隨機分形演算法
『壹』 什麼是分形數學
分形一般是指「一個粗糙或零碎的幾何形狀,可以分成數個部分,且每一部分都（至少會大略）是整體縮小尺寸的形狀」[1],此一性質稱為自相似.分形一詞是由本華·曼德博於1975年提出的,有「零碎」、「破裂」之意.
分形一般有以下特質：[2]
在任意小的尺度上都能有精細的結構；
太不規則,以至難以傳統歐氏幾何的語言來描述；
（至少是大略或任意地）自相似
豪斯多夫維數會大於拓撲維數（但在空間填充曲線如希爾伯特曲線中為例外）；
有著簡單的遞歸定義.
因為分形在所有的大小尺度下都顯得相似,所以通常被認為是無限復雜的（以不嚴謹的用詞來說）.自然界里一定程度類似分形的事物有雲、山脈、閃電、海岸線和雪片等等.但是,並不是所有自相似的東西都是分形,如實線雖然在形式上是自相似的,但卻不符合分形的其他特質.
17世紀時,數學家兼哲學家萊布尼茨思考過遞回的自相似,分形的數學從那時開始漸漸地成形（雖然他誤認只有直線會自相似）.
直到1872年,卡爾·魏爾施特拉斯給出一個處處連續但處處不可微的函數,在今日被認為是分形的圖形才出現.1904年,科赫·范·卡區不滿意魏爾施特拉斯那抽象且解析的定義,給出一個相似函數但更幾何的定義,今日稱之為科赫雪花.1915年瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基造出了謝爾賓斯基三角形；隔年,又造出了謝爾賓斯基地毯.原本,這些幾何分形都被認為是分形,而不如現今所認為的二維形狀.1938年,保羅·皮埃爾·萊維在他的論文《Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole》中將自相似曲線的概念更進一步地推進,他在文中描述了一個新的分形曲線－萊維C形曲線.
格奧爾格·康托爾也給出一個具有不尋常性質的實數子集－康托爾集,今日也被認為是分形.
復平面的迭代函數在19世紀末20世紀初被儒勒·昂利·龐加萊、菲利克斯·克萊因、皮埃爾·法圖和加斯東·茹利亞等人所研究,但直到現在有電腦繪圖的幫忙,許多他們所發現的函數才顯現出其美麗來.
1960年代,本華·曼德博開始研究自相似,且寫下一篇論文《英國的海岸線有多長?統計自相似和分數維度》.最後,1975年,曼德博提出了「分形」一詞,來標記一個物件,其豪斯多夫維數會大於拓撲維數.曼德博以顯著的電腦架構圖像來描繪此一數學定義,這些圖像有著普遍的映象；許多都基於遞歸,以至「分形」的一般意思.
造法
四個製造分形的一般技術如下：
逃逸時間分形：由空間（如復平面）中每一點的遞推關系式所定義,例如曼德博集合、茹利亞集合、火燒船分形、新分形和李奧普諾夫分形等.由一次或兩次逃逸時間公式的迭代生成的二維矢量場也會產生分形,若點在此一矢量場中重復地被通過.
迭代函數系統：這些分形都有著固定的幾何替代規則.康托爾集、謝爾賓斯基三角形、謝爾賓斯基地毯、空間填充曲線、科赫雪花、龍形曲線、丁字方形、孟傑海綿等都是此類分形的一些例子.
隨機分形：由隨機而無確定過程產生,如布朗運動的軌跡、萊維飛行、分形風景和布朗樹等.後者會產生一種稱之為樹狀分形的分形,如擴散限制聚集或反應限制聚集叢.
奇異吸引子：以一個映射的迭代或一套會顯出混沌的初值微分方程所產生.
[編輯]分類
分形也可以依據其自相似來分類,有如下三種：
精確自相似：這是最強的一種自相似,分形在任一尺度下都顯得一樣.由迭代函數系統定義出的分形通常會展現出精確自相似來.
半自相似：這是一種較松的自相似,分形在不同尺度下會顯得大略（但非精確）相同.半自相似分形包含有整個分形扭曲及退化形式的縮小尺寸.由遞推關系式定義出的分形通常會是半自相似,但不會是精確自相似.
統計自相似：這是最弱的一種自相似,這種分形在不同尺度下都能保有固定的數值或統計測度.大多數對「分形」合理的定義自然會導致某一類型的統計自相似（分形維數本身即是個在不同尺度下都保持固定的數值測度）.隨機分形是統計自相似,但非精確及半自相似的分形的一個例子.
『貳』 分形統計模型
3.3.1 分形統計模型
設分形統計模型：
分形混沌與礦產預測
其中r表示特徵尺度，C＞0稱為比例常數，D＞0稱為分維數，N（r）表示尺度大於等於r的數目（當分維數D前面的符號取負號，記為N（≥r））或尺度小於等於r的數目（當分維數D前面的符號取正號，記為N（≤r））.
為了研究方便，（3.3.1）式可分解為下面二式：
分形混沌與礦產預測
許多地質現象具有標度不變的特徵.如岩石碎片、斷層、地震、火山噴發、礦藏和油井等.這些現象的頻數和大小之間的分布具有尺度不變性.分形分布的特點要求大於等於或小於等於某一尺度的數目，與物體大小之間存在冪函數關系，即（3.3.1）式的關系.例如r可表示金品位，N（≥r）表示金品位大於等於r的樣品數目；r也可表示圓的半徑，N（≤r）表示落入半徑為r的圓中的礦體個數.
分形分布的特點要求大於某一尺度物體的數目，與物體大小之間存在著冪函數關系，地質現象的統計分布中，冪函數分形分布（即：冪函數分布、帕累托分布和齊波夫分布）不是惟一的一類，還有如對數分布等其他類型.但是冪函數分形分布是其中惟一的一類不含特徵尺度的分布.這樣，這些分布可以應用於那些具有標度不變性的地質現象.而標度不變性則提供了應用冪函數分形分布的基礎.
模型的建立，其實是分形（相似性）模型的建立.利用相似性原理，建立模型單元，對預測單元進行分形處理和預測.
為了求出分維數D，將觀測數據（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），繪在雙對數坐標紙上，如果其散點大致分布在一條直線上的話，分維數D就可以利用直線的斜率求出，也就是說，將觀測數椐（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），代入（3.3.1）式，然後兩邊取對數，（3.3.1）式化為一元線性回歸模型：
分形混沌與礦產預測
用最小二乘法求出斜率D的估計量，即為分維數.目前幾乎都用此方法（傳統方法）求解分維數D.雖然用該方法求出D較簡單，但結果可能不正確（Bethea，et al.，1985），應該用非線性回歸模型的方法去估計參數C和D.
事實上，（3.3.1）式是非線性回歸模型，其中C，D為未知參數，用非線性回歸模型的中最小二乘法直接求出（3.3.1）式中參數D的估計量也是分維數.用這種新方法求出的分維數D比上面傳統方法（即（3.3.1）式轉化為一元線性回歸模型（3.3.2））求出的分維數更精確（即誤差更小）.
新方法有以下優點：
（1）使用傳統方法求分維數D，要對原始數據（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），同時作對數變換，但是在大多數情況下，原始數據特別是（r1，r2，…，rn），不適合作對數變換.新方法直接用原始數據求分維數D，因而避免了以上情況出現.
（2）使用新方法可以求出分維數估計量的近似偏差和方差，同時也能求出近似預測偏差和預測方差.使用傳統方法不能得到上述的結果（使用傳統方法求出（3.3.2）式中D的偏差和方差，同使用新方法求出（3.3.1）式中D的偏差和方差有著根本區別）.
（3）使用新方法求出的參數估計量比使用傳統方法求出的參數估計量在擬合分形模型時更好，即剩餘平方和更小（剩餘平方和是衡量擬合的優良程度的定量指標），並且參數估計量更穩定.
3.3.2 分形統計模型模擬研究
我們在計算機上產生了［0，1］區間上的均勻分布，標准正態分布和對數正態分布的隨機數各10 000個，將每種分布的隨機數分成10組（即每組1000個隨機數，共有30組），用於分形統計模型的模擬研究.
將每組1000個隨機數，按從小到大的次序排列，並把隨機數分布的總區間分成k個子區間，統計進入第i個子區間內的隨機數的頻數NFi（i=1，2，…，k），令，其中r為正整數.
這樣得到了數據（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），將這些數據代入分形統計模型（3.3.1″），應用最小二乘法，可求出分維數估計量.
具體計算結果見表3-1，表3-2和表3-3.
表3-1 均勻分布分維數估計量D^
表3-2 正態分布分維數估計量D^
表3-3 對數正態分布分維數估計量D^
在表3-1，表3-2，表3-3中：①對於均勻分布的隨機數，取k=150，n=26，ri=2i（i=1，2，…，26）；②對於正態分布的隨機數，取k=80，n=21，ri=2i+10（i=1，2，…，21）；③對於對數正態分布的隨機數，取k=100，n=21，ri=2i（i=1，2，…，21）；④對於不同分布的隨機數據，k和r的取值范圍也不相同，主要依據數據（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），在此范圍內，存在無標度區和統計上的要求；⑤隨機數抽取樣本1000個，符合統計推斷的要求條件.
由表3-1，表3-2和表3-3中的數據可推出以下的結果：
（a）用新方法求出分維數估計量比使用傳統方法求出分維數估計量更趨於穩定.因為標准差是數據分散程度的定量描述，標准差越小，數據越集中於平均數附近.
