多普勒演算法

① sarfft成像演算法是什麼演算法

雷達成像基於目標的散射點模型.雷達通常發射長時寬的線頻調(chirp)信號，然後用參考信號對回波作解線頻調(dechirp)處理，再將解線頻調的回波作橫向排列，則在一定條件下它可近似為二維正弦信號模型，通過二維傅里葉變換，可以重構目標的二維像；採用超分辨演算法［1～3］，還可得到更精細的二維目標像.
應當指出，上述二維模型是假設散射點在成像期間不發生超越分辨單元走動，近似認為散射點的移動隻影響回波的相移，而子回波包絡則固定不變.這種近似，只適用於小觀察角時參考點附近有限小尺寸目標成像.
如果目標較大，特別是在離參考點較遠處，越分辨單元移動(MTRC)便會發生，從而使得用簡單二維模型獲得的圖像模糊.傳統解決的方法是按目標轉動用極坐標-直角坐標插值.插值不可避免地會有誤差，而超分辨演算法通常基於參數化估計，對誤差較為敏感，這會影響成像質量.
本文介紹一種近似度較高的二維模型，並利用該模型通過超分辨演算法成像，可獲得較好的結果.
二、維回波模型
設目標有K個散射點，雷達以平面波自下向上照射目標(圖1).目標以參考點為原點相對雷達射線轉動，經過N次脈沖發射，散射點Pk點移至P′k點，移動中第n次脈沖時該散射點的垂直坐標為：
ykn=yk+Δykn=xksin(nδθ)+ykcos(nδθ),n=0,1,…,N-1(1)
式中δθ為相鄰脈沖的轉角，總觀測角Δθ=(N-1)δθ.考慮到雷達發射的是長時寬的線頻調信號，以原點為參考作解線頻調處理，並對信號以 的頻率采樣，得目標的回波信號(離散形式)為：
(2)
式中Ak為第k個散射點子回波信號的復振幅;fc、γ分別是雷達載頻和調頻率，c為光速；e(m,n)為加性雜訊.

圖1二維雷達目標幾何圖
由於觀測角Δθ很小，取近似sin(nδθ)≈nδθ和cos(nδθ)≈1，則式(2)可近似寫成:
(3)
式中
式(3)指數項中的第三項是時頻耦合項，它是線頻調信號(其模糊函數為斜橢圓)所特有的，如果採用窄脈沖發射，則該項不存在.將該項忽略，則式(3)成為常用的回波二維正弦信號模型.
實際上，式(3)的第三項系「距離移動」項，它與散射點的橫坐標xk成正比，目標區域大時必須考慮，而且這還遠遠不夠，散射點的多普勒移動也必須考慮.為此，令sin(nδθ)≈nδθ和cos(nδθ)≈1-(nδθ)2/2，則式(2)較精確的近似式可寫成：
(4)
式(4)與式(3)相比較，指數中增加了兩項，其中前一項是「多普勒移動」項，縱坐標yk越大，影響也越大，這可以補充式(3)之不足；而後項是時頻耦合的多普勒移動項，由於Mγ/Fslt;lt;fc，它的影響可以忽略.因此，可將考慮MTRC情況下，回波二維模型的一階近似式寫成：
(5)
需要指出，每個散射點的參數之間存在下述關系：ωk/μk=2γ/Fsfcδθ2和 k/vk=fcFs/γδθ.由於雷達參數(fc,γ,Fs)和運動參數(δθ)均已知，所以待估計的五個參數中只有三個是獨立的.本文假設五個參數是獨立的，而在成像計算中已考慮參數之間的關系.
設{ξk}Kk=1≡{αk,ωk, k,μk,vk}Kk=1，現在我們要從y(m,n)中估計參量{ξk}Kk=1.
三、二維推廣的RELAX演算法
對於(5)式所示的信號模型，令：
Y=［y(m,n)］M×N
則 (6)
式中

