迭代演算法的基本思想

① 迭代思維應遵守哪幾個核心思想

在人類實踐活動中，源自計算機軟體領域的迭代思想已經由一種演算法逐步升級發展為一種方法、理念和思維模式。隨著知識服務在情報工作中的快速推進，知識服務產品開發與服務活動正在逐步步入規范化、工程化、工藝化的軌道。在知識服務產品化活動中引入迭代思維，可以有效提高產品質量、開發效率和服務效果，增強開發活動的針對性、規范性、科學性和創新性。
總結掌握迭代思維的特點規律，是在工作中建立並運用好迭代思維的前提和基礎。基於對迭代方法的認識和迭代思維的作用定位，筆者認為主要特徵至少包括以下方面:

1、目標的不確定性。又可稱為環境導向性。迭代思維運用中，過程本身具有很強的外部交互性，目標的明確化過程通常也是與環境不斷交互的過程。作為輸入輸出變數的需求與信息本身具有相對不確定性，需要進行識別、判定、收斂和顯性化。我們需要圍繞目標不斷引入和修正環境的輸入與輸出。同時，其結果又反作用於目標，使目標進一步明確化。

2、行為的試探性。圍繞目標的不斷逼近，需要不斷嘗試，並進行選擇、批判和排除。尤其對於剔舊和創新的部分，需要不斷調試和檢驗、測度。因此，解決問題的整個行為過程也是試驗和探索的過程。

3、過程的周期性。迭代過程是一種創新的過程，充滿著量變到質變的飛躍。與每次大大小小的質變相對應，迭代過程也產生了大大小小的周期。每個周期可以構成一個循環，周期間的節點是可度量的檢驗點和控制點

② 迭代演算法是什麼

迭代演算法是一種不斷用變數的舊值遞推新值的過程，跟迭代法相對應的是直接法，即一次性解決問題。迭代法又分為精確迭代和近似迭代。

「二分法」和「牛頓迭代法」屬於近似迭代法。迭代演算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重復性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進行重復執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變數的原值推出它的一個新值。

迭代是數值分析中通過從一個初始估計出發尋找一系列近似解來解決問題（一般是解方程或者方程組）的過程，為實現這一過程所使用的方法統稱為迭代法（Iterative Method）。

輾轉相除法， 又名歐幾里德演算法（Euclidean algorithm），是求最大公約數的一種方法。它的具體做法是：用較大數除以較小數，再用出現的余數（第一餘數）去除除數，再用出現的余數（第二餘數）去除第一餘數，如此反復，直到最後余數是0為止。

如果是求兩個數的最大公約數，那麼最後的除數就是這兩個數的最大公約數。另一種求兩數的最大公約數的方法是更相減損法。

③ 迭代法是什麼

迭代演算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重復性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進行重復執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變數的原值推出它的一個新值。

利用迭代演算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：

一、確定迭代變數。在可以用迭代演算法解決的問題中，至少存在一個直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變數，這個變數就是迭代變數。

二、建立迭代關系式。所謂迭代關系式，指如何從變數的前一個值推出其下一個值的公式（或關系）。迭代關系式的建立是解決迭代問題的關鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。

三、對迭代過程進行控制。在什麼時候結束迭代過程？這是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地重復執行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次數無法確定。對於前一種情況，可以構建一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制；對於後一種情況，需要進一步分析出用來結束迭代過程的條件。

例 1 ： 一個飼養場引進一隻剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問到第 12 個月時，該飼養場共有兔子多少只？

分析： 這是一個典型的遞推問題。我們不妨假設第 1 個月時兔子的只數為 u 1 ，第 2 個月時兔子的只數為 u 2 ，第 3 個月時兔子的只數為 u 3 ，……根據題意，「這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子」，則有

u 1 ＝ 1 ， u 2 ＝ u 1 ＋ u 1 × 1 ＝ 2 ， u 3 ＝ u 2 ＋ u 2 × 1 ＝ 4 ，……

根據這個規律，可以歸納出下面的遞推公式：

u n ＝ u n － 1 × 2 (n ≥ 2)

對應 u n 和 u n － 1 ，定義兩個迭代變數 y 和 x ，可將上面的遞推公式轉換成如下迭代關系：

y=x*2

x=y

讓計算機對這個迭代關系重復執行 11 次，就可以算出第 12 個月時的兔子數。參考程序如下：

cls

x=1

for i=2 to 12

y=x*2

x=y

next i

print y

end

例 2 ： 阿米巴用簡單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分鍾。將若干個阿米巴放在一個盛滿營養參液的容器內， 45 分鍾後容器內充滿了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴 2 20 個。試問，開始的時候往容器內放了多少個阿米巴？請編程序算出。

