遺傳演算法求根

⑴ 人工智慧學什麼

作為一名計算機專業的教育工作者，我來回答一下這個問題。

首先，人工智慧專業屬於計算機大類專業之一，雖然是新興專業，但是由於當前人工智慧領域的發展前景比較廣闊，同時一系列人工智慧技術也進入到了落地應用的階段，所以當前人工智慧專業也是熱點專業之一。

人工智慧專業有三個特點，其一是多學科交叉，涉及到計算機、數學、控制學、經濟學、神經學、語言學等諸多學科，因此整體的知識量還是比較大的，其二是學習難度較大，人工智慧本身的知識體系尚處在完善當中，很多領域還有待突破，其三是實踐場景要求高。

基於這三個特點，要想在本科階段有較好的學習效果，要有針對性的解決方案。針對於多學科交叉的情況，在大一期間一定要多做加法，尤其要重視編程語言的學習，基於編程語言來打開計算機技術大門，進而學習機器學習，而機器學習則被稱為是打開人工智慧技術大門的鑰匙。

其三是要重視為自己營造一個較好的交流和實踐場景，這對於學習效果有較大的影響，建議在大一、大二期間積極參加人工智慧相關的課題組。在選擇課題組的時候，要考慮到自己的興趣愛好、課題周期、實踐資源等因素，從這個角度來看，學校的科研資源對於人工智慧專業的同學有較大的影響。

如果有互聯網、大數據、人工智慧等方面的問題，或者是考研方面的問題，都可以私信我！

很榮幸曾經參加過一次江蘇省人工智慧論壇，論壇上認真聆聽了行業大佬周志華教授的報告，受益匪淺，首先呢，如果你是在校大學生，想要以後從事人工智慧專業相關工作，我這里給你分享下 南京大學人工智慧學院院長周志華教授 曾經在論壇上分享的南京大學人工智慧專業本科生教育培養大綱的相關課程。

首先是基礎數學部分：

數學分析、高等數學、高等代數、概率論與數理統計、最優化方法、數理邏輯。

其次是學科基礎課程：

人工智慧導引、數據結構與演算法分析、程序設計基礎、人工智慧程序設計、機器學習導論、知識表示與處理、模式識別與計算機視覺、自然語言處理、數字系統設計基礎、操作系統。

專業方向課程：

泛函分析、數字信號處理、高級機器學習、計算方法、控制理論方法、機器人學導論、多智能體系統、分布式與並行計算。

專業選修課課程：

數學建模、矩陣計算、隨機過程、組合數學。博弈論及其應用、時間序列分析、編譯原理、隨機演算法、資料庫概論。

這是南京大學人工智慧學院本科生四年的課程安排，看起來課程非常多，但這是一個培養體系，現在國內只有南京大學針對人工智慧專業開設了如此系統的培養方案，專業涉及人工智慧的各個領域方向。學生可以根據自己的興趣愛好，選擇想要學習的領域方向。

如果你已經畢業，想要轉行從事人工智慧行業，那麼下面這套課程可能比較適合你：

1.莫煩python教程（網路可搜）： 莫煩python有很多專欄，可以學習到python基礎、以及人工智慧相關的軟體框架教程，包括相關人工智慧相關的一些實戰小項目。

2.吳恩達機器學習（網易雲課堂）： 人工智慧機器學習理論部分，非常適合零基礎的小白學習

3.吳恩達卷積神經網路（網易雲課堂）： 人工智慧深度學習理論部分，非常適合零基礎的小白學習

4.李飛飛CS231n（網易雲課堂）： 人工智慧深度學習和機器學習理論，適合有一定基礎的學習者。

5.吳恩達cs229（blibli）： 人工智慧深度學習和機器學習理論，適合有一定基礎的學習者。

這些基礎課程學會了，可能就算是跨入了半個門檻，當然面試的時候還欠缺實戰經驗，於是你可以去kaggle或者天池參加一些比賽，有了這些比賽經驗，簡歷上也算是多了一塊實戰經驗，增加了你的面試成功率。最後，不要參加什麼培訓機構區培訓，既花錢又學不到什麼東西，最後畢業還會給你簡歷造假，得不償失，我給你推薦的這些課程絕對比市面上99.99%的培訓機構課程靠譜！

接下來文章會側重在以下幾方面

1、零基礎如何進行人工智慧的自學（以找工作為目的），包括路徑規劃，怎麼學等等。

2、我的個人感悟，關於轉行、工作、創業、希望能給大家一些啟發。

3、好的學習資源分享

先說一下個人背景，一本，經濟學畢業，上學時從未學過編程。我這里指的零基礎指的是，沒有編程基礎、沒有數學基礎（數學需要一些基本的，如果沒有，後續也會幫助大家的）。

剛畢業第一年時，迷茫，不知道做什麼。

第一階段：邊工作邊自學爬蟲，失敗

畢業一年後，覺得編程可能是自己想要的，所以開始自學編程。

最開始學的是爬蟲，python語言。每天學6個小時，一周五到六天。學了4個月後，去面了五六家企業，沒有成功。原因是爬蟲的知識夠，可是計算機的基礎太薄弱。什麼演算法、計算機網路這些，統統沒學。因為我當時是完全自學，沒有人帶，導致我也不知道要學這些。第一階段，失敗，說實話，有點氣餒，那可是每天沒日沒夜的學習啊，最後卻換來一場空。可是生活還得繼續，怨天尤人有什麼用。

第二階段：邊工作邊自學人工智慧，成功

面試失敗後，考慮了要把編程基礎學一下再去面試，還是學點別的。我的決定是學人工智慧，當時對這個比較感興趣。好了，又是學了半年多，每天學6個小時，一周6天。從機器學習學到深度學習再學回機器學習。面試，成功地去公司從事機器學習深度學習方面的基礎工作。不過實力肯定沒有那些編程出身，數學、統計出身的人強，所以很多時候也是邊學邊做，打打雜。

其實我說的很簡單很輕松的樣子，但其中的艱辛只有自己是最清楚。所以我很希望通過我未來經驗學習的分享，幫助大家少走一些彎路。

第三階段：自己干

現在，已從公司辭職，自己開發網站，做社群，開網店。就是覺得，其實編程也只是我的一個工具，這個人就是比較喜歡自己做點事情，編程挺累的，哈哈哈。如果大家有什麼合作的好點子，也歡迎隨時來找我哦。

十問十答：

1、零基礎轉行學編程可以嗎？可以，要做好吃苦的准備。學習是個漫長的過程，你上班的話，能否保證一定時間的學習呢，這個是你要問自己的。我也是邊工作邊學習，不同的是，我工作很清閑，所以我基本可以在上班時間學習。如果你還在上學，恭喜你這是你最好的機會了。

2、該自學還是去培訓班？我覺得自學就夠了，培訓班真是又貴又水。這是我進過培訓班的朋友告訴我的。其實你工作之後會發現，很多東西都是要自學的。如果你連自學都沒辦法自學的話，你又怎麼能工作。而且，自學的效率會更高，當然前提是路徑不能錯。

3、轉行編程，就業率怎麼樣？說實話，如果你不是編程出身的，要轉行編程其實是比較難的，畢竟人家4年的正統學習不是白學的。但這不意味著就沒辦法。找准目標，規劃好路徑，學習最必要的知識，這樣就有機會。但是，請做好學完仍找不到工作的心理准備。

4、最理想的自學環境是怎麼樣的？清晰的學習路徑+自學+交流討論的環境+有人指導

5、人工智慧零基礎可以學嗎？可以，但是比一般轉行編程的要難，因為要自學的東西更多，要求的門檻也會更高。這個後續會著重講到。

6、學人工智慧需要數學嗎？不要因為數學而望而切步，數學是需要的，但沒有要求的高不可攀，通過必要的學習，是可以達到入門水準的。

7、以前沒接觸過編程，怎麼辦？可以學習python，這真的是一門對零基礎的人來說很友好的語言了，其他的我不懂。

8、一般轉行編程的周期要多久？按我跟我周邊朋友的經驗來看。一周5-6天，一天6小時學習時間，4-7個月，這應該是比較正常的。

9、我是怎麼堅持下來的？期間有很多次想要放棄，有的時候是真的看不懂，也沒人教，純自學，安裝個工具有什麼時候就要安裝半天，不多說，都是淚啊。你的慾望有多強烈，就能有多堅持。

10、現在學編程還來得及嗎？永遠都來得及，學編程不一定是為了好工作，它更是一個全新的世界，你會發現很多對自己有幫助的東西。就算以後你不做這個，我相信這個學習的過程也會有所收獲。

這是我之後會寫的文章的大概目錄，大家可以參考一下。

以下系列是暫定的，一篇文章可能會寫成好幾篇。這個系列不僅僅以學習為目的，目的是為了達到機器學習的工作入門標准。並不簡單，但努力就有可能。網上的教程我看了很多，路徑大部分都沒有錯。只是我覺得第一，太貴，明明網上有很多免費的更好的資源。第二，練習的量遠遠不夠達到能去找工作的標准。

目錄：

零基礎自學人工智慧系列（1）：機器學習的最佳學習路徑規劃（親身經驗）

零基礎自學人工智慧系列（2）：機器學習的知識准備（數學與python，附學習資源）

零基礎自學人工智慧系列（3）：機器學習的知識准備（數學篇詳解）

零基礎自學人工智慧系列（4）：機器學習的知識准備（python篇詳解）

零基礎自學人工智慧系列（5）：機器學習的理論學習規劃（附資源）

零基礎自學人工智慧系列（6）：深度學習的理論學習規劃（附資源）

零基礎自學人工智慧系列（7）：機器學習的實戰操作（附資源和代碼）

零基礎自學人工智慧系列（8）：深度學習的實戰操作（附資源和代碼）

零基礎自學人工智慧系列（9）：找工作篇，需加強的部分（類似數據結構與演算法）

最後，我希望我能給大家樹立一些信心。不管你現在處於什麼水平，只要肯努力，什麼都有可能的。

首先我們需要一定的數學基礎，如：高數、線性代數、概率論、統計學等等。很多人可能要問，我學習人工智慧為什麼要有數學基礎呢？二者看似毫不相干，實則不然。線性代數能讓我們了解如何將研究對象形象化，概率論能讓我們懂得如何描述統計規律，此外還有許多其他數學科目，這些數學基礎能讓我們在學習人工智慧的時候事半功倍。

1、學習並掌握一些數學知識

高等數學是基礎中的基礎，一切理工科都需要這個打底，數據挖掘、人工智慧、模式識別此類跟數據打交道的又尤其需要多元微積分運算基礎

線性代數很重要，一般來說線性模型是你最先要考慮的模型，加上很可能要處理多維數據，你需要用線性代數來簡潔清晰的描述問題，為分析求解奠定基礎

概率論、數理統計、隨機過程更是少不了，涉及數據的問題，不確定性幾乎是不可避免的，引入隨機變數順理成章，相關理論、方法、模型非常豐富。很多機器學習的演算法都是建立在概率論和統計學的基礎上的，比如貝葉斯分類器、高斯隱馬爾可夫鏈。

再就是優化理論與演算法，除非你的問題是像二元一次方程求根那樣有現成的公式，否則你將不得不面對各種看起來無解但是要解的問題，優化將是你的GPS為你指路

有以上這些知識打底，就可以開拔了，針對具體應用再補充相關的知識與理論，比如說一些我覺得有幫助的是數值計算、圖論、拓撲，更理論一點的還有實/復分析、測度論，偏工程類一點的還有信號處理、數據結構。

2、掌握經典機器學習理論和演算法

如果有時間可以為自己建立一個機器學習的知識圖譜，並爭取掌握每一個經典的機器學習理論和演算法，我簡單地總結如下：

1) 回歸演算法：常見的回歸演算法包括最小二乘法（OrdinaryLeast Square），邏輯回歸（Logistic Regression），逐步式回歸（Stepwise Regression），多元自適應回歸樣條（MultivariateAdaptive Regression Splines）以及本地散點平滑估計（Locally Estimated Scatterplot Smoothing）；

2) 基於實例的演算法：常見的演算法包括 k-Nearest Neighbor(KNN), 學習矢量量化（Learning Vector Quantization， LVQ），以及自組織映射演算法（Self-Organizing Map ， SOM）；

3) 基於正則化方法：常見的演算法包括：Ridge Regression， Least Absolute Shrinkage and Selection Operator（LASSO），以及彈性網路（Elastic Net）；

4) 決策樹學習：常見的演算法包括：分類及回歸樹（ClassificationAnd Regression Tree， CART）， ID3 (Iterative Dichotomiser 3)， C4.5， Chi-squared Automatic Interaction Detection(CHAID), Decision Stump, 隨機森林（Random Forest）， 多元自適應回歸樣條（MARS）以及梯度推進機（Gradient Boosting Machine， GBM）；

5) 基於貝葉斯方法：常見演算法包括：樸素貝葉斯演算法，平均單依賴估計（AveragedOne-Dependence Estimators， AODE），以及Bayesian Belief Network（BBN）；

6) 基於核的演算法：常見的演算法包括支持向量機（SupportVector Machine， SVM）， 徑向基函數（Radial Basis Function ，RBF)， 以及線性判別分析（Linear Discriminate Analysis ，LDA)等；

7) 聚類演算法：常見的聚類演算法包括 k-Means演算法以及期望最大化演算法（Expectation Maximization， EM）；

8) 基於關聯規則學習：常見演算法包括 Apriori演算法和Eclat演算法等；

9) 人工神經網路：重要的人工神經網路演算法包括：感知器神經網路（PerceptronNeural Network）, 反向傳遞（Back Propagation）， Hopfield網路，自組織映射（Self-OrganizingMap, SOM）。學習矢量量化（Learning Vector Quantization， LVQ）；

10) 深度學習：常見的深度學習演算法包括：受限波爾茲曼機（RestrictedBoltzmann Machine， RBN）， Deep Belief Networks（DBN），卷積網路（Convolutional Network）, 堆棧式自動編碼器（Stacked Auto-encoders）；

11) 降低維度的演算法：常見的演算法包括主成份分析（PrincipleComponent Analysis， PCA），偏最小二乘回歸（Partial Least Square Regression，PLS）， Sammon映射，多維尺度（Multi-Dimensional Scaling, MDS）, 投影追蹤（ProjectionPursuit）等；

12) 集成演算法：常見的演算法包括：Boosting， Bootstrapped Aggregation（Bagging），AdaBoost，堆疊泛化（Stacked Generalization， Blending），梯度推進機（GradientBoosting Machine, GBM），隨機森林（Random Forest）。

3、掌握一種編程工具，比如Python

一方面Python是腳本語言，簡便，拿個記事本就能寫，寫完拿控制台就能跑；另外，Python非常高效，效率比java、r、matlab高。matlab雖然包也多，但是效率是這四個裡面最低的。

4、了解行業最新動態和研究成果，比如各大牛的經典論文、博客、讀書筆記、微博微信等媒體資訊。

5、買一個GPU，找一個開源框架，自己多動手訓練深度神經網路，多動手寫寫代碼，多做一些與人工智慧相關的項目。

6、選擇自己感興趣或者工作相關的一個領域深入下去

人工智慧有很多方向，比如NLP、語音識別、計算機視覺等等，生命有限，必須得選一個方向深入的專研下去，這樣才能成為人工智慧領域的大牛，有所成就。

再回答第二個問題，人工智慧到底是不是一項技術？

根據網路給的定義，人工智慧（Artificial Intelligence），英文縮寫為AI。它是研究、開發用於模擬、延伸和擴展人的還能的理論、方法、技術及應用系統的一門新的技術科學。

網路關於人工智慧的定義詳解中說道：人工智慧是計算機的一個分支，二十世紀七十年代以來被稱為世界三大尖端技術之一（空間技術、能源技術、人工智慧）。也被認為是二十一世紀三大尖端技術（基因工程、納米科學、人工智慧）之一。這是因為近三十年來它獲得了迅速的發展，在很多學科領域都獲得了廣泛應用，並取得了豐碩的成果，人工智慧已逐步成為一個獨立的分支，無論在理論和實踐上都已自成一個系統。

綜上，從定義上講，人工智慧是一項技術。

希望能幫到你。

人工智慧需要學習的主要內容包括：數學基礎課學科基礎課，包括程序設計基礎、數據結構、人工智慧導論、計算機原理、 數字電路 、系統控制等；專業選修課，比如 神經網路 、深度學習以及認知科學、神經科學、計算金融、計算生物學、計算語言學等交叉課程。

一、人工智慧專業學什麼

1.認知與神經科學課程群

具體課程：認知心理學、神經科學基礎、人類的記憶與學習、語言與思維、計算神經工程

2.人工智慧倫理課程群

具體課程：《人工智慧、 社會 與人文》、《人工智慧哲學基礎與倫理》

3.科學和工程課程群

新一代人工智慧的發展需要腦科學、神經科學、認知心理學、信息科學等相關學科的實驗科學家和理論科學家的共同努力，尋找人工智慧的突破點，同時必須要以嚴謹的態度進行科學研究，讓人工智慧學科走在正確、 健康 的發展道路上。

4.先進機器人學課程群

具體課程：《先進機器人控制》、《認知機器人》、,《機器人規劃與學習》、《仿生機器人》

5.人工智慧平台與工具課程群

具體課程：《群體智能與自主系統》《無人駕駛技術與系統實現》《 游戲 設計與開發》《計算機圖形學》《虛擬現實與增強現實》。

6.人工智慧核心課程群

具體課程：《人工智慧的現代方法I》《問題表達與求解》、《人工智慧的現代方法II》《機器學習、自然語言處理、計算機視覺等》。

二、人工智慧專業培養目標及要求

以培養掌握人工智慧理論與工程技術的專門人才為目標，學習機器學習的理論和方法、深度學習框架、工具與實踐平台、自然語言處理技術、語音處理與識別技術、視覺智能處理技術、國際人工智慧專業領域最前沿的理論方法，培養人工智慧專業技能和素養，構建解決科研和實際工程問題的專業思維、專業方法和專業嗅覺。

探索 實踐適合中國高等人工智慧人才培養的教學內容和教學方法，培養中國人工智慧產業的應用型人才。

三、人工智慧專業簡介

人工智慧專業是中國高校人計劃設立的專業，旨在培養中國人工智慧產業的應用型人才，推動人工智慧一級學科建設。2018年4月，教育部在研究制定《高等學校引領人工智慧創新行動計劃》，並研究設立人工智慧專業，進一步完善中國高校人工智慧學科體系。2019年3月，教育部印發了《教育部關於公布2018年度普通高等學校本科專業備案和審批結果的通知》，根據通知，全國共有35所高校獲首批「人工智慧」新專業建設資格。