設ξk估計值為 ，則ξk的估計問題可通過優化下述代價函數解決：
(7)
式中‖.‖F表示矩陣的Frobenius范數，⊙表示矩陣的Hadamard積.
上式中C1的最優化是一個多維空間的尋優問題，十分復雜.本文將RELAX［3］演算法推廣以求解.為此，首先做以下准備工作，令：
(8)
即假定{ i}i=1,2,…,K,i≠k已經求出，則式(7)C1的極小化等效於下式的極小化：
C2(ξk)=‖Yk-αk(aM(ωk)bTN( k)Pk)⊙Dk(vk)‖2F(9)
令：Zk=YkP-1k⊙Dk(-vk)(10)
由於Pk為酉矩陣，矩陣Dk的每個元素的模Dk(m,n)=1,顯然矩陣Yk與Zk的F范數相同，故C2的極小化等效於下式的極小化：
C3=‖Zk-αkaM(ωk)bTN( k)‖2F(11)
對上式關於αk求極小值就獲得αk的估計值 k：
k=aHM(ωk)Zkb*N( k)/(MN)(12)
從式(12)可以看出： 是Zk歸一化的二維離散傅里葉變換在{ωk, k}處的值，所以只要得到估計值{ k, k, k, k}，即可通過2D-FFT獲得 k.
將估計值 k代入式(11)後，估計值{ k, k, k, k}可由下式尋優得到：
(13)
由上式可見，對於固定的{μk,vk}取值,估計值{ k, k}為歸一化的周期圖aHM(ωk)Zkb*N( k)2/(MN)主峰處的二維頻率值.這樣，式(13)的優化問題歸結為：在(μk,vk)平面上可能的取值范圍內尋找一點{ k, k}，在該點處周期圖aHM(ωk)Zkb*N( k)2/(MN)的主峰值比其餘各點處的主峰值都大.所以，我們通過上述二維尋優獲得{μk,vk}的估計值{ k, k}，再由式(13)得到{ωk, k}的估計值{ k, k}.
實際中，為了加快運算速度，二維(μk,vk)平面的尋優可以用Matlab中的函數Fmin()實現.
在做了以上的准備工作以後，基於推廣的RELAX演算法的參量估計步驟如下：
第一步：假設信號數K=1,分別利用式(13)和式(12)計算 1.
第二步(2)：假設信號數K=2，首先將第一步計算所得到的 1代入式(8)求出Y2，再利用式(13)和式(12)計算 2；將計算的 2代入式(8)求出Y1，然後利用式(13)和式(12)重新計算 1，這個過程反復疊代，直至收斂.
第三步:假設信號數K=3,首先將第二步計算所得到的 1和 2代入式(8)求出Y3，再利用式(13)和式(12)計算 3；將計算的 3和 2代入式(8)求出Y1，然後利用式(13)和式(12)重新計算 1；將計算的 1和 3代入式(8)求出Y2，然後利用式(13)和式(12)重新計算 2，這個過程反復疊代，直至收斂.
剩餘步驟：令K=K+1,上述步驟持續進行，直到K等於待估計信號數.
上述過程中的收斂判據與RELAX演算法的收斂判據相同，即比較代價函數C1在兩次疊代過程中的變化值，如果這個變換值小於某個值，如ε=10-3，則認為過程收斂.
四、數值模擬
1.演算法參數估計性能模擬
模擬數據由式（5）產生，M=10,N=10，信號數K=2.信號參數和實驗條件如表1所示,為復高斯白雜訊.注意兩信號的頻率差小於FFT的解析度Δf=Δω/(2π)=0.1.表1給出了信號參數估計均方根誤差的統計結果及相應情形時的C-R界，可見，估計均方根誤差與CR界十分接近.另外表中還給出了估計均值，與真實值也非常接近.
表1二維信號的參數估計、CRB及與均方根差的比較

2.SAR成像模擬
雷達參數為：中心頻率f0=24.24GHz,調頻率γ=33.357×1011Hz/s,帶寬B=133.5MHz,脈沖寬度tp=40μs.四個點目標作正方形放置，間隔50米，左下角的點作為參考點.雷達與目標間隔1公里，觀察角Δθ=3.15，數據長度為128×128.採用FFT成像方法時，其縱向和橫向距離解析度為ρr=ρa=1.123米，防止MTRC現象發生所需的目標最大范圍為［4］：縱向尺寸Dr＜4ρ2r/λ=40米，橫向尺寸Da＜4ρ2a/λ=40米.採用常規超分辨方法時，目標尺寸Dr=Da＞10米則出現明顯的性能下降.圖2、圖3分別給出了RELAX方法及本文推廣的RELAX(Extended RELAX)演算法的成像結果.可以看出，由於目標遠離參考中心，已在橫向和縱向出現距離走動，採用常規超分辨的RELAX演算法產生圖像模糊，對於本文演算法，則得到基本正確的成像結果.圖4和圖5則比較了RELAX演算法和推廣的RELAX演算法的散射點強度估計結果，可以看到，RELAX演算法由於距離走動影響，散射點（除參考點以外）的強度降低.對於本文演算法，散射點強度接近真實值.

