演算法是正交

① 正交小波包分解演算法及其頻域表現

這里仍以V₀分解成3層的空間分解及其數據A⁰的分解為例來說明小波包分解演算法。下面將用U₀表示V₀，稱A⁰是表現U₀的數據。用正交小波分解中的運算元H和G，按圖6-34的方法形成小波包數據，圖6-35則表示了與圖6-34相對應的小波包子空間分解結構關系。圖中的子空間標記，例如U_1，2和U_2，2，其下標分別表示分解層次與子空間的順序，則U₀的第一層分解，有2個子空間，第2層分解有4個子空間，第3層分解共有8個子空間。

圖6-34 小波包數據分解關系

圖6-35 小波包數據分解結構

弄清圖6-35中各子空間的相互關系是重要的。由於正交小波分解中運算元H和G的作用，在第1層分解中，有

U₀=U_1，1⊕U_1，2，U_1，1⊥U_1，2

類比可知第2層分解中，有

U_1，1=U_2，1⊕U_2，2；U_2，1⊥U_2，2；U_1，2=U_2，3⊕U_2，4，U_2，3⊥U_2，4；

同樣類比，可知在第3層分解中有

U_3，j=U_2，2j-1⊕U_2，2j，U_2，2j-1⊥U_2，2j，

j=1，2，3，4。

另外，在同一尺度上的所有子空間都是正交的，例如，U_2，1、U_2，2、U_2，3、U_2，4是相互正交的，U_3，1…U_3，8是相互正交的。還有一些子空間是相互不正交的，例如，U₀、U_1，1、U_2，2和U_3，4它們互相不正交，U₀、U_1，2、U_2，3和U_3，5之間也互相不正交。總之，把H和G在正交小波分解中的作用類比到小波包情形，是不難弄清各子空間之間的正交性的。

弄清小波包子空間所對應的頻帶也是很重要的。從子空間對應頻帶相互不重疊的表現也可以了解子空間之間的正交性質。圖6-36僅表示了U_1，2所對應頻帶的分解情形。

圖6-36 關於圖6-35小波子空間所對應的頻帶分析

總之，小波包可以從多個方面去理解。從數據結構關系來看，它是一種二分樹結構；從數據分解關系來看，它是一種遞推演算法；從空間分解關系來看，它把正交小波分解的子空間做進一步細分；從頻域劃分來看，它將有限頻帶細分為若干更細頻帶的組合。

圖6-37 小波包重構演算法中的子空間組合及其所對應的時頻窗