2020年3月3日，教育部公布2019年度普通高等學校本科專業備案和審批結果，「人工智慧」專業成為熱門。

人工智慧是一個綜合學科，其本身涉及很多方面，比如神經網路、機器識別、機器視覺、機器人等，因此，我們想要學好整個人工智慧是很不容易的。

首先我們需要一定的數學基礎，如：高數、線性代數、概率論、統計學等等。很多人可能要問，我學習人工智慧為什麼要有數學基礎呢？二者看似毫不相干，實則不然。線性代數能讓我們了解如何將研究對象形象化，概率論能讓我們懂得如何描述統計規律，此外還有許多其他數學科目，這些數學基礎能讓我們在學習人工智慧的時候事半功倍。

然後我們需要的就是對演算法的累積，比如人工神經網路、遺傳演算法等。人工智慧的本身還是通過演算法對生活中的事物進行計算模擬，最後做出相應操作的一種智能化工具，演算法在其中扮演的角色非常重要，可以說是不可或缺的一部分。

最後需要掌握和學習的就是編程語言，畢竟演算法的實現還是需要編程的，推薦學習的有Java以及Python。如果以後想往大數據方向發展，就學習Java，而Python可以說是學習人工智慧所必須要掌握的一門編程語言。當然，只掌握一門編程語言是不夠的，因為大多數機器人的模擬都是採用的混合編程模式，即採用多種編程軟體及語言組合使用，在人工智慧方面一般使用的較多的有匯編和C++，此外還有MATLAB、VC++等，總之一句話，編程是必不可少的一項技能，需要我們花費大量時間和精力去掌握。

人工智慧現在發展得越來越快速，這得益於計算機科學的飛速發展。可以預料到，在未來，我們的生活中將隨處可見人工智慧的產品，而這些產品能為我們的生活帶來很大的便利，而人工智慧行業的未來發展前景也是十分光明的。所以，選擇人工智慧行業不會錯，但正如文章開頭所說，想入行，需要我們下足功夫，全面掌握這個行業所需要的技能才行。

，首先呢，如果你是在校大學生，想要以後從事人工智慧專業相關工作，我這里給你分享下 南京大學人工智慧學院院長周志華教授 曾經在論壇上分享的南京大學人工智慧專業本科生教育培養大綱的相關課程。

首先是基礎數學部分：

人工智慧亦稱智械、機器智能，指由人製造出來的機器所表現出來的智能。通常人工智慧是指通過普通計算機程序來呈現人類智能的技術。通過醫學、神經科學、機器人學及統計學等的進步，有些預測則認為人類的無數職業也逐漸被人工智慧取代。

⑵ 安徽大學計算機科學與技術學院的研究生專業

一．概況
計算機應用技術專業現設有計算機應用技術的二級學科博士點和碩士點，其培養方式為碩士、博士、提前攻博等等。2002年獲准國家立項的計算機應用技術重點學科，2003年獲准建立計算機應用技術博士後流動站。碩士研究生學制3年，實行學分制，2005年招生規模為30人。博士研究生學制2年，實行學分制，2005年招生規模為12人。
近年來，本學科先後獲得211工程和國家重點學科經費資助，軟硬體設施得到了根本改善，在主要研究方向已形成人才高地。
二．學科研究方向介紹
主要研究方向是計算智能與知識工程，包括問題求解商空間理論及其應用、基於商空間理論的粒度計算理論及其應用、構造性機器學習理論及其應用、優化理論與方法的研究、新的層次機器學習理論和方法的研究以及復雜系統的優化技術和方法等等，獲得了一批原創性在國內外有重要影響的科研成果。
三．專業課程設置
1．學位課
英語、科學社會主義理論與實踐、自然辯證法概論、組合數學、演算法設計分析、高級資料庫系統、計算機科學數學理論、人工神經網路的理論及應用、人工智慧高級教程、高級資料庫技術等等
2．非學位課
並行計算、智能計算、計算機視覺、知識發現、專家系統及其開發環境、優化理論及方法、構造性學習理論與方法和數據倉庫及數據採集等等
四、學科導師隊伍
張鈴：男，1937年5月生，福建福清人，1961年畢業於南京大學數學天文系.同年分配至安徽工作，先後在安徽四所大學任教。1993年調至安徽大學人工智慧研究所，任所長、教授、博士生導師至今。1986年4月由講師破格晉升為正教授，1988年被授予國家有突出貢獻的中青年專家稱號，1991年獲享受國家特殊津貼待遇，先後被清華大學、浙江大學、同濟大學和中科院智能所等單位聘為客座教授。獲得榮譽稱號：改革開放以來，獲全國教育系統勞動模範等省級以上榮譽稱號八次；先後獲國家自然科學獎等省級以上學術獎勵十次；1978年獲安徽省首屆科技大會成果獎；1984年獲第六屆ICL歐洲人工智慧獎；1987年獲國家教委科學技術進步一等獎；1991年獲國家教委科學技術進步二等獎；1992年專著《問題求解理論及應用》獲全國高等學校出版社優秀學術專著特等獎；1992年專著《新一代計算技術前沿的研究》獲全國優秀科技圖書一等獎；1993年獲電子工業部科技進步一等獎；1995年獲國家自然科學三等獎；1999年獲「全國優秀科技圖書獎」暨「科技進步獎（科技著作）」一等獎；1999年獲安徽省自然科學二等獎。目前主要研究方向有：商空間粒度計算理論（這是目前國際上三大粒度計算理論之一）、智能計算、機器學習理論和方法等。
程家興：男，澳大利亞南澳大學博士，教授，現任安徽大學計算智能與信號處理教育部重點實驗室主任，博士生導師，安徽省計算機學會常務理事，澳大利亞南澳大學SCG研究所研究員。主持和參加國家自然科學基金項目，國家自然科學基金中澳特別基金項目、教育部「優秀青年教師資助計劃」項目、教育部博士點基金項目等。與澳大利亞南澳大學建立國際合作關系。研究方向：智能計算，演算法分析與設計，最優化方法。獲安徽省高校科技進步3等獎，安徽省第三屆自然科學優秀學術論文2等獎.。目前，指導博士生5名，碩士生9名。主講課程有具體數學，智能計算，優化理論與方法，組合數學以及本科生離散數學教學課程等。
張燕平：女，1962.2出生，安徽巢湖人；1981年畢業於上海電力學院熱工自動化專業； 1989年作為合肥工業大學微機應用研究所研究生獲工學碩士；2000年9月至2003年7月在職讀博士研究生，並獲得安徽大學計算機應用專業工學博士學位。2000年6月任安徽大學計算機系副教授；2003年擔任計算機應用專業碩士研究生導師； 2004年11月任教授。主持完成安徽省教育廳自然科學研究項目1項，參加國家自然科學基金項目多項。2004年獲安徽省科技進步二等獎。已在《計算機學報》、《計算機研究與發展》等國家重點期刊和國家級期刊發表學術論文18篇。
汪繼文：男，1958年9月生，安徽宿松人。1982年1月本科畢業於安慶師范學院數學系，獲理學學士學位。1989年7月碩士畢業於安徽大學數學系，獲理學碩士學位。2001年7月博士畢業於中國科學技術大學數學系，獲理學博士學位。2001.12 進入中國科技大學動力工程及工程熱物理博士後流動站火災科學國家重點實驗室做博士後。2004.8出站，獲博士後證書。1982.1-1986.9在安慶師范學院數學系任教。1989年7月碩士畢業後留校到安徽大學計算機學院（原為計算機系）任教到至今。2001年6月擔任碩士生導師，2002年9月受聘為教授。2002.12入選為安徽省高校中青年學科帶頭人培養對象。三次獲教學優秀獎，一次獲安徽省高校科技進步三等獎。目前主要研究方向是計算機數值模擬技術，先後參加了5項國家自然科學基金項目的研究工作，主持完成兩項省教委項目。目前參加一項國家自然科學基金項目，主持一項省自然科學基金項目。已發表學術論文28篇，SCI收錄論文4篇。 1. 智能軟體
學科帶頭人李龍澍教授，博士生導師，主要研究興趣為軟體體系結構、不精確知識表示和智能Agent技術，發表研究論文50多篇，主持開發的主要系統有：農業氣象決策支持系統、大型資料庫管理系統、電子政務系統、網路信息管理系統。
軟體體系結構的研究：探討知識的繼承機制和抽象原理，使智能軟體系統的資料庫、模型庫和方法庫融為一體，引進了知識的層次結構，增強系統的可用性和維護效率。完成國家「863」項目「基於氣象分析的指導農作物種植管理軟構件」，主持研究國家自然科學基金項目「智能軟體體系結構和組件技術的研究」，深入研究模糊商結構理論，將粒度計算理論用於建造軟體體系結構模型，提出了一種基於商空間的智能軟體體系結構構造模型，研究成果在農業氣象、河流污染、公路管理、煤礦救護等GIS系統中有廣泛應用。
不精確知識表示的研究：深入研究不精確知識表示的特點，提出一種適合領域特徵的信息處理系統的框架和數據約簡、知識發現方案，促進知識庫系統開發技術水平的發展。研製適合模糊粗糙集信息處理的新的智能軟體體系結構，不僅具有重大學術價值，而且在農業氣象分析應用中取得其它方法和系統無法替代的明顯效果，結合農業氣象信息，分析模糊粗糙集的特性和優點，研製適合知識處理的構件模型，用於建造減災防災、農作物管理等實際決策支持系統，產生巨大的社會經濟效益。
智能Agent技術的研究：Agent體系結構是智能Agent研究中一個重要的研究方向，它所要解決的問題是智能Agent是由哪些模塊組成，這些模塊之間如何交換信息，以及如何將這些模塊用軟體或硬體的方式組合起來形成一個有機的整體。結合完成國家「863」項目、國家自然科學基金項目等重大科研項目和機器人世界盃足球錦標賽RoboCup(Robot World Cup），面向大中型企業的數據倉庫進行數據挖掘和建造基於Agent技術的智能決策支持系統，為安徽現代化建設產生重大社會經濟效益。
2. 資料庫與Web技術
學科帶頭人鄭誠博士、副教授。2002年12月畢業於中國科學技術大學計算機系，並獲博士學位，研究方向：資料庫與數據倉庫技術、知識發現與數據挖掘技術、人工智慧與機器學習、新一代Web技術等。2005年9月起在安徽大學計算機科學與技術博士後流動站進行博士後研究（在職）。安徽大學中青年骨幹教師，安徽省高校骨幹教師培養對象。近幾年內作為主要骨幹參加國家自然科學基金、863計劃、安徽省自然科學基金項目等項目4項。主持省教育廳自然科學研究項目二項，發表學術論文20餘篇。
資料庫與Web技術方向：研究資料庫與數據倉庫及其應用技術、基於資料庫和數據倉庫的數據挖掘技術，研究多粒度數據挖掘技術，將它們應用於稅務、網路安全等領域；研究語義Web技術，在Web中引入有關智能技術，讓計算機能理解Web上的信息。
3. 並行計算
學科帶頭人劉鋒，博士，教授。主要研究方向：軟體工程、並行計算、網格計算，承擔國家自然基金項目、教育部科研項目、安徽省自然基金項目和安徽省教育廳自然基金項目多項。
近期發表的主要論著：
1. 基於改進型遺傳演算法的門陣列模式布局 (EI）小型微型計算機系統 2002,no.3
2. 求復函數方程根的遺傳演算法 計算機工程與應用2001年，37卷，第24期
3. PVM環境下求復函數方程根的並行遺傳演算法 小型微型計算機系統 2003,no.7
4. ORACLE資料庫的MIT在營業帳務系統中的應用 電信技術 2001.9
5. 電子出版物與紙質出版物異同論 情報科學 2001.7
6. 基於遺傳演算法的方程求根演算法的設計和實現 (EI）控制理論與應用 2004年第3期
7. Internet QoS控制機制綜述 計算機科學 2002.3.
8. 基於分布理論和遺傳演算法的多項式求根演算法 微機發展 2001年第6期
9. 基於Agent網格計算性能的實時調節 計算機工程與應用 2003年第39期
10. 並行遺傳演算法求復函數方程根的設計和實現 (EI）系統工程理論與實踐 2004年第6期
4. 中間件技術
學科帶頭人鄒海，博士，高工。2001年3月至2003年7月在中國礦業大學電氣工程（信息與電子技術）博士後科研流動站從事博士後研究。近年來主要專注於模糊與隨機環境下的粗糙集理論與知識獲取、中間件技術等方面的研究。主持或參與完成了國家自然科學基金項目1項、948項目1項、省部級自然科學基金2項和10多項橫向合作項目，目前在研省青年教師基金項目1項、省教育廳自然科學基金1項，獲省、部級科學技術進步獎3項，發表論文10餘篇。近年來承擔了包括東北晚中生代資源預測專家系統、壩工建築物實時監測數據採集系統、基於網路通訊的遠程分布式遙測系統、基於數據挖掘的防汛抗旱調度指揮系統、B/S/S架構的客戶關系管理系統在內的多個應用系統的設計和研發工作，並得以成功應用。
模糊與隨機環境下的粗糙集理論與知識獲取研究：針對信息識別中大量存在的不完備信息和隨機環境這一的特點，結合智能信息處理領域近年來迅速發展起來的粗糙集（Rough Set）理論，深入研究在復雜系統中不完備信息及其隨機環境下知識的表示、知識的約簡、知識的學習、歸納和推理等。
中間件技術的研究：中間件技術作為90年代初發展起來的基礎軟體，近幾年來逐漸成為構建網路分布式應用系統的重要支撐工具。它能夠解決網路分布計算環境中多種異構數據資源互聯共享問題，實現多種應用軟體的協同工作。研究方向涉及分布式高性能高可靠企業級基礎軟體平台架構與機制、應用集成架構與技術、J2EE應用伺服器、、工作流技術、移動中間件技術、反射中間件技術、嵌入式中間件技術、網路即插即用中間技術件、普適計算中間件技術、網格計算中間件技術、CORBA高級技術等。目前，中間件已與操作系統、資料庫、前端應用軟體一起，躋身於軟體業發展的重點之列，並成為分布式應用的關鍵性軟體。它可廣泛適用於政府部門、銀行、證券、電力、電信、交通與軍事等關鍵性的網路分布應用。 一、研究生始招時間及在校研究生規模
始招時間：2002年
在校研究生規模：約60人
二、導師梯隊介紹
1．計算機視覺及應用方向
韋穗：安徽大學副校長、教授、中國圖像圖形學會副理事長、教育部科學委員會信息學部委員，1983年4月至1985年9月在美國密執安大學及弗吉尼亞多理學院作訪問學者。長期從事計算機視覺、圖像圖形學、模式識別、數學形態學和全息成像等領域的研究。近年來承擔了多項國家自然科學基金項目和863項目。其中大容量快速圖像分析系統（負責人）獲中科院科技進步二等獎；並榮獲國家863計劃智能機器人主題先進工作者稱號及國家科技部授予的國家863計劃先進工作者稱號。863項目「基於VR技術的裝配幫助系統」（負責人）的研究， 2000年經863專家組組織驗收，認為該項目的成果對於本領域的研究起到了開拓性的作用。國家自然基金項目「基於SVD分解的射影重構演算法研究」在圖形學中的多視圖幾何、3D重構和基於圖像的繪制、圖像獲取幾何和降低計算復雜性，實現復雜景物的3D描述與顯示方面取得了一定的研究成果。主持了2002年第二屆國際圖像圖形學會年會，編輯了兩本會議論文集，其中大部分論文都被EI收錄，翻譯出版《計算機視覺中的多視圖幾何》（由英國劍橋大學出版社和原著作者Richard Hartley和Sman的授權）。
梁棟：博士、教授（博導），安徽大學電子科學與技術學院副院長。1985年和1990年在安徽大學獲學士和碩士學位，2002年獲安徽大學計算機應用技術專業工學博士學位。1991年晉升為安徽大學講師，1996年晉升為安徽大學副教授，2002年晉升為安徽大學教授。1995年被評為安徽大學中青年骨幹教師和安徽省中青年骨幹教師培養對象，2002年被評為安徽省高等學校中青年學科帶頭人培養對象。近年來，在國內外學術期刊和學術會議上發表專題學術論文30多篇，主持和參加安徽省自然科學基金、國家自然科學基金、國家863計劃、國家科技部科技型中小企業技術創新基金等科研項目20多項，先後獲安徽省科技進步四等獎1項、安徽省高等學校科技進步三等獎2項、新型實用專利1項、安徽大學教學成果二等獎1項。主要研究領域：計算機視覺、圖象信息處理。
2．圖像處理與識別方向
羅斌：博士、教授（博導），英國約克大學計算機科學博士，安徽大學計算機科學與技術學院教授，博士生導師，安徽省首批「皖江學者」特聘教授，安徽省跨世紀學術技術帶頭人後備人選，安徽大學計算機科學與技術學院院長。中國圖象圖形學會理事、學術委員會、青年工作委員會委員，IEEE學會會員，IEEE計算機學會會員，英國BMVA會員。研究領域為數字圖像處理與模式識別。目前主持國家自然科學基金項目《基於鄰接圖譜理論的圖像聚類方法研究》，以及教育部「優秀青年教師資助計劃」項目、安徽省人才開發基金和安徽省教育廳自然科學研究項目等。與國外同行專家保持有良好的合作關系，參加英國EPSRC項目的研究。主要研究成果有：應用現代圖的分解理論對圖像的結構化描述、圖匹配理論和圖的聚類方法進行了研究；利用EM演算法和矩陣的SVD分解理論得到不同大小及包含結構雜訊圖的匹配方法，提出一種基於圖匹配的圖像配准演算法；將圖的譜分解理論應用於圖像的識別和聚類，提出圖譜結構特徵提取方法，以及利用譜特徵進行圖的識別與聚類，並應用於圖像庫的檢索。研究成果曾獲亞洲計算機視覺學術會議最佳論文獎和安徽省科技進步三等獎。在國內外學術刊物和國際會議上發表論文70餘篇，論文被SCI、EI、ISTP等索引40多次，論文代表作曾發表於《IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence》、《Computer Vision and Image Understanding》、《Pattern Recognition》、《Pattern Recognition Letters》、《Image Vision Computing》等學術期刊。
3．智能信息處理方向
吳小培：博士、教授（博導）。2002年12月於中國科學技術大學獲博士學位，研究方向為生物醫學信號處理。2003年10月起在中國科學技術大學信號與信息處理博士後流動站進行博士後研究（在職）， 2004年4月－9月美國加州大學聖地亞哥分校訪問學者。安徽大學中青年骨幹教師，安徽省高校學科帶頭人培養對象。研究領域：盲信號處理，生物醫學信號處理和語音、圖像處理和識別。近年內主持和參加國家自然科學基金、安徽省自然科學基金項目等項目5項。發表學術論文40餘篇。在盲源分離、獨立分量分析和腦電信號處理等方面的研究成果在國內有一定的影響，相關論文多次被同行引用。
柴曉冬：教授，博士。安徽省高校中青年骨幹教師。目前在中國科技大學電子技術與科學系做博士後研究（在職），研究內容為基於生物特徵識別的信息安全。參與研究國家自然科學基金項目兩項，主持省教委自然科學基金項目二項，在國內外重要學術刊物及學術會議上發表論文三十餘篇。
4．多維信號處理方向
陶亮：博士、教授（博導），安徽省高校學科拔尖人才，計算機科學與技術學院院長助理。2003年於中國科技大學獲得信息與通信工程專業博士學位。1997年考取國家留學基金委公派訪問學者資格，次年被派往加拿大溫莎大學訪問研修一年。1999年被選為安徽大學中青年骨幹教師，2001年入選教育部優秀青年教師資助計劃並獲項目資助，2002年入選安徽省高校首批學科拔尖人才。自1988年研究生畢業留校以來，一直從事教學與科研工作，曾給本科生、研究生開設或主講過多門專業課程，獲得過校教學成果獎和校教書育人先進個人稱號；是本校信號與信息處理專業碩士生導師（該學位授予點開點導師之一），同時也是本校計算機應用技術專業博士生導師。參加或主持過多項科學研究，近期主持了安徽省教育廳自然科學重點研究項目、安徽省自然科學基金項目及教育部優秀青年教師資助計劃項目的研究各一項。主要研究方向為多維信號處理、生物特徵識別技術。在《Journal of Computer Science and Technology》、《Chinese Journal of Electronics》、《電子學報》、《Chinese Optics Letters》等核心學術期刊以及國際學術會議上發表論文50多篇，獲得過安徽省第四屆自然科學優秀學術論文獎，目前（2005年4月）已有2篇論文被SCI收錄，22篇論文被EI收錄，10篇論文被ISTP收錄，多篇論文被他人引用；有專著1部（《實值Gabor變換理論及應用》）；是《電路與系統學報》和《計算機輔助設計和圖形學學報》審稿人以及IEEE國際電路與系統專業學術年會審稿人（被邀請擔任過審稿委員會委員、專題分會主持）。
三、主要學術成果
1．在國家自然科學基金項目「基本矩陣的魯棒性計算及應用」支持下，應用視覺理論、投影幾何、代數幾何、矩陣分析和現代數學最優化理論，完成了基本矩陣的魯棒性演算法研究，並給出了在3維計算機視覺中相關問題的魯棒性演算法。
2．在國家自然科學基金項目「基於SVD分解的射影重構演算法研究」支持下，對基於SVD分解的射影重構演算法作深入系統的研究，並通過模擬數據和真實圖像兩方面的實驗，獲得圖像中匹配點雜訊效應的定量理解和演算法性能的定性理解。
3．在國家自然科學基金項目「基於照片的場景重現」支持下，對基於序列圖像的全景漫遊技術進行了研究，主要包括：圖像插補問題、圖像整合問題及全景圖生成問題。
4．在國家「863」計劃項目「基於虛擬現實技術的裝配幫助系統」支持下，完成了以下研究工作：1）建立一個Windows環境下的多模綜合實驗平台；2）實現一個基於視點的物體識別、定位的幫助裝配系統的虛擬現實系統；3）對攝像機自標定、基於視點的插補、3D重構等問題進行了深入地研究。經國家「863」專家組鑒定：對本領域的研究起到了開拓性的作用。
5．在國家自然科學基金項目支持下對計算機產生體視全息圖進行了研究。全息技術能提供所有視點、距離上的3D（深度）感知，它是目前最理想的3D顯示。當今來自計算機、衛星、先進醫學成像設備、戰場環境的精確模擬以及地質勘探等各個領域的數據與日俱增，人們越來越希望能將這些數據變換成人們更易理解的形式，即真3D顯示的形式。它無須藉助眼鏡、頭盔等輔助設備，並用計算機生成3D顯示的編碼，由光電器件生成空間顯示。
6．先後完成「基於圖像的交通肇事現場測距系統」、「基於圖像序列的互動式全景漫遊生成系統」、「合肥風光互動式全景漫遊系統」、「基於圖像的犯罪現場重現系統」、「蕪湖長江大橋和合肥中心油庫交互演示系統」、「宜昌互動式招商引資展示系統」等開發和研製，並應用於交通事故處理、公安刑偵、城市規劃、旅遊宣傳等多個方面，取得了較好的社會效益和經濟效益。對計算機視覺、圖像處理以及虛擬現實技術的推廣應用起到了積極的促進作用。其中「基於圖像的交通肇事現場測距系統」和「合肥風光互動式全景漫遊系統」經合肥市科技局組織專家鑒定：核心技術水平達到國際先進水平，系統達到國內領先水平，並填補國內空白。
7. 在國家自然科學基金、安徽省自然科學基金項目等項目的支持下，初步驗證了用獨立分量描述思維腦電特徵的可行性，並提出了基於思維腦電獨立分量特徵的腦機介面技術研究新設想。該研究思路和階段性成果獲得了國內外專家的肯定；研究了小波變換和獨立分量分析進行結合的可行性，實驗結果表明，基於小波變換和ICA的時頻空三域分析方法能較好地解決多導腦電信號ICA分析中存在的過完備問題和非平穩問題；研究了在線ICA演算法及其實現技術，提出了一種簡單實用的在線Infomax演算法，並用於實測腦電數據的在線消澡問題，取得了較理想的結果，該項成果是對Infomax 盲源分離演算法的擴展和補充。
8．在教育部優秀青年教師資助計劃項目、安徽省自然科學基金項目以及安徽省教育廳自然科學重點研究項目的支持下，研究提出了實值離散Gabor變換（RDGT）理論與快速演算法，提出了基於RDGT的瞬變信號表示演算法、基於過抽樣RDGT的核磁共振FID信號增強演算法，以及基於RDGT的線性時變系統表示與逼近方法；研究了基於人臉識別的身份認證方法與系統。研究成果以40多篇論文中英文形式發表在《Journal of Computer Science and Technology》、《Chinese Journal of Electronics》、《電子學報》等重要的核心學術期刊和若干國際學術會議上，並且已有20多篇論文被SCI、EI、ISTP收錄。
四、學科研究方向介紹
1．計算機視覺及應用方向
將多視圖幾何與矩陣分析、諧波分析和現代數學最優化理論結合起來，研究基於圖像的3D成像幾何與物理中的演算法和應用，包括基本矩陣的魯棒計算及應用、基於照片的場景重現和SVD重構、基於虛擬現實技術的裝配幫助系統、計算機產生體視全息圖的研究及其在交通事故處理、公安刑偵、城市規劃、旅遊宣傳、文化遺產保護等方面的應用。
2．圖像處理與識別方向
將現代圖的分解理論、現代統計學理論和模式識別理論應用於數字圖像的分析與識別，對圖像的結構化描述、圖像特徵的提取、圖像的配准、結構模式識別中的圖匹配理論和圖的聚類方法進行研究，並將圖匹配理論和圖聚類方法應用於圖像庫的檢索和索引。
3．智能信息處理方向
研究小波分析理論及其在腦電信號處理中的應用、基於時－頻－空三域分析方法的思維腦電特徵提取與識別、思維腦電的獨立分量分析及其在腦機介面中的應用、在線盲源分離演算法及其DSP實現。
4．多維信號處理方向
研究多維信號分析與處理技術的新理論和新方法，並應用於生物信息、語音、圖像信號的處理和識別。如一維和二維實值離散Gabor變換理論、快速演算法及應用的研究；復雜背景下灰度圖像和彩色圖像中人眼自動定位演算法；基於人臉識別的身份認證方法與系統實現；支持向量機快速學習演算法及應用；語音消澡和識別技術等。