分析： 根據題意，阿米巴每 3 分鍾分裂一次，那麼從開始的時候將阿米巴放入容器裡面，到 45 分鍾後充滿容器，需要分裂 45/3=15 次。而「容器最多可以裝阿米巴 2 20 個」，即阿米巴分裂 15 次以後得到的個數是 2 20 。題目要求我們計算分裂之前的阿米巴數，不妨使用倒推的方法，從第 15 次分裂之後的 2 20 個，倒推出第 15 次分裂之前（即第 14 次分裂之後）的個數，再進一步倒推出第 13 次分裂之後、第 12 次分裂之後、……第 1 次分裂之前的個數。

設第 1 次分裂之前的個數為 x 0 、第 1 次分裂之後的個數為 x 1 、第 2 次分裂之後的個數為 x 2 、……第 15 次分裂之後的個數為 x 15 ，則有

x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1)

因為第 15 次分裂之後的個數 x 15 是已知的，如果定義迭代變數為 x ，則可以將上面的倒推公式轉換成如下的迭代公式：

x=x/2 （ x 的初值為第 15 次分裂之後的個數 2 20 ）

讓這個迭代公式重復執行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴個數。因為所需的迭代次數是個確定的值，我們可以使用一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制。參考程序如下：

cls

x=2^20

for i=1 to 15

x=x/2

next i

print x

end

例 3 ： 驗證谷角猜想。日本數學家谷角靜夫在研究自然數時發現了一個奇怪現象：對於任意一個自然數 n ，若 n 為偶數，則將其除以 2 ；若 n 為奇數，則將其乘以 3 ，然後再加 1 。如此經過有限次運算後，總可以得到自然數 1 。人們把谷角靜夫的這一發現叫做「谷角猜想」。

要求：編寫一個程序，由鍵盤輸入一個自然數 n ，把 n 經過有限次運算後，最終變成自然數 1 的全過程列印出來。

分析： 定義迭代變數為 n ，按照谷角猜想的內容，可以得到兩種情況下的迭代關系式：當 n 為偶數時， n=n/2 ；當 n 為奇數時， n=n*3+1 。用 QBASIC 語言把它描述出來就是：

if n 為偶數 then

n=n/2

else

n=n*3+1

end if

這就是需要計算機重復執行的迭代過程。這個迭代過程需要重復執行多少次，才能使迭代變數 n 最終變成自然數 1 ，這是我們無法計算出來的。因此，還需進一步確定用來結束迭代過程的條件。仔細分析題目要求，不難看出，對任意給定的一個自然數 n ，只要經過有限次運算後，能夠得到自然數 1 ，就已經完成了驗證工作。因此，用來結束迭代過程的條件可以定義為： n=1 。參考程序如下：

cls

input "Please input n=";n

do until n=1

if n mod 2=0 then

rem 如果 n 為偶數，則調用迭代公式 n=n/2

n=n/2

print "—";n;

else

n=n*3+1

print "—";n;

end if

loop

end

迭代法

迭代法是用於求方程或方程組近似根的一種常用的演算法設計方法。設方程為f(x)=0，用某種數學方法導出等價的形式x=g(x)，然後按以下步驟執行：
（1） 選一個方程的近似根，賦給變數x0；
（2） 將x0的值保存於變數x1，然後計算g(x1)，並將結果存於變數x0；
（3） 當x0與x1的差的絕對值還小於指定的精度要求時，重復步驟（2）的計算。
若方程有根，並且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認為是方程的根。上述演算法用C程序的形式表示為：
【演算法】迭代法求方程的根
{ x0=初始近似根；
do {
x1=x0；
x0=g(x1)； /*按特定的方程計算新的近似根*/
} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；
printf(「方程的近似根是%f\n」，x0)；
}
迭代演算法也常用於求方程組的根，令
X=（x0，x1，…，xn-1）
設方程組為：
xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1)
則求方程組根的迭代演算法可描述如下：
【演算法】迭代法求方程組的根
{ for (i=0;i
x=初始近似根;
do {
for (i=0;i
y=x;
for (i=0;i
x=gi(X);
for (delta=0.0,i=0;i
if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x)；
} while (delta>Epsilon)；
for (i=0;i
printf(「變數x[%d]的近似根是 %f」，I，x)；
printf(「\n」)；
}
具體使用迭代法求根時應注意以下兩種可能發生的情況：
（1） 如果方程無解，演算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環，因此在使用迭代演算法前應先考察方程是否有解，並在程序中對迭代的次數給予限制；
（2） 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導致迭代失敗。
遞歸