（b）分維數D值可以表徵隨機數或樣本之間的結構性.根據分形統計模型（3.3.1″）可看出，D值越小表示隨機數或樣本之間的差異越小，即均勻程度好，反之，D值越大表示隨機數或樣本之間的差異越大，即均勻程度差.均勻分布（均勻程度好）的隨機數分維數（平均值0.1287）小於正態分布（均勻程度居中）的隨機數分維數（平均值0.6853）小於對數正態分布（均勻程度差）的隨機數分維數（平均值0.9762）.以上結論與實際情況符合.
3.3.3 應用實例
西藏羅布莎鉻鐵礦成礦預測.
西藏羅布莎鉻鐵礦礦床是我國目前已知最大的鉻鐵礦礦床，已探明的鉻鐵礦石儲量近500萬t，佔全國探明儲量的三分之一以上.因而，對西藏羅布莎鉻鐵礦礦床進行成礦預測工作具有非常重要的意義.
羅布莎蛇綠岩體地處著名的雅魯藏布江蛇綠岩帶的東段，位於岡底斯火山-岩漿弧的南側，岩體呈向北凸出的弧形展布於晚三疊世巨厚的淺變質砂板岩夾少量結晶灰岩和細碧角斑岩的復理石建造與晚白堊世海相火山岩、放射蟲硅質岩以及第三系山間磨拉石建造之間，岩體平面形態似透鏡狀，局部被斷層錯開，主體呈東西向延伸，長約30km，最寬處約3km（李紫金等，1993）.
通過對該礦床的研究，認為地表礦體、礦群、礦床儲量的空間分布具有較好的分形結構特徵即自相似性，可用分形統計（3.3.1′）模型作為第四系覆蓋區下找礦遠景地段礦體、礦群及其資源量的預測模型.
1.地質條件
研究表明，盡管羅布莎礦段與香嘎山礦段礦體出露的標高及在地幔橄欖岩中的位置略有不同、岩石礦石化學成分及物性表現上有所差異，但它們均處於同一地幔橄欖岩內，屬於同一成岩成礦作用的產物，原始的構造含礦雜岩帶統一，經構造解析，認為全區的礦體在同一構造含礦雜岩帶內.因而，將模型區擴大到整個兩礦段地區，在地質上是可行的.
2.數學條件
羅布莎鉻鐵礦礦床自相似性體系的礦床諸參數表現出自相似性，將觀測數據（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），繪在雙對數坐標系統中（即lgN（r）—lgr），連接各點，曲線存在明顯的直線段，即存在無標度區.自相似性是事物在一定尺度范圍（無標度區）內不隨觀察尺度變化的性質，無標度區一部分所得到的結論可以外推到整個無標度區.模型區地表礦體、礦群及其儲量的空間分布在5～40cm的范圍（無標度區）內具較好的分形結構即自相似性.因此，在礦床自相似性體系內，可以將該無標度區的上限外推至55cm，此時分形結構不發生改變或改變不大.
3.模型區與預測區的相似類比
預測的礦體及礦群是第四系覆蓋區下基岩表層的礦體及礦群，預測的資源量是與模型區C+D級儲量對應的礦量.第四系的研究表明，預測區的第四系為殘坡積物及少量的冰磧物，所以認為模型區與預測區地表風化剝蝕狀況及礦體的保存條件近於相似，模型可以外推.
4.資料來源及參數估計
（1）地表礦體
模型區內，在1∶10000地形地質圖上標出的分布於構造含礦雜岩帶內的地表礦體共152個（見圖3-1和圖3-2），把每個礦體看成是以其中心為代表的一個點（圖3-3和圖3-4）.以礦體分布的重心或中心為圓心，圓心不動，以不同的半徑r畫圓，計算每次落入圓中礦體的個數，記為N（r）（表3-4）.在lgr—lgN（r）坐標中投點，用最小二乘法擬合直線，得直線方程為：
分形混沌與礦產預測
以D（0）=0.7841，C（0）=100.9348=8.6060為迭代初值，使用新方法求得分形統計模型（3.3.1′）式中最小二乘估計量（分維數），量，剩餘平方和Q（0.7568，9.4039）=114.6947＜Q0（0.7841，8.6060）=125.3347.最大固有曲率ΓN=0.03418＜0.220=1/（2F1/2（2，6，0.05））（見附錄A）.此時分形統計模型（3.3.1′）固有非線性強度很弱，可以忽略不計.因此分形統計模型（3.3.1′）可作為地表礦體預測的數學模型.即：
分形混沌與礦產預測
表3-4 地表礦體數據
（2）地表礦群
在1∶10000地形地質圖上，模型區構造含礦雜岩帶中的礦群14個.每個礦群可看成是以其中心為代表的一個點.圓心及半徑的定義與地表礦體的相似，r的取值仍與地表礦體的相同.圓心不動，以不同的半徑r畫圓，計算每次落入圓內的礦群個數，記為N（r）（表3-5），在lgr—lgN（r）坐標中投點，用最小二乘法擬合直線，得直線方程為：
分形混沌與礦產預測
以D（0）=0.8982，C（0）=10-0.3130=0.4864為迭代初值，使用新方法求得分形統計模型（3.3.1′）式中最小二乘估計量（分維數），量，剩餘平方和Q（0.9298，0.4384）=1.3014＜Q0（0.8982，0.4864）=1.38，最大固有曲率ΓN=0.04715＜0.2205=1/（2F1/2（2，6，0.05））（見附錄A）.此時分形統計模型（3.3.1′）固有非線性強度很弱，可以忽略不計，因此分形統計模型（3.3.1′）可作為地表礦群預測的數學模型.即：
分形混沌與礦產預測
表3-5 地表礦群數據
圖3-1 羅布莎地區構造略圖
圖3-2 羅布莎—章嘎構造剖面圖
（3）礦床儲量
在1∶10000地形地質圖上，對模型區內構造含礦雜岩帶里的C+D級鉻鐵礦石儲量4211418t的分布資料進行研究.圓心及半徑的定義與地表礦體的相似，圓心不動，計算在不同的r半徑下落進球（實際為圓，因為將儲量的分布投影到1∶10000地形地質圖上）內的C+D級礦石儲量，記為N（r）（表3-6），在lgr—lgN（r）坐標中投點，用最小二乘法擬合直線，得直線方程為：
分形混沌與礦產預測
以D（0）=0.7048，C（0）=105.5101=323668.176為迭代初值，使用新方法求得分形統計模型（3.3.1′）式中最小二乘估計量（分維數），剩餘平方和Q（0.6654，367166.9）=0.3350161×1012＜Q0（0.7048，323668.176）=0.3551732×1012，最大固有曲率ΓN=0.06086＜0.2205=1/（2F1/2（2，6，0.05））.此時分形統計模型（3.3.1′）固有非線性強度很弱，可以忽略不計，因此分形統計模型（3.3.1′）可作為礦床儲量預測的數學模型.
即：
分形混沌與礦產預測
表3-6 地表礦石儲量數據
圖3-3 見礦孔在水平投影面上的投影點圖
5.預測結果及參數意義的解釋
以礦群上最大的礦體為圓心，r=5，10，15，…，50，55cm（1∶10000地形地質圖上），將r回代入上面（3.3.3），（3.3.4）和（3.3.5）式中，計算在r=55cm總的數量減去已知數量即為香嘎山礦段第四系下預測的資源量.結果為：「地表」礦體43個，「地表」礦群4個（取整），資源量（鉻鐵礦石）：1071815.342t.礦石質量：礦石以緻密塊狀為主，少量為稠密浸染狀礦石，w（Cr2O3）=52.7；鉑族元素總量平均品位為0.497g/t，總資源量為532.692kg.預測結果與常規方法計算結果較一致（見圖3-5，圖3-6和圖3-7）.
密度定義為：ρ=N（r）/（πr2）=（C/π）rD-2
當 D=2.0 時，密度ρ=C/π.表明密度均勻；
當 D＞2.0 時，密度ρ隨著r的增大而增大；
當 D＜2.0 時，密度ρ隨著r的增大而減少；
當 r=1.0 時，C=πρ=N（1）.
0.6654（礦床儲量分維數）＜0.7568（地表礦體分維數）＜0.9298（地表礦群分維數）＜2表明：隨著r的增大，礦床儲量，地表礦體和地表礦群的密度逐步減少.
因此分維數D定量表達了礦體分布的密度變化趨勢.C表示礦體分布的初始值，它們對礦產資源勘查、預測與評價具有重要的指導意義.