⑶ 在C語言中，什麼是迭代法

迭代法也稱輾轉法，是一種不斷用變數的舊值遞推新值的過程，跟迭代法相對應的是直接法，即一次性解決問題。迭代法又分為精確迭代和近似迭代。「二分法」和「牛頓迭代法」屬於近似迭代法。迭代演算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重復性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進行重復執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變數的原值推出它的一個新值。

迭代是數值分析中通過從一個初始估計出發尋找一系列近似解來解決問題（一般是解方程或者方程組）的過程，為實現這一過程所使用的方法統稱為迭代法（Iterative Method）。

一般可以做如下定義：對於給定的線性方程組x=Bx+f（這里的x、B、f同為矩陣，任意線性方程組都可以變換成此形式），用公式x(k+1）=Bx(k)+f（括弧中為上標，代表迭代k次得到的x，初始時k=0)逐步帶入求近似解的方法稱為迭代法（或稱一階定常迭代法）。如果k趨向無窮大時limx（k）存在，記為x*，稱此迭代法收斂。顯然x*就是此方程組的解，否則稱為迭代法發散。

跟迭代法相對應的是直接法（或者稱為一次解法），即一次性的快速解決問題，例如通過開方解決方程x +3= 4。一般如果可能，直接解法總是優先考慮的。但當遇到復雜問題時，特別是在未知量很多，方程為非線性時，我們無法找到直接解法（例如五次以及更高次的代數方程沒有解析解，參見阿貝耳定理），這時候或許可以通過迭代法尋求方程（組）的近似解。

最常見的迭代法是牛頓法。其他還包括最速下降法、共軛迭代法、變尺度迭代法、最小二乘法、線性規劃、非線性規劃、單純型法、懲罰函數法、斜率投影法、遺傳演算法、模擬退火等等。

利用迭代演算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：
確定迭代變數
在可以用迭代演算法解決的問題中，至少存在一個直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變數，這個變數就是迭代變數。
建立迭代關系式
所謂迭代關系式，指如何從變數的前一個值推出其下一個值的公式（或關系）。迭代關系式的建立是解決迭代問題的關鍵，通常可以順推或倒推的方法來完成。
對迭代過程進行控制
在
什麼時候結束迭代過程？這是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地重復執行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數
是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次數無法確定。對於前一種情況，可以構建一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制；對於後一種情況，需
要進一步分析出用來結束迭代過程的條件。
舉例
例 1 ：一個飼養場引進一隻剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問到第 12 個月時，該飼養場共有兔子多少只？

分析：這是一個典型的遞推問題。我們不妨假設第 1 個月時兔子的只數為 u 1 ，第 2 個月時兔子的只數為 u 2 ，第 3 個月時兔子的只數為 u 3 ，……根據題意，「這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子」，則有

u 1 = 1 ， u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2 ， u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ，……

根據這個規律，可以歸納出下面的遞推公式：

u n = u(n － 1）× 2 (n ≥ 2）

對應 u n 和 u(n － 1），定義兩個迭代變數 y 和 x ，可將上面的遞推公式轉換成如下迭代關系：

y=x*2

x=y

讓計算機對這個迭代關系重復執行 11 次，就可以算出第 12 個月時的兔子數。參考程序如下：

cls

x=1

for i=2 to 12

y=x*2

x=y

next i

print y

end

例 2 ：阿米巴用簡單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分鍾。將若干個阿米巴放在一個盛滿營養參液的容器內， 45 分鍾後容器內充滿了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴 220,220個。試問，開始的時候往容器內放了多少個阿米巴？請編程序算出。

分析：根據題意，阿米巴每 3 分鍾分裂一次，那麼從開始的時候將阿米巴放入容器裡面，到 45
分鍾後充滿容器，需要分裂 45/3=15 次。而「容器最多可以裝阿米巴2^ 20 個」，即阿米巴分裂 15 次以後得到的個數是
2^20。題目要求我們計算分裂之前的阿米巴數，不妨使用倒推的方法，從第 15 次分裂之後的 2^20 個，倒推出第 15 次分裂之前（即第 14
次分裂之後）的個數，再進一步倒推出第 13 次分裂之後、第 12 次分裂之後、……第 1 次分裂之前的個數。

設第 1 次分裂之前的個數為 x 0 、第 1 次分裂之後的個數為 x 1 、第 2 次分裂之後的個數為 x 2 、……第 15 次分裂之後的個數為 x 15 ，則有

x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1）

因為第 15 次分裂之後的個數 x 15 是已知的，如果定義迭代變數為 x ，則可以將上面的倒推公式轉換成如下的迭代公式：

x=x/2 （x 的初值為第 15 次分裂之後的個數 2^20）

讓這個迭代公式重復執行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴個數。因為所需的迭代次數是個確定的值，我們可以使用一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制。參考程序如下：

cls

x=2^20

for i=1 to 15

x=x/2

next i

print x

end

ps:java中冪的演算法是Math.pow（2,20）；返回double，稍微注意一下

例 3 ：驗證谷角猜想。日本數學家谷角靜夫在研究自然數時發現了一個奇怪現象：對於任意一個自然數 n ，若 n 為偶數，則將其除以 2 ；若 n 為奇數，則將其乘以 3 ，然後再加 1。如此經過有限次運算後，總可以得到自然數 1。人們把谷角靜夫的這一發現叫做「谷角猜想」。

要求：編寫一個程序，由鍵盤輸入一個自然數 n ，把 n 經過有限次運算後，最終變成自然數 1 的全過程列印出來。

分析：定義迭代變數為 n ，按照谷角猜想的內容，可以得到兩種情況下的迭代關系式：當 n 為偶數時， n=n/2 ；當 n 為奇數時， n=n*3+1。用 QBASIC 語言把它描述出來就是：

if n 為偶數 then

n=n/2

else

n=n*3+1

end if

這就是需要計算機重復執行的迭代過程。這個迭代過程需要重復執行多少次，才能使迭代變數 n 最終變成自然數 1
，這是我們無法計算出來的。因此，還需進一步確定用來結束迭代過程的條件。仔細分析題目要求，不難看出，對任意給定的一個自然數 n
，只要經過有限次運算後，能夠得到自然數 1 ，就已經完成了驗證工作。因此，用來結束迭代過程的條件可以定義為：n=1。參考程序如下：

cls

input "Please input n=";n

do until n=1

if n mod 2=0 then

rem 如果 n 為偶數，則調用迭代公式 n=n/2

n=n/2

print "—";n;

else

n=n*3+1

print "—";n;

end if

loop

end

迭代法開平方：

#include<stdio.h>

#include<math.h>

void main()

{

double a,x0,x1;

printf("Input a:\n");

scanf("%lf",&a);//為什麼在VC6.0中不能寫成「scanf("%f",&a）；」？

if(a<0)

printf("Error!\n");

else

{

x0=a/2;

x1=(x0+a/x0)/2;

do

{

x0=x1;

x1=(x0+a/x0)/2;

}while(fabs(x0-x1）>=1e-6）；

}

printf("Result:\n");

printf("sqrt(%g)=%g\n",a,x1）；

}

求平方根的迭代公式：x1=1/2*(x0+a/x0）。

演算法：1.先自定一個初值x0，作為a的平方根值，在我們的程序中取a/2作為a的初值；利用迭代公式求出一個x1。此值與真正的a的平方根值相比，誤差很大。

⒉把新求得的x1代入x0中，准備用此新的x0再去求出一個新的x1.

⒊利用迭代公式再求出一個新的x1的值，也就是用新的x0又求出一個新的平方根值x1，此值將更趨近於真正的平方根值。

⒋比較前後兩次求得的平方根值x0和x1，如果它們的差值小於我們指定的值，即達到我們要求的精度，則認為x1就是a的平方根值，去執行步驟5；否則執行步驟2，即循環進行迭代。

迭代法是用於求方程或方程組近似根的一種常用的演算法設計方法。設方程為f(x)=0，用某種數學方法導出等價的形式x=g(x），然後按以下步驟執行：

⑴ 選一個方程的近似根，賦給變數x0；

⑵ 將x0的值保存於變數x1，然後計算g(x1），並將結果存於變數x0；

⑶ 當x0與x1的差的絕對值還小於指定的精度要求時，重復步驟⑵的計算。

若方程有根，並且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認為是方程的根。上述演算法用C程序的形式表示為：

【演算法】迭代法求方程的根

{ x0=初始近似根；

do {

x1=x0；

x0=g(x1）； /*按特定的方程計算新的近似根*/

} while (fabs(x0-x1）>Epsilon）；

printf（「方程的近似根是%f\n」，x0）；

}

迭代演算法也常用於求方程組的根，令

X=（x0，x1，…，xn-1）

設方程組為：

xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1）

則求方程組根的迭代演算法可描述如下：

【演算法】迭代法求方程組的根

{ for (i=0;i

x=初始近似根；

do {

for (i=0;i

y=x;

for (i=0;i

x=gi(X);

for (delta=0.0,i=0;i

if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x）；

} while (delta>Epsilon）；

for (i=0;i

printf（「變數x[%d]的近似根是 %f」，I，x）；

printf（「\n」）；

}

具體使用迭代法求根時應注意以下兩種可能發生的情況：

⑴ 如果方程無解，演算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環，因此在使用迭代演算法前應先考察方程是否有解，並在程序中對迭代的次數給予限制；

⑵ 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導致迭代失敗。

遞歸

遞歸是設計和描述演算法的一種有力的工具，由於它在復雜演算法的描述中被經常採用，為此在進一步介紹其他演算法設計方法之前先討論它。

能採用遞歸描述的演算法通常有這樣的特徵：為求解規模為N的問題，設法將它分解成規模較小的問題，然後從這些小問題的解方便地構造出大問題的解，並且這些規模較小的問題也能採用同樣的分解和綜合方法，分解成規模更小的問題，並從這些更小問題的解構造出規模較大問題的解。特別地，當規模N=1時，能直接得解。

【問題】 編寫計算斐波那契（Fibonacci）數列的第n項函數fib（n）。

斐波那契數列為：0、1、1、2、3、……，即：

fib(0)=0;

fib⑴=1;

fib(n)=fib(n-1）+fib(n-2） （當n>1時）。

寫成遞歸函數有：

int fib(int n)

{ if (n==0) return 0;

if (n==1） return 1;

if (n>1） return fib(n-1）+fib(n-2）；

}

遞歸演算法的執行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復雜的問題（規模為n）的求解推到比原問題簡單一些的問
題（規模小於n）的求解。例如上例中，求解fib(n），把它推到求解fib(n-1）和fib(n-2）。也就是說，為計算fib(n），必須先計算
fib(n-1）和fib(n-
2），而計算fib(n-1）和fib(n-2），又必須先計算fib(n-3）和fib(n-4）。依次類推，直至計算fib⑴和fib(0），分別能
立即得到結果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數fib中，當n為1和0的情況。