遞歸是設計和描述演算法的一種有力的工具，由於它在復雜演算法的描述中被經常採用，為此在進一步介紹其他演算法設計方法之前先討論它。
能採用遞歸描述的演算法通常有這樣的特徵：為求解規模為N的問題，設法將它分解成規模較小的問題，然後從這些小問題的解方便地構造出大問題的解，並且這些規模較小的問題也能採用同樣的分解和綜合方法，分解成規模更小的問題，並從這些更小問題的解構造出規模較大問題的解。特別地，當規模N=1時，能直接得解。
【問題】 編寫計算斐波那契（Fibonacci）數列的第n項函數fib（n）。
斐波那契數列為：0、1、1、2、3、……，即：
fib(0)=0;
fib(1)=1;
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （當n>1時）。
寫成遞歸函數有：
int fib(int n)
{ if (n==0) return 0;
if (n==1) return 1;
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);
}
遞歸演算法的執行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復雜的問題（規模為n）的求解推到比原問題簡單一些的問題（規模小於n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，為計算fib(n)，必須先計算fib(n-1)和fib(n- 2)，而計算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數fib中，當n為1和0的情況。
在回歸階段，當獲得最簡單情況的解後，逐級返回，依次得到稍復雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)後，返回得到fib(2)的結果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結果後，返回得到fib(n)的結果。
在編寫遞歸函數時要注意，函數中的局部變數和參數知識局限於當前調用層，當遞推進入「簡單問題」層時，原來層次上的參數和局部變數便被隱蔽起來。在一系列「簡單問題」層，它們各有自己的參數和局部變數。
由於遞歸引起一系列的函數調用，並且可能會有一系列的重復計算，遞歸演算法的執行效率相對較低。當某個遞歸演算法能較方便地轉換成遞推演算法時，通常按遞推演算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數列的第n項的函數fib(n)應採用遞推演算法，即從斐波那契數列的前兩項出發，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項。
【問題】 組合問題
問題描述：找出從自然數1、2、……、n中任取r個數的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1
（4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1
（7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1
（10）3、2、1
分析所列的10個組合，可以採用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數的演算法。設函數為void comb(int m,int k)為找出從自然數1、2、……、m中任取k個數的所有組合。當組合的第一個數字選定時，其後的數字是從餘下的m-1個數中取k-1數的組合。這就將求m 個數中取k個數的組合問題轉化成求m-1個數中取k-1個數的組合問題。設函數引入工作數組a[ ]存放求出的組合的數字，約定函數將確定的k個數字組合的第一個數字放在a[k]中，當一個組合求出後，才將a[ ]中的一個組合輸出。第一個數可以是m、m-1、……、k，函數將確定組合的第一個數字放入數組後，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其餘元素，繼續遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細節見以下程序中的函數comb。
【程序】
# include
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int k)
{ int i,j;
for (i=m;i>=k;i--)
{ a[k]=i;
if (k>1)
comb(i-1,k-1);
else
{ for (j=a[0];j>0;j--)
printf(「%4d」,a[j]);
printf(「\n」);
}
}
}

void main()
{ a[0]=3;
comb(5,3);
}
【問題】 背包問題
問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。
設n 件物品的重量分別為w0、w1、…、wn-1，物品的價值分別為v0、v1、…、vn-1。採用遞歸尋找物品的選擇方案。設前面已有了多種選擇的方案，並保留了其中總價值最大的方案於數組option[ ]，該方案的總價值存於變數maxv。當前正在考察新方案，其物品選擇情況保存於數組cop[ ]。假定當前方案已考慮了前i-1件物品，現在要考慮第i件物品；當前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其餘物品都選擇是可能的話，本方案能達到的總價值的期望值為tv。演算法引入tv是當一旦當前方案的總價值的期望值也小於前面方案的總價值maxv時，繼續考察當前方案變成無意義的工作，應終止當前方案，立即去考察下一個方案。因為當方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數後找到的方案一定會比前面的方案更好。
對於第i件物品的選擇考慮有兩種可能：
（1） 考慮物品i被選擇，這種可能性僅當包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中後，繼續遞歸去考慮其餘物品的選擇。
（2） 考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。
按以上思想寫出遞歸演算法如下：
try(物品i，當前選擇已達到的重量和，本方案可能達到的總價值tv)
{ /*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/
if(包含物品i是可以接受的)
{ 將物品i包含在當前方案中；
if (i
try(i+1,tw+物品i的重量,tv);
else
/*又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/
以當前方案作為臨時最佳方案保存;
恢復物品i不包含狀態；
}
/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/
if (不包含物品i僅是可男考慮的)
if (i
try(i+1,tw,tv-物品i的價值)；
else
/*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/
以當前方案作為臨時最佳方案保存;
}
為了理解上述演算法，特舉以下實例。設有4件物品，它們的重量和價值見表：
物品 0 1 2 3
重量 5 3 2 1
價值 4 4 3 1