圖3-4 礦體中心在E—W向垂直投影面上的投影點圖
圖3-5 礦體原始數據曲線擬合圖
圖3-6 地表礦群原始數據曲線擬合圖
圖3-7 礦床儲量原始數據曲線擬合圖
『叄』 求組關於分形演算法中的diamond-square演算法
解析幾何
『肆』 採用准確優化技術和啟發式優化技術解決一個問題會存在什麼不同
採用准確優化技術和啟發式優化技術解決一個問題會存在的不同之處：
①確定性演算法和隨機性演算法是目前求解優化問題的方法。隨機性演算法一般是對社會行為和自然現象的模擬，具有對優化函數的解析性質要求低的特點，甚至對無顯示解析表達式的問題也可以求解，能較好解決優化中的雜訊、不可微、高維等問題。
②啟發式演算法作為隨機性演算法的一種，其良好的應用更加快了人們對各種優化方法的探索腳步。 近些年來不斷有學者將分形應用於優化中來，試圖運用分形思想來處理復雜的優化問題。
③其中，分形演算法通過對可行域的分形分割來尋優，是一種新穎的確定性演算法，但其局限性較大，只適用於低維簡單的問題，對於當今社會中高維復雜問題則幾乎無能為力，也使得該演算法的影響力微乎其微。
④啟發式技術是基於特徵值掃描技術上的升級,與傳統反病毒特徵值掃描技術相比,優點在於對未知病毒的防禦.是特徵值識別技術質的飛躍。
(4)隨機分形演算法擴展閱讀
啟發式：簡化虛擬機和簡化行為判斷引擎的結合 Heuristic(啟發式技術=啟發式掃描+啟發式監控) 重點在於特徵值識別技術上的更新、解決單一特徵碼比對的缺陷.目的不在於檢測所有的未知病毒,只是對特徵值掃描技術的補充.主要針對：木馬、間諜、後門、下載者、已知病毒(PE病毒)的變種。
一、啟發式發展方向
現代啟發式演算法的研究,在理論方面還處於不斷發展中,新思想和新方法仍不斷出現。分析目前的現狀和發展方向,其發展方向有如下幾個方面:
①整理歸納分散的研究成果,建立統一的演算法體系結構。
②在現有的數學方法(模式定理、編碼策略、馬爾可夫鏈理論、維數分析理論、復制遺傳演算法理論、二次動力系統理論、傅立葉分析理論、分離函數理論、Walsh函數分析理論)的基礎上尋求新的數學工具。
③開發新的混合式演算法及開展現有演算法改進方面的研究。
④研究高效並行或分布式優化演算法。
二、啟發式演算法演算法機制特點
現代啟發式演算法在優化機制方面存在一定的差異,但在優化流程上卻具有較大的相似性,均是一種「鄰域搜索」結構。演算法都是從一個(一組)初始解出發,在演算法的關鍵參數的控制下通過鄰域函數產生若干鄰域解,按准則(確定性、概率性或混沌方式)更新當前狀態,而後按關鍵參數修改准則調整關鍵參數，一直優化到最優結果。
『伍』 求改正，這個隨機分形樹的MATLAB程序到底哪兒錯了，運行錯誤
代碼有很多小錯誤，我幫你修改了下，
這是函數文件
function S1tree(n)
clc;
S='F';a=pi/10;A=pi/2;z=0;zA=[0,pi/2];
p1='FF+[+F+F]-[+F]';
p2='F[+F]F[-F[+F]]';
p3='FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]';
for k=2:n
c=rand(1);
if c>=0.7 S=strrep(S,'F',p1);
elseif c>=0.35 S=strrep(S,'F',p2);
else S=strrep(S,'F',p3);
end
end
figure;
for k=1:length(S)
switch S(k)
case 'F'
plot(real(z+2*exp(i*A)),imag(z+2*exp(i*A)),'g','LineWidth',2);
hold on;
z=z+2*exp(i*A);
case '+'
A=A+a;
case '-'
A=A-a;
case '['
zA=[zA;[z,A]];
case ']'
z=zA(end,1);
A=zA(end,2);
zA(end,:)=[];
otherwise
end
end
在主窗口中輸入
S1tree(7)
畫出的圖如下（由於每次運行S1tree(7)代碼產生隨機數不一樣，得到的圖不一樣但是類似）
『陸』 什麼是分形數學
三
動力系統中的分形集是近年分形幾何中最活躍和引人入勝的一個研究領域。動力系統的奇異吸引子通常都是分形集，它們產生於非線性函數的迭代和非線性微分方程中。1963年，氣象學家洛倫茲（E.N.Lorenz）在研究流體的對流運動時，發現了以他的名字命名的第一個奇異吸引子，它是一個典型的分形集。
1976年，法國天文學家伊儂（M.Henon）考慮標准二次映射迭代系統時獲得伊儂吸引子。它具有某種自相似性和分形性質。1986年勞威爾（H.A.Lauwerier）將斯梅爾的馬蹄映射變形成勞威爾映射，其迭代下不穩定流形的極限集成為典型的奇異吸引子，它與水平線的截面為康托集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等構造了一個二維迭代函數系統，其吸附界是維爾斯特拉斯函數，並得到盒維數。1985年，邁克多納（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三種類型：
（1） 局部不連通的分形集；
（2） 局部連通的分形擬圓周；
（3） 既不局部連能又不是擬圓周。前兩者具有擬自相似性。
動力系統中另一類分形集來源於復平面上解析映射的迭代。朱利亞（G.Julia）和法圖（P.Fatou）於1918-1919年間開創這一研究。他們發現，解析映射的迭代把復平面劃分成兩部分，一部分為法圖集，另一部分為朱利亞集（J集）。他們在處理這一問題時還沒有計算機，完全依賴於他們自身固有的想像力，因此他們的智力成就受到局限。隨後50年間，這方面的研究沒有得到什麼進展。
隨著可用機算機來做實驗，這一研究課題才又獲得生機。1980年，曼德爾布羅特用計算機繪出用他名字命名的曼德爾布羅特集（M集）的第一張圖來。1982道迪（A.Douady）構造了含參二次復映射fc ，其朱利亞集J（fc）隨參數C的變化呈現各種各樣的分形圖象，著名的有道迪免子，聖馬科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集與映射系數的關系，解新局面了解析映射擊集豪斯道夫維數的計算問題。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫維數的數值解法。1983年，韋當（M.Widom）進一步推廣了部分結果 。法圖1926年就就開始整函數迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）證明指數映射的J集為復平面，解決了法圖提出的問題，引起研究者極大興趣。發現超越整函數的J集與有理映射J的性質差異，1984年德萬尼（R.L.Devanney）證明指數映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或復平面而J（fc）是康托塵或連通集。
復平面上使J（fc）成為連通集的點C組成M集即曼德爾布羅特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）認為，M集的性質過去一直是並且將來繼續是數學研究的一個巨大難題。通過將數學理論與計算機圖形學實驗加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在這方面進行的基礎性研究工作，在解決這一難題方面已取得重大進展，使人們加深了對M集的了解。道迪和扈巴德1982年證明M集是連通的和單連通的，人們猜測M集是局部連通的，目前每一張計算機圖形都證實了這一猜測，但至今還沒有人能給予證明。M是否為弧連通，目前尚不清楚。M集邊界的維數也是值得研究的問題之一。
M集除了將J集分成連通與非連通的兩類之外，還起著無窮個J集的圖解目錄表作用，即把M集C點周圍的圖形放大就是與C點有關的J集的組成部分。但這一發現的數學密性至今仍未確定，譚磊（Tan Lei）1985年證明了在每一個密休威茨點鄰近M集與相關的J集之間存在著相似性。尤金斯等在M集的靜電位研究中獲得與自然形貌相似的分形圖象。目前包括尤金斯等在內的很多研究人員都致力於藉助計算機活動錄象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得進展。1990年德萬尼通過數值實驗觀察到M集的復雜圖形由許多不同周期的周期軌道的穩定區域共同構成。1991年黃永念運用他提出的代數分析法證明了這一事實，研究了M集及其廣義情況周期軌道整體解析特性。
巴斯萊（B.M.Barnsley）和德門科（S.Demko）1985年引入迭代函數系統，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函數的吸引集，用其它方法產生的分形集也可用迭代函數系逼近。1988年，勞威爾通過數值研究發現畢達哥拉斯樹花是一迭代函數系的J集。1985年巴斯萊等研究含參數的函數系迭代動力系統，得到M集D並D與M在連通性上的差異。在一線性映射系迭代下，可以產生著名的分形曲線——雙生龍曲線。1986年水谷（M.Mitzutani）等對其動力系統進行了研究。
一般動力系統中的分形集，其豪斯道夫維數dH難以通過理論方法或計算方法求得。對於有迭式構造的分形集，貝德浮德（T.Bedford）等在1986年已給出卓有成效的演算法，但對一般非線性映射迭代動力系統產生的分形集，這些結果都難以應用，其豪斯道夫維數dH的結論與演算法實際上沒有。卡普蘭（j.L.Kaplan）和約克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫維數dL並猜測dL=dH。1981年勒拉皮爾證明dH≤dL。楊（L.S.Young）1982年證明二維情況下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年給出例子說明高維情形卡普蘭-約克猜測不成立。這一猜測力圖從動力學特徵推斷幾何結構，其反問題是由吸引子維數推斷混沌力學，這是值得研究的問題。但目前工作甚少且主要限於計算機研究。此外，含參動力系統在混沌臨界態或突變處的分形集維數也有待進一步研究。
多重分形（multifractals）是與動力系統奇異吸引子有關的另一類重要分形集，其概念首先由曼德布羅特和倫依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定義了多重分形廣義維數。1988年博爾（T.Bohr）等人將拓撲熵引入多重分形的動力學描述與熱力學類比。1988年，阿內多（A.Arneodo）等人將子波變換用於多重分形研究。費德（J.Feder）、特爾（T.Tel）等人進行了多重分形子集及標度指數的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆問題，提出廣義配分函數，給出廣義超越維數，對過去的維數進行了修正。李（J.Lee）等發現了多重分形熱力學形式上的相變。1990年，伯克（C.Beck）得到廣義維數的上下界和極限並研究了多重分形的均勻性量度。曼德布羅特研究了隨機多重分形及負分維。1991年科維克（Z.Kov.acs）等引入雙變數迭代系統，最大特徵值和吉布斯勢導出維數、熵、李雅普洛夫指數，提供了對多重分形相變分類的一般方案。對於多重分形相變分類的一般方案。對於多重分形目前雖已提出不少處理方法，但從數學的觀點上看，還不夠嚴格，部分問題的數學處理難度也較大。
四
分形理論真正發展起來才十餘年，並且方興未艾，很多方面的理論還有待進一步研究。值得注意的是，近年分形理論的應用發展遠遠超過了理論的發展，並且給分形的數學理論提出了更新更高的要求。各種分形維數計算方法和實驗方法的建立、改進和完善，使之理論簡便，可操作性強，是應用分形的科學家們普遍關注的問題。而在理論研究上，維數的理論計算、估計、分形重構（即求一動力系統，使其吸引集為給定分形集）、J集和M集及其推廣形式的性質、動力學特徵及維數研究將會成為數學工作者們十分活躍的研究領域。多重分形理論的完善、嚴格以及如何用這些理論來解決實際問題可能會引起科學家們廣泛的興趣，而動力學特徵、相變和子波變換可能會成為其中的幾個熱點。
在哲學方面，人們的興趣在於自相似性的普適性，M集和J集表現出的簡單性與復雜性，復數與實數的統一性，多重分形相變與突變論的關系，自組織臨界（SOC）現象的刻畫以及分形體系內部的各種矛盾的轉化等。可以預言，一場關於分形科學哲學問題的討論即將在國內展開
『柒』 分形理論簡述
分形幾何（Fractal Geometry）的概念是由曼德布羅特（B.B.Mandelbrot.1975）在1975年首先提出的.幾十年來，它已經發展成為一門新型的數學分支.這是一個研究和處理自然與工程中不規則圖形的強有力的理論工具，它的應用幾乎涉及自然科學的各個領域，甚至於社會科學，並且實際上正起著把現代科學各個領域連接起來的作用，分形是從新的角度解釋了事物發展的本質.
