如何推導資本配置線的斜率

① 資本配置線通常是直線

從投資組合的機會集曲線講起. 橫坐標是投資組合的標准差(風險), 縱坐標是投資組合的預期回報.
資本市場線為什麼是直線？
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從投資組合的機會集曲線講起. 橫坐標是投資組合的標准差(風險), 縱坐標是投資組合的預期回報.
在不存在無風險資產時, 圖上向左凸出的曲線是機會集, 從A到B(實際上B之後還可以延伸一段直到曲線拐向下為止, 圖上沒有畫出來)的一段是有效集. 也就是說從A到B的一段是理性投資者會選擇的投資組合, 具體選擇這段弧線上的哪個點取決於投資者的風險偏好, 但總之他們不應該選擇無效集(即機會集-有效集)上的點, 因為同樣的風險(標准差)下, 有效集上投資組合的預期回報總大於無效集; 同樣的預期回報下, 有效集上投資組合的風險總小於無效集.
現在加入無風險資產. 假設其無風險利率為RFR, 即圖上的F點(實際上F點的縱坐標應該低於A點。
這種情況下, 理性投資者應該分配風險資產和無風險資產的投資比例, 使得投資優化, 也就是在同樣的風險下提高預期回報, 在同樣的預期回報下降低風險.這里所講的"風險資產", 即為有效集上的某個投資組合(AB段上的某個點).
比如隨便選取一個M'點, 我們在無風險資產F和風險資產組合M'之間進行比例配置, 由於F和M'的相關系數為0, 所以F和M'組合的風險-收益曲線是射線FM', 其中M'左邊的一段表示有部分資金投入無風險資產, M'右邊的一段表示以無風險利率貸入資金購買風險資產M'(比如融資買入股票).
繼續選取AB段上的其他點, 類似這樣做, 可以得出很多條從F出發的射線, 這些射線一起構成一個發散的扇形, 就是存在無風險資產時的機會集.
現在來看這些射線, 我們發現一條與弧線AB相切的射線FM, 高於其它所有的射線, i.e., 同樣的橫坐標下, FM上點的縱坐標總大於其它射線; 同樣的縱坐標下, FM上點的橫坐標總小於其它射線. 於是我們得到了存在無風險資產時的有效集, 即為射線FM. 叫做"資本市場線".
這就是資本市場線的由來.
回到題主的問題, 資本線的斜率=(風險組合報酬率-無風險投資報酬率)/風險組合方差, 這個公式本身沒有問題. 而在資本市場線的確定過程中, M就是一個確定的點(只要給定了弧線AB, 以及無風險利率RFR), 所以:

資本線的斜率=(風險組合報酬率-無風險投資報酬率)/風險組合方差

=[λ*r_f+(1-λ)*r_m-r_f]/[(1-λ)*Σ_m]

=(r_m-r_f)/Σ_m
以上都是常數, 所以斜率是確定的, 資本市場線是一條直線

② 資本市場線為什麼可行

資本線是以縱軸上的無風險投資點為原因的扇形范圍，因為風險投資組合有無數個，但是當該風險組合的收益和風險確定時，它就是一條直線。
其實要講資本市場線，應該先了解資本配置線。因為你說的那個斜率「（風險投資報酬率-無風險投資報酬率）/風險組合方差」是資產配置線的斜率。（而且是風險投資報酬率，不是風險組合報酬率，我給你改過來了）。
它的斜率是一個常數是成立的。並不需要推導，因為CML的定義就是，兩個點的連線。既然是連線，那麼斜率就是確定的了，用（市場組合M的收益-無風險資產的收益）／市場組合M的方差。而不是你說的「（風險組合報酬率-無風險投資報酬率）/風險組合方差」，你說的這個是資產配置線的斜率。

③ 投資組合理論與實際應用

1952年，馬科維茨在《金融雜志》上發表了一篇題為「資產組合的選擇」的文章，首次提出了均值方差模型，該模型解決了投資收益率與風險的度量問題，把投資風險分解為系統風險和非系統風險，通過持有多種類型的證券來分散非系統風險，從而降低整個投資組合的風險。但是這一模型也有一定的局限性，它沒有進一步說明如何為證券估值和定價，也不能說明投資組合期望回報率與風險的關系，其理論難以付諸實際應用。

