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提公因式演算法

發布時間: 2023-05-30 10:14:50

A. 因式分解的十二種方法

因式分解方程是我們解決許多數學問題的有力工具。接下來的內容是初二數學知識點之因式分解方程。

因式分解方程

定義:把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解方程(也叫作分解因式)。

分解因式與整式乘法為相反變形。

同時也是解一元二次方程中公式法的重要步驟

1、因式分解方程與解高次方程有密切的關系。對於一元一次方程和一元二次方程,初中已有相對固定和容易的方法。在數學上可以證明,對於一元三次和一元四次方程,也有固定的公式可以求解。只是因為公式過於復雜,在非專業領域沒有介紹。對於分解因式,三次多項式和四次多項式也有固定的分解方法,只是比較復雜。對於五次以上的一般多項式,已經證明不能找到固定的因式分解方程法,五次以上的一元方程也沒有固定解法。

2 、所有的三次和三次以上多項式都可以因式分解方程。這看起來或許有點不可思議。比如X^4+1,這是一個一元四次多項式,看起來似乎不能因式分解方程。但是它的次數高於3,所以一定可以因式分解方程。如果有興趣,你也可以用待定系數法將其分解,只是分解出來的式子並不整潔。

3 、因式分解方程雖然沒有固定方法,但是求兩個多項式的公因式卻有固定方法。因式分解方程很多時候就是用來提公因式的。尋找公因式可以用輾轉相除法來求得。標準的輾轉相除技能對於中學生來說難度頗高,但是中學有時候要處理的多項式次數並不太高,所以反復利用多項式的除法也可以比較笨,但是有效地解決找公因式的問題。

方法 因式分解方程沒有普遍適用的方法,初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競悶早轎賽上,又有拆項和添減項法,分組分解法和十字相乘法,待定系數法,雙十字相乘法,對稱多項式,輪換對稱多項式法,余式定理法,求根公式法,換元法,長除法,短除法,除法等。

注意三原則

1.分解要徹底(是否有公因式,是否可用公式)

2.最後結果只有小括弧

3.最後結果中多項式首項系數為正(例如:-3x^2+x=x(-3x+1))

4.最後結果每一項都為最簡因式

歸納方法:

1.提公因式法。

2.公式法。

3.分組分解法。

4.湊數法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]

5.組合分解法。

6.十字相乘法。

7.雙十字相乘法。

8.配方法。

9.拆項補項法。

10.換元法。

11.長除法。

12.求根法。

13.圖象法。

14.主元法。

15.待定系數法。

16.特殊值法。

17.因式定理法。

溫馨提示:在高等數學上因式分解方程有一些重要結論,在初等數學層面上證明很困難,但是理解很容易。

初中數學知識點總結:平面直角坐標系

下面是對平面直角坐標系的內容學習,希望同學們很好的掌握下面的內容。

平面直角坐標系

平面直角坐標系: 在平面內畫兩條互相垂直、原點重合螞肆的數軸,組成平面直角坐標系。

水平的數軸稱為x軸或橫軸,豎直的數軸稱為y軸或縱軸,兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。

平面直角睜知坐標系的要素:①在同一平面②兩條數軸③互相垂直④原點重合

三個規定:

①正方向的規定橫軸取向右為正方向,縱軸取向上為正方向

②單位長度的規定;一般情況,橫軸、縱軸單位長度相同;實際有時也可不同,但同一數軸上必須相同。

③象限的規定:右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限。

相信上面對平面直角坐標系知識的講解學習,同學們已經能很好的掌握了吧,希望同學們都能考試成功。

初中數學知識點:平面直角坐標系的構成

對於平面直角坐標系的構成內容,下面我們一起來學習哦。

平面直角坐標系的構成

在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系,簡稱為直角坐標系。通常,兩條數軸分別置於水平位置與鉛直位置,取向右與向上的方向分別為兩條數軸的正方向。水平的數軸叫做X軸或橫軸,鉛直的數軸叫做Y軸或縱軸,X軸或Y軸統稱為坐標軸,它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點。

通過上面對平面直角坐標系的構成知識的講解學習,希望同學們對上面的內容都能很好的掌握,同學們認真學習吧。

初中數學知識點:點的坐標的性質

下面是對數學中點的坐標的性質知識學習,同學們認真看看哦。

點的坐標的性質

建立了平面直角坐標系後,對於坐標系平面內的任何一點,我們可以確定它的坐標。反過來,對於任何一個坐標,我們可以在坐標平面內確定它所表示的一個點。

對於平面內任意一點C,過點C分別向X軸、Y軸作垂線,垂足在X軸、Y軸上的對應點a,b分別叫做點C的橫坐標、縱坐標,有序實數對(a,b)叫做點C的坐標。

一個點在不同的象限或坐標軸上,點的坐標不一樣。

希望上面對點的坐標的性質知識講解學習,同學們都能很好的掌握,相信同學們會在考試中取得優異成績的。

初中數學知識點:因式分解方程的一般步驟

關於數學中因式分解方程的一般步驟內容學習,我們做下面的知識講解。

因式分解方程的一般步驟

如果多項式有公因式就先提公因式,沒有公因式的多項式就考慮運用公式法;若是四項或四項以上的多項式,

通常採用分組分解法,最後運用十字相乘法分解因式。因此,可以概括為:「一提」、「二套」、「三分組」、「四十字」。

注意:因式分解方程一定要分解到每一個因式都不能再分解為止,否則就是不完全的因式分解方程,若題目沒有明確指出在哪個范圍內因式分解方程,應該是指在有理數范圍內因式分解方程,因此分解因式的結果,必須是幾個整式的積的形式。