分形（fractal）一詞最早由B.B.Mandelbrot於1975年從拉丁文fractus創造出來，《自然界中的分形幾何》（Mandelbrot，1982）為其經典之作.最先它所描述的是具有嚴格自相似結構的幾何形體，物體的形狀與標度無關，子體的數目N（r）與線性尺度（標度r）之間存在冪函數關系，即N（r）∝1/rD.分形的核心是標度不變性（或自相似性），即在任何標度下物體的性質（如形狀，結構等）不變.數學上的分形實際是一種具有無窮嵌套結構的極限圖形，分形的突出特點就是不存在特徵尺度，描述分形的特徵量是分形維數D.不過，現實的分形只是在一定的標度范圍內呈現出自相似或自仿射的特性，這一標度范圍也就稱為（現實）分形的無標度區，在無標度區內，冪函數關系始終成立.
分形理論認為，分形內部任何一個相對獨立的部分，在一定程度上都是整體的再現和相對縮影（分形元），人們可以通過認識部分來認識整體.但是分形元只是構成整體的單位，與整體相似，並不簡單地等同於整體，整體的復雜性遠遠大於分形元.更為重要的是，分形理論指出了分形元構成整體所遵循的原理和規律，是對系統論的一個重要的貢獻.
從分析事物的角度來看，分形論和系統論體現了從兩個極端出發達到對事物全面認識的思路.系統論從整體出發來確立各部分的系統性質，從宏觀到微觀考察整體與部分的相關性；而分形論則是從部分出發確立整體性質，沿著從微觀到宏觀的方向展開.系統論強調部分對整體的依賴性，而分形論則強調整體對部分的依賴性，兩者的互補，揭示了系統多層次面、多視角、多方位的聯系方式，豐富和深化了局部與整體之間的辯證關系.
分形論的提出，對科學認識論與方法論具有廣泛而深遠的意義.第一，它揭示了整體與部分之間的內在聯系，找到了從部分過渡到整體的媒介與橋梁，說明了部分與整體之間的信息「同構」.第二，分形與混沌和現代非線性科學的普遍聯系與交叉滲透，打破了學科間的條塊分割局面，使各個領域的科學家團結在一起.第三，為描述非線性復雜系統提供了簡潔有力的幾何語言，使人們的系統思維方法由線性進展到非線性，並得以從局部中認識整體，從有限中認識無限，從非規則中認識規則，從混沌中認識有序.
分形理論與耗散結構理論、混沌理論是相互補充和緊密聯系的，都是在非線性科學的研究中所取得的重要成果.耗散結構理論著眼於從熱力學角度研究在開放系統和遠離平衡條件下形成的自組織，為熱力學第二定律的「退化論」和達爾文的「進化論」開辟了一條聯系通道，把自然科學和社會科學置於統一的世界觀和認識論中.混沌理論側重於從動力學觀點研究不可積系統軌道的不穩定性，有助於消除對於自然界的確定論和隨機論兩套對立描述體系之間的鴻溝，深化對於偶然性和必然性這些范疇的認識.分形理論則從幾何角度，研究不可積系統幾何圖形的自相似性質，可能成為定量描述耗散結構和混沌吸引子這些復雜而無規則現象的有力工具，進一步推動非線性科學的發展.
分形理論是一門新興的橫斷學科，它給自然科學、社會科學、工程技術、文學藝術等極廣泛的學科領域提供了一般的科學方法和思考方式.就目前所知，它有很高程度的應用普遍性.這是因為，具有標度不變性的分形結構是現實世界普遍存在的一大類結構，該結構的含義十分豐富，它不僅指研究對象的空間幾何形態，而是一般地指其拓撲維（幾何維數）小於其測量維數的點集，如事件點的分布，能量點的分布，時間點的分布，過程點的分布，甚至是意識點、思維點的分布.
分形思想的基本點可以簡單表述如下：分形研究的對象是具有自相似性的無序系統，其維數的變化是連續的.從分形研究的進展看，近年來，又提出若干新的概念，其中包括自仿射分形、自反演分形、遞歸分形、多重分形、胖分形等等.有些分形常不具有嚴格的自相似性，正如定義所表達的，局部以某種方式與整體相似.
分形理論的自相似性概念，最初是指形態或結構的相似性，即在形態或結構上具有相似性的幾何對象稱為分形，研究這種分形特性的幾何稱為分形幾何學.隨著研究工作的深入發展和領域的拓展，又由於一些新學科，如系統論、資訊理論、控制論、耗散結構理論和協同論等相繼涌現的影響，自相似性概念得到充實與擴展，把信息、功能和時間上的自相似性也包含在自相似性概念之中.於是，把形態（結構）、或信息、或功能、或時間上具有自相似性的客體稱為廣義分形.廣義分形及其生成元可以是幾何實體，也可以是由信息或功能支撐的數理模型，分形體系可以在形態（結構）、信息和功能各個方面同時具有自相似性，也允許只在某一方面具有自相似性；分形體系中的自相似性可以是完全相似，這種情況是不多見的，也可以是統計意義上的相似，這種情況佔大多數，相似性具有層次或級別上的差別.級別最低的為生成元，級別最高的為分形體系的整體.級別愈接近，相似程度越好，級別相差愈大，相似程度越差，當超過一定范圍時，則相似性就不存在了.
分形具有以下幾個基本性質：
（1）自相似性是指事物的局部（或部分）與整體在形態、結構、信息、功能和時間等方面具有統計意義上的相似性.
（2）適當放大或縮小分形對象的幾何尺寸，整個結構並不改變，這種性質稱為標度不變性.
（3）自然現象僅在一定的尺度范圍內，一定的層次中才表現出統計自相似性，在這樣的尺度之外，不再具有分形特徵.換言之，在不同尺度范圍或不同層次上具有不同的分形特徵.
（4）在歐氏幾何學中，維數只能是整數，但是在分形幾何學中維數可以是整數或分數.
（5）自然界中分形是具有冪函數分布的隨機現象，因而必須用統計的方法進行分析和處理.
目前分形的分類有以下幾種：①確定性分形與隨機分形；②比例分形與非比例分形；③均勻分形與非均勻分形；④理論分形與自然分形；⑤空間分形與分形事件（時間分形）.
分形研究應注意以下幾個問題：
（1）統計性（隨機性）.研究統計意義上的分形特徵，由統計數據分析中找出穩態規律，才能最客觀地描述自然紋理與粗糙度.從形成過程來看，分形是一個無窮隨機過程的體現.如大不列顛海岸線的復雜度是由長期海浪沖擊、侵蝕及風化形成的，其他許多動力過程、凝聚過程也都是無窮隨機的，不可能由某個特徵量來形成.因此，探討分形與隨機序列、信息熵之間的內在聯系是非常必要的.
（2）全局性.分形是整體與局部比較而存在的，它包括多層嵌套及無窮的精細結構.研究一個平面（二維）或立體（三維）的粗糙度，要考慮全局范圍各個方向的平穩性，即區別各向同性或各向異性分布規律.
（3）多標度性.一個物體的分形特性通常是在某些尺度下體現出來，在另一些尺度下則不是分形特性.理想的無標度區幾乎不存在，只有從多標度中研究分形特性才較實際.
模型的建立，其實是分形（相似性）模型的建立.利用相似性原理，建立模型單元，對預測單元進行分形處理和預測.
分形的正問題是給出規律，通過迭代和遞推過程產生分形，產生的幾何對象顯然具有某種相似性.反問題叫做分形重構.廣義而言，它指任何一個幾何上認為是分形的圖形，能否找到產生它的規律，以某種方式來生成它.當我們研究非線性動力學時，混沌動力學會產生分形，而分形重構則是動力學系統研究的逆問題.由於存在「一因多果」、「多因一果」，由分維重構分形還需加入另外參數.