在回歸階段，當獲得最簡單情況的解後，逐級返回，依次得到稍復雜問題的解，例如得到fib⑴和fib(0）後，返回得到fib⑵的結果，……，在得到了fib(n-1）和fib(n-2）的結果後，返回得到fib(n）的結果。

在編寫遞歸函數時要注意，函數中的局部變數和參數知識局限於當前調用層，當遞推進入「簡單問題」層時，原來層次上的參數和局部變數便被隱蔽起來。在一系列「簡單問題」層，它們各有自己的參數和局部變數。

由於遞歸引起一系列的函數調用，並且可能會有一系列的重復計算，遞歸演算法的執行效率相對較低。當某個遞歸演算法能較方便地轉換成遞推演算法時，通常按遞推演算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數列的第n項的函數fib(n）應採用遞推演算法，即從斐波那契數列的前兩項出發，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項。

【問題】 組合問題

問題描述：找出從自然數1、2、……、n中任取r個數的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為：⑴5、4、3 ⑵5、4、2 ⑶5、4、1

⑷5、3、2 ⑸5、3、1 ⑹5、2、1

⑺4、3、2 ⑻4、3、1 ⑼4、2、1

⑽3、2、1

分析所列的10個組合，可以採用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數的演算法。設函數為void comb(int
m,int
k）為找出從自然數1、2、……、m中任取k個數的所有組合。當組合的第一個數字選定時，其後的數字是從餘下的m-1個數中取k-1數的組合。這就將求m
個數中取k個數的組合問題轉化成求m-1個數中取k-1個數的組合問題。設函數引入工作數組a[
]存放求出的組合的數字，約定函數將確定的k個數字組合的第一個數字放在a[k]中，當一個組合求出後，才將a[
]中的一個組合輸出。第一個數可以是m、m-1、……、k，函數將確定組合的第一個數字放入數組後，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其餘元素，繼續遞
歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細節見以下程序中的函數comb。

【程序】

# include

# define MAXN 100

int a[MAXN];

void comb(int m,int k)

{ int i,j;

for (i=m;i>=k;i--)

{ a[k]=i;

if (k>1）

comb(i-1,k-1）；

else

{ for (j=a[0];j>0;j--)

printf（「%4d」，a[j]);

printf（「\n」）；

}

}

}

void main()

{ a[0]=3;

comb（5,3）；

}

【問題】 背包問題

問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。

設n
件物品的重量分別為w0、w1、…、wn-1，物品的價值分別為v0、v1、…、vn-1。採用遞歸尋找物品的選擇方案。設前面已有了多種選擇的方案，並
保留了其中總價值最大的方案於數組option[ ]，該方案的總價值存於變數maxv。當前正在考察新方案，其物品選擇情況保存於數組cop[
]。假定當前方案已考慮了前i-1件物品，現在要考慮第i件物品；當前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其餘物品都選擇是可能的話，本方案能達
到的總價值的期望值為tv。演算法引入tv是當一旦當前方案的總價值的期望值也小於前面方案的總價值maxv時，繼續考察當前方案變成無意義的工作，應終止
當前方案，立即去考察下一個方案。因為當方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數後找到的方案一定會比前面的方案更好。

對於第i件物品的選擇考慮有兩種可能：

⑴ 考慮物品i被選擇，這種可能性僅當包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中後，繼續遞歸去考慮其餘物品的選擇。

⑵ 考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。

按以上思想寫出遞歸演算法如下：

try（物品i，當前選擇已達到的重量和，本方案可能達到的總價值tv)

{ /*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/

if（包含物品i是可以接受的）

{ 將物品i包含在當前方案中；

if (i

try(i+1,tw+物品i的重量，tv);

else

/*又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/

以當前方案作為臨時最佳方案保存；

恢復物品i不包含狀態；

}

/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/

if （不包含物品i僅是可男考慮的）

if (i

try(i+1,tw,tv-物品i的價值）；

else

/*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/

以當前方案作為臨時最佳方案保存；

}

為了理解上述演算法，特舉以下實例。設有4件物品，它們的重量和價值見表：

物品 0 1 2 3

重量 5 3 2 1

價值 4 4 3 1

並設限制重量為7。則按以上演算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，演算法就進一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解，演算法不會在該分支繼續查找，而是立即終止該分支，並去考察下一個分支。

按上述演算法編寫函數和程序如下：

【程序】

# include

# define N 100

double limitW,totV,maxV;

int option[N],cop[N];

struct { double weight;

double value;

}a[N];

int n;

void find(int i,double tw,double tv)

{ int k;

/*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/

if (tw+a.weight<=limitW)

{ cop=1;

if (i

else

{ for (k=0;k

option[k]=cop[k];

maxv=tv;

}

cop=0;

}

/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/

if (tv-a.value>maxV)

if (i

else

{ for (k=0;k

option[k]=cop[k];

maxv=tv-a.value;

}

}

void main()

{ int k;

double w,v;

printf（「輸入物品種數\n」）；

scanf（（「%d」，&n);

printf（「輸入各物品的重量和價值\n」）；

for (totv=0.0,k=0;k

{ scanf（「%1f%1f」，&w,&v);

a[k].weight=w;

a[k].value=v;

totV+=V;

}

printf（「輸入限制重量\n」）；

scanf（「%1f」，&limitV);

maxv=0.0;

for (k=0;k find(0,0.0,totV);

for (k=0;k

if (option[k]) printf（「%4d」，k+1）；

printf（「\n總價值為%.2f\n」，maxv);

}

作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡單地逐一生成所有候選解，而是
從每個物品對候選解的影響來形成值得進一步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當該物品被包含在候選
解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應該繼續考慮的；反之，該物品不應該包括在當前正在形成的候選解中。同樣地，僅當物品不被包括在
候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當前候選解中的方案也不應繼續考慮。
對於任一值得繼續考慮的方案，程序就去進一步考慮下一個物品。

【程序】

# include

# define N 100

double limitW;

int cop[N];

struct ele { double weight;

double value;

} a[N];

int k,n;

struct { int ;

double tw;

double tv;

}twv[N];

void next(int i,double tw,double tv)

{ twv.=1;

twv tw=tw;

twv tv=tv;

}

double find(struct ele *a,int n)

{ int i,k,f;

double maxv,tw,tv,totv;

maxv=0;

for (totv=0.0,k=0;k

totv+=a[k].value;

next(0,0.0,totv);

i=0;

While (i>=0)

{ f=twv.;

tw=twv tw;

tv=twv tv;

switch(f)

{ case 1: twv.++;

if (tw+a.weight<=limitW)

if (i

{ next(i+1,tw+a.weight,tv);

i++;

}

else

{ maxv=tv;

for (k=0;k

cop[k]=twv[k].!=0;

}

break;

case 0: i--;

break;

default: twv.=0;

if (tv-a.value>maxv)

if (i

{ next(i+1,tw,tv-a.value);

i++;

}

else

{ maxv=tv-a.value;

for (k=0;k

cop[k]=twv[k].!=0;

}

break;

}

}

return maxv;

}

void main()

{ double maxv;

printf（「輸入物品種數\n」）；

scanf（（「%d」，&n);

printf（「輸入限制重量\n」）；

scanf（「%1f」，&limitW);

printf（「輸入各物品的重量和價值\n」）；

for (k=0;k

scanf（「%1f%1f」，&a[k].weight,&a[k].value);

maxv=find(a,n);

printf（「\n選中的物品為\n」）；

for (k=0;k

if (option[k]) printf（「%4d」，k+1）；

printf（「\n總價值為%.2f\n」，maxv);

}

⑷ 梯度下降法和粒子群優化演算法的區別

粒子群(PSO)演算法是近幾年來最為流行的進化演算法，最早是由Kenned和Eberhart於1995年提出.PSO 演算法和其他進化演算法類似，也採用「群體」和「進化」的概念，通過個體間的協作與競爭，實現復雜空間中最優解的搜索．PSO 先生成初始種群，即在可行解空間中隨機初始化一群粒子，每個粒子都為優化問題的一個可行解，並由目標函數為之確定一個適應值(fitness value)．PSO 不像其他進化演算法那樣對於個體使用進化運算元，而是將每個個體看作是在n 維搜索空間中的一個沒有體積和重量的粒子，每個粒子將在解空間中運動，並由一個速度決定其方向和距離.通常粒子將追隨當前的最優粒子而運動，並經逐代搜索最後得到最優解．在每一代中，粒子將跟蹤兩個極值，一為粒子本身迄今找到的最優解 pbest ，另一為全種群迄今找到的最優解 gbest．由於認識到 PSO 在函數優化等領域所蘊含的廣闊的應用前景，在 Kenned 和 Eberhart 之後很多學者都進行了這方面的研究.目前已提出了多種 PSO改進演算法，並廣泛應用到許多領域。

⑸ 迭代法的演算法

迭代是數值分析中通過從一個初始估計出發尋找一系列近似解來解決問題（一般是解方程或者方程組）的過程，為實現這一過程所使用的方法統稱為迭代法（Iterative Method）。
一般可以做如下定義：對於給定的線性方程組（這里的x、B、f同為矩陣，任意線性方程組都可以變換成此形式），用公式 （代表迭代k次得到的x，初始時k=0)逐步帶入求近似解的方法稱為迭代法（或稱一階定常迭代法）。如果存在，記為x*，稱此迭代法收斂。顯然x*就是此方程組的解，否則稱為迭代法發散。
跟迭代法相對應的是直接法（或者稱為一次解法），即一次性的快速解決問題，例如通過開方解決方程x +3= 4。一般如果可能，直接解法總是優先考慮的。但當遇到復雜問題時，特別是在未知量很多，方程為非線性時，我們無法找到直接解法（例如五次以及更高次的代數方程沒有解析解，參見阿貝耳定理），這時候或許可以通過迭代法尋求方程（組）的近似解。
最常見的迭代法是牛頓法。其他還包括最速下降法、共軛迭代法、變尺度迭代法、最小二乘法、線性規劃、非線性規劃、單純型法、懲罰函數法、斜率投影法、遺傳演算法、模擬退火等等。
利用迭代演算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作： 例 1 ：一個飼養場引進一隻剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問到第 12 個月時，該飼養場共有兔子多少只？
分析：這是一個典型的遞推問題。我們不妨假設第 1 個月時兔子的只數為 u 1 ，第 2 個月時兔子的只數為 u 2 ，第 3 個月時兔子的只數為 u 3 ，……根據題意，「這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子」，則有
u 1 = 1 ， u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2 ， u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ，……
根據這個規律，可以歸納出下面的遞推公式：
u n = u(n － 1）× 2 (n ≥ 2）
對應 u n 和 u(n － 1），定義兩個迭代變數 y 和 x ，可將上面的遞推公式轉換成如下迭代關系：
y=x*2
x=y
讓計算機對這個迭代關系重復執行 11 次，就可以算出第 12 個月時的兔子數。參考程序如下：
cls
x=1
for i=2 to 12
y=x*2
x=y
next i
print y
end
例 2 ：阿米巴用簡單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分鍾。將若干個阿米巴放在一個盛滿營養參液的容器內， 45 分鍾後容器內充滿了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴 220,220個。試問，開始的時候往容器內放了多少個阿米巴？請編程序算出。
分析：根據題意，阿米巴每 3 分鍾分裂一次，那麼從開始的時候將阿米巴放入容器裡面，到 45 分鍾後充滿容器，需要分裂 45/3=15 次。而「容器最多可以裝阿米巴2^ 20 個」，即阿米巴分裂 15 次以後得到的個數是 2^20。題目要求我們計算分裂之前的阿米巴數，不妨使用倒推的方法，從第 15 次分裂之後的 2^20 個，倒推出第 15 次分裂之前（即第 14 次分裂之後）的個數，再進一步倒推出第 13 次分裂之後、第 12 次分裂之後、……第 1 次分裂之前的個數。
設第 1 次分裂之前的個數為 x 0 、第 1 次分裂之後的個數為 x 1 、第 2 次分裂之後的個數為 x 2 、……第 15 次分裂之後的個數為 x 15 ，則有
x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1）
因為第 15 次分裂之後的個數 x 15 是已知的，如果定義迭代變數為 x ，則可以將上面的倒推公式轉換成如下的迭代公式：
x=x/2 （x 的初值為第 15 次分裂之後的個數 2^20）
讓這個迭代公式重復執行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴個數。因為所需的迭代次數是個確定的值，我們可以使用一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制。參考程序如下：
cls
x=2^20
for i=1 to 15
x=x/2
next i
print x
end
ps:java中冪的演算法是Math.pow（2,20）；返回double，稍微注意一下
例 3 ：驗證谷角猜想。日本數學家谷角靜夫在研究自然數時發現了一個奇怪現象：對於任意一個自然數 n ，若 n 為偶數，則將其除以 2 ；若 n 為奇數，則將其乘以 3 ，然後再加 1。如此經過有限次運算後，總可以得到自然數 1。人們把谷角靜夫的這一發現叫做「谷角猜想」。
要求：編寫一個程序，由鍵盤輸入一個自然數 n ，把 n 經過有限次運算後，最終變成自然數 1 的全過程列印出來。
分析：定義迭代變數為 n ，按照谷角猜想的內容，可以得到兩種情況下的迭代關系式：當 n 為偶數時， n=n/2 ；當 n 為奇數時， n=n*3+1。用 QBASIC 語言把它描述出來就是：
if n 為偶數 then
n=n/2
else
n=n*3+1
end if
這就是需要計算機重復執行的迭代過程。這個迭代過程需要重復執行多少次，才能使迭代變數 n 最終變成自然數 1 ，這是我們無法計算出來的。因此，還需進一步確定用來結束迭代過程的條件。仔細分析題目要求，不難看出，對任意給定的一個自然數 n ，只要經過有限次運算後，能夠得到自然數 1 ，就已經完成了驗證工作。因此，用來結束迭代過程的條件可以定義為：n=1。參考程序如下：
cls
input Please input n=;n
do until n=1
if n mod 2=0 then
rem 如果 n 為偶數，則調用迭代公式 n=n/2
n=n/2
print —;n;
else
n=n*3+1
print —;n;
end if
loop
end
迭代法開平方：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
void main()
{
double a,x0,x1;
printf(Input a: );
scanf(%lf,&a);//因為a是double型數據，所以要用%lf，而不是%f
if(a<0)
printf(Error! );
else
{
x0=a/2;
x1=(x0+a/x0)/2;
do
{
x0=x1;
x1=(x0+a/x0)/2;
}while(fabs(x0-x1）>=1e-6）；
}
printf(Result: );
printf(sqrt(%g)=%g ,a,x1）；
}
求平方根的迭代公式：x1=1/2*(x0+a/x0）。
演算法：1.先自定一個初值x0，作為a的平方根值，在我們的程序中取a/2作為a的初值；利用迭代公式求出一個x1。此值與真正的a的平方根值相比，誤差很大。
⒉把新求得的x1代入x0中，准備用此新的x0再去求出一個新的x1.
⒊利用迭代公式再求出一個新的x1的值，也就是用新的x0又求出一個新的平方根值x1，此值將更趨近於真正的平方根值。
⒋比較前後兩次求得的平方根值x0和x1，如果它們的差值小於我們指定的值，即達到我們要求的精度，則認為x1就是a的平方根值，去執行步驟5；否則執行步驟2，即循環進行迭代。
迭代法是用於求方程或方程組近似根的一種常用的演算法設計方法。設方程為f(x)=0，用某種數學方法導出等價的形式x=g(x），然後按以下步驟執行：
⑴ 選一個方程的近似根，賦給變數x0；
⑵ 將x0的值保存於變數x1，然後計算g(x1），並將結果存於變數x0；
⑶ 當x0與x1的差的絕對值還小於指定的精度要求時，重復步驟⑵的計算。
若方程有根，並且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認為是方程的根。上述演算法用C程序的形式表示為：
【演算法】迭代法求方程的根
{ x0=初始近似根；
do {
x1=x0；
x0=g(x1）； /*按特定的方程計算新的近似根*/
} while (fabs(x0-x1）>Epsilon）；
printf（「方程的近似根是%f 」，x0）；
}
迭代演算法也常用於求方程組的根，令
X=（x0，x1，…，xn-1）
設方程組為：
xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1）
則求方程組根的迭代演算法可描述如下：
【演算法】迭代法求方程組的根
{ for (i=0;i
x=初始近似根；
do {
for (i=0;i
y=x;
for (i=0;i
x=gi(X);
for (delta=0.0,i=0;i
if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x）；
} while (delta>Epsilon）；
for (i=0;i
printf（「變數x[%d]的近似根是 %f」，I，x）；
printf（「 」）；
}
具體使用迭代法求根時應注意以下兩種可能發生的情況：
⑴ 如果方程無解，演算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環，因此在使用迭代演算法前應先考察方程是否有解，並在程序中對迭代的次數給予限制；
⑵ 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導致迭代失敗。
遞歸
遞歸是設計和描述演算法的一種有力的工具，由於它在復雜演算法的描述中被經常採用，為此在進一步介紹其他演算法設計方法之前先討論它。
能採用遞歸描述的演算法通常有這樣的特徵：為求解規模為N的問題，設法將它分解成規模較小的問題，然後從這些小問題的解方便地構造出大問題的解，並且這些規模較小的問題也能採用同樣的分解和綜合方法，分解成規模更小的問題，並從這些更小問題的解構造出規模較大問題的解。特別地，當規模N=1時，能直接得解。
【問題】 編寫計算斐波那契（Fibonacci）數列的第n項函數fib（n）。
斐波那契數列為：0、1、1、2、3、……，即：
fib(0)=0;
fib⑴=1;
fib(n)=fib(n-1）+fib(n-2） （當n>1時）。
寫成遞歸函數有：
int fib(int n)
{ if (n==0) return 0;
if (n==1） return 1;
if (n>1） return fib(n-1）+fib(n-2）；
}
遞歸演算法的執行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復雜的問題（規模為n）的求解推到比原問題簡單一些的問題（規模小於n）的求解。例如上例中，求解fib(n），把它推到求解fib(n-1）和fib(n-2）。也就是說，為計算fib(n），必須先計算fib(n-1）和fib(n- 2），而計算fib(n-1）和fib(n-2），又必須先計算fib(n-3）和fib(n-4）。依次類推，直至計算fib⑴和fib(0），分別能立即得到結果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數fib中，當n為1和0的情況。
在回歸階段，當獲得最簡單情況的解後，逐級返回，依次得到稍復雜問題的解，例如得到fib⑴和fib(0）後，返回得到fib⑵的結果，……，在得到了fib(n-1）和fib(n-2）的結果後，返回得到fib(n）的結果。
在編寫遞歸函數時要注意，函數中的局部變數和參數知識局限於當前調用層，當遞推進入「簡單問題」層時，原來層次上的參數和局部變數便被隱蔽起來。在一系列「簡單問題」層，它們各有自己的參數和局部變數。
由於遞歸引起一系列的函數調用，並且可能會有一系列的重復計算，遞歸演算法的執行效率相對較低。當某個遞歸演算法能較方便地轉換成遞推演算法時，通常按遞推演算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數列的第n項的函數fib(n）應採用遞推演算法，即從斐波那契數列的前兩項出發，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項。
【問題】 組合問題
問題描述：找出從自然數1、2、……、n中任取r個數的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為：⑴5、4、3 ⑵5、4、2 ⑶5、4、1
⑷5、3、2 ⑸5、3、1 ⑹5、2、1
⑺4、3、2 ⑻4、3、1 ⑼4、2、1
⑽3、2、1
分析所列的10個組合，可以採用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數的演算法。設函數為void comb(int m,int k）為找出從自然數1、2、……、m中任取k個數的所有組合。當組合的第一個數字選定時，其後的數字是從餘下的m-1個數中取k-1數的組合。這就將求m 個數中取k個數的組合問題轉化成求m-1個數中取k-1個數的組合問題。設函數引入工作數組a[ ]存放求出的組合的數字，約定函數將確定的k個數字組合的第一個數字放在a[k]中，當一個組合求出後，才將a[ ]中的一個組合輸出。第一個數可以是m、m-1、……、k，函數將確定組合的第一個數字放入數組後，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其餘元素，繼續遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細節見以下程序中的函數comb。
【程序】
# include
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int k)
{ int i,j;
for (i=m;i>=k;i--)
{ a[k]=i;
if (k>1）
comb(i-1,k-1）；
else
{ for (j=a[0];j>0;j--)
printf（「%4d」，a[j]);
printf（「 」）；
}
}
}
void main()
{ a[0]=3;
comb（5,3）；
}
【問題】 背包問題
問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。
設n 件物品的重量分別為w0、w1、…、wn-1，物品的價值分別為v0、v1、…、vn-1。採用遞歸尋找物品的選擇方案。設前面已有了多種選擇的方案，並保留了其中總價值最大的方案於數組option[ ]，該方案的總價值存於變數maxv。當前正在考察新方案，其物品選擇情況保存於數組cop[ ]。假定當前方案已考慮了前i-1件物品，現在要考慮第i件物品；當前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其餘物品都選擇是可能的話，本方案能達到的總價值的期望值為tv。演算法引入tv是當一旦當前方案的總價值的期望值也小於前面方案的總價值maxv時，繼續考察當前方案變成無意義的工作，應終止當前方案，立即去考察下一個方案。因為當方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數後找到的方案一定會比前面的方案更好。
對於第i件物品的選擇考慮有兩種可能：
⑴ 考慮物品i被選擇，這種可能性僅當包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中後，繼續遞歸去考慮其餘物品的選擇。
⑵ 考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。
按以上思想寫出遞歸演算法如下：
try（物品i，當前選擇已達到的重量和，本方案可能達到的總價值tv)
{ /*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/
if（包含物品i是可以接受的）
{ 將物品i包含在當前方案中；
if (i
try(i+1,tw+物品i的重量，tv);
else
/*又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/
以當前方案作為臨時最佳方案保存；
恢復物品i不包含狀態；
}
/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/
if （不包含物品i僅是可男考慮的）
if (i
try(i+1,tw,tv-物品i的價值）；
else
/*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/
以當前方案作為臨時最佳方案保存；
}
為了理解上述演算法，特舉以下實例。設有4件物品，它們的重量和價值見表：
物品 0 1 2 3
重量 5 3 2 1
價值 4 4 3 1
並設限制重量為7。則按以上演算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，演算法就進一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解，演算法不會在該分支繼續查找，而是立即終止該分支，並去考察下一個分支。
按上述演算法編寫函數和程序如下：
【程序】
# include
# define N 100
double limitW,totV,maxV;
int option[N],cop[N];
struct { double weight;
double value;
}a[N];
int n;
void find(int i,double tw,double tv)
{ int k;
/*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/
if (tw+a.weight<=limitW)
{ cop=1;
if (i
else
{ for (k=0;k
option[k]=cop[k];
maxv=tv;
}
cop=0;
}
/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/
if (tv-a.value>maxV)
if (i
else
{ for (k=0;k
option[k]=cop[k];
maxv=tv-a.value;
}
}
void main()
{ int k;
double w,v;
printf（「輸入物品種數 」）；
scanf（（「%d」，&n);
printf（「輸入各物品的重量和價值 」）；
for (totv=0.0,k=0;k
{ scanf（「%1f%1f」，&w,&v);
a[k].weight=w;
a[k].value=v;
totV+=V;
}
printf（「輸入限制重量 」）；
scanf（「%1f」，&limitV);
maxv=0.0;
for (k=0;k find(0,0.0,totV);
for (k=0;k
if (option[k]) printf（「%4d」，k+1）；
printf（「 總價值為%.2f 」，maxv);
}
作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡單地逐一生成所有候選解，而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進一步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應該繼續考慮的；反之，該物品不應該包括在當前正在形成的候選解中。同樣地，僅當物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當前候選解中的方案也不應繼續考慮。對於任一值得繼續考慮的方案，程序就去進一步考慮下一個物品。
【程序】
# include
# define N 100
double limitW;
int cop[N];
struct ele { double weight;
double value;
} a[N];
int k,n;
struct { int ;
double tw;
double tv;
}twv[N];
void next(int i,double tw,double tv)
{ twv.=1;
twv tw=tw;
twv tv=tv;
}
double find(struct ele *a,int n)
{ int i,k,f;
double maxv,tw,tv,totv;
maxv=0;
for (totv=0.0,k=0;k
totv+=a[k].value;
next(0,0.0,totv);
i=0;
While (i>=0)
{ f=twv.;
tw=twv tw;
tv=twv tv;
switch(f)
{ case 1: twv.++;
if (tw+a.weight<=limitW)
if (i
{ next(i+1,tw+a.weight,tv);
i++;
}
else
{ maxv=tv;
for (k=0;k
cop[k]=twv[k].!=0;
}
break;
case 0: i--;
break;
default: twv.=0;
if (tv-a.value>maxv)
if (i
{ next(i+1,tw,tv-a.value);
i++;
}
else
{ maxv=tv-a.value;
for (k=0;k
cop[k]=twv[k].!=0;
}
break;
}
}
return maxv;
}
void main()
{ double maxv;
printf（「輸入物品種數 」）；
scanf（（「%d」，&n);
printf（「輸入限制重量 」）；
scanf（「%1f」，&limitW);
printf（「輸入各物品的重量和價值 」）；
for (k=0;k
scanf（「%1f%1f」，&a[k].weight,&a[k].value);
maxv=find(a,n);
printf（「 選中的物品為 」）；
for (k=0;k
if (option[k]) printf（「%4d」，k+1）；
printf（「 總價值為%.2f 」，maxv);
}

