prim演算法思想
㈠ 話說最小生成樹的prim演算法和kursual演算法的區別
prim演算法和kurskal演算法解決的問題是相同的，都用來求最小生成樹。從某一結點A出發，按照一定次序，經過中間結點集Q中的每一個結點，得到最短路徑，稱為最小生成樹。
kurskal演算法的核心思想就是「盡可能的選取短邊」，按照長度從小到大依次加入生成樹；prim演算法引入一個概念——生長點（和非生長點），每次加入的最短邊是與生長點相鄰的最短邊，初始狀態下，唯一的一個點就是生長點，隨著新邊的加入，每次加入的邊的末端就是生長點，若某一生長點已經沒有相鄰邊可以加入，就回溯到上一級結點，加入新邊，直到Q中的所有結點都加入圖中。
一般教材編的都很清楚的，結合我這個，再看看書，相信你很快就會明白的。
㈡ 什麼是Prim演算法
Prim演算法
Prim演算法用於求無向圖的最小生成樹
設圖G =（V，E），其生成樹的頂點集合為U。
①、把v0放入U。
②、在所有u∈U，v∈V-U的邊(u，v)∈E中找一條最小權值的邊，加入生成樹。
③、把②找到的邊的v加入U集合。如果U集合已有n個元素，則結束，否則繼續執行②。
其演算法的時間復雜度為O(n^2)
Prim演算法實現：
（1）集合：設置一個數組set[i](i=0,1,..,n-1),初始值為 0,代表對應頂點不在集合中（注意：頂點號與下標號差1）
（2）圖用鄰接陣表示，路徑不通用無窮大表示，在計算機中可用一個大整數代替。
參考程序
/* Prim.c
Copyright (c) 2002, 2006 by ctu_85
All Rights Reserved.
*/
/* The impact of the situation of articulation point exists can be omitted in Prim algorithm but not in Kruskal algorithm */
#include "stdio.h"
#define maxver 10
#define maxright 100
int main()
{
int G[maxver][maxver],in[maxver]=,path[maxver][2];
int i,j,k,min=maxright;
int v1,v2,num,temp,status=0,start=0;
restart:
printf("Please enter the number of vertex(s) in the graph:\n");
scanf("%d",&num);
if(num>maxver||num<0)
{
printf("Error!Please reinput!\n");
goto restart;
}
for(j=0;j<num;j++)
for(k=0;k<num;k++)
{
if(j==k)
G[j][k]=maxright;
else
if(j<k)
{
re:
printf("Please input the right between vertex %d and vertex %d,if no edge exists please input -1:\n",j+1,k+1);
scanf("%d",&temp);
if(temp>=maxright||temp<-1)
{
printf("Invalid input!\n");
goto re;
}
if(temp==-1)
temp=maxright;
G[j][k]=G[k][j]=temp;
}
}
for(j=0;j<num;j++)
{
status=0;
for(k=0;k<num;k++)
if(G[j][k]<maxright)
{
status=1;
break;
}
if(status==0)
break;
}
do
{
printf("Please enter the vertex where Prim algorithm starts:");
scanf("%d",&start);
}while(start<0||start>num);
in[start-1]=1;
for(i=0;i<num-1&&status;i++)
{
for(j=0;j<num;j++)
for(k=0;k<num;k++)
if(G[j][k]<min&&in[j]&&(!in[k]))
{
v1=j;
v2=k;
min=G[j][k];
}
if(!in[v2])
{
path[i][0]=v1;
path[i][1]=v2;
in[v1]=1;
in[v2]=1;
min=maxright;
}
}
if(!status)
printf("We cannot deal with it because the graph is not connected!\n");
else
{
for(i=0;i<num-1;i++)
printf("Path %d:vertex %d to vertex %d\n",i+1,path[i][0]+1,path[i][1]+1);
}
return 1;
}
Prim演算法。
設圖G =（V，E），其生成樹的頂點集合為U。
①、把v0放入U。
②、在所有u∈U，v∈V-U的邊(u，v)∈E中找一條最小權值的邊，加入生成樹。
③、把②找到的邊的v加入U集合。如果U集合已有n個元素，則結束，否則繼續執行②。
其演算法的時間復雜度為O(n^2)