臨界現象與分形有關.重整化群是研究臨界現象的一種方法.該方法首先對小尺寸模型進行計算，然後被重整化至大的或更大的尺度.如果我們有網格狀的一組元素，每個元素具有一定的滲透概率，重整化群方法的一個應用就是計算滲透的開始問題.當元素滲透率達到某一臨界值時，這一組元素的滲透流動就會突然地發生.一旦流動開始後，相聯結元素之間便具有分形結構.
自組織臨界現象的概念可以用來分析地震活動性.按照這個概念，一個自然界的系統處在穩定態的邊緣，一旦偏離這個狀態，系統會自然地演化回到邊緣穩定的狀態.臨界狀態不存在天然的長度標度，因而是分形的.簡單的細胞自動機模型可以說明這種自組織臨界現象.
分形理論作為非線性科學的一個分支，是研究自然界空間結構復雜性的一門學科，可從復雜的看似無序的圖案中，提取出確定性、規律性的參量.既可以反演分形結構的形成機制，又可以從看似隨機的演化過程（時間序列）中推測體系演化的結果，近年來倍受地球科學家的注意.在地質統計學，孔隙介質、儲層非均勻性及石油勘探開發，固相表面或兩相界面，岩石破裂、斷層及地震和地形、地貌學等地球科學各個領域得到了廣泛的應用.
自20世紀80年代初以來，一些專家學者注意到了地質學中的自相似現象，並試圖將分形理論運用於地學之中.以地質學中普遍存在的自相似性現象、地質體高度不規則性和分割性與層次性、地質學中重演現象的普遍性、分形幾何學在其他學科中應用實例與地質學中的研究對象的相似性、地質學中存在一些冪函數關系等為內在基礎，以地質學定量化的需要、非線性地質學的發展及線性地質學難以解決諸多難點、分形理論及現代測試和電算技術的發展為外在基礎，使分形理論與地質學相結合成為可能，它的進一步發展將充實數學地質的研究內容並推動數學地質邁上一個新台階.目前，分形理論應用於地球科學主要包括以下兩個方面的研究：
（1）對「地質存在」——地質體或某些地質現象的分形結構分析，求取相應分形維數，尋找分維值與有關物理參量之間的聯系，探討分形結構形成的機理.這方面的研究相對較多，如人們已對斷裂、斷層和褶皺等地質構造（現象）進行了分形分析，探討分維值與岩石力學性質等之間的關系；從大到海底（或大陸）地貌，小到納米級的微晶表面證實了各類粗糙表面具有分形特徵；計算了河流網路，斷裂網路，地質多孔介質和粘性指進的分維值以及脈厚與品位或品位與儲量等之間的分形關系.
（2）對「地質演化」——地質作用過程進行分形分析，求取分形維數並考察其變化趨勢，從而預測演化的結果.例如，科學家們通過對強震前小震分布的分形研究表明，強震前普遍出現降維現象，從而為地震預報提供有力理論工具.當今的研究，不僅僅局限於分維數的計算，分形模型的建立；而更著重於解釋地質學中引起自相似性特徵的原因或成因，自相似體系的生成過程及模擬，以及用分形理論解決地質學中的疑難問題與實踐問題，如地震和災害地質的預報、石油預測、岩體力學類型劃分、成礦規律與成礦預測等.地球化學數據在很大程度上反映了地質現象的結構特徵.分維是描述分形結構的定量參數，它有可能揭示出地球化學元素空間分布的內在規律.
分維與地質異常有一定的關系.我們可以對不同地段以一定的地質內容為參量對比它們分維大小的差異，以此求得結構地段的位置及范圍，從而確定地質異常；也可以對不同時期可恢復的歷史地質結構格局分別求分維，還可以確定分維背景值.分形是自然界中普遍存在的一種規律性.
總之，分形理論已經滲透到地學領域的各個角落，應用范圍涉及地球物理學、地球化學、石油地質學、構造地質學及災害地質學等.
『捌』 分形維數的計算方法有那些能具體說一下嗎
被譽為大自然的幾何學的分形（Fractal）理論，是現代數學的一個新分支，但其本質卻是一種新的世界觀和方法論。它與動力系統的混沌理論交叉結合，相輔相成。它承認世界的局部可能在一定條件下。過程中，在某一方面（形態，結構，信息，功能，時間，能量等）表現出與整體的相似性，它承認空間維數的變化既可以是離散的也可以是連續的，因而拓展了視野。 分形幾何的概念是美籍法國數學家曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德國數學家維爾斯特拉斯（K.Weierestrass）構造了處處連續但處處不可微的函數，集合論創始人康托（G.Cantor，德國數學家）構造了有許多奇異性質的三分康托集。1890年，義大利數學家皮亞諾（G.Peano）構造了填充空間的曲線。1904年，瑞典數學家科赫（H.von Koch）設計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。1915年，波蘭數學家謝爾賓斯基（W.Sierpinski）設計了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓樸學中的問題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。1910年，德國數學家豪斯道夫（F.Hausdorff）開始了奇異集合性質與量的研究，提出分數維概念。1928年布利干（G.Bouligand）將閔可夫斯基容度應用於非整數維，由此能將螺線作很好的分類。1932年龐特里亞金（L.S.Pontryagin）等引入盒維數。1934年，貝塞考維奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫測度的性質和奇異集的分數維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領域中作出了主要貢獻，從而產生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數概念。以後，這一領域的研究工作沒有引起更多人的注意，先驅們的工作只是作為分析與拓撲學教科書中的反例而流傳開來。二1960年，曼德爾布羅特在研究棉價變化的長期性態時，發現了價格在大小尺度間的對稱性。同年在研究信號的傳輸誤差時，發現誤差傳輸與無誤差傳輸在時間上按康托集排列。在對尼羅河水位和英國海岸線的數學分析中，發現類似規律。他總結自然界中很多現象從標度變換角度表現出的對稱性。他將這類集合稱作自相似集，其嚴格定義可由相似映射給出。他認為，歐氏測度不能刻劃這類集的本質，轉向維數的研究，發現維數是尺度變換下的不變數，主張用維數來刻劃這類集合。1975年，曼德爾布羅特用法文出版了分形幾何第一部著作《分開：形狀、機遇和維數》。1977年該書再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德爾布羅特關於分形幾何的主要思想，它將分形定義為豪斯道夫維數嚴格大於其拓樸維數的集合，總結了根據自相似性計算實驗維數的方法，由於相似維數只對嚴格自相似這一小類集有意義，豪斯道夫維數雖然廣泛，但在很多情形下難以用計算方法求得，因此分形幾何的應用受到局限。1982年，曼德爾布羅特的新著《自然界的分形幾何》出版，將分形定義為局部以某種方式與整體相似的集，重新討論盒維數，它比豪斯道夫維數容易計算，但是稠密可列集盒維數與集所在空間維數相等。為避免這一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充維數，1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普羅克西婭（I.Procaccia）提出根據觀測記錄的時間數據列直接計算動力系統吸引子維數的演算法。1985年，曼德爾布羅特提出並研究自然界中廣泛存在的自仿射集，它包括自相似集並可通過仿射映射嚴格定義。1982年德金（F.M.Dekking）研究遞歸集，這類分形集由迭代過程和嵌入方法生成，范圍更廣泛，但維數研究非常困難。德金獲得維數上界。1989年，鍾紅柳等人解決了德金猜想，確定了一大類遞歸集的維數。隨著分形理論的發展和維數計算方法的逐步提出與改進，1982年以後，分形理論逐漸在很多領域得到應用並越來越廣泛。建立簡便盛行的維數計算方法，以滿足應用發展的需要，還是一項艱巨的任務。 自然界中的分形，與概率統計、隨機過程關系密切。確定性的古典分形集加入隨機性，就會產生出隨機康托集、隨機科契曲線等各種隨機分形。1968年，曼德爾布羅特研究布朗運動這一隨機過程時，將其推廣到與分形有關的分數布朗運動。1974年他又提出了分形滲流模型。1988年，柴葉斯（j.T.Chayes）給出了詳細的數學分析。1984年，扎樂（U.Zahle）通過隨機刪除而得到十分有趣的分形構造，隨機分形能更真實地描述和模擬自然現象。三動力系統中的分形集是近年分形幾何中最活躍和引人入勝的一個研究領域。動力系統的奇異吸引子通常都是分形集，它們產生於非線性函數的迭代和非線性微分方程中。1963年，氣象學家洛倫茲（E.N.Lorenz）在研究流體的對流運動時，發現了以他的名字命名的第一個奇異吸引子，它是一個典型的分形集。1976年，法國天文學家伊儂（M.Henon）考慮標准二次映射迭代系統時獲得伊儂吸引子。它具有某種自相似性和分形性質。1986年勞威爾（H.A.Lauwerier）將斯梅爾的馬蹄映射變形成勞威爾映射，其迭代下不穩定流形的極限集成為典型的奇異吸引子，它與水平線的截面為康托集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等構造了一個二維迭代函數系統，其吸附界是維爾斯特拉斯函數，並得到盒維數。