⑹ 迭代法為什麼能任取初始向量

一般可以做如下定義：對於給定的線性方程組（這里的x、B、f同為矩陣，任意線性方程組都可以變換成此形式），用公式 （代表迭代k次得到的x，初始時k=0)逐步帶入求近似解的方法稱為迭代法（或稱一階定常迭代法）。如果存在，記為x*，稱此迭代法收斂。顯然x*就是此方程組的解，否則稱為迭代法發散。
跟迭代法相對應的是直接法（或者稱為一次解法），即一次性的快速解決問題，例如通過開方解決方程x +3= 4。一般如果可能，直接解法總是優先考慮的。但當遇到復雜問題時，特別是在未知量很多，方程為非線性時，我們無法找到直接解法（例如五次以及更高次的代數方程沒有解析解，參見阿貝耳定理），這時候或許可以通過迭代法尋求方程（組）的近似解。
最常見的迭代法是牛頓法。其他還包括最速下降法、共軛迭代法、變尺度迭代法、最小二乘法、線性規劃、非線性規劃、單純型法、懲罰函數法、斜率投影法、遺傳演算法、模擬退火等等。
利用迭代演算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作： 例 1 ：一個飼養場引進一隻剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問到第 12 個月時，該飼養場共有兔子多少只？
分析：這是一個典型的遞推問題。我們不妨假設第 1 個月時兔子的只數為 u 1 ，第 2 個月時兔子的只數為 u 2 ，第 3 個月時兔子的只數為 u 3 ，……根據題意，「這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子」，則有
u 1 = 1 ， u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2 ， u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ，……
根據這個規律，可以歸納出下面的遞推公式：
u n = u(n － 1）× 2 (n ≥ 2）
對應 u n 和 u(n － 1），定義兩個迭代變數 y 和 x ，可將上面的遞推公式轉換成如下迭代關系：
y=x*2
x=y
讓計算機對這個迭代關系重復執行 11 次，就可以算出第 12 個月時的兔子數。參考程序如下：
cls
x=1
for i=2 to 12
y=x*2
x=y
next i
print y
end
例 2 ：阿米巴用簡單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分鍾。將若干個阿米巴放在一個盛滿營養參液的容器內， 45 分鍾後容器內充滿了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴 220,220個。試問，開始的時候往容器內放了多少個阿米巴？請編程序算出。
分析：根據題意，阿米巴每 3 分鍾分裂一次，那麼從開始的時候將阿米巴放入容器裡面，到 45 分鍾後充滿容器，需要分裂 45/3=15 次。而「容器最多可以裝阿米巴2^ 20 個」，即阿米巴分裂 15 次以後得到的個數是 2^20。題目要求我們計算分裂之前的阿米巴數，不妨使用倒推的方法，從第 15 次分裂之後的 2^20 個，倒推出第 15 次分裂之前（即第 14 次分裂之後）的個數，再進一步倒推出第 13 次分裂之後、第 12 次分裂之後、……第 1 次分裂之前的個數。
設第 1 次分裂之前的個數為 x 0 、第 1 次分裂之後的個數為 x 1 、第 2 次分裂之後的個數為 x 2 、……第 15 次分裂之後的個數為 x 15 ，則有
x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1）
因為第 15 次分裂之後的個數 x 15 是已知的，如果定義迭代變數為 x ，則可以將上面的倒推公式轉換成如下的迭代公式：
x=x/2 （x 的初值為第 15 次分裂之後的個數 2^20）
讓這個迭代公式重復執行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴個數。因為所需的迭代次數是個確定的值，我們可以使用一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制。參考程序如下：
cls
x=2^20
for i=1 to 15
x=x/2
next i
print x
end
ps:java中冪的演算法是Math.pow（2,20）；返回double，稍微注意一下
例 3 ：驗證谷角猜想。日本數學家谷角靜夫在研究自然數時發現了一個奇怪現象：對於任意一個自然數 n ，若 n 為偶數，則將其除以 2 ；若 n 為奇數，則將其乘以 3 ，然後再加 1。如此經過有限次運算後，總可以得到自然數 1。人們把谷角靜夫的這一發現叫做「谷角猜想」。
要求：編寫一個程序，由鍵盤輸入一個自然數 n ，把 n 經過有限次運算後，最終變成自然數 1 的全過程列印出來。
分析：定義迭代變數為 n ，按照谷角猜想的內容，可以得到兩種情況下的迭代關系式：當 n 為偶數時， n=n/2 ；當 n 為奇數時， n=n*3+1。用 QBASIC 語言把它描述出來就是：
if n 為偶數 then
n=n/2
else
n=n*3+1
end if
這就是需要計算機重復執行的迭代過程。這個迭代過程需要重復執行多少次，才能使迭代變數 n 最終變成自然數 1 ，這是我們無法計算出來的。因此，還需進一步確定用來結束迭代過程的條件。仔細分析題目要求，不難看出，對任意給定的一個自然數 n ，只要經過有限次運算後，能夠得到自然數 1 ，就已經完成了驗證工作。因此，用來結束迭代過程的條件可以定義為：n=1。參考程序如下：
cls
input Please input n=;n
do until n=1
if n mod 2=0 then
rem 如果 n 為偶數，則調用迭代公式 n=n/2
n=n/2
print —;n;
else
n=n*3+1
print —;n;
end if
loop
end
迭代法開平方：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
void main()
{
double a,x0,x1;
printf(Input a:\n);
scanf(%lf,&a);//因為a是double型數據，所以要用%lf，而不是%f
if(a<0)
printf(Error!\n);
else
{
x0=a/2;
x1=(x0+a/x0)/2;
do
{
x0=x1;
x1=(x0+a/x0)/2;
}while(fabs(x0-x1）>=1e-6）；
}
printf(Result:\n);
printf(sqrt(%g)=%g\n,a,x1）；
}
求平方根的迭代公式：x1=1/2*(x0+a/x0）。
演算法：1.先自定一個初值x0，作為a的平方根值，在我們的程序中取a/2作為a的初值；利用迭代公式求出一個x1。此值與真正的a的平方根值相比，誤差很大。
⒉把新求得的x1代入x0中，准備用此新的x0再去求出一個新的x1.
⒊利用迭代公式再求出一個新的x1的值，也就是用新的x0又求出一個新的平方根值x1，此值將更趨近於真正的平方根值。
⒋比較前後兩次求得的平方根值x0和x1，如果它們的差值小於我們指定的值，即達到我們要求的精度，則認為x1就是a的平方根值，去執行步驟5；否則執行步驟2，即循環進行迭代。
迭代法是用於求方程或方程組近似根的一種常用的演算法設計方法。設方程為f(x)=0，用某種數學方法導出等價的形式x=g(x），然後按以下步驟執行：
⑴ 選一個方程的近似根，賦給變數x0；
⑵ 將x0的值保存於變數x1，然後計算g(x1），並將結果存於變數x0；
⑶ 當x0與x1的差的絕對值還小於指定的精度要求時，重復步驟⑵的計算。
若方程有根，並且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認為是方程的根。上述演算法用C程序的形式表示為：
【演算法】迭代法求方程的根
{ x0=初始近似根；
do {
x1=x0；
x0=g(x1）； /*按特定的方程計算新的近似根*/
} while (fabs(x0-x1）>Epsilon）；
printf（「方程的近似根是%f\n」，x0）；
}
迭代演算法也常用於求方程組的根，令
X=（x0，x1，…，xn-1）
設方程組為：
xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1）
則求方程組根的迭代演算法可描述如下：
【演算法】迭代法求方程組的根
{ for (i=0;i
x=初始近似根；
do {
for (i=0;i
y=x;
for (i=0;i
x=gi(X);
for (delta=0.0,i=0;i
if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x）；
} while (delta>Epsilon）；
for (i=0;i
printf（「變數x[%d]的近似根是 %f」，I，x）；
printf（「\n」）；
}
具體使用迭代法求根時應注意以下兩種可能發生的情況：
⑴ 如果方程無解，演算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環，因此在使用迭代演算法前應先考察方程是否有解，並在程序中對迭代的次數給予限制；
⑵ 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導致迭代失敗。
遞歸
遞歸是設計和描述演算法的一種有力的工具，由於它在復雜演算法的描述中被經常採用，為此在進一步介紹其他演算法設計方法之前先討論它。
能採用遞歸描述的演算法通常有這樣的特徵：為求解規模為N的問題，設法將它分解成規模較小的問題，然後從這些小問題的解方便地構造出大問題的解，並且這些規模較小的問題也能採用同樣的分解和綜合方法，分解成規模更小的問題，並從這些更小問題的解構造出規模較大問題的解。特別地，當規模N=1時，能直接得解。
【問題】 編寫計算斐波那契（Fibonacci）數列的第n項函數fib（n）。
斐波那契數列為：0、1、1、2、3、……，即：
fib(0)=0;
fib⑴=1;
fib(n)=fib(n-1）+fib(n-2） （當n>1時）。
寫成遞歸函數有：
int fib(int n)
{ if (n==0) return 0;
if (n==1） return 1;
if (n>1） return fib(n-1）+fib(n-2）；
}
遞歸演算法的執行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復雜的問題（規模為n）的求解推到比原問題簡單一些的問題（規模小於n）的求解。例如上例中，求解fib(n），把它推到求解fib(n-1）和fib(n-2）。也就是說，為計算fib(n），必須先計算fib(n-1）和fib(n- 2），而計算fib(n-1）和fib(n-2），又必須先計算fib(n-3）和fib(n-4）。依次類推，直至計算fib⑴和fib(0），分別能立即得到結果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數fib中，當n為1和0的情況。
在回歸階段，當獲得最簡單情況的解後，逐級返回，依次得到稍復雜問題的解，例如得到fib⑴和fib(0）後，返回得到fib⑵的結果，……，在得到了fib(n-1）和fib(n-2）的結果後，返回得到fib(n）的結果。
在編寫遞歸函數時要注意，函數中的局部變數和參數知識局限於當前調用層，當遞推進入「簡單問題」層時，原來層次上的參數和局部變數便被隱蔽起來。在一系列「簡單問題」層，它們各有自己的參數和局部變數。
由於遞歸引起一系列的函數調用，並且可能會有一系列的重復計算，遞歸演算法的執行效率相對較低。當某個遞歸演算法能較方便地轉換成遞推演算法時，通常按遞推演算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數列的第n項的函數fib(n）應採用遞推演算法，即從斐波那契數列的前兩項出發，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項。
【問題】 組合問題
問題描述：找出從自然數1、2、……、n中任取r個數的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為：⑴5、4、3 ⑵5、4、2 ⑶5、4、1
⑷5、3、2 ⑸5、3、1 ⑹5、2、1
⑺4、3、2 ⑻4、3、1 ⑼4、2、1
⑽3、2、1
分析所列的10個組合，可以採用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數的演算法。設函數為void comb(int m,int k）為找出從自然數1、2、……、m中任取k個數的所有組合。當組合的第一個數字選定時，其後的數字是從餘下的m-1個數中取k-1數的組合。這就將求m 個數中取k個數的組合問題轉化成求m-1個數中取k-1個數的組合問題。設函數引入工作數組a[ ]存放求出的組合的數字，約定函數將確定的k個數字組合的第一個數字放在a[k]中，當一個組合求出後，才將a[ ]中的一個組合輸出。第一個數可以是m、m-1、……、k，函數將確定組合的第一個數字放入數組後，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其餘元素，繼續遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細節見以下程序中的函數comb。
【程序】
# include
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int k)
{ int i,j;
for (i=m;i>=k;i--)
{ a[k]=i;
if (k>1）
comb(i-1,k-1）；
else
{ for (j=a[0];j>0;j--)
printf（「%4d」，a[j]);
printf（「\n」）；
}
}
}
void main()
{ a[0]=3;
comb（5,3）；
}
【問題】 背包問題
問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。
設n 件物品的重量分別為w0、w1、…、wn-1，物品的價值分別為v0、v1、…、vn-1。採用遞歸尋找物品的選擇方案。設前面已有了多種選擇的方案，並保留了其中總價值最大的方案於數組option[ ]，該方案的總價值存於變數maxv。當前正在考察新方案，其物品選擇情況保存於數組cop[ ]。假定當前方案已考慮了前i-1件物品，現在要考慮第i件物品；當前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其餘物品都選擇是可能的話，本方案能達到的總價值的期望值為tv。演算法引入tv是當一旦當前方案的總價值的期望值也小於前面方案的總價值maxv時，繼續考察當前方案變成無意義的工作，應終止當前方案，立即去考察下一個方案。因為當方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數後找到的方案一定會比前面的方案更好。
對於第i件物品的選擇考慮有兩種可能：
⑴ 考慮物品i被選擇，這種可能性僅當包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中後，繼續遞歸去考慮其餘物品的選擇。
⑵ 考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。
按以上思想寫出遞歸演算法如下：
try（物品i，當前選擇已達到的重量和，本方案可能達到的總價值tv)
{ /*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/
if（包含物品i是可以接受的）
{ 將物品i包含在當前方案中；
if (i
try(i+1,tw+物品i的重量，tv);
else
/*又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/
以當前方案作為臨時最佳方案保存；
恢復物品i不包含狀態；
}
/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/
if （不包含物品i僅是可男考慮的）
if (i
try(i+1,tw,tv-物品i的價值）；
else
/*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/
以當前方案作為臨時最佳方案保存；
}
為了理解上述演算法，特舉以下實例。設有4件物品，它們的重量和價值見表：
物品 0 1 2 3
重量 5 3 2 1
價值 4 4 3 1
並設限制重量為7。則按以上演算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，演算法就進一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解，演算法不會在該分支繼續查找，而是立即終止該分支，並去考察下一個分支。
按上述演算法編寫函數和程序如下：
【程序】
# include
# define N 100
double limitW,totV,maxV;
int option[N],cop[N];
struct { double weight;
double value;
}a[N];
int n;
void find(int i,double tw,double tv)
{ int k;
/*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/
if (tw+a.weight<=limitW)
{ cop=1;
if (i
else
{ for (k=0;k
option[k]=cop[k];
maxv=tv;
}
cop=0;
}
/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/
if (tv-a.value>maxV)
if (i
else
{ for (k=0;k
option[k]=cop[k];
maxv=tv-a.value;
}
}
void main()
{ int k;
double w,v;
printf（「輸入物品種數\n」）；
scanf（（「%d」，&n);
printf（「輸入各物品的重量和價值\n」）；
for (totv=0.0,k=0;k
{ scanf（「%1f%1f」，&w,&v);
a[k].weight=w;
a[k].value=v;
totV+=V;
}
printf（「輸入限制重量\n」）；
scanf（「%1f」，&limitV);
maxv=0.0;
for (k=0;k find(0,0.0,totV);
for (k=0;k
if (option[k]) printf（「%4d」，k+1）；
printf（「\n總價值為%.2f\n」，maxv);
}
作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡單地逐一生成所有候選解，而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進一步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應該繼續考慮的；反之，該物品不應該包括在當前正在形成的候選解中。同樣地，僅當物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當前候選解中的方案也不應繼續考慮。對於任一值得繼續考慮的方案，程序就去進一步考慮下一個物品。
【程序】
# include
# define N 100
double limitW;
int cop[N];
struct ele { double weight;
double value;
} a[N];
int k,n;
struct { int ;
double tw;
double tv;
}twv[N];
void next(int i,double tw,double tv)
{ twv.=1;
twv tw=tw;
twv tv=tv;
}
double find(struct ele *a,int n)
{ int i,k,f;
double maxv,tw,tv,totv;
maxv=0;
for (totv=0.0,k=0;k
totv+=a[k].value;
next(0,0.0,totv);
i=0;
While (i>=0)
{ f=twv.;
tw=twv tw;
tv=twv tv;
switch(f)
{ case 1: twv.++;
if (tw+a.weight<=limitW)
if (i
{ next(i+1,tw+a.weight,tv);
i++;
}
else
{ maxv=tv;
for (k=0;k
cop[k]=twv[k].!=0;
}
break;
case 0: i--;
break;
default: twv.=0;
if (tv-a.value>maxv)
if (i
{ next(i+1,tw,tv-a.value);
i++;
}
else
{ maxv=tv-a.value;
for (k=0;k
cop[k]=twv[k].!=0;
}
break;
}
}
return maxv;
}
void main()
{ double maxv;
printf（「輸入物品種數\n」）；
scanf（（「%d」，&n);
printf（「輸入限制重量\n」）；
scanf（「%1f」，&limitW);
printf（「輸入各物品的重量和價值\n」）；
for (k=0;k
scanf（「%1f%1f」，&a[k].weight,&a[k].value);
maxv=find(a,n);
printf（「\n選中的物品為\n」）；
for (k=0;k
if (option[k]) printf（「%4d」，k+1）；
printf（「\n總價值為%.2f\n」，maxv);
}

