形狀數演算法

『壹』 分形維數的計算方法有那些能具體說一下嗎

被譽為大自然的幾何學的分形（Fractal）理論，是現代數學的一個新分支，但其本質卻是一種新的世界觀和方法論。它與動力系統的混沌理論交叉結合，相輔相成。它承認世界的局部可能在一定條件下。過程中，在某一方面（形態，結構，信息，功能，時間，能量等）表現出與整體的相似性，它承認空間維數的變化既可以是離散的也可以是連續的，因而拓展了視野。 分形幾何的概念是美籍法國數學家曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德國數學家維爾斯特拉斯（K.Weierestrass）構造了處處連續但處處不可微的函數，集合論創始人康托（G.Cantor，德國數學家）構造了有許多奇異性質的三分康托集。1890年，義大利數學家皮亞諾（G.Peano）構造了填充空間的曲線。1904年，瑞典數學家科赫（H.von Koch）設計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。1915年，波蘭數學家謝爾賓斯基（W.Sierpinski）設計了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓樸學中的問題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。1910年，德國數學家豪斯道夫（F.Hausdorff）開始了奇異集合性質與量的研究，提出分數維概念。1928年布利干（G.Bouligand）將閔可夫斯基容度應用於非整數維，由此能將螺線作很好的分類。1932年龐特里亞金（L.S.Pontryagin）等引入盒維數。1934年，貝塞考維奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫測度的性質和奇異集的分數維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領域中作出了主要貢獻，從而產生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數概念。以後，這一領域的研究工作沒有引起更多人的注意，先驅們的工作只是作為分析與拓撲學教科書中的反例而流傳開來。二1960年，曼德爾布羅特在研究棉價變化的長期性態時，發現了價格在大小尺度間的對稱性。同年在研究信號的傳輸誤差時，發現誤差傳輸與無誤差傳輸在時間上按康托集排列。在對尼羅河水位和英國海岸線的數學分析中，發現類似規律。他總結自然界中很多現象從標度變換角度表現出的對稱性。他將這類集合稱作自相似集，其嚴格定義可由相似映射給出。他認為，歐氏測度不能刻劃這類集的本質，轉向維數的研究，發現維數是尺度變換下的不變數，主張用維數來刻劃這類集合。1975年，曼德爾布羅特用法文出版了分形幾何第一部著作《分開：形狀、機遇和維數》。1977年該書再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德爾布羅特關於分形幾何的主要思想，它將分形定義為豪斯道夫維數嚴格大於其拓樸維數的集合，總結了根據自相似性計算實驗維數的方法，由於相似維數只對嚴格自相似這一小類集有意義，豪斯道夫維數雖然廣泛，但在很多情形下難以用計算方法求得，因此分形幾何的應用受到局限。1982年，曼德爾布羅特的新著《自然界的分形幾何》出版，將分形定義為局部以某種方式與整體相似的集，重新討論盒維數，它比豪斯道夫維數容易計算，但是稠密可列集盒維數與集所在空間維數相等。為避免這一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充維數，1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普羅克西婭（I.Procaccia）提出根據觀測記錄的時間數據列直接計算動力系統吸引子維數的演算法。1985年，曼德爾布羅特提出並研究自然界中廣泛存在的自仿射集，它包括自相似集並可通過仿射映射嚴格定義。1982年德金（F.M.Dekking）研究遞歸集，這類分形集由迭代過程和嵌入方法生成，范圍更廣泛，但維數研究非常困難。德金獲得維數上界。1989年，鍾紅柳等人解決了德金猜想，確定了一大類遞歸集的維數。隨著分形理論的發展和維數計算方法的逐步提出與改進，1982年以後，分形理論逐漸在很多領域得到應用並越來越廣泛。