相信上面對因式分解方程的一般步驟知識的內容講解學習,同學們已經能很好的掌握了吧,希望同學們會考出好成績。

初中數學知識點:因式分解方程

下面是對數學中因式分解方程內容的知識講解,希望同學們認真學習。

因式分解方程

因式分解方程定義 :把一個多項式化成幾個整式的積的形式的變形叫把這個多項式因式分解方程。

因式分解方程要素 :①結果必須是整式②結果必須是積的形式③結果是等式④

因式分解方程與整式乘法的關系:m(a+b+c)

公因式: 一個多項式每項都含有的公共的因式,叫做這個多項式各項的公因式。

公因式確定方法 :①系數是整數時取各項最大公約數。②相同字母取最低次冪③系數最大公約數與相同字母取最低次冪的'積就是這個多項式各項的公因式。

提取公因式步驟:

①確定公因式。②確定商式③公因式與商式寫成積的形式。

分解因式注意;

①不準丟字母

②不準丟常數項注意查項數

③雙重括弧化成單括弧

④結果按數單字母單項式多項式順序排列

⑤相同因式寫成冪的形式

⑥首項負號放括弧外

⑦括弧內同類項合並。

通過上面對因式分解方程內容知識的講解學習,相信同學們已經能很好的掌握了吧,希望上面的內容給同學們的學習很好的幫助。

把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解方程.因式分解方程的方演算法多種多樣,現總結如下:

1、 提公因演算法

如果一個多項式的各項都含有公因式,那麼就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.

例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題)

x -2x -x=x(x -2x-1)

2、 應用公式演算法

是因為分解因式與整式乘演算法有著互逆的關系,如果把乘演算法公式反過來,那麼就可以用來把某些多項式分解因式.

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題)

a +4ab+4b =(a+2b)

3、 分組分解演算法

要把多項式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前兩項分成一組,並提出公因式a,把它後兩項分成一組,並提出公因式b,從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,從而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m +5n-mn-5m

m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘演算法

對於mx +px+q形式的多項式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,則多項式可因式分解方程為(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x -19x-6

分析:1 -3

7 2

2-21=-19

7x -19x-6=(7x+2)(x-3)

5、配方演算法

對於那些不能利用公式演算法的多項式,有的可以利用將其配成一個完全平方式,然後再利用平方差公式,就能將其因式分解方程.

例5、分解因式x +3x-40

解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

=(x+ ) -( )

=(x+ + )(x+ - )

=(x+8)(x-5)

6、拆、添項演算法

可以把多項式拆成若幹部分,再用進行因式分解方程.

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

7、 換元演算法

有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數,然後進行因式分解方程,最後再轉換回來.

例7、分解因式2x -x -6x -x+2

2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

=x [2(x + )-(x+ )-6

令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6

= x [2(y -2)-y-6]

= x (2y -y-10)

=x (y+2)(2y-5)

=x (x+ +2)(2x+ -5)

= (x +2x+1) (2x -5x+2)

=(x+1) (2x-1)(x-2)

8、 求根演算法

令多項式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解方程為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

通過綜合除演算法可知,f(x)=0根為 ,-3,-2,1

則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9、 圖象演算法

令y=f(x),做出函數y=f(x)的圖象,找到函數圖象與X軸的交點x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解方程為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例9、因式分解方程x +2x -5x-6

令y= x +2x -5x-6

作出其圖象,見右圖,與x軸交點為-3,-1,2

則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元演算法

先選定一個字母為主元,然後把各項按這個字母次數從高到低排列,再進行因式分解方程.

例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析:此題可選定a為主元,將其按次數從高到低排列

a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

=(b-c) [a -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11、 利用特殊值演算法

將2或10代入x,求出數P,將數P分解質因數,將質因數適當的組合,並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解方程式.

例11、分解因式x +9x +23x+15

令x=2,則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

將105分解成3個質因數的積,即105=3×5×7

注意到多項式中最高項的系數為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時的值

則x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

12、待定系數演算法

首先判斷出分解因式的形式,然後設出相應整式的字母系數,求出字母系數,從而把多項式因式分解方程.

例12、分解因式x -x -5x -6x-4

分析:易知這個多項式沒有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式.