隨後夏普、林特耐、莫辛三人分別於1964年、1965年和1966年獨立研究出著名的資本資產定價模型，從而解決了馬科維茨投資模型的局限問題，使得在大型證券組合應用中的計算大大減少，從而提高了投資組合理論的指導作用和實際應用價值。下面對投資組合的理論模型及運用予以介紹：

一、 什麼是均值方差模型

均值方差模型是用收益率的期望值來度量收益，用收益率的標准差來度量風險，從而推導出現代投資組合理論基礎，即投資者應該通過購買多種證券而不是一種證券進行分散化投資。這一理論假設投資者都是厭惡風險的，在風險確定的情況下，會選擇期望收益最大的投資組合，在收益確定的情況下，會選擇風險最小化的投資組合，通過對每種證券的期望收益率、收益率的方差和每一種證券與其他證券之間的相互關系，這三類信息的適當分析，可以從理論上識別出有效投資組合。

1、單個資產均值方差模型

單個資產方差均值計算公式為：

該公式表示：方差=（實際收益率-期望收益率）的平方*發生的概率的累加和。

單個資產的期望收益率是資產的各種可能的收益率加權後的平均值，又叫做平均收益率，如果以r代表收益率，那麼r的期望表示為E（r）：

標准差是方差的平方根，計算公式為：

2、 兩個資產均值方差模型

對於兩個資產i、j組成的投資組合，其收益率方差的計算公式為：

Cov（ri,rj）是資產i和資產j的協方差。它是指兩個資產之間的相關性，計算公式為：

如果使用歷史上m期樣本計算資產i和j的收益率的協方差，公式為：

兩個資產收益率的相關性系數是協方差除以兩個證券各自標准差的乘積，公式為：

相關系數取值范圍為[-1,+1],當大於0時，表示兩變數正線性相關，小於0時，表示負線性相關，等於1時為完全正相關，等於-1時為完全負相關，等於0時無相關性

2、 投資組合的均值方差模型

投資組合收益率的方差和標准差，取決於單個資產的方差、權重和互相之間的相關系數，方差計算公式為：

投資組合的標准差的計算公式為：

以上公式中，w代表資產的權重，由公式可知，資產組合的方差是單一資產的方差與資產相關系數的組合。單一資產的方差不變，相關系數越小，資產組合的方差也越小。

4、投資最優組合

如果把所有的投資組合都描述在收益率和標准差的坐標圖中，這是一條凸向縱軸的曲線，曲線最左邊存在一個拐點，此處的標准差是所有組合中最小的，叫做全局最小方差組合，也是投資最優組合。此點也是曲線上半部分和下半部分的交界處，上半部分的點在風險水平一定的情況下，具有更高的收益率，因此，上半部分也叫做馬科維茨有效前沿，簡稱有效前沿。

二、什麼是資本配置模型

資本配置模型也叫資本配置方程，它是威廉.夏普在馬科維茨的有效前沿的基礎上，引入無風險資產，形成風險資產和無風險資產的投資組合，這一組合的期望收益率就是風險資產和無風險資產的加權平均值。

1、 資本配置模型的推導過程

對於一個由風險資產x和無風險資產組成的投資組合，其中風險資產x的權重為Wx，收益率為Rx，標准差為Sx，無風險資產的權重為(1-Wx)，收益率為Rf，標准差為0，那麼投資組合的期望收益率為：

E(Rp)=(1-Wx)Rf+WxE(Rx)=Rf+Wx(E(Rx)-Rf)

根據投資組合的方差公式，得出標准差為：

Sp=Wx*Sx，Wx=Sp/Sx，帶入期望收益率的計算公式里得到資本配置方程：

E(Rp)=Rf+[(E(Rx)-Rf)/Sx]*Sp

資本配置方程線上的點，表示無風險資產與風險資產的線性組合，其截距是無風險收益率Rf，斜率是 (E(Rx)-Rf)/Sx ，稱為夏普比率，表示每一風險單位的超額收益率。

2、 資本市場線

資本市場線是資本配置線與馬科維茨有效前沿相切的一條直線，它取代了馬科維茨有效前沿，稱為新的有效前沿。當市場達到均衡時，切點M即為市場投資組合，因為資本市場線上的所有點的斜率是一樣的，所以得出資本市場線的公式為：

E(Rp)=Rf+[(E(Rm)-Rf)/Sm]*Sp

這表明，投資者是用無風險資產和市場組合M來構造一個適合自己需求的最優投資組合。

3、 資本市場線的意義

資本市場線實際上說明了有效投資組合風險與預期收益率之間的關系，提供了衡量有效投資組合風險的方法，用標准差來度量風險，預期收益率是標准差的線性函數。對於每一個有效投資組合，給定其風險的大小，就可以根據資本市場線知道其預期收益率的大小。