建立簡便盛行的維數計算方法，以滿足應用發展的需要，還是一項艱巨的任務。 自然界中的分形，與概率統計、隨機過程關系密切。確定性的古典分形集加入隨機性，就會產生出隨機康托集、隨機科契曲線等各種隨機分形。1968年，曼德爾布羅特研究布朗運動這一隨機過程時，將其推廣到與分形有關的分數布朗運動。1974年他又提出了分形滲流模型。1988年，柴葉斯（j.T.Chayes）給出了詳細的數學分析。1984年，扎樂（U.Zahle）通過隨機刪除而得到十分有趣的分形構造，隨機分形能更真實地描述和模擬自然現象。三動力系統中的分形集是近年分形幾何中最活躍和引人入勝的一個研究領域。動力系統的奇異吸引子通常都是分形集，它們產生於非線性函數的迭代和非線性微分方程中。1963年，氣象學家洛倫茲（E.N.Lorenz）在研究流體的對流運動時，發現了以他的名字命名的第一個奇異吸引子，它是一個典型的分形集。1976年，法國天文學家伊儂（M.Henon）考慮標准二次映射迭代系統時獲得伊儂吸引子。它具有某種自相似性和分形性質。1986年勞威爾（H.A.Lauwerier）將斯梅爾的馬蹄映射變形成勞威爾映射，其迭代下不穩定流形的極限集成為典型的奇異吸引子，它與水平線的截面為康托集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等構造了一個二維迭代函數系統，其吸附界是維爾斯特拉斯函數，並得到盒維數。1985年，邁克多納（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三種類型：（！）局部不連通的分形集；（2）局部連通的分形擬圓周；（3）既不局部連能又不是擬圓周。前兩者具有擬自相似性。 動力系統中另一類分形集來源於復平面上解析映射的迭代。朱利亞（G.Julia）和法圖（P.Fatou）於1918-1919年間開創這一研究。他們發現，解析映射的迭代把復平面劃分成兩部分，一部分為法圖集，另一部分為朱利亞集（J集）。他們在處理這一問題時還沒有計算機，完全依賴於他們自身固有的想像力，因此他們的智力成就受到局限。隨後50年間，這方面的研究沒有得到什麼進展。隨著可用機算機來做實驗，這一研究課題才又獲得生機。1980年，曼德爾布羅特用計算機繪出用他名字命名的曼德爾布羅特集（M集）的第一張圖來。1982道迪（A.Douady）構造了含參二次復映射fc ，其朱利亞集J（fc）隨參數C的變化呈現各種各樣的分形圖象，著名的有道迪免子，聖馬科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集與映射系數的關系，解新局面了解析映射擊集豪斯道夫維數的計算問題。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫維數的數值解法。1983年，韋當（M.Widom）進一步推廣了部分結果 。法圖1926年就就開始整函數迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）證明指數映射的J集為復平面，解決了法圖提出的問題，引起研究者極大興趣。發現超越整函數的J集與有理映射J的性質差異，1984年德萬尼（R.L.Devanney）證明指數映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或復平面而J（fc）是康托塵或連通集。 復平面上使J（fc）成為連通集的點C組成M集即曼德爾布羅特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）認為，M集的性質過去一直是並且將來繼續是數學研究的一個巨大難題。通過將數學理論與計算機圖形學實驗加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在這方面進行的基礎性研究工作，在解決這一難題方面已取得重大進展，使人們加深了對M集的了解。道迪和扈巴德1982年證明M集是連通的和單連通的，人們猜測M集是局部連通的，目前每一張計算機圖形都證實了這一猜測，但至今還沒有人能給予證明。M是否為弧連通，目前尚不清楚。M集邊界的維數也是值得研究的問題之一。 M集除了將J集分成連通與非連通的兩類之外，還起著無窮個J集的圖解目錄表作用，即把M集C點周圍的圖形放大就是與C點有關的J集的組成部分。但這一發現的數學密性至今仍未確定，譚磊（Tan Lei）1985年證明了在每一個密休威茨點鄰近M集與相關的J集之間存在著相似性。