參考程序
//Prim 演算法 讀入頂點數(n)、邊數(m)，邊的起始點和權值 用鄰接矩陣儲存
//例如
//7 12 (7個頂點12條邊)
//1 2 2
//1 4 1
//1 3 4
//2 4 3
//2 5 10
//3 4 2
//4 5 7
//3 6 5
//4 6 8
//4 7 4
//5 7 6
//6 7 1
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{
int m , n;
int a[201][201] , mark[201] , pre[201] , dist[201];
int s , t , w;
int i , j , k , min , tot;
freopen("Prim.txt" , "r" , stdin);
//讀入數據
memset(a , 0 , sizeof(a));
scanf("%d %d" , &n , &m);
for (i = 0; i < m; i ++)
{
scanf("%d %d %d" , &s , &t , &w);
a[s][t] = w; a[t][s] = w;
}
//賦初值
memset(mark , 0 , sizeof(mark));
memset(pre , 0 , sizeof(pre));
memset(dist , 9999 , sizeof(dist));
dist[1] = 0;
//Prim
for (i = 1; i <= n; i ++)
{
min = 9999; k = 0;
for (j = 1; j <= n; j ++)
if ((mark[j] == 0) && (dist[j] < min)) {min = dist[j]; k = j;}
if (k == 0) break;
mark[k] = 1;
for (j = 1; j <= n; j ++)
if ((mark[j] == 0) && (a[k][j] < dist[j]) && (a[k][j] > 0))
{
dist[j] = a[k][j];
pre[j] = k;
}
}
tot = 0;
for (i = 1; i <= n; i ++) tot += dist[i];
printf("%d\n" , tot);
return 0;
}
㈢ 最小生成樹
所謂最小生成樹，就是在一個具有N個頂點的帶權連通圖G中，如果存在某個子圖G'，其包含了圖G中的所有頂點和一部分邊，且不形成迴路，並且子圖G'的各邊權值之和最小，則稱G'為圖G的最小生成樹。 由定義我們可得知最小生成樹的三個性質：
•最小生成樹不能有迴路。
•最小生成樹可能是一個，也可能是多個。
•最小生成樹邊的個數等於頂點的個數減一。宴昌 本文將介紹兩種最小生成樹的演算法，分別為克魯斯卡爾演算法(Kruskal Algorithm)和普利姆演算法(Prim Algorithm)。
克魯斯卡爾演算法的核心思想是：在帶權連通圖中，不斷地在邊集合中找到最小的邊，如果該邊滿足得到最小生成樹的條件，就將其構造，直到最後得到一顆最小生成樹。
克魯斯卡爾演算法的執行步驟：
第一步：在帶權連通圖中，將邊的權值排序；
第二步：判斷是否需要選擇這條邊（此時圖中的邊已按權值從小到大排好序）。判斷的依據是邊的兩個頂點是亂蘆否已連通，如果連通則繼續下一條；如果不連通，那麼就選擇晌陪扒使其連通。
第三步：循環第二步，直到圖中所有的頂點都在同一個連通分量中，即得到最小生成樹。
下面我用圖示法來演示克魯斯卡爾演算法的工作流程，如下圖：
㈣ 普里姆演算法是什麼
普里姆(Prim)演算法，和克魯斯卡爾演算法一樣，是用來求加權連通圖的最小生成樹的演算法。
普里姆演算法（Prim演算法），圖論中的一種演算法，可在加權連通圖里搜索最小生成樹。意即由此演算法搜索到的邊子集所構成的樹中，不但包括了連通圖里的所有頂點（英語：Vertex (graph theory)），且其所有邊的權值之和亦為最小。
該演算法於1930年由捷克數學家沃伊捷赫·亞爾尼克（英語：Vojtěch Jarník）發現；並在1957年由美國計算機科學家羅伯特·普里姆（英語：Robert C. Prim）獨立發現；1959年，艾茲格·迪科斯徹再次發現了該演算法。因此，在某些場合，普里姆演算法又被稱為DJP演算法、亞爾尼克演算法或普里姆－亞爾尼克演算法。
基本思想：
對於圖G而言，V是所有頂點的集合；現在，設置兩個新的集合U和T，其中U用於存放G的最小生成樹中的頂點，T存放G的最小生成樹中的邊。
從所有uЄU，vЄ(V-U) (V-U表示出去U的所有頂點)的邊中選取權值最小的邊(u, v)，將頂點v加入集合U中，將邊(u, v)加入集合T中，如此不斷重復，直到U=V為止，最小生成樹構造完畢，這時集合T中包含了最小生成樹中的所有邊。
㈤ 鐢誨嚭綆楁硶鐨勬祦紼嬪浘
瀵逛簬榪欑嶆瘮杈冮珮綰х殑綆楁硶浠ｇ爜鐩存帴鐪嬬▼搴忎細姣旇緝钂欙紝浣犲氨鍏夌湅鎴戠殑綆楁硶嫻佺▼鍚э紝prim綆楁硶鐢ㄧ殑鏄璐蹇冪畻娉曠殑鎬濇兂錛屽嵆姣忎竴姝ラ兘浣滃嚭灞閮ㄧ殑鏈浼樿В錛屽叧浜巔rim 綆楁硶涓轟粈涔堣兘鐢ㄨ椽蹇冪畻娉曠殑璇佹槑錛屼綘鍙浠ュ弬鑰冦婅＄畻鏈虹畻娉曡捐′笌鍒嗘瀽銆嬭繖鏈涔︺傦紙鎴戝弽姝ｄ笉鎯崇湅閭ｄ箞鏃犺亰鐨勮瘉鏄庯紝涔熺湅涓嶆槑鐧斤紝鍛靛懙錛夈
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