1985年，邁克多納（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三種類型：（！）局部不連通的分形集；（2）局部連通的分形擬圓周；（3）既不局部連能又不是擬圓周。前兩者具有擬自相似性。 動力系統中另一類分形集來源於復平面上解析映射的迭代。朱利亞（G.Julia）和法圖（P.Fatou）於1918-1919年間開創這一研究。他們發現，解析映射的迭代把復平面劃分成兩部分，一部分為法圖集，另一部分為朱利亞集（J集）。他們在處理這一問題時還沒有計算機，完全依賴於他們自身固有的想像力，因此他們的智力成就受到局限。隨後50年間，這方面的研究沒有得到什麼進展。隨著可用機算機來做實驗，這一研究課題才又獲得生機。1980年，曼德爾布羅特用計算機繪出用他名字命名的曼德爾布羅特集（M集）的第一張圖來。1982道迪（A.Douady）構造了含參二次復映射fc ，其朱利亞集J（fc）隨參數C的變化呈現各種各樣的分形圖象，著名的有道迪免子，聖馬科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集與映射系數的關系，解新局面了解析映射擊集豪斯道夫維數的計算問題。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫維數的數值解法。1983年，韋當（M.Widom）進一步推廣了部分結果 。法圖1926年就就開始整函數迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）證明指數映射的J集為復平面，解決了法圖提出的問題，引起研究者極大興趣。發現超越整函數的J集與有理映射J的性質差異，1984年德萬尼（R.L.Devanney）證明指數映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或復平面而J（fc）是康托塵或連通集。 復平面上使J（fc）成為連通集的點C組成M集即曼德爾布羅特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）認為，M集的性質過去一直是並且將來繼續是數學研究的一個巨大難題。通過將數學理論與計算機圖形學實驗加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在這方面進行的基礎性研究工作，在解決這一難題方面已取得重大進展，使人們加深了對M集的了解。道迪和扈巴德1982年證明M集是連通的和單連通的，人們猜測M集是局部連通的，目前每一張計算機圖形都證實了這一猜測，但至今還沒有人能給予證明。M是否為弧連通，目前尚不清楚。M集邊界的維數也是值得研究的問題之一。 M集除了將J集分成連通與非連通的兩類之外，還起著無窮個J集的圖解目錄表作用，即把M集C點周圍的圖形放大就是與C點有關的J集的組成部分。但這一發現的數學密性至今仍未確定，譚磊（Tan Lei）1985年證明了在每一個密休威茨點鄰近M集與相關的J集之間存在著相似性。尤金斯等在M集的靜電位研究中獲得與自然形貌相似的分形圖象。目前包括尤金斯等在內的很多研究人員都致力於藉助計算機活動錄象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得進展。1990年德萬尼通過數值實驗觀察到M集的復雜圖形由許多不同周期的周期軌道的穩定區域共同構成。1991年黃永念運用他提出的代數分析法證明了這一事實，研究了M集及其廣義情況周期軌道整體解析特性。 巴斯萊（B.M.Barnsley）和德門科（S.Demko）1985年引入迭代函數系統，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函數的吸引集，用其它方法產生的分形集也可用迭代函數系逼近。1988年，勞威爾通過數值研究發現畢達哥拉斯樹花是一迭代函數系的J集。1985年巴斯萊等研究含參數的函數系迭代動力系統，得到M集D並D與M在連通性上的差異。在一線性映射系迭代下，可以產生著名的分形曲線——雙生龍曲線。1986年水谷（M.Mitzutani）等對其動力系統進行了研究。 一般動力系統中的分形集，其豪斯道夫維數dH難以通過理論方法或計算方法求得。對於有迭式構造的分形集，貝德浮德（T.Bedford）等在1986年已給出卓有成效的演算法，但對一般非線性映射迭代動力系統產生的分形集，這些結果都難以應用，其豪斯道夫維數dH的結論與演算法實際上沒有。卡普蘭（j.L.Kaplan）和約克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫維數dL並猜測dL=dH。1981年勒拉皮爾證明dH≤dL。楊（L.S.Young）1982年證明二維情況下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年給出例子說明高維情形卡普蘭-約克猜測不成立。這一猜測力圖從動力學特徵推斷幾何結構，其反問題是由吸引子維數推斷混沌力學，這是值得研究的問題。但目前工作甚少且主要限於計算機研究。此外，含參動力系統在混沌臨界態或突變處的分形集維數也有待進一步研究。 多重分形（multifractals）是與動力系統奇異吸引子有關的另一類重要分形集，其概念首先由曼德布羅特和倫依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定義了多重分形廣義維數。1988年博爾（T.Bohr）等人將拓撲熵引入多重分形的動力學描述與熱力學類比。1988年，阿內多（A.Arneodo）等人將子波變換用於多重分形研究。費德（J.Feder）、特爾（T.Tel）等人進行了多重分形子集及標度指數的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆問題，提出廣義配分函數，給出廣義超越維數，對過去的維數進行了修正。李（J.Lee）等發現了多重分形熱力學形式上的相變。1990年，伯克（C.Beck）得到廣義維數的上下界和極限並研究了多重分形的均勻性量度。曼德布羅特研究了隨機多重分形及負分維。1991年科維克（Z.Kov.acs）等引入雙變數迭代系統，最大特徵值和吉布斯勢導出維數、熵、李雅普洛夫指數，提供了對多重分形相變分類的一般方案。對於多重分形相變分類的一般方案。對於多重分形目前雖已提出不少處理方法，但從數學的觀點上看，還不夠嚴格，部分問題的數學處理難度也較大。四分形理論真正發展起來才十餘年，並且方興未艾，很多方面的理論還有待進一步研究。值得注意的是，近年分形理論的應用發展遠遠超過了理論的發展，並且給分形的數學理論提出了更新更高的要求。各種分形維數計算方法和實驗方法的建立、改進和完善，使之理論簡便，可操作性強，是喁喁分形的科學家們普遍關注的問題。而在理論研究上，維數的理論計算、估計、分形重構（即求一動力系統，使其吸引集為給定分形集）、J集和M集及其推廣形式的性質、動力學特徵及維數研究將會成為數學工作者們十分活躍的研究領域。多重分形理論的完善、嚴格以及如何用這些理論來解決實際問題可能會引起科學家們廣泛的興趣，而動力學特徵、相變和子波變換可能會成為其中的幾個熱點。 在哲學方面，人們的興趣在於自相似性的普適性，M集和J集表現出的簡單性與復雜性，復數與實數的統一性，多重分形相變與突變論的關系，自組織臨界（SOC）現象的刻畫以及分形體系內部的各種矛盾的轉化等。可以預言，一場關於分形科學哲學問題的討論即將在國內展開。
『玖』 隨機建模的方法和步驟［4］
隨機建模（Stochastic Modeling）方法承認地質參數的分布有一定的隨機性，而人們對它的認識總會存在一些不確定的因素，因此建立地質模型時考慮了這些隨機性引起的多種可能出現的實際情況，供地質人員選擇。
隨機建模方法認為，在現有技術情況下，對地下儲層的認識存在一定的不確定性，一是已知資料控制點有限，以300m井距井網為例，井孔提示的儲層體積所佔整個儲層體積，以百萬至千萬分之一數量級計，絕大部分儲層性質是依靠這些少數已知點去推測的；二是描述這些控制點儲層性質的技術本身還存在一定的誤差，如測井解釋滲透率，經常可達數倍的誤差。隨機建模方法同時又認為，作為地質體的儲層，其各項屬性的非均質分布，由於其有一定的地質成因，應存在一定的地質統計特徵，用這一地質統計特徵去表徵儲層非均質性的總體面貌，而不追求每一個預測點的確定的數值，仍然在一定時間、一定條件下可以為油氣田開發提供合理的地質模型，保證流體流動模擬的可信和開發決策的正確。
8.1.3.1 隨機建模的類別
儲層隨機建模通常又分為條件模擬和非條件模擬。其根本區別在於條件模擬較非條件模擬不僅要求模擬產生的儲層隨機圖像（包含儲層分布和物性等方面信息的圖像）符合實際資料所觀測到的儲層屬性空間分布的相關結構（地質統計特徵），而且要求在井位處（或資料點處）的模擬結果與實際資料一致。通常講的隨機模擬一般指條件模擬。隨機模擬方法分為以下兩類：
1）離散性模擬方法：離散性模擬主要建立儲層岩相的分布模型，用來描述離散性的地質特徵，包括確定儲層、隔層、砂體（儲滲體）的空間分布邊界和空間幾何形態等。實際上就是實現氣藏描述中的儲層分布預測。所採用的模擬方法包括：示點性過程模擬、馬爾可夫-貝葉斯指示模擬、序貫指示模擬、鑲嵌過程模擬、截斷高斯模擬等方法；對於非條件模擬，則可採用布爾模擬。