尤金斯等在M集的靜電位研究中獲得與自然形貌相似的分形圖象。目前包括尤金斯等在內的很多研究人員都致力於藉助計算機活動錄象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得進展。1990年德萬尼通過數值實驗觀察到M集的復雜圖形由許多不同周期的周期軌道的穩定區域共同構成。1991年黃永念運用他提出的代數分析法證明了這一事實，研究了M集及其廣義情況周期軌道整體解析特性。 巴斯萊（B.M.Barnsley）和德門科（S.Demko）1985年引入迭代函數系統，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函數的吸引集，用其它方法產生的分形集也可用迭代函數系逼近。1988年，勞威爾通過數值研究發現畢達哥拉斯樹花是一迭代函數系的J集。1985年巴斯萊等研究含參數的函數系迭代動力系統，得到M集D並D與M在連通性上的差異。在一線性映射系迭代下，可以產生著名的分形曲線——雙生龍曲線。1986年水谷（M.Mitzutani）等對其動力系統進行了研究。 一般動力系統中的分形集，其豪斯道夫維數dH難以通過理論方法或計算方法求得。對於有迭式構造的分形集，貝德浮德（T.Bedford）等在1986年已給出卓有成效的演算法，但對一般非線性映射迭代動力系統產生的分形集，這些結果都難以應用，其豪斯道夫維數dH的結論與演算法實際上沒有。卡普蘭（j.L.Kaplan）和約克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫維數dL並猜測dL=dH。1981年勒拉皮爾證明dH≤dL。楊（L.S.Young）1982年證明二維情況下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年給出例子說明高維情形卡普蘭-約克猜測不成立。這一猜測力圖從動力學特徵推斷幾何結構，其反問題是由吸引子維數推斷混沌力學，這是值得研究的問題。但目前工作甚少且主要限於計算機研究。此外，含參動力系統在混沌臨界態或突變處的分形集維數也有待進一步研究。 多重分形（multifractals）是與動力系統奇異吸引子有關的另一類重要分形集，其概念首先由曼德布羅特和倫依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定義了多重分形廣義維數。1988年博爾（T.Bohr）等人將拓撲熵引入多重分形的動力學描述與熱力學類比。1988年，阿內多（A.Arneodo）等人將子波變換用於多重分形研究。費德（J.Feder）、特爾（T.Tel）等人進行了多重分形子集及標度指數的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆問題，提出廣義配分函數，給出廣義超越維數，對過去的維數進行了修正。李（J.Lee）等發現了多重分形熱力學形式上的相變。1990年，伯克（C.Beck）得到廣義維數的上下界和極限並研究了多重分形的均勻性量度。曼德布羅特研究了隨機多重分形及負分維。1991年科維克（Z.Kov.acs）等引入雙變數迭代系統，最大特徵值和吉布斯勢導出維數、熵、李雅普洛夫指數，提供了對多重分形相變分類的一般方案。對於多重分形相變分類的一般方案。對於多重分形目前雖已提出不少處理方法，但從數學的觀點上看，還不夠嚴格，部分問題的數學處理難度也較大。四分形理論真正發展起來才十餘年，並且方興未艾，很多方面的理論還有待進一步研究。值得注意的是，近年分形理論的應用發展遠遠超過了理論的發展，並且給分形的數學理論提出了更新更高的要求。各種分形維數計算方法和實驗方法的建立、改進和完善，使之理論簡便，可操作性強，是喁喁分形的科學家們普遍關注的問題。而在理論研究上，維數的理論計算、估計、分形重構（即求一動力系統，使其吸引集為給定分形集）、J集和M集及其推廣形式的性質、動力學特徵及維數研究將會成為數學工作者們十分活躍的研究領域。多重分形理論的完善、嚴格以及如何用這些理論來解決實際問題可能會引起科學家們廣泛的興趣，而動力學特徵、相變和子波變換可能會成為其中的幾個熱點。 在哲學方面，人們的興趣在於自相似性的普適性，M集和J集表現出的簡單性與復雜性，復數與實數的統一性，多重分形相變與突變論的關系，自組織臨界（SOC）現象的刻畫以及分形體系內部的各種矛盾的轉化等。可以預言，一場關於分形科學哲學問題的討論即將在國內展開。