,遞推公式為 QR演算法就是利用矩陣的QR分解,按上述遞推公式構造矩陣序列 .只要A為非奇異方陣,則由QR演算法就完全確定 .這個矩陣序列 具有下列性質. 性質1 所有 都相似,它們具有相同的特徵值. 證明 因為 若令 ,則 為正交陣,且有 因此 與A相似,它們具有相同的特徵值. 性質2 的QR分解式為 其中 證明 用歸納法.顯然當k=1時,有 假設 有分解式 於是 因為 ,所以 因為 都是正交陣,所以 也是正交陣,同樣 也是上三角形陣,從而 的QR分解式為 由前面的討論知 .這說明QR演算法的收斂性有正交矩陣序列 的性質決定. 定理1 如果 收斂於非奇異矩陣 為上三角形矩陣,則 存在並且是上三角形矩陣. 證明 因為 收斂,故下面極限存在 由於 為上三角形矩陣,所以 為上三角形矩陣.又因為 所以 存在,並且是上三角形矩陣. 定理2 (QR演算法的收斂性)設A為n 階實矩陣,且1) A的特徵值滿足: 2) ,其中 且設 有三角分解式 =LU(L為單位下三角陣,U為上三角陣),則由QR演算法得到的矩陣序列 本質上收斂於上三角形矩陣.即 滿足 當 當 的極限不一定存在 證明 因為 ,矩陣 決定 的收斂性.又 我們利用 求 ,然後討論 的收斂性. 由定理條件 得 令 其中 的(i,j)元素 為 於是 由假設,當i>j時, 故 設方陣X的QR分解式為 由 由 知,對充分大的 非奇異,它應有唯一的QR分解式 ,並且 於是 但上三角陣 的對角線元素不一定大於零.為此,引入對角矩陣 以便保證( )的對角線元素都是正數,從而得到 的QR分解式 由 的QR分解式的唯一性得到 從而 由於 ,所以 從而 其中 於是 因為 為上三角陣, 為對角陣,且元素為1或-1,所以 當 當 的極限不一定存在 例 用QR演算法求矩陣 的特徵值.A的特徵值為-1,4,1+2i,1-2i. 解 令 ,用施密特正交化過程將 分解為 將 與 逆序相乘,求出 用 代替A重復上面過程,計算11次得 由 不難看出,矩陣A的一個特徵值是4,另一個特徵值是-1,其他兩個特徵值是方程 的根.求得為