2）連續性模擬方法：連續性模擬主要建立岩相邊界控制下的儲層參數（孔隙度、滲透率、含水飽和度、泥質含量、碳酸鹽含量等）的分布模型，即油氣藏描述中的儲層參數預測。所採用的模擬方法包括：退火模擬、序貫指示模擬、分形隨機函數法、高斯隨機函數法以及馬爾可夫隨機域法等。
對於非條件模擬，則可採用轉帶法。
8.1.3.2 儲層隨機建模的基本步驟
儲層建模工作的實施主要包括以下三個基本步驟。
（1）建立儲層原型模型
建立儲層原型模型是隨機建模的基礎，所謂原型模型就是儲層的實體地質模型，任何油藏（儲層）描述方法都是只由零散信息對儲層實體所進行的一種推斷，這種推斷可以是確定性的（如地震儲層橫向預測），也可以是不確定性的（如統計推斷）。在不了解地質實體的前提下，任何一次研究結果，只能看作一次對地質實體的隨機抽樣，抽樣結果的准確性依賴於統計的概率把握程度，這種把握程度只能來自於原型模型的建立。
儲層原型模型的建立就是為了構築一個與實際儲層盡可能接近的儲層信息標准答案庫，從可見的實體模型描述入手，來建立各種地質知識庫（這其中包括了各種儲層的邊界和儲層參數的空間分布），建立相應的先驗概率知識，如參數分布的范圍、均值、方差、分布函數等。只有這樣，儲層隨機建模才有依據。
原型模型的建立方法較多，目前主要採用的有：
1）物理模擬——以水槽模擬為主要代表；
2）野外露頭精細描述——國內外已廣泛開展；
3）現代沉積研究——在沉積學領域已有大量實例，是構築沉積學理論的重要基礎；
4）密井網精細對比與描述——主要在老開發區進行；
5）地震資料的確定性建模方法——主要依靠地震資料空間大信息量的優勢，依靠資料處理，確定儲層分布的宏觀模型，重點是砂體的分布，同時也能對儲層孔隙度、滲透率參數進行趨勢性的估計。
（2）建立儲層的隨機模型
取得了儲層原型模型以後，就可以建立儲層的隨機模型，它是以反映儲層各項特徵的參數統計為手段，建立相應的概率模型，如儲層厚度、孔隙度、滲透率、含油飽和度等參數的分布規律和空間結構。對參數分布規律的認識主要以傳統概率統計為基礎，確定參數分布的大小范圍、均值、方差、分布函數類型等，進而對空間結構進行分析（變差函數的計算）。
通過對儲層特徵建立隨機模型，可以把各種地質認識（定性描述）和觀測數據有機地結合起來，並可以反映由於信息缺乏而引起的不確定性。在已經建立的隨機模型的基礎上，再進行隨機模擬，產生出反映儲層非均質性的一系列等概率實現。每個實現就是一種可能的儲層參數的空間分布，它們之間的差異反映了隨機模型中所包含的不確定性，也就是我們常常談到的研究中的多解性問題。
（3）儲層的隨機模擬
建立了儲層隨機模型後，就可以進行儲層的隨機模擬，隨機模擬分為條件模擬和非條件模擬兩種。非條件模擬只是要求再現地質特徵的空間分布規律及相關性，而條件模擬不僅要求再現地質特徵的空間分布和相關性，而且還要求在抽樣位置上與實測數據一致或在指定位置上具有指定的特性。
對於不同的儲層屬性，具有不同的隨機模型，應採用不同的模擬方法。由於大型計算機的出現，使細網格和高維空間的模擬得以實現，在實際應用中，尋求一種快速有效的模擬演算法成為眾多的研究者所探求的目標。
8.1.3.3 儲層隨機建模的基本流程
儲層隨機建模一般分為兩個階段進行，即先採用離散型模擬方法，建立儲層的骨架模型；然後在儲層骨架模型邊界的控制下，應用針對連續性變數（如儲層物性）的模擬方法建立儲層參數模型。這就是目前大多數研究者使用的兩階段建模的基本流程。
陳恭洋［4］根據兩階段建模的思路，提出了一個基本的隨機建模流程（圖8.1），該流程圖中包括了9個方面的研究內容。
圖8.1 儲層隨機建模總體設計流程框圖［4］
1）地層模型：以克里格插值技術為基本手段，主要研究儲層頂、底界面的空間展布特徵，並通過地質統計對比確定小斷層帶的空間分布。大的斷層可由地震資料解釋予以確定。該項研究主要提供後續儲層和油氣藏模擬的大的邊界信息。
2）沉積相分析：包括大相和微相分析兩部分研究內容，並以後者為研究重點。大相分析以區域沉積背景知識為指南，結合地震相的分析，明確研究工區較大范圍內的沉積體系及空間展布特徵。最後確定出油氣藏范圍內儲層所處的相帶沉積部位，為微相研究奠定堅實的基礎。
微相分析重點研究沉積成因單元的結構要素及其組合型式以及它們的空間展布規律，為儲層隨機建模提供必要的地質先驗知識，主要依據沉積學的研究手段進行。
3）高解析度層序地層分析：主要應用於油氣藏規模的儲層對比技術，依靠岩心和測井資料，進行開發階段的儲層表徵中儲層的精細對比。因為儲層岩性、幾何形態、連續性及岩石物理特徵等是在沉積物堆積過程中產生的，精確的地層對比可以在四維空間中對這些特徵有更清楚的認識，高分辨地層對比是識別非均質性的有效方法。另外，具時間意義的地層界面通常與流體流動單元的岩石物理面相一致，可通過精細地層對比，劃分流動單元。隨著時間解析度的提高，對地層形態和規模、相的位置和岩石物理特徵的預測也就更加精確。與沉積相的分析相結合，是目前油田覆蓋區建立儲層原型地質模型最有效的方法。
4）儲層岩相分布的離散型隨機模擬：這是儲層隨機建模的核心內容之一，一般作為儲層隨機建模的第一步，為儲層參數空間分布的連續性模擬提供邊界控制信息。序貫指示模擬（SISIM）和示性點過程模擬（MPPS）被認為是兩種有效的研究方法。序貫指示模擬以指示理論為基礎，將各種沉積微相帶視為空間分布的離散性隨機變數，進行地質統計學的條件模擬，其缺點是難以描述儲層的形態特徵。而示性點過程模擬是一種面向對象的方法，十分符合沉積學的思想和推理過程，將沉積學研究所認定的儲層砂體幾何形態、位置、大小、連通方式等儲層參數作為服從一定分布的離散型隨機變數，建立相應的隨機模型進行隨機模擬，其缺點是難以實現條件模擬。將兩者有機地結合起來可能是一種好的途徑。
5）測井和地震資料處理：這方面的技術已在現代油氣藏描述中被大量採用。更重要的是補充建模時僅依靠井點信息的不足，使儲層建模不僅在油氣藏開發階段發揮重大作用，而且在勘探的各個時期也能充分發揮作用，提供新的儲層預測方法。
6）分形和地質統計學條件模擬：這是解決儲層參數空間分布的關鍵性模擬方法。地質統計學模型可以很好地刻畫儲層參數分布的空間結構和變異性。而分形方法則能精確地表徵儲層的非均質性，並能克服由克里金方法所帶來的光滑效應。兩者的結合已被大量的研究實例證明是一種有效的儲層預測途徑。
7）網格粗化：儲層建模階段的細網格模擬可以盡可能精細地提示儲層的非均質特徵。但遺憾的是，在油藏動態模擬器中，由於受到目前計算能力的限制，難以接受這種細網格的參數輸入。因此，必須進行網格的粗化，粗化的准則一般需要考慮到儲層孔隙容積和儲層的滲流能力（即孔隙度和滲透率），其中尤以儲層對流體傳導能力（滲透率）的近似最為關鍵。
8）油氣藏數值模擬動態擬合與靜態資料約束決策：這是對前述儲層隨機建模所產生的多幅等概率實現的圖像進行優選決策的過程。研究的重點並不在於動態模擬，因此無需考慮復雜條件下的數值模擬問題。主要是對油氣藏壓力、產油氣量和含水率三項參數進行歷史擬合，並結合靜態地質資料的各項條件約束（包括儲層參數的統計規律和地質認識等），選取一個最符合動態和靜態條件的隨機圖像作為所建立的儲層地質模型。這一模型是以各種參數場的形式所表示的。
9）三維可視化：即將前面所建立的反映儲層地質模型的各種參數場通過計算機進行三維成像或制圖。目前，三維可視化的研究與設計已經成為計算機成像領域中的一項熱門課題，它使所取得的成果大大地增強了油氣藏的研究與管理的可操作性和直觀性。
綜上所述，儲層建模實際上是對油田各類數據資料通過計算機技術進行有效的綜合。因此，從地質角度上講，要形成一套比較先進而有效的建模方法，更大程度上還是要依賴於先進的地質、地球物理和分析測試資料處理技術來獲取可靠的輸入參數。
8.1.3.4 儲層隨機建模的軟體系統
在隨機模型方法和理論發展的同時，模擬軟體也得到了一定的發展，美國斯坦福大學、墨西哥礦業技術學院、荷蘭皇家/殼牌公司、雪飛龍公司、GeoQuest公司等都開發和研製了自己的地質統計學和儲層模擬軟體。加拿大GeoStat系統公司和McGill大學聯合推出了智能模擬或專家系統軟體GeoStat，法國石油研究院和地質統計中心聯合開發的HERESIM軟體包也取得了較大的影響。這些軟體的主要功能如下：
1）以轉帶法和指示克里格法相結合，用於儲層的橫向和垂向對比，其數學基礎是Bessel函數和指示相關函數（美國墨西哥礦業技術學院開發TUBA軟體）；
2）用於SGI圖形工作站的地質模型軟體，其特色是可以採取任意切片的方法來展現儲層孔隙度、滲透率和砂體在連續斷面或切片上的分布特徵，其數理基礎是隨機模擬（美國Strata-Model公司研製SGM軟體）；
3）以條件概率法為基礎設計，主要用於模擬砂岩油藏中的三維儲層的連通性和構形（荷蘭皇家/殼牌集團公司推出MONARCH軟體）；
4）以BP神經網路技術為主、依據地質統計學和地震特徵進行隨機建模的軟體，其關鍵方法是分析並擬合儲層物理特性和岩石屬性的直方圖和變差函數分布，求出它的特徵值，以建立數學模型（荷蘭Jason公司推出Stat Mod軟體）；
5）將地質統計和智能模擬技術相結合，不僅包括各種數值運算、多元統計，還包含可引導、承擔、評價和推斷地質統計運行的知識和專家經驗。因此，該軟體具有兩大特色：一是儲層地質特性模擬及立體化定量顯示；二是具有地質解釋中的專家知識和經驗（加拿大GeoStat系統公司和McGill大學聯合推出GeoStat系統）。