圖2距離走動誤差下的RELAX成像結果 圖3距離走動誤差下的

圖4RELAX方法估計的信號強度推廣RELAX成像結果 圖5推廣RELAX方法估計的信號強度
五、結束語
現有的雷達成像超分辨演算法是基於目標回波信號的二維正弦信號模型，所以僅適用於目標位於參考點附近很小區域時的情形.當目標遠離參考點時，模型誤差，特別是距離走動誤差，將使演算法性能嚴重下降或失效.為此，本文提出一種基於雷達成像近似二維模型的超分辨演算法,從而擴大了超分辨演算法的適用范圍.本文進一步的工作包括SAR實測數據成像及ISAR機動目標成像，結果將另文報道.
附 錄：參數估計的C-R界
下面我們給出式(5)所示的二維信號參量估計的C-R界表達式.同時假設式(5)中加性雜訊為零均值高斯色雜訊，其協方差矩陣未知.令：
y=vec(Y)(A.1)
e=vec(E)(A.2)
dk=vec(Dk)(A.3)
式中vec(X)=(xT1,xT2，…，xTN)T，向量xn(n=1,2,…,N)為矩陣X的列向量.我們將式(5)改寫為如下向量形式：
(A.4)
式中 表示Kronecker積,Ω=［{［P1bN( 1)］ aM(ω1)}⊙d1…{［PkbN( K)］ aM(ωK)}⊙dK］,α=(α1，α2，…，αK)T.
令Q=E(eeH)為e的協方差矩陣，則對於由式(A.4)所示的二維信號模型，其Fisher信息陣(FIM)的第ij個元素推廣的Slepian-Bangs公式為［5,6］:
(FIM)ij=tr(Q-1Q′iQ-1Q′j)+2Re［(αHΩH)′iQ-1(Ωα)′j］(A.5)
式中X′i表示矩陣X對第i個參數求導，tr(X)為矩陣的跡，Re(X)為矩陣的實部.由於Q與Ωα中的參量無關，而Ωα亦與Q的元素無關，顯然FIM為一塊對角陣.所以待估計參量的C-R界矩陣由(A.5)式的第二項得到.
令：η=(［Re(α)］T［Im(α)］TωT TμTvT)T(A.6)
式中ω=(ω1，ω2，…，ωK)T,μ=(μ1,μ2,…,μK)T, =( 1， 2，…， K)T,v=(v1,v2,…,vK)T.
令：F=［ΩjΩDωΘD ΘDμΘDvΘ］(A.7)
式中矩陣Dω、D 、Dμ、Dv的第k列分別為： ［{［PkbN( k)］ aM(ωk)}⊙dk］/ ωk、 ［{［PkbN( k)］ aM(ωk)}⊙dk］/ k、 ［{［PkbN( k)］ aM(ωk)}⊙dk］/ μk、 ［{［PkbN( k)］ aM(ωk)}⊙dk］/ vk，Θ=diag{α1α2…αK}.則關於參量向量η的CRB矩陣為
CRB(η)=［2Re(FHQ-1F)］-1(A.8)

② 宇宙年齡138億歲是怎樣測算出來的呢

宇宙是我們這個世界最老的存在，因為這個世界的一切，都是有了宇宙之後才生發出來的。所有物質，從看不到的微觀世界基本粒子，到以光年計的巨大天體，都有一個誕生、成長、成熟、衰老、死亡的過程。

我們通過看一個人的皮膚、頭發、精神狀態等外觀，通過檢查一個人的骨骼狀態和各項生理指標得出這個人的大致年齡；我們可以通過探查元素同位素的半衰期，計算出地球、月亮等天體的年齡。

那麼宇宙這個萬事萬物的源頭，年齡是怎麼測算得出來的呢？

就是說在326萬光年遠的地方星系膨脹的速度為67.8公里每秒。根據這個常數，我們就能夠得到星系之間退行速度（v)和它們之間的距離（d）有一個正比關系，這樣v=哈伯常數*d。

測出了兩個星系間的退行速度和距離，就能夠推算出大爆炸後兩個星系分開所花費的時間，這個時間就是宇宙的年齡。

時空通訊用這種方法簡單計算出宇宙年齡為144億歲，但科學界經過長期的測算和修正，並結合宇宙微波背景輻射的研究，認為精確的宇宙年齡為138.2億歲。

根據這個方法，還能夠測算出宇宙膨脹到現在的可視范圍為半徑465億光年。