三、資本資產定價模型

資本資產定價模型是以馬科維茨證券組合理論為基礎，研究如果投資者都按照分散化的理念去投資，最終證券市場達到均衡時，價格和收益率如何決定的問題。

1、 CAPM的主要事項

CAPM使用貝塔系數來描述資產或資產組合的系統風險的大小。貝塔系數表示資產對市場收益變動的敏感性。在充分分散化的投資組合中，單個證券對組合風險的貢獻取決於該證券的系統風險，證券的系統風險是用貝塔系數來衡量的。由此可以得出資本資產定價的模型公式：

E(Ri)=Rf+Bi[E(Rm)-Rf]，E(Ri)-Rf=Bi[E(Rm)-Rf]

式中，E(Ri)為資產的期望收益率，Bi為資產貝塔系數，E(Rm)為市場組合的期望收益率，Rf是無風險收益率，

CAPM說明了資產的期望收益率與系統風險之間的正向關系，即任何資產的市場風險溢價，等於資產的系統性風險乘以市場組合的風險溢價。

2、 證券市場線SML

預期收益與貝塔系數的關系式可以表示成證券市場線，證券市場線的斜率是市場組合的風險溢價。它是在資本市場線的基礎上發展起來的，資本市場線給出了所有有效投資組合風險與預期收益率之間的關系。證券市場線給出了每一個風險資產的風險與預期收益的關系，因此，證券市場線能為每一個風險資產進行定價，這就是CAPM的核心。

3、 證券市場線與資本市場線的區別

它們的區別提現在一下四個方面：

（1）風險的衡量：證券市場線是用系統性風險貝塔系數來衡量，資本市場線是用組合的標准差來衡量。

（2）作用不同：證券市場線是決定資產最合理的預期收益率，即給證券定價，資本市場線是決定最合適的資產配置點，即資產配置。

（3）斜率不同：證券市場線的斜率是市場組合的風險溢價，資本市場線的斜率是市場組合的夏普比率。

（4）適用范圍不同：證券市場線即適用於單個資產，又適合於投資組合，資本市場線只適用於有效投資組合。

4、 CAPM的應用

證券市場線可以用來判斷一項資產的定價是否合理。如果一項資產的定價合理，那麼其就應該在SML線上，如果一個資產的價格被高估，其應當位於SML線下方，如果一個資產的價格被低估，其應當位於SML線上方。對於價格被高估的資產我們應該賣出，價格被低估的資產我們應該買入。

四、資產配置與投資組合的構建

資產配置是投資組合管理過程中的重要環節之一，也是決定投資組合相對業績的主要因數，最重要的作用是幫助投資者降低單一資產的非系統性風險，其目標是協調提高收益和降低風險的關系，這與投資者的特徵和需求密切相關，短期投資者與長期投資者、個人投資者和機構投資者對資產配置會有不同的選擇。

1、 資產配置

資產配置是根據投資者需求將投資資金在不同資產類別之間分配，是在投資者可承受的風險水平上構造能夠提供最高預期收益的資金配置方案的過程，包括戰略配置、戰術配置以及影響資產配置的主要因素。

（1）戰略配置：是為了滿足投資者風險與收益目標所做的長期資產配比；是根據投資者的風險承受能力，對資產做出一種事前的、整體性的、最能滿足投資者需求的規劃和安排；是反映投資者的長期投資目標和策略，確定各主要大類資產的投資比例，建立最佳長期資產組合結構。

（2）戰術配置：是一種根據對短期資本市場環境及經濟條件的預測，積極、主動地對資產配置狀態進行動態調整，從而增強投資組合價值的積極戰略。戰術配置更多地關注市場的短期波動，強調根據市場的變化，運用金融工具，通過擇時調節各大類資產之間的分配比例，來管理短期的投資收益和風險。戰術配置的周期一般在一年以內，如月度、季度。