上述軟體都在各自的使用中發揮了很大的效益，也取得了不少有意義的成果。盡管每套軟體各有側重，但考察它們的共同之處，主要體現在三個方面：①強調儲層描述的高度定量化，體現了油氣儲層研究已從定性發展到了定量的水平；②均從儲層骨架分布和儲層參數特徵兩個方面進行建模，把握了儲層特徵的關鍵要素；③體現了多學科、多信息的綜合研究趨勢。因此，從儲層建模軟體的發展，也顯示出了儲層隨機建模在當前油氣勘探開發研究中的重要意義和良好前景。
『拾』 什麼是分形數學
普通幾何學研究的對象，一般都具有整數的維數。比如，零維的點、一維的線、二維的面、三維的立體、乃至四維的時空。在20世紀70年代末80年代初，產生了新興的分形幾何學（fractal geometry），空間具有不一定是整數的維，而存在一個分數維數。這是幾何學的新突破，引起了數學家和自然科學者的極大關注。根據物理學家李蔭遠院士的建議，大陸將fractal一開始就定譯為「分形」，而台灣學者一般將fractal譯作「碎形」。
目錄
分形幾何的產生
兩名數學家的貢獻
芒德勃羅和電子計算機對分形幾何的影響
分形幾何的內容
關於維數
維數和測量的關系
分形幾何學的應用
分形幾何的意義
編輯本段分形幾何的產生
客觀自然界中許多事物，具有自相似的「層次」結構，在理想情況下，甚至具有無窮層次。適當的放大或縮小幾何尺寸，整個結構並不改變。不少復雜的物理現象，背後就是反映著這類層次結構的分形幾何學。 客觀事物有它自己的特徵長度，要用恰當的尺度去測量。用尺來測量萬里長城，嫌太短；用尺來測量大腸桿菌，又嫌太長。從而產生了特徵長度。還有的事物沒有特徵尺 分形幾何
度，就必須同時考慮從小到大的許許多多尺度（或者叫標度），這叫做「無標度性」的問題。 如物理學中的湍流，湍流是自然界中普遍現象，小至靜室中繚繞的輕煙，巨至木星大氣中的渦流，都是十分紊亂的流體運動。流體宏觀運動的能量，經過大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦，最後轉化成分子尺度上的熱運動，同時涉及大量不同尺度上的運動狀態，就要藉助「無標度性」解決問題，湍流中高漩渦區域，就需要用分形幾何學。
編輯本段兩名數學家的貢獻
在二十世紀七十年代，法國數學家芒德勃羅(B.B.Mandelbrot)在他的著作中探討了「英國的海岸線有多長」這個問題。這依賴於測量時所使用的尺度。 如果用公里作測量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會被忽略；改用米來做單位，測得的總長度會增加，但是一些厘米量級以下的就不能反映出來。由於漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規則性。海岸線在大小兩個方向都有自然的限制，取不列顛島外緣上幾個突出的點，用直線把它們連起來，得到海岸線長度的一種下界。使用比這更長的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是沒有意義的。在這兩個自然限度之間，存在著可以變化許多個數量級的「無標度」區，長度不是海岸線的定量特徵，就要用分維。 數學家柯赫(Koch)從一個正方形的「島」出發，始終保持面積不變，把它的「海岸線」變成無限曲線，其長度也不斷增加，並趨向於無窮大。以後可以看到，分維才是「Koch島」海岸線的確切特徵量，即海岸線的分維均介於1到2之間。 這些自然現象，特別是物理現象和分形有著密切的關系，銀河系中的若斷若續的星體分布，就具有分維的吸引子。多孔介質中的流體運動和它產生的滲流模型，都是分形的研究對象。這些促使數學家進一步的研究，從而產生了分形幾何學。
編輯本段芒德勃羅和電子計算機對分形幾何的影響
電子計算機圖形顯示協助了人們推開分形幾何的大門。這座具有無窮層次結構的宏偉建築，每一個角落裡都存在無限嵌套的迷宮和迴廊，促使數學家和科學家深入研究。 法國數學家芒德勃羅這位計算機和數學兼通的人物，對分形幾何產生了重大的推動作用。他在1975、1977和1982年先後用法文和英文出版了三本書，特別是《分形：形、機遇和維數》以及《自然界中的分形幾何學(Fractal Geometry of Nature)》，開創了新的數學分支：分形幾何學。「分形」(fractal)這個詞正是芒德勃羅在1975年造出來的，詞根是拉丁文的fractus，是「破碎」的意思。
編輯本段分形幾何的內容
分形幾何學的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結構，局部與整體在形態、功能、信息、時間、空間等方面具有統計意義上的相似性，稱為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結構，適當的放大或縮小幾何尺寸，整個結構不變。
編輯本段關於維數
維數是幾何對象的一個重要特徵量，它是幾何對象中一個點的位置所需的獨立坐標數目。在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲 分形幾何作品
線看成一維。也可以稍加推廣，認為點是零維的，還可以引入高維空間，對於更抽象或更復雜的對象，只要每個局部可以和歐氏空間對應，也容易確定維數。但通常人們習慣於整數的維數。 分形理論認為維數也可以是分數，這類維數是物理學家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的「非規則」程度，1919年，數學家從測度的角度引入了維數概念，將維數從整數擴大到分數，從而突破了一般拓撲集維數為整數的界限。
編輯本段維數和測量的關系
維數和測量有著密切的關系，下面我們舉例說明一下分維的概念。 當我們畫一根直線，如果我們用 0維的點來量它，其結果為無窮大，因為直線中包含無窮多個點；如果我們用一塊平面來量它，其結果是 0，因為直線中不包含平面。那麼，用怎樣的尺度來量它才會得到有限值哪？看來只有用與其同維數的小線段來量它才會得到有限值，而這里直線的維數為 1(大於0、小於2)。 對於我們上面提到的Koch曲線，其整體是一條無限長的線折疊而成，顯然，用小直線段量，其結果是無窮大，而用平面量，其結果是 0(此曲線中不包含平面)，那麼只有找一個與「寇赫島」曲線維數相同的尺子量它才會得到有限值，而這個維數顯然大於 1、小於 2，那麼只能是小數了，所以存在分維。經過計算「寇赫島」曲線的豪斯多夫維數(分維數)為d=log(4)/log(3)=1.26185950714... 定義 設分成的最小的閉集(區間，圓面，球體)佔全集的1/δ，充滿全集的最小閉集的個數為N，若極限D=(δ→0)ln(N)/ln(1/δ)存在，則稱D為此集合的分形維數。
編輯本段分形幾何學的應用
分形幾何學已在自然界與物理學中得到了應用。如在顯微鏡下觀察落入溶液中的一粒花粉，會看見它不間斷地作無規則運動(布朗運動)，這是花粉在大量液體分子的無規則碰撞(每秒鍾多達十億億次)下表現的平均行為。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要有足夠的解析度，就可以發現原以為是直線段的部分，其實由大量更小尺度的折線連成。這是一種處處連續，但又處處無導數的曲線。這種布朗粒子軌跡的分維是 2，大大高於它的拓撲維數 1. 在某些電化學反應中，電極附近沉積的固態物質，以不規則的樹枝形狀向外增長。受到污染的一些流水中，粘在藻類植物上的顆粒和膠狀物，不斷因新的沉積而生長，成為帶有許多須須毛毛的枝條狀，就可以用分維。 自然界中更大的尺度上也存在分形對象。一枝粗干可以分出不規則的枝杈，每個枝杈繼續分為細杈……，至少有十幾次分支的層次，可以用分形幾何學去測量。 有人研究了某些雲彩邊界的幾何性質，發現存在從 1公里到1000公里的無標度區。小於 1公里的雲朵，更受地形概貌影響，大於1000公里時，地球曲率開始起作用。大小兩端都受到一定特徵尺度的限制，中間有三個數量級的無標度區，這已經足夠了。分形存在於這中間區域。 近幾年在流體力學不穩定性、光學雙穩定器件、化學震盪反映等試驗中，都實際測得了混沌吸引子，並從實驗數據中計算出它們的分維。學會從實驗數據測算分維是最近的一大進展。分形幾何學在物理學、生物學上的應用也正在成為有充實內容的研究領域。
編輯本段分形幾何的意義
上世紀80年代初開始的「分形熱」經久不息。分形作為一種新的概念和方法，正在許多領域開展應用探索。美國物理學大師約翰·惠勒說過：今後誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學上的文化人。由此可見分形的重要性。 中國著名學者周海中教授認為：分形幾何不僅展示了數學之美，也揭示了世界的本質，還改變了人們理解自然奧秘的方式；可以說分形幾何是真正描述大自然的幾何學，對它的研究也極大地拓展了人類的認知疆域。 分形幾何學作為當今世界十分風靡和活躍的新理論、新學科，它的出現，使人們重新審視這個世界：世界是非線性的，分形無處不在。分形幾何學不僅讓人們感悟到科學與藝術的融合，數學與藝術審美的統一，而且還有其深刻的科學方法論意義。
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