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譜范數演算法

發布時間: 2022-07-03 07:47:19

⑴ matlab s2=norm(A,2); s4=sum(sum(abs(A)^2))^(1/2) 為什麼結果不同

這個問題問的好。

  • 如果A為向量,其p-范數計算公式為sum(abs(A).^p)^(1/p),其中1<=p<=inf;

  • 對於矩陣A,范數的計算公式不同於向量:

    • 只支持p=1,2,inf或'fro'四種取值,也就是說,不能計算3-范數,比如norm(A,3)會報錯;

    • 對於norm函數,矩陣的2-范數定義為所謂的「譜范數」。矩陣A的譜范數是A最大的奇異值或半正定矩陣A*A的最大特徵值的平方根,相當於

      max(sqrt(eig(A'*A)))

      你可以比較一下,這個和norm(A,2)的結果相同。

⑵ 這個矩陣的2范數如何求,誰給看看

A的轉置矩陣與A乘積的最大特徵值開方。

矩陣的1范數(norm(A,1)):在矩陣的各個列中,指絕對值之和最大的那個列(的絕對值之和),舉例子一目瞭然:

A=[0 1 0;1 0 0;-1 0 0]

A =

0 1 0

1 0 0

-1 0 0

>> norm(A,1)

ans =2

p-范數誘導出的矩陣范數:

范數:║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范數,A每一列元素絕對值之和的最大值)(其中∑|ai1|第一列元素絕對值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+|an1|,其餘類似);

范數:║A║2 = A的最大奇異值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} (歐幾里德范數,譜范數,即A^H*A特徵值λi中最大者λ1的平方根,其中A^H為A的轉置共軛矩陣);

⑶ 線性代數中A*怎麼求

線性代數中 ||a|| 是指向量a的長度

||a|| = √(a,a) = √a^Ta

其中 (a,a) 是a與a的內積,是a的各分量的平方之和

如a=(X1,X2,X3),則||a||=√X1^2+X2^2+X3^3

(3)譜范數演算法擴展閱讀

常用矩陣范數:

(1)行和范數:就是對矩陣每行絕對值求和,然後在取最大值就定義為矩陣的行和范數。

(2)列和范數:就是對矩陣每列絕對值求和,然後在取最大值就定義為矩陣的列和范數。

(3)譜范數:求解矩陣A與自身轉置乘積所得矩陣的模最大特徵值,記這個特徵值的模叫做矩陣的譜半徑,也就是此矩陣的譜范數,注意這里做的乘積是必要的,就是方陣化,因為我們一般的矩陣不一定是方陣並不一定有特徵值。

⑷ 證明譜范數

譜范數是由p-范數誘導出的矩陣范數:
2-范數:║A║2 = A的最大奇異值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2}
(歐幾里德范數,譜范數,即A'A特徵值λi中最大者λ1的平方根,其中A^H為A的轉置共軛矩陣)。
范數是數學中的一種基本概念,在泛函分析中,范數是一種定義在賦范線性空間中函數,滿足相應條件後的函數都可以被稱為范數。
常用的三種p-范數誘導出的矩陣范數是:
1-范數:║A║1 = max{ ∑|ai1|,∑|ai2|,……,∑|ain| } (列和范數,A每一列元素絕對值之和的最大值)
(其中∑|ai1|第一列元素絕對值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其餘類似);
2-范數:║A║2 = A的最大奇異值 = (max{ λi(AH*A) }) 1/2 (譜范數,即A^H*A特徵值λi中最大者λ1的平方根,其中AH為A的轉置共軛矩陣);
∞-范數:║A║∞ = max{ ∑|a1j|,∑|a2j|,...,∑|amj| } (行和范數,A每一行元素絕對值之和的最大值)

⑸ 怎麼證明矩陣譜范數滿足||A||_2=max{|y'Ax|, ||x||_2=1, ||y||_2=1},謝謝!