⑺ 人工智慧是學習什麼

1、學習並掌握一些數學知識

高等數學是基礎中的基礎，一切理工科都需要這個打底，數據挖掘、人工智慧、模式識別此類跟數據打交道的又尤其需要多元微積分運算基礎。

線性代數很重要，一般來說線性模型是你最先要考慮的模型，加上很可能要處理多維數據，你需要用線性代數來簡潔清晰的描述問題，為分析求解奠定基礎。

概率論、數理統計、隨機過程更是少不了，涉及數據的問題，不確定性幾乎是不可避免的，引入隨機變數順理成章，相關理論、方法、模型非常豐富。很多機器學習的演算法都是建立在概率論和統計學的基礎上的，比如貝葉斯分類器、高斯隱馬爾可夫鏈。

再就是優化理論與演算法，除非你的問題是像二元一次方程求根那樣有現成的公式，否則你將不得不面對各種看起來無解但是要解的問題，優化將是你的GPS為你指路。

以上這些知識打底，就可以開拔了，針對具體應用再補充相關的知識與理論，比如說一些我覺得有幫助的是數值計算、圖論、拓撲，更理論一點的還有實/復分析、測度論，偏工程類一點的還有信號處理、數據結構。

2、掌握經典機器學習理論和演算法

如果有時間可以為自己建立一個機器學習的知識圖譜，並爭取掌握每一個經典的機器學習理論和演算法，我簡單地總結如下：

1) 回歸演算法：常見的回歸演算法包括最小二乘法（OrdinaryLeast Square），邏輯回歸（Logistic Regression），逐步式回歸（Stepwise Regression），多元自適應回歸樣條（MultivariateAdaptive Regression Splines）以及本地散點平滑估計（Locally Estimated Scatterplot Smoothing）；

2) 基於實例的演算法：常見的演算法包括 k-Nearest Neighbor(KNN), 學習矢量量化（Learning Vector Quantization， LVQ），以及自組織映射演算法（Self-Organizing Map ， SOM）；

3) 基於正則化方法：常見的演算法包括：Ridge Regression， Least Absolute Shrinkage and Selection Operator（LASSO），以及彈性網路（Elastic Net）；

4) 決策樹學習：常見的演算法包括：分類及回歸樹（ClassificationAnd Regression Tree， CART）， ID3 (Iterative Dichotomiser 3)， C4.5， Chi-squared Automatic Interaction Detection(CHAID), Decision Stump, 隨機森林（Random Forest）， 多元自適應回歸樣條（MARS）以及梯度推進機（Gradient Boosting Machine， GBM）；

5) 基於貝葉斯方法：常見演算法包括：樸素貝葉斯演算法，平均單依賴估計（AveragedOne-Dependence Estimators， AODE），以及Bayesian Belief Network（BBN）；

6) 基於核的演算法：常見的演算法包括支持向量機（SupportVector Machine， SVM）， 徑向基函數（Radial Basis Function ，RBF)， 以及線性判別分析（Linear Discriminate Analysis ，LDA)等；

7) 聚類演算法：常見的聚類演算法包括 k-Means演算法以及期望最大化演算法（Expectation Maximization， EM）；

8) 基於關聯規則學習：常見演算法包括 Apriori演算法和Eclat演算法等；

9) 人工神經網路：重要的人工神經網路演算法包括：感知器神經網路（PerceptronNeural Network）, 反向傳遞（Back Propagation）， Hopfield網路，自組織映射（Self-OrganizingMap, SOM）。學習矢量量化（Learning Vector Quantization， LVQ）；

10) 深度學習：常見的深度學習演算法包括：受限波爾茲曼機（RestrictedBoltzmann Machine， RBN）， Deep Belief Networks（DBN），卷積網路（Convolutional Network）, 堆棧式自動編碼器（Stacked Auto-encoders）；

11) 降低維度的演算法：常見的演算法包括主成份分析（PrincipleComponent Analysis， PCA），偏最小二乘回歸（Partial Least Square Regression，PLS）， Sammon映射，多維尺度（Multi-Dimensional Scaling, MDS）, 投影追蹤（ProjectionPursuit）等；

12) 集成演算法：常見的演算法包括：Boosting， Bootstrapped Aggregation（Bagging），AdaBoost，堆疊泛化（Stacked Generalization， Blending），梯度推進機（GradientBoosting Machine, GBM），隨機森林（Random Forest）。

3、掌握一種編程工具，比如Python
一方面Python是腳本語言，簡便，拿個記事本就能寫，寫完拿控制台就能跑；另外，Python非常高效，效率比java、r、matlab高。matlab雖然包也多，但是效率是這四個裡面最低的。

4、了解行業最新動態和研究成果，比如各大牛的經典論文、博客、讀書筆記、微博微信等媒體資訊。

5、買一個GPU，找一個開源框架，自己多動手訓練深度神經網路，多動手寫寫代碼，多做一些與人工智慧相關的項目。

6、選擇自己感興趣或者工作相關的一個領域深入下去
人工智慧有很多方向，比如NLP、語音識別、計算機視覺等等，生命有限，必須得選一個方向深入的鑽研下去，這樣才能成為人工智慧領域的大牛，有所成就。

根據網路給的定義，人工智慧（Artificial Intelligence），英文縮寫為AI。它是研究、開發用於模擬、延伸和擴展人的還能的理論、方法、技術及應用系統的一門新的技術科學。
網路關於人工智慧的定義詳解中說道：人工智慧是計算機的一個分支，二十世紀七十年代以來被稱為世界三大尖端技術之一（空間技術、能源技術、人工智慧）。也被認為是二十一世紀三大尖端技術（基因工程、納米科學、人工智慧）之一。這是因為近三十年來它獲得了迅速的發展，在很多學科領域都獲得了廣泛應用，並取得了豐碩的成果，人工智慧已逐步成為一個獨立的分支，無論在理論和實踐上都已自成一個系統。
綜上，從定義上講，人工智慧是一項技術。