設x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

所以 解得

則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

B. 46✘66+35✘46-46怎樣簡便計算

你好,這道題。答案是4600。簡便演算法是提公因式。首先將這個列式變為46×66+35×46-1×46。慶爛提鍵差祥出46。列式變為46×(66+35-1)=46×100的4600。稿搏

C. 三年級數學簡便演算法技巧

數學簡便計算方法:

一、運用乘法分配律簡便計算

簡便計算中最常用的方法是乘法分配律。乘法分配律指的是:

ax(b+c)=axb+axc

cx(a-b)=axc-bxc



例1:38X101,我們要怎麼拆呢?看誰更加的靠近整百或者整十,當然是101更好些,那我們就把101拆成100+1即可。

38X101

=38X(100+1)

=38X100+38X1

=3800+38

=3838

例2:47X98,這樣該怎麼拆呢?要拆98,使它更接近100。

47X98

=47X(100-2)

=47X100-47X2

=4700-94

=4606

二、基準數法

在一系列數中找出一個比較折中的數來代表全部的數,要記得這個數的選取不能偏離這一系列數。

例:

2072+2052+2062+2042+2083

=(2062x5)+10-10-20+21

=10310+1

=10311

三、加法結合律法

對加法結合律(a+b)+c=a+(b+c)的運用,通過改變加數的位置來獲得更簡便的運算。

例:

5.76+13.67+4.24+6.33

=(5.76+4.24)+(13.67+6.33)

=30

四、拆分法

顧名思義,拆分法就是為了方便計算把一個數拆成幾個數。這需要掌握一些「好朋友」,如:2和5,4和5,2和2.5,4和2.5,8和1.25等。注意不要改變數的大小哦!

例:

3.2×12.5×25

=8×0.4×12.5×25

=8×12.5×0.4×25

=1000

五、提取公因式法

這個方法實際上是運用了乘法分配律,將相同因數提取出來。

例:

0.92×1.41+0.92×8.59

=0.92×(1.41+8.59)

=9.2

D. 11x11至25x25快速演算法有哪些

可以藉助規律進行背誦,具體規律如下:

先記住11的平方是121,然後依次接下來的數的平方依次增加 23、25、27、29、31、33、35、37、39,就能知道11到20的平方了,如11的平方是121,121+23=144就是12的平方,144+25=169是13的平方,以此類推。

小學數學簡便方法歸納

1、提取公因式:這個方法實際上是運用了乘法分配律,將相同因數提取出來,考試中往往剩下的項相加減,會出現一個整數。

2、借來借去法:看到名字,就知道這個方法的含義。用此方法時,需要注意觀察,發現規律。

3、拆分法:拆分法就是為了方便計算把一個數拆成幾個數。

E. 2.7X101一2.7的簡便演算法怎麼算

這道題目可以用提公因式的方法計算。
一般地,如果此答好多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提到括弧外面,將多項式寫成因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法。
當各項系數都是整數時,公因式的系數應取各項系數的最大公約數;字母取各項的相同的字母,且各字母的指數取次數最低的;取相同的多項式,且多項式的次數取最低的。
如果多項式的第一項是負的,一般要提出「-」號,使括弧內的第一項的系數成為正數。提出「-」號時,多項式的各項都要變號。
口訣:找准公因式,一次要提凈;全家都搬走,留1把家守;提負要變號,變形看奇偶。
這道題目的解決方法如下:
2.7*101-2.7==2.7*(森鉛101-1)=2.7*100=270。
希望我能舉余幫助你解疑釋惑。

F. 數學上的 如何解提取公因式的演算法

1、找到公因數後把它提取出來。
2、運用公式法先分解再提取公因數。

G. 7/50×11-7/50用簡便演算法怎麼做

7/50x11-7/50
=7/50x10
=7/5
以上就是簡便方法。

H. 16×64+16×35+16,用巧算的方法

巧算:16×64+16×35+16=16×(64+35+1)=16×100=1600。是利用了提取公因式的演算法。

提取公因式,是指如果多項式的各項有公因式,則冊漏可以把這個公因式提到括弧外面,將多項式寫成因式乘積的形式。提取公因式是乘法分配律的逆運算,其形式為:ma+mb+mc=m(a+b+c)。

提取公因式法是因式分解的一種基本方法。如果多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提取出來孫爛作為多項式的一個因式,提取公因式後的式子放在括弧里,作為另一個因式。

題目形式千變萬化的,解題時也不能生搬硬套。例如,有的需要先對題目適當整理變形;有姿螞的分解因式後多項式因式中有同類項的還要進行合並化簡;還有的提取公因式後能用其他方法繼續分解。要靈活運用。

I. 888888X333333有什麼簡便演算法

提取公因式棚含進行計算可以進行簡便。

1、提取公因式,將88888=11111×8;333333=11111×3。

2、88888×333333=11111×8×11111×3=11111×11111×(8×3)=2962903704。

(9)提公因式演算法擴展閱讀:

求取公因數的兩種方法:

1、質因數鏈銀笑分解法:

把幾個數先分別分解質因數,再把各數中的全部公有的質因數和獨有的質因數提取出來連乘,所得的積就是這幾個數的最小公倍數。

2、短除法:

短除法求最大公約數,先用這幾個數的公約數連續去除,一直除到所有的商互質為止,然後把所有的除數搏殲連乘起來,所得的積就是這幾個數的最大公約數。短除法的本質就是質因數分解法,只是將質因數分解用短除符號來進行。

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