這題的證明關鍵是利用矩陣2范數和最大奇異值之間的關系。
1. 首先證明對於任意的x和y,必存在某個酉矩陣Q滿足,y = Q * x。
證明:將x和y分別擴充到Cn上的兩組酉基X = [x, x2, ... , xn]和Y = [y, y2, ..., yn],那麼X和Y必然等價,即存在酉矩陣Q滿足Y = Q * X,取第一列可得y = Q * x。
2. 再證:||P * A * Q||2 = ||A||2,其中P和Q都是Cn上的酉陣。這其實是矩陣2范數的一個常用性質。
證明:||A||2 = sqrt(max(eig(A' * A))) = sqrt(max(eig(A' * P' * P * A))) = ||P * A||2
||A||2 = sqrt(max(eig(A * A'))) = sqrt(max(eig(A * Q * Q' * A'))) = ||A * Q||2
=> ||A||2 = ||P * A||2 = ||A * Q||2 = ||P * A * Q||2
3. 由1知,對於任意的單位2范數向量y和x,存在酉陣Q滿足:Q' * Q = I,y = Q * x,而max|y'Ax| = max|x' * Q' * A * x| = ||Q' * A||2,由2知||Q' * A||2 = ||A||2,證畢!

⑹ 什麼是矩陣譜范數

定義3.設A是n×n矩陣,λi是其特徵值,i=1,2,…,n.稱為A的譜半徑.譜半徑是矩陣的函數,但非矩陣范數.對任一矩陣范數有如下關系:ρ(A)≤║A║因為任一特徵對λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.兩邊取范數,由矩陣范數的相容性和齊次性就導出結果.定理3.矩陣序列I,A,A2,…Ak,…收斂於零的充分必要條件是ρ(A)

⑺ 如何證明譜范數滿足矩陣范數的性質

見圖

⑻ 什麼是「歐幾里德范數」(Euclidean norm)

Euclidean范數指得就是通常意義上的距離范數。

比如||X||=ρ(X,0)=Sqrt(X1^2+X2^2+...+Xn^2)

x是n維向量(x1,x2,…,xn),
||x||=根號(|x1|方+|x2|方+…+|xn|方)

補充:開平方,跟幾何一樣

(8)譜范數演算法擴展閱讀

誘導范數

把矩陣看作線性運算元,那麼可以由向量范數誘導出矩陣范數║A║ = max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0} ,它自動滿足對向量范數的相容性║Ax║ ≤ ║A║║x║,並且可以由此證明║AB║ ≤ ║A║║B║。

註:1.上述定義中可以用max代替sup是因為有限維空間的單位閉球是緊的(有限開覆蓋定理),從而上面的連續函數可以取到最值。

2.顯然,單位矩陣的運算元范數為1。

常用的三種p-范數誘導出的矩陣范數是:

1-范數:║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范數,A每一列元素絕對值之和的最大值)(其中∑|ai1|第一列元素絕對值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其餘類似);

2-范數:║A║2 = A的最大奇異值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} (歐幾里德范數,譜范數,即A^H*A特徵值λi中最大者λ1的平方根,其中A^H為A的轉置共軛矩陣);

∞-范數:║A║∞ = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|amj| } (行和范數,A每一行元素絕對值之和的最大值)(其中為∑|a1j| 第一行元素絕對值的和,其餘類似);

其它的p-范數則沒有很簡單的表達式。

對於p-范數而言,可以證明║A║p=║A^H║q,其中p和q是共軛指標。

簡單的情形可以直接驗證:║A║1=║A^H║∞,║A║2=║A^H║2,一般情形則需要利用║A║p=max{y^H*A*x:║x║p=║y║q=1}。

⑼ 我想請問一下各位大佬計算方法裡面這個實對稱矩陣時譜范數等於譜半徑怎麼證明呢

證明:
記λ為矩陣A的模最大特徵值(譜半徑),x為其對應的右特徵向量,那麼:
x'A' × Ax = |λ|² × x'x => |λ| = ||Ax||₂/ ||x||₂<= ||A||₂即矩陣的模最大特徵值(譜半徑)小於等於矩陣的2范數,再由矩陣范數的等價性命題知,矩陣譜半徑不是矩陣范數,證畢!

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