⑻ 二分法、一般迭代法、牛頓切線法、弦截法、高斯消元法、矩陣的三角分解法、矩陣求逆、

迭代是數值分析中通過從一個初始估計出發尋找一系列近似解來解決問題（一般是解方程或者方程組）的過程，為實現這一過程所使用的方法統稱為迭代法（Iterative Method）。
一般可以做如下定義：對於給定的線性方程組x=Bx+f（這里的x、B、f同為矩陣，任意線性方程組都可以變換成此形式），用公式x(k+1）=Bx(k)+f（括弧中為上標，代表迭代k次得到的x，初始時k=0)逐步帶入求近似解的方法稱為迭代法（或稱一階定常迭代法）。如果k趨向無窮大時limx（k）存在，記為x*，稱此迭代法收斂。顯然x*就是此方程組的解，否則稱為迭代法發散。
跟迭代法相對應的是直接法（或者稱為一次解法），即一次性的快速解決問題，例如通過開方解決方程x +3= 4。一般如果可能，直接解法總是優先考慮的。但當遇到復雜問題時，特別是在未知量很多，方程為非線性時，我們無法找到直接解法（例如五次以及更高次的代數方程沒有解析解，參見阿貝耳定理），這時候或許可以通過迭代法尋求方程（組）的近似解。
最常見的迭代法是牛頓法。其他還包括最速下降法、共軛迭代法、變尺度迭代法、最小二乘法、線性規劃、非線性規劃、單純型法、懲罰函數法、斜率投影法、遺傳演算法、模擬退火等等。
利用迭代演算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：
確定迭代變數
在可以用迭代演算法解決的問題中，至少存在一個直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變數，這個變數就是迭代變數。
建立迭代關系式
所謂迭代關系式，指如何從變數的前一個值推出其下一個值的公式（或關系）。迭代關系式的建立是解決迭代問題的關鍵，通常可以順推或倒推的方法來完成。
對迭代過程進行控制
在什麼時候結束迭代過程？這是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地重復執行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次數無法確定。對於前一種情況，可以構建一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制；對於後一種情況，需要進一步分析出用來結束迭代過程的條件。
舉例
例 1 ：一個飼養場引進一隻剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問到第 12 個月時，該飼養場共有兔子多少只？
分析：這是一個典型的遞推問題。我們不妨假設第 1 個月時兔子的只數為 u 1 ，第 2 個月時兔子的只數為 u 2 ，第 3 個月時兔子的只數為 u 3 ，……根據題意，「這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子」，則有
u 1 = 1 ， u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2 ， u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ，……
根據這個規律，可以歸納出下面的遞推公式：
u n = u(n － 1）× 2 (n ≥ 2）
對應 u n 和 u(n － 1），定義兩個迭代變數 y 和 x ，可將上面的遞推公式轉換成如下迭代關系：
y=x*2
x=y
讓計算機對這個迭代關系重復執行 11 次，就可以算出第 12 個月時的兔子數。參考程序如下：
cls
x=1
for i=2 to 12
y=x*2
x=y
next i
print y
end
例 2 ：阿米巴用簡單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分鍾。將若干個阿米巴放在一個盛滿營養參液的容器內， 45 分鍾後容器內充滿了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴 220,220個。試問，開始的時候往容器內放了多少個阿米巴？請編程序算出。
分析：根據題意，阿米巴每 3 分鍾分裂一次，那麼從開始的時候將阿米巴放入容器裡面，到 45 分鍾後充滿容器，需要分裂 45/3=15 次。而「容器最多可以裝阿米巴2^ 20 個」，即阿米巴分裂 15 次以後得到的個數是 2^20。題目要求我們計算分裂之前的阿米巴數，不妨使用倒推的方法，從第 15 次分裂之後的 2^20 個，倒推出第 15 次分裂之前（即第 14 次分裂之後）的個數，再進一步倒推出第 13 次分裂之後、第 12 次分裂之後、……第 1 次分裂之前的個數。
設第 1 次分裂之前的個數為 x 0 、第 1 次分裂之後的個數為 x 1 、第 2 次分裂之後的個數為 x 2 、……第 15 次分裂之後的個數為 x 15 ，則有
x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1）
因為第 15 次分裂之後的個數 x 15 是已知的，如果定義迭代變數為 x ，則可以將上面的倒推公式轉換成如下的迭代公式：
x=x/2 （x 的初值為第 15 次分裂之後的個數 2^20）
讓這個迭代公式重復執行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴個數。因為所需的迭代次數是個確定的值，我們可以使用一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制。參考程序如下：
cls
x=2^20
for i=1 to 15
x=x/2
next i
print x
end
ps:java中冪的演算法是Math.pow（2,20）；返回double，稍微注意一下
例 3 ：驗證谷角猜想。日本數學家谷角靜夫在研究自然數時發現了一個奇怪現象：對於任意一個自然數 n ，若 n 為偶數，則將其除以 2 ；若 n 為奇數，則將其乘以 3 ，然後再加 1。如此經過有限次運算後，總可以得到自然數 1。人們把谷角靜夫的這一發現叫做「谷角猜想」。
要求：編寫一個程序，由鍵盤輸入一個自然數 n ，把 n 經過有限次運算後，最終變成自然數 1 的全過程列印出來。
分析：定義迭代變數為 n ，按照谷角猜想的內容，可以得到兩種情況下的迭代關系式：當 n 為偶數時， n=n/2 ；當 n 為奇數時， n=n*3+1。用 QBASIC 語言把它描述出來就是：
if n 為偶數 then
n=n/2
else
n=n*3+1
end if
這就是需要計算機重復執行的迭代過程。這個迭代過程需要重復執行多少次，才能使迭代變數 n 最終變成自然數 1 ，這是我們無法計算出來的。因此，還需進一步確定用來結束迭代過程的條件。仔細分析題目要求，不難看出，對任意給定的一個自然數 n ，只要經過有限次運算後，能夠得到自然數 1 ，就已經完成了驗證工作。因此，用來結束迭代過程的條件可以定義為：n=1。參考程序如下：
cls
input "Please input n=";n
do until n=1
if n mod 2=0 then
rem 如果 n 為偶數，則調用迭代公式 n=n/2
n=n/2
print "—";n;
else
n=n*3+1
print "—";n;
end if
loop
end
迭代法開平方：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
void main()
{
double a,x0,x1;
printf("Input a:\n");
scanf("%lf",&a);//為什麼在VC6.0中不能寫成「scanf("%f",&a）；」？
if(a<0)
printf("Error!\n");
else
{
x0=a/2;
x1=(x0+a/x0)/2;
do
{
x0=x1;
x1=(x0+a/x0)/2;
}while(fabs(x0-x1）>=1e-6）；
}
printf("Result:\n");
printf("sqrt(%g)=%g\n",a,x1）；
}
求平方根的迭代公式：x1=1/2*(x0+a/x0）。
演算法：1.先自定一個初值x0，作為a的平方根值，在我們的程序中取a/2作為a的初值；利用迭代公式求出一個x1。此值與真正的a的平方根值相比，誤差很大。
⒉把新求得的x1代入x0中，准備用此新的x0再去求出一個新的x1.
⒊利用迭代公式再求出一個新的x1的值，也就是用新的x0又求出一個新的平方根值x1，此值將更趨近於真正的平方根值。
⒋比較前後兩次求得的平方根值x0和x1，如果它們的差值小於我們指定的值，即達到我們要求的精度，則認為x1就是a的平方根值，去執行步驟5；否則執行步驟2，即循環進行迭代。
迭代法是用於求方程或方程組近似根的一種常用的演算法設計方法。設方程為f(x)=0，用某種數學方法導出等價的形式x=g(x），然後按以下步驟執行：
⑴ 選一個方程的近似根，賦給變數x0；
⑵ 將x0的值保存於變數x1，然後計算g(x1），並將結果存於變數x0；
⑶ 當x0與x1的差的絕對值還小於指定的精度要求時，重復步驟⑵的計算。
若方程有根，並且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認為是方程的根。上述演算法用C程序的形式表示為：
【演算法】迭代法求方程的根
{ x0=初始近似根；
do {
x1=x0；
x0=g(x1）； /*按特定的方程計算新的近似根*/
} while (fabs(x0-x1）>Epsilon）；
printf（「方程的近似根是%f\n」，x0）；
}
迭代演算法也常用於求方程組的根，令
X=（x0，x1，…，xn-1）
設方程組為：
xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1）
則求方程組根的迭代演算法可描述如下：
【演算法】迭代法求方程組的根
{ for (i=0;i
x=初始近似根；
do {
for (i=0;i
y=x;
for (i=0;i
x=gi(X);
for (delta=0.0,i=0;i
if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x）；
} while (delta>Epsilon）；
for (i=0;i
printf（「變數x[%d]的近似根是 %f」，I，x）；
printf（「\n」）；
}
具體使用迭代法求根時應注意以下兩種可能發生的情況：
⑴ 如果方程無解，演算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環，因此在使用迭代演算法前應先考察方程是否有解，並在程序中對迭代的次數給予限制；
⑵ 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導致迭代失敗。
遞歸
遞歸是設計和描述演算法的一種有力的工具，由於它在復雜演算法的描述中被經常採用，為此在進一步介紹其他演算法設計方法之前先討論它。
能採用遞歸描述的演算法通常有這樣的特徵：為求解規模為N的問題，設法將它分解成規模較小的問題，然後從這些小問題的解方便地構造出大問題的解，並且這些規模較小的問題也能採用同樣的分解和綜合方法，分解成規模更小的問題，並從這些更小問題的解構造出規模較大問題的解。特別地，當規模N=1時，能直接得解。
【問題】 編寫計算斐波那契（Fibonacci）數列的第n項函數fib（n）。
斐波那契數列為：0、1、1、2、3、……，即：
fib(0)=0;
fib⑴=1;
fib(n)=fib(n-1）+fib(n-2） （當n>1時）。
寫成遞歸函數有：
int fib(int n)
{ if (n==0) return 0;
if (n==1） return 1;
if (n>1） return fib(n-1）+fib(n-2）；
}
遞歸演算法的執行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復雜的問題（規模為n）的求解推到比原問題簡單一些的問題（規模小於n）的求解。例如上例中，求解fib(n），把它推到求解fib(n-1）和fib(n-2）。也就是說，為計算fib(n），必須先計算fib(n-1）和fib(n- 2），而計算fib(n-1）和fib(n-2），又必須先計算fib(n-3）和fib(n-4）。依次類推，直至計算fib⑴和fib(0），分別能立即得到結果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數fib中，當n為1和0的情況。
在回歸階段，當獲得最簡單情況的解後，逐級返回，依次得到稍復雜問題的解，例如得到fib⑴和fib(0）後，返回得到fib⑵的結果，……，在得到了fib(n-1）和fib(n-2）的結果後，返回得到fib(n）的結果。
在編寫遞歸函數時要注意，函數中的局部變數和參數知識局限於當前調用層，當遞推進入「簡單問題」層時，原來層次上的參數和局部變數便被隱蔽起來。在一系列「簡單問題」層，它們各有自己的參數和局部變數。
由於遞歸引起一系列的函數調用，並且可能會有一系列的重復計算，遞歸演算法的執行效率相對較低。當某個遞歸演算法能較方便地轉換成遞推演算法時，通常按遞推演算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數列的第n項的函數fib(n）應採用遞推演算法，即從斐波那契數列的前兩項出發，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項。
【問題】 組合問題
問題描述：找出從自然數1、2、……、n中任取r個數的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為：⑴5、4、3 ⑵5、4、2 ⑶5、4、1
⑷5、3、2 ⑸5、3、1 ⑹5、2、1
⑺4、3、2 ⑻4、3、1 ⑼4、2、1
⑽3、2、1
分析所列的10個組合，可以採用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數的演算法。設函數為void comb(int m,int k）為找出從自然數1、2、……、m中任取k個數的所有組合。當組合的第一個數字選定時，其後的數字是從餘下的m-1個數中取k-1數的組合。這就將求m 個數中取k個數的組合問題轉化成求m-1個數中取k-1個數的組合問題。設函數引入工作數組a[ ]存放求出的組合的數字，約定函數將確定的k個數字組合的第一個數字放在a[k]中，當一個組合求出後，才將a[ ]中的一個組合輸出。第一個數可以是m、m-1、……、k，函數將確定組合的第一個數字放入數組後，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其餘元素，繼續遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細節見以下程序中的函數comb。
【程序】
# include
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int k)
{ int i,j;
for (i=m;i>=k;i--)
{ a[k]=i;
if (k>1）
comb(i-1,k-1）；
else
{ for (j=a[0];j>0;j--)
printf（「%4d」，a[j]);
printf（「\n」）；
}
}
}
void main()
{ a[0]=3;
comb（5,3）；
}
【問題】 背包問題
問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。
設n 件物品的重量分別為w0、w1、…、wn-1，物品的價值分別為v0、v1、…、vn-1。採用遞歸尋找物品的選擇方案。設前面已有了多種選擇的方案，並保留了其中總價值最大的方案於數組option[ ]，該方案的總價值存於變數maxv。當前正在考察新方案，其物品選擇情況保存於數組cop[ ]。假定當前方案已考慮了前i-1件物品，現在要考慮第i件物品；當前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其餘物品都選擇是可能的話，本方案能達到的總價值的期望值為tv。演算法引入tv是當一旦當前方案的總價值的期望值也小於前面方案的總價值maxv時，繼續考察當前方案變成無意義的工作，應終止當前方案，立即去考察下一個方案。因為當方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數後找到的方案一定會比前面的方案更好。
對於第i件物品的選擇考慮有兩種可能：
⑴ 考慮物品i被選擇，這種可能性僅當包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中後，繼續遞歸去考慮其餘物品的選擇。
⑵ 考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。
按以上思想寫出遞歸演算法如下：
try（物品i，當前選擇已達到的重量和，本方案可能達到的總價值tv)
{ /*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/
if（包含物品i是可以接受的）
{ 將物品i包含在當前方案中；
if (i
try(i+1,tw+物品i的重量，tv);
else
/*又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/
以當前方案作為臨時最佳方案保存；
恢復物品i不包含狀態；
}
/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/
if （不包含物品i僅是可男考慮的）
if (i
try(i+1,tw,tv-物品i的價值）；
else
/*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/
以當前方案作為臨時最佳方案保存；
}
為了理解上述演算法，特舉以下實例。設有4件物品，它們的重量和價值見表：
物品 0 1 2 3
重量 5 3 2 1
價值 4 4 3 1
並設限制重量為7。則按以上演算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，演算法就進一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解，演算法不會在該分支繼續查找，而是立即終止該分支，並去考察下一個分支。
按上述演算法編寫函數和程序如下：
【程序】
# include
# define N 100
double limitW,totV,maxV;
int option[N],cop[N];
struct { double weight;
double value;
}a[N];
int n;
void find(int i,double tw,double tv)
{ int k;
/*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/
if (tw+a.weight<=limitW)
{ cop=1;
if (i
else
{ for (k=0;k
option[k]=cop[k];
maxv=tv;
}
cop=0;
}
/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/
if (tv-a.value>maxV)
if (i
else
{ for (k=0;k
option[k]=cop[k];
maxv=tv-a.value;
}
}
void main()
{ int k;
double w,v;
printf（「輸入物品種數\n」）；
scanf（（「%d」，&n);
printf（「輸入各物品的重量和價值\n」）；
for (totv=0.0,k=0;k
{ scanf（「%1f%1f」，&w,&v);
a[k].weight=w;
a[k].value=v;
totV+=V;
}
printf（「輸入限制重量\n」）；
scanf（「%1f」，&limitV);
maxv=0.0;
for (k=0;k find(0,0.0,totV);
for (k=0;k
if (option[k]) printf（「%4d」，k+1）；
printf（「\n總價值為%.2f\n」，maxv);
}
作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡單地逐一生成所有候選解，而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進一步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應該繼續考慮的；反之，該物品不應該包括在當前正在形成的候選解中。同樣地，僅當物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當前候選解中的方案也不應繼續考慮。對於任一值得繼續考慮的方案，程序就去進一步考慮下一個物品。
【程序】
# include
# define N 100
double limitW;
int cop[N];
struct ele { double weight;
double value;
} a[N];
int k,n;
struct { int ;
double tw;
double tv;
}twv[N];
void next(int i,double tw,double tv)
{ twv.=1;
twv tw=tw;
twv tv=tv;
}
double find(struct ele *a,int n)
{ int i,k,f;
double maxv,tw,tv,totv;
maxv=0;
for (totv=0.0,k=0;k
totv+=a[k].value;
next(0,0.0,totv);
i=0;
While (i>=0)
{ f=twv.;
tw=twv tw;
tv=twv tv;
switch(f)
{ case 1: twv.++;
if (tw+a.weight<=limitW)
if (i
{ next(i+1,tw+a.weight,tv);
i++;
}
else
{ maxv=tv;
for (k=0;k
cop[k]=twv[k].!=0;
}
break;
case 0: i--;
break;
default: twv.=0;
if (tv-a.value>maxv)
if (i
{ next(i+1,tw,tv-a.value);
i++;
}
else
{ maxv=tv-a.value;
for (k=0;k
cop[k]=twv[k].!=0;
}
break;
}
}
return maxv;
}
void main()
{ double maxv;
printf（「輸入物品種數\n」）；
scanf（（「%d」，&n);
printf（「輸入限制重量\n」）；
scanf（「%1f」，&limitW);
printf（「輸入各物品的重量和價值\n」）；
for (k=0;k
scanf（「%1f%1f」，&a[k].weight,&a[k].value);
maxv=find(a,n);
printf（「\n選中的物品為\n」）；
for (k=0;k
if (option[k]) printf（「%4d」，k+1）；
printf（「\n總價值為%.2f\n」，maxv);
}
編輯本段遞歸的基本概念和特點
程序調用自身的編程技巧稱為遞歸（recursion）。
一個過程或函數在其定義或說明中又直接或間接調用自身的一種方法，它通常把一個大型復雜的問題層層轉化為一個與原問題相似的規模較小的問題來求解，遞歸策略只需少量的程序就可描述出解題過程所需要的多次重復計算，大大地減少了程序的代碼量。遞歸的能力在於用有限的語句來定義對象的無限集合。用遞歸思想寫出的程序往往十分簡潔易懂。
一般來說，遞歸需要有邊界條件、遞歸前進段和遞歸返回段。當邊界條件不滿足時，遞歸前進；當邊界條件滿足時，遞歸返回。
注意：
⑴ 遞歸就是在過程或函數里調用自身；
⑵ 在使用遞增歸策略時，必須有一個明確的遞歸結束條件，稱為遞歸出口。

⑼ 粒子群優化演算法和多模態優化演算法有什麼區別

摘 要：，粒子群演算法據自己的速度來決定搜索過程，只有最優的粒子把信息給予其他的粒子，整個搜索更新過程是跟隨當前最優解的過程，所有的粒子還可以更快的收斂於最優解。由於微粒群演算法簡單，容易實現，與其它求解約束優化問題的方法相比較，具有一定的優勢。實驗結果表明，對於無約束的非線性求解，粒子群演算法表現出較好的收斂性和健壯性。
關鍵詞：粒子群演算法；函數優化；極值尋優
0 引言
非線性方程的求根問題是多年來數學家努力解決的問題之一。長期以來，人們已找出多種用於解決方程求根的方法，例如牛頓法、弦割法、拋物線法等。然而，很多傳統的方法僅能運用於相應的小的問題集，推廣性相對較差。對於一個現實世界中的優化問題，必須嘗試很多不同的方法，甚至要發明相應的新的方法來解決，這顯然是不現實的。我們需要另外的方法來克服這樣的困難。
粒子群演算法是一種現代啟發式演算法，具有推廣性強、魯棒性高等特點[1]。該演算法具有群體智能、內在並行性、迭代格式簡單、可快速收斂到最優解所在區域等優點[2]。本文採用粒子群演算法，對函數的極值進行尋優計算，實現了對函數的極值求解。
1 粒子群演算法
1.1 基本原理
粒子群演算法（PSO）是一種基於群體的隨機優化技術，它的思想來源於對鳥群捕食行為的研究與模擬。粒子群演算法與其它基於群體的進化演算法相類似，選用「群體」和「進化」的概念，按照個體的適應度值進行操作，也是一種基於迭代的尋優技術。區別在於，粒子群演算法中沒有交叉變異等進化運算元，而是將每個個體看作搜索空間中的微粒，每個微粒沒有重量和體積，但都有自己的位置向量、速度向量和適應度值。所有微粒以一定的速度飛行於搜索空間中，其中的飛行速度是由個體飛行經驗和群體的飛行經驗動態調整，通過追蹤當前搜索到的最優值來尋找全局最優值。
1.2 參數選擇
粒子群演算法需要修改的參數很少，但對參數的選擇卻十分敏感。El-Gallad A, El-Hawary M, Sallam A, Kalas A[3]主要對演算法中的種群規模、迭代次數和粒子速度的選擇方法進行了詳細分析，利用統計方法對約束優化問題的求解論證了這 3 個參數對演算法性能的影響，並給出了具有一定通用性的3 個參數選擇原則[4]。
種群規模：通常根據待優化問題的復雜程度確定。
最大速度：決定粒子在一次迭代中的最大移動距離,通常設定為不超過粒子的范圍寬度。
加速常數：加速常數c1和c2通常是由經驗值決定的，它代表粒子向pbest和gbest靠攏的加速項的權重。一般取值為：c1=c2=2。
中止條件：達到最大迭代次數或得到最小誤差要求，通常要由具體問題確定。
慣性權重：慣性權重能夠針對待優化問題調整演算法的局部和全局搜索能力。當該值較大時有利於全局搜索，較小時有利於局部搜索。所以通常在演算法開始時設置較大的慣性權重，以便擴大搜索范圍、加快收斂。而隨著迭代次數的增加逐漸減小慣性權重的值，使其進行精確搜索，避免跳過最優解。
1.3 演算法步驟
PSO演算法步驟如下：
Step1：初始化一個規模為 m 的粒子群，設定初始位置和速度。
初始化過程如下：
（1）設定群體規模m;
（2）對任意的i，s，在[-xmax, xmax]內均勻分布，產生初始位置xis；
（3）對任意的i，s，在[-vmax, vmax]內均勻分布，產生速度vis；
（4）對任意的i，設yi=xi，保存個體。
Step2：計算每個粒子的適應度值。
Step3：對每個粒子的適應度值和得到過的最好位置pis的適應度值進行比較，若相對較好，則將其作為當前的最好位置。
Step4：對每個粒子的適應度值和全局得到過的最好位置pgs的適應度值進行比較，若相對較好，則將其作為當前的全局最好位置。
Step5：分別對粒子的所在位置和速度進行更新。
Step6：如果滿足終止條件，則輸出最優解；否則，返回Step2。
1.4 粒子群演算法函數極值求解
粒子群演算法優化是計算機智能領域，除蟻群演算法外的另一種基於群體智能的優化演算法。粒子群演算法是一種群體智能的煙花計算技術。與遺傳演算法相比，粒子群演算法沒有遺傳演算法的選擇（Selection）、交叉（Crossover）、變異（Mutation）等操作，而是通過粒子在解空間追隨最優的粒子進行搜索。
粒子群演算法流程如圖所示：

粒子群為由n個粒子組成的種群X = (X1,X2,X3,…Xn).
第i個粒子表示一個D維向量Xi = (X1,X2,X3,…XD)T.
第i個粒子的速度為Vi = (Vi1,Vi2,Vi3,…ViD)T.
個體極值為Pi = (Pi1,Pi2,Pi3,…PiD)T.
全局極值為Pg = (Pg1,Pg2,Pg3,…PgD)T.
速度更新為，式中，c1和c2為其兩個學習因子的參數值；r1和r2為其兩個隨機值。
位置更新為.
2 粒子群演算法應用舉例
2.1 實驗問題
這是一個無約束函數的極值尋優，對於Ackley函數，
.
其中c1=20，e=2. 71289。
2.2 實驗步驟
對於Ackley函數圖形，選取一個凹峰進行分析，程序運行結果如圖所示。

圖1 Ackley函數圖形
可以看出，選取區間內的Ackley函數圖形只有一個極小值點。因此，對於該段函數進行尋優，不會陷入局部最小。採用粒子群演算法對該函數進行極值尋優。
首先，進行初始化粒子群，編寫的MATLAB代碼如下：
% 初始化種群
for i=1:sizepop
x1 = popmin1 (popmax1-popmin1)*rand;
% 產生隨機個體
x2 = popmin2 (popmax2-popmin2)*rand;
pop(i,1) = x1; % 保存產生的隨機個體
pop(i,2) = x2;
fitness(i) = fun([x1,x2]); % 適應度值
V(i,1) = 0; % 初始化粒子速度
V(i,2) = 0;
end
程序運行後所產生的個體值為：
表1 函數個體值

然後，根據待尋優的目標函數，計算適應度值。待尋優的目標函數為：
function y = fun(x)
y=-20*exp(-0.2*sqrt((x(1)^2x(2)^2)/2))-exp((cos(2*pi*x(1)) cos(2*pi*x(2)))/2) 20 2.71289;
根據每一組個體，通過目標函數，得到的適應度值為：

表2 函數適應度值

搜索個體最優極值，即搜索最小的適應度值，我們可利用MATLAB繪圖將所有個體的適應度值繪成plot圖查看相對最小值。

圖3 函數適應度plot圖
從圖中可看出，當個體=20時，得到相對最小值，在程序中，將其保存下來。
之後進行迭代尋優，直到滿足終止條件。
最後，得到的最優值為：

圖4 MATLAB運行得到結果
迭代後得到的運行結果圖如下：

圖5 迭代曲線圖
2.3 實驗結果
通過圖5中可看出，該函數的尋優是收斂的，最優個體和實際情況較吻合。因此，採用粒子群演算法進行函數極值尋優，快速、准確且魯棒性較好。
3 結論
本文闡述了粒子群演算法求解最化問題的過程，實驗結果表明了該演算法對於無約束問題的可行性。與其它的進化演算法相比，粒子群演算法容易理解、編碼簡單、容易實現。但是參數的設置對於該演算法的性能卻有很大的影響，例如控制收斂，避免早熟等。在未來的工作中，將努力於將其它計算智能演算法或其它優化技術應用於粒子群演算法中，以進一步提高粒子群演算法的性能。