（3）影響資產配置的因素

影響投資者風險承受能力和收益要求的因素是投資者的年齡、投資周期、資產負債狀況、財務變動狀況與趨勢、財富凈值和風險偏好等。

影響各類資產的風險、收益狀況以及相關關系的資本市場環境因素包括國際經濟形勢、國內經濟狀況與發展動力、通貨膨脹、利率變化、經濟周期波動和監管等。

影響資產配置的因素還包括資產的流動性、投資期限和稅收考慮等。

2、 股票投資組合構建

股票投資構建通常由自上而下、自下而上兩種策略。自上而下策略可以通過研究和預測決定經濟形勢的幾個核心變數，如消費者信心、商品價格、利率、通貨膨脹、GDP等宏觀形勢、行業和板塊特徵來決定大類資產配置。自下而上策略是依賴個股篩選的投資策略，關注的是各家公司的表現，而非經濟或市場整體趨勢，因而自下而上策略並不重視行業配置。實際應用中，可採取兩種策略相結合的方式。無論哪種方式都受到投資合同、投資政策、管理能力等方面的約束。

3、 債券投資組合構建

債券投資主要分析指標有到期收益率、利率期限結構、久期、凸性等。自上而下的債券配置從宏觀上把握債券投資的總體風險開始，分析包括市場風險和信用風險，進而決定在不同的信用等級、行業類別上的配置比例，通過大類資產配置、類屬資產配置和個券選擇三個層次自上而下地決策，最終實現投資目標。

以上介紹了均值方差模型、資本配置模型和資本資產定價模型，以及上述理論在構建投資組合中的實際應用。

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④ 證券市場線的斜率是什麼意思

證券市場線的斜率，證券市場線的截距。這條線被稱為證券市場線(SML)，證券市場它反映了股票的預期回報率與公司的系統風險之問存在線性關系。證券市場有了這樣的模型，就可以估計投資公司的股票要求的間報率了。證券市場但是證券市場線反映的是均衡狀態下資產的預期回報率和系統風險之間的關系

1、威廉夏普對馬科維茨現代組合管理理論主要進行了兩方面修正：他把無風險資產納入了考量，投資組合包含了對無風險資產的投資；另外，馬科維茨組合管理中的投資組合包含了世界上所有風險資產，實務操作性有限，威廉夏普也對此進行了優化。
2、威廉夏普的理論中，每個投資者將根據個體情況構建投資組合，對他們可投資的資產類別進行配置，不同投資者構建的組合，其預期收益率和風險都不同，從而不同投資者的有效前沿也是不同的。 並且，考慮無風險資產後，意味著要把無風險資產所代表的點和投資者有效前沿上的點組合在一起，得到一條直線，這條直線稱為資本配置線（capital allocation line， CAL），資本配置線上的組合，其預期收益率和風險的計算如下（記得，無風險資產的風險）
3、一條投資者有效前沿上的任意點和無風險資產連接後，都能構成一條資本配置線，因此資本配置線可以有無數條。然而，只存在一條最優資本配置線，即無風險資產所代表的點和有效前沿上的點所形成的切線CAL(P)，因為在所有畫出的資本配置線中，CAL(P)上的點始終是同等風險水平下收益率最高的，切點P稱為最優風險資產組合（optimal risky portfolio）。
4、由於資本配置線考慮了無風險資產，風險的分散化效果更好，從圖上也可看出，風險相同的情況下，與有效前沿上的組合收益率相比，資本配置線上的組合擁有更高的收益率。

⑤ 請詳細說明一下資本市場線的含義以及表達式

資本市場線中，縱坐標是總期望報酬率、橫坐標是總標准差
根據：總期望報酬率＝Q×風險組合的期望報酬率＋（1－Q）×無風險利率
總標准差＝Q×風險組合的標准差
可知：
當Q＝1時，總期望報酬率＝風險組合的期望報酬率，總標准差＝風險組合的標准差
當Q＝0時，總期望報酬率＝無風險利率，總標准差＝0
所以，資本市場線的斜率＝（風險組合的期望報酬率－無風險利率）/風險組合的標准差
由於資本市場線中，截距為無風險利率，所以，資本市場線的表達式應該為：
總期望報酬率＝無風險利率＋[（風險組合的期望報酬率－無風險利率）/風險組合的標准差]×總標准差
或者表述為：
投資組合的期望報酬率＝無風險利率＋[（風險組合的期望報酬率－無風險利率）/風險組合的標准差]×投資組合的標准差

⑥ 資本市場線公式

資本市場線公式：總期望報酬率=Q×風險組合的期望報酬率+(1—Q)×無風險利率；總標准差=Q×風險組合的標准差；資本市場線的斜率=(風險組合的期望報酬率—無風險利率)/風險組合的標准差。