⑽ 在C語言中，什麼是迭代法

迭代法也稱輾轉法，是一種不斷用變數的舊值遞推新值的過程，跟迭代法相對應的是直接法，即一次性解決問題。迭代法又分為精確迭代和近似迭代。「二分法」和「牛頓迭代法」屬於近似迭代法。迭代演算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重復性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進行重復執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變數的原值推出它的一個新值。

迭代是數值分析中通過從一個初始估計出發尋找一系列近似解來解決問題（一般是解方程或者方程組）的過程，為實現這一過程所使用的方法統稱為迭代法（Iterative Method）。

一般可以做如下定義：對於給定的線性方程組x=Bx+f（這里的x、B、f同為矩陣，任意線性方程組都可以變換成此形式），用公式x(k+1）=Bx(k)+f（括弧中為上標，代表迭代k次得到的x，初始時k=0)逐步帶入求近似解的方法稱為迭代法（或稱一階定常迭代法）。如果k趨向無窮大時limx（k）存在，記為x*，稱此迭代法收斂。顯然x*就是此方程組的解，否則稱為迭代法發散。

跟迭代法相對應的是直接法（或者稱為一次解法），即一次性的快速解決問題，例如通過開方解決方程x +3= 4。一般如果可能，直接解法總是優先考慮的。但當遇到復雜問題時，特別是在未知量很多，方程為非線性時，我們無法找到直接解法（例如五次以及更高次的代數方程沒有解析解，參見阿貝耳定理），這時候或許可以通過迭代法尋求方程（組）的近似解。

最常見的迭代法是牛頓法。其他還包括最速下降法、共軛迭代法、變尺度迭代法、最小二乘法、線性規劃、非線性規劃、單純型法、懲罰函數法、斜率投影法、遺傳演算法、模擬退火等等。

利用迭代演算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：
確定迭代變數
在可以用迭代演算法解決的問題中，至少存在一個直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變數，這個變數就是迭代變數。
建立迭代關系式
所謂迭代關系式，指如何從變數的前一個值推出其下一個值的公式（或關系）。迭代關系式的建立是解決迭代問題的關鍵，通常可以順推或倒推的方法來完成。
對迭代過程進行控制
在
什麼時候結束迭代過程？這是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地重復執行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數
是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次數無法確定。對於前一種情況，可以構建一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制；對於後一種情況，需
要進一步分析出用來結束迭代過程的條件。
舉例
例 1 ：一個飼養場引進一隻剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問到第 12 個月時，該飼養場共有兔子多少只？

分析：這是一個典型的遞推問題。我們不妨假設第 1 個月時兔子的只數為 u 1 ，第 2 個月時兔子的只數為 u 2 ，第 3 個月時兔子的只數為 u 3 ，……根據題意，「這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子」，則有

u 1 = 1 ， u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2 ， u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ，……

根據這個規律，可以歸納出下面的遞推公式：

u n = u(n － 1）× 2 (n ≥ 2）

對應 u n 和 u(n － 1），定義兩個迭代變數 y 和 x ，可將上面的遞推公式轉換成如下迭代關系：

y=x*2

x=y

讓計算機對這個迭代關系重復執行 11 次，就可以算出第 12 個月時的兔子數。參考程序如下：

cls

x=1

for i=2 to 12

y=x*2

x=y

next i

print y

end

例 2 ：阿米巴用簡單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分鍾。將若干個阿米巴放在一個盛滿營養參液的容器內， 45 分鍾後容器內充滿了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴 220,220個。試問，開始的時候往容器內放了多少個阿米巴？請編程序算出。

分析：根據題意，阿米巴每 3 分鍾分裂一次，那麼從開始的時候將阿米巴放入容器裡面，到 45
分鍾後充滿容器，需要分裂 45/3=15 次。而「容器最多可以裝阿米巴2^ 20 個」，即阿米巴分裂 15 次以後得到的個數是
2^20。題目要求我們計算分裂之前的阿米巴數，不妨使用倒推的方法，從第 15 次分裂之後的 2^20 個，倒推出第 15 次分裂之前（即第 14
次分裂之後）的個數，再進一步倒推出第 13 次分裂之後、第 12 次分裂之後、……第 1 次分裂之前的個數。

設第 1 次分裂之前的個數為 x 0 、第 1 次分裂之後的個數為 x 1 、第 2 次分裂之後的個數為 x 2 、……第 15 次分裂之後的個數為 x 15 ，則有

x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1）

因為第 15 次分裂之後的個數 x 15 是已知的，如果定義迭代變數為 x ，則可以將上面的倒推公式轉換成如下的迭代公式：

x=x/2 （x 的初值為第 15 次分裂之後的個數 2^20）

讓這個迭代公式重復執行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴個數。因為所需的迭代次數是個確定的值，我們可以使用一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制。參考程序如下：

cls

x=2^20

for i=1 to 15

x=x/2

next i

print x

end

ps:java中冪的演算法是Math.pow（2,20）；返回double，稍微注意一下

例 3 ：驗證谷角猜想。日本數學家谷角靜夫在研究自然數時發現了一個奇怪現象：對於任意一個自然數 n ，若 n 為偶數，則將其除以 2 ；若 n 為奇數，則將其乘以 3 ，然後再加 1。如此經過有限次運算後，總可以得到自然數 1。人們把谷角靜夫的這一發現叫做「谷角猜想」。

要求：編寫一個程序，由鍵盤輸入一個自然數 n ，把 n 經過有限次運算後，最終變成自然數 1 的全過程列印出來。

分析：定義迭代變數為 n ，按照谷角猜想的內容，可以得到兩種情況下的迭代關系式：當 n 為偶數時， n=n/2 ；當 n 為奇數時， n=n*3+1。用 QBASIC 語言把它描述出來就是：

if n 為偶數 then

n=n/2

else

n=n*3+1

end if

這就是需要計算機重復執行的迭代過程。這個迭代過程需要重復執行多少次，才能使迭代變數 n 最終變成自然數 1
，這是我們無法計算出來的。因此，還需進一步確定用來結束迭代過程的條件。仔細分析題目要求，不難看出，對任意給定的一個自然數 n
，只要經過有限次運算後，能夠得到自然數 1 ，就已經完成了驗證工作。因此，用來結束迭代過程的條件可以定義為：n=1。參考程序如下：

cls

input "Please input n=";n

do until n=1

if n mod 2=0 then

rem 如果 n 為偶數，則調用迭代公式 n=n/2

n=n/2

print "—";n;

else

n=n*3+1

print "—";n;

end if

loop

end

迭代法開平方：

#include<stdio.h>

#include<math.h>

void main()

{

double a,x0,x1;

printf("Input a:\n");

scanf("%lf",&a);//為什麼在VC6.0中不能寫成「scanf("%f",&a）；」？

if(a<0)

printf("Error!\n");

else

{

x0=a/2;

x1=(x0+a/x0)/2;

do

{

x0=x1;

x1=(x0+a/x0)/2;

}while(fabs(x0-x1）>=1e-6）；

}

printf("Result:\n");

printf("sqrt(%g)=%g\n",a,x1）；

}

求平方根的迭代公式：x1=1/2*(x0+a/x0）。

演算法：1.先自定一個初值x0，作為a的平方根值，在我們的程序中取a/2作為a的初值；利用迭代公式求出一個x1。此值與真正的a的平方根值相比，誤差很大。

⒉把新求得的x1代入x0中，准備用此新的x0再去求出一個新的x1.

⒊利用迭代公式再求出一個新的x1的值，也就是用新的x0又求出一個新的平方根值x1，此值將更趨近於真正的平方根值。

⒋比較前後兩次求得的平方根值x0和x1，如果它們的差值小於我們指定的值，即達到我們要求的精度，則認為x1就是a的平方根值，去執行步驟5；否則執行步驟2，即循環進行迭代。

迭代法是用於求方程或方程組近似根的一種常用的演算法設計方法。設方程為f(x)=0，用某種數學方法導出等價的形式x=g(x），然後按以下步驟執行：

⑴ 選一個方程的近似根，賦給變數x0；

⑵ 將x0的值保存於變數x1，然後計算g(x1），並將結果存於變數x0；

⑶ 當x0與x1的差的絕對值還小於指定的精度要求時，重復步驟⑵的計算。

若方程有根，並且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認為是方程的根。上述演算法用C程序的形式表示為：

【演算法】迭代法求方程的根

{ x0=初始近似根；

do {

x1=x0；

x0=g(x1）； /*按特定的方程計算新的近似根*/

} while (fabs(x0-x1）>Epsilon）；

printf（「方程的近似根是%f\n」，x0）；

}

迭代演算法也常用於求方程組的根，令

X=（x0，x1，…，xn-1）

設方程組為：

xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1）

則求方程組根的迭代演算法可描述如下：

【演算法】迭代法求方程組的根

{ for (i=0;i

x=初始近似根；

do {

for (i=0;i

y=x;

for (i=0;i

x=gi(X);

for (delta=0.0,i=0;i

if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x）；

} while (delta>Epsilon）；

for (i=0;i

printf（「變數x[%d]的近似根是 %f」，I，x）；

printf（「\n」）；

}

具體使用迭代法求根時應注意以下兩種可能發生的情況：

⑴ 如果方程無解，演算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環，因此在使用迭代演算法前應先考察方程是否有解，並在程序中對迭代的次數給予限制；

⑵ 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導致迭代失敗。

遞歸

遞歸是設計和描述演算法的一種有力的工具，由於它在復雜演算法的描述中被經常採用，為此在進一步介紹其他演算法設計方法之前先討論它。

能採用遞歸描述的演算法通常有這樣的特徵：為求解規模為N的問題，設法將它分解成規模較小的問題，然後從這些小問題的解方便地構造出大問題的解，並且這些規模較小的問題也能採用同樣的分解和綜合方法，分解成規模更小的問題，並從這些更小問題的解構造出規模較大問題的解。特別地，當規模N=1時，能直接得解。

【問題】 編寫計算斐波那契（Fibonacci）數列的第n項函數fib（n）。

斐波那契數列為：0、1、1、2、3、……，即：

fib(0)=0;

fib⑴=1;

fib(n)=fib(n-1）+fib(n-2） （當n>1時）。

寫成遞歸函數有：

int fib(int n)

{ if (n==0) return 0;

if (n==1） return 1;

if (n>1） return fib(n-1）+fib(n-2）；

}

遞歸演算法的執行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復雜的問題（規模為n）的求解推到比原問題簡單一些的問
題（規模小於n）的求解。例如上例中，求解fib(n），把它推到求解fib(n-1）和fib(n-2）。也就是說，為計算fib(n），必須先計算
fib(n-1）和fib(n-
2），而計算fib(n-1）和fib(n-2），又必須先計算fib(n-3）和fib(n-4）。依次類推，直至計算fib⑴和fib(0），分別能
立即得到結果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數fib中，當n為1和0的情況。

在回歸階段，當獲得最簡單情況的解後，逐級返回，依次得到稍復雜問題的解，例如得到fib⑴和fib(0）後，返回得到fib⑵的結果，……，在得到了fib(n-1）和fib(n-2）的結果後，返回得到fib(n）的結果。

在編寫遞歸函數時要注意，函數中的局部變數和參數知識局限於當前調用層，當遞推進入「簡單問題」層時，原來層次上的參數和局部變數便被隱蔽起來。在一系列「簡單問題」層，它們各有自己的參數和局部變數。

由於遞歸引起一系列的函數調用，並且可能會有一系列的重復計算，遞歸演算法的執行效率相對較低。當某個遞歸演算法能較方便地轉換成遞推演算法時，通常按遞推演算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數列的第n項的函數fib(n）應採用遞推演算法，即從斐波那契數列的前兩項出發，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項。

【問題】 組合問題

問題描述：找出從自然數1、2、……、n中任取r個數的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為：⑴5、4、3 ⑵5、4、2 ⑶5、4、1

⑷5、3、2 ⑸5、3、1 ⑹5、2、1

⑺4、3、2 ⑻4、3、1 ⑼4、2、1

⑽3、2、1

分析所列的10個組合，可以採用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數的演算法。設函數為void comb(int
m,int
k）為找出從自然數1、2、……、m中任取k個數的所有組合。當組合的第一個數字選定時，其後的數字是從餘下的m-1個數中取k-1數的組合。這就將求m
個數中取k個數的組合問題轉化成求m-1個數中取k-1個數的組合問題。設函數引入工作數組a[
]存放求出的組合的數字，約定函數將確定的k個數字組合的第一個數字放在a[k]中，當一個組合求出後，才將a[
]中的一個組合輸出。第一個數可以是m、m-1、……、k，函數將確定組合的第一個數字放入數組後，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其餘元素，繼續遞
歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細節見以下程序中的函數comb。

【程序】

# include

# define MAXN 100

int a[MAXN];

void comb(int m,int k)

{ int i,j;

for (i=m;i>=k;i--)

{ a[k]=i;

if (k>1）

comb(i-1,k-1）；

else

{ for (j=a[0];j>0;j--)

printf（「%4d」，a[j]);

printf（「\n」）；

}

}

}

void main()

{ a[0]=3;

comb（5,3）；

}

【問題】 背包問題

問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。

設n
件物品的重量分別為w0、w1、…、wn-1，物品的價值分別為v0、v1、…、vn-1。採用遞歸尋找物品的選擇方案。設前面已有了多種選擇的方案，並
保留了其中總價值最大的方案於數組option[ ]，該方案的總價值存於變數maxv。當前正在考察新方案，其物品選擇情況保存於數組cop[
]。假定當前方案已考慮了前i-1件物品，現在要考慮第i件物品；當前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其餘物品都選擇是可能的話，本方案能達
到的總價值的期望值為tv。演算法引入tv是當一旦當前方案的總價值的期望值也小於前面方案的總價值maxv時，繼續考察當前方案變成無意義的工作，應終止
當前方案，立即去考察下一個方案。因為當方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數後找到的方案一定會比前面的方案更好。

對於第i件物品的選擇考慮有兩種可能：

⑴ 考慮物品i被選擇，這種可能性僅當包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中後，繼續遞歸去考慮其餘物品的選擇。

⑵ 考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。

按以上思想寫出遞歸演算法如下：

try（物品i，當前選擇已達到的重量和，本方案可能達到的總價值tv)

{ /*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/

if（包含物品i是可以接受的）

{ 將物品i包含在當前方案中；

if (i

try(i+1,tw+物品i的重量，tv);

else

/*又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/

以當前方案作為臨時最佳方案保存；

恢復物品i不包含狀態；

}

/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/

if （不包含物品i僅是可男考慮的）

if (i

try(i+1,tw,tv-物品i的價值）；

else

/*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/

以當前方案作為臨時最佳方案保存；

}

為了理解上述演算法，特舉以下實例。設有4件物品，它們的重量和價值見表：

物品 0 1 2 3

重量 5 3 2 1

價值 4 4 3 1

並設限制重量為7。則按以上演算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，演算法就進一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解，演算法不會在該分支繼續查找，而是立即終止該分支，並去考察下一個分支。

按上述演算法編寫函數和程序如下：

【程序】

# include

# define N 100

double limitW,totV,maxV;

int option[N],cop[N];

struct { double weight;

double value;

}a[N];

int n;

void find(int i,double tw,double tv)

{ int k;

/*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/

if (tw+a.weight<=limitW)

{ cop=1;

if (i

else

{ for (k=0;k

option[k]=cop[k];

maxv=tv;

}

cop=0;

}

/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/

if (tv-a.value>maxV)

if (i

else

{ for (k=0;k

option[k]=cop[k];

maxv=tv-a.value;

}

}

void main()

{ int k;

double w,v;

printf（「輸入物品種數\n」）；

scanf（（「%d」，&n);

printf（「輸入各物品的重量和價值\n」）；

for (totv=0.0,k=0;k

{ scanf（「%1f%1f」，&w,&v);

a[k].weight=w;

a[k].value=v;

totV+=V;

}

printf（「輸入限制重量\n」）；

scanf（「%1f」，&limitV);

maxv=0.0;

for (k=0;k find(0,0.0,totV);

for (k=0;k

if (option[k]) printf（「%4d」，k+1）；

printf（「\n總價值為%.2f\n」，maxv);

}

作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡單地逐一生成所有候選解，而是
從每個物品對候選解的影響來形成值得進一步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當該物品被包含在候選
解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應該繼續考慮的；反之，該物品不應該包括在當前正在形成的候選解中。同樣地，僅當物品不被包括在
候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當前候選解中的方案也不應繼續考慮。
對於任一值得繼續考慮的方案，程序就去進一步考慮下一個物品。

【程序】

# include

# define N 100

double limitW;

int cop[N];

struct ele { double weight;

double value;

} a[N];

int k,n;

struct { int ;

double tw;

double tv;

}twv[N];

void next(int i,double tw,double tv)

{ twv.=1;

twv tw=tw;

twv tv=tv;

}

double find(struct ele *a,int n)

{ int i,k,f;

double maxv,tw,tv,totv;

maxv=0;

for (totv=0.0,k=0;k

totv+=a[k].value;

next(0,0.0,totv);

i=0;

While (i>=0)

{ f=twv.;

tw=twv tw;

tv=twv tv;

switch(f)

{ case 1: twv.++;

if (tw+a.weight<=limitW)

if (i

{ next(i+1,tw+a.weight,tv);

i++;

}

else

{ maxv=tv;

for (k=0;k

cop[k]=twv[k].!=0;

}

break;

case 0: i--;

break;

default: twv.=0;

if (tv-a.value>maxv)

if (i

{ next(i+1,tw,tv-a.value);

i++;

}

else

{ maxv=tv-a.value;

for (k=0;k

cop[k]=twv[k].!=0;

}

break;

}

}

return maxv;

}

void main()

{ double maxv;

printf（「輸入物品種數\n」）；

scanf（（「%d」，&n);

printf（「輸入限制重量\n」）；

scanf（「%1f」，&limitW);

printf（「輸入各物品的重量和價值\n」）；

for (k=0;k

scanf（「%1f%1f」，&a[k].weight,&a[k].value);

maxv=find(a,n);

printf（「\n選中的物品為\n」）；

for (k=0;k

if (option[k]) printf（「%4d」，k+1）；

printf（「\n總價值為%.2f\n」，maxv);

}