並設限制重量為7。則按以上演算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，演算法就進一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解，演算法不會在該分支繼續查找，而是立即終止該分支，並去考察下一個分支。

按上述演算法編寫函數和程序如下：
【程序】
# include
# define N 100
double limitW,totV,maxV;
int option[N],cop[N];
struct { double weight;
double value;
}a[N];
int n;
void find(int i,double tw,double tv)
{ int k;
/*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/
if (tw+a.weight<=limitW)
{ cop=1;
if (i
else
{ for (k=0;k
option[k]=cop[k];
maxv=tv;
}
cop=0;
}
/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/
if (tv-a.value>maxV)
if (i
else
{ for (k=0;k
option[k]=cop[k];
maxv=tv-a.value;
}
}

void main()
{ int k;
double w,v;
printf(「輸入物品種數\n」);
scanf((「%d」,&n);
printf(「輸入各物品的重量和價值\n」);
for (totv=0.0,k=0;k
{ scanf(「%1f%1f」,&w,&v);
a[k].weight=w;
a[k].value=v;
totV+=V;
}
printf(「輸入限制重量\n」);
scanf(「%1f」,&limitV);
maxv=0.0;
for (k=0;k find(0,0.0,totV);
for (k=0;k
if (option[k]) printf(「%4d」,k+1);
printf(「\n總價值為%.2f\n」,maxv);
}
作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡單地逐一生成所有候選解，而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進一步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應該繼續考慮的；反之，該物品不應該包括在當前正在形成的候選解中。同樣地，僅當物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當前候選解中的方案也不應繼續考慮。對於任一值得繼續考慮的方案，程序就去進一步考慮下一個物品。
【程序】
# include
# define N 100
double limitW;
int cop[N];
struct ele { double weight;
double value;
} a[N];
int k,n;
struct { int ;
double tw;
double tv;
}twv[N];
void next(int i,double tw,double tv)
{ twv.=1;
twv.tw=tw;
twv.tv=tv;
}
double find(struct ele *a,int n)
{ int i,k,f;
double maxv,tw,tv,totv;
maxv=0;
for (totv=0.0,k=0;k
totv+=a[k].value;
next(0,0.0,totv);
i=0;
While (i>=0)
{ f=twv.;
tw=twv.tw;
tv=twv.tv;
switch(f)
{ case 1: twv.++;
if (tw+a.weight<=limitW)
if (i
{ next(i+1,tw+a.weight,tv);
i++;
}
else
{ maxv=tv;
for (k=0;k
cop[k]=twv[k].!=0;
}
break;
case 0: i--;
break;
default: twv.=0;
if (tv-a.value>maxv)
if (i
{ next(i+1,tw,tv-a.value);
i++;
}
else
{ maxv=tv-a.value;
for (k=0;k
cop[k]=twv[k].!=0;
}
break;
}
}
return maxv;
}

void main()
{ double maxv;
printf(「輸入物品種數\n」);
scanf((「%d」,&n);
printf(「輸入限制重量\n」);
scanf(「%1f」,&limitW);
printf(「輸入各物品的重量和價值\n」);
for (k=0;k
scanf(「%1f%1f」,&a[k].weight,&a[k].value);
maxv=find(a,n);
printf(「\n選中的物品為\n」);
for (k=0;k
if (option[k]) printf(「%4d」,k+1);
printf(「\n總價值為%.2f\n」,maxv);
}

遞歸的基本概念和特點
程序調用自身的編程技巧稱為遞歸（ recursion）。
一個過程或函數在其定義或說明中又直接或間接調用自身的一種方法，它通常把一個大型復雜的問題層層轉化為一個與原問題相似的規模較小的問題來求解，遞歸策略只需少量的程序就可描述出解題過程所需要的多次重復計算，大大地減少了程序的代碼量。遞歸的能力在於用有限的語句來定義對象的無限集合。用遞歸思想寫出的程序往往十分簡潔易懂。
一般來說，遞歸需要有邊界條件、遞歸前進段和遞歸返回段。當邊界條件不滿足時，遞歸前進；當邊界條件滿足時，遞歸返回。
注意：
(1) 遞歸就是在過程或函數里調用自身;
(2) 在使用遞增歸策略時，必須有一個明確的遞歸結束條件，稱為遞歸出口。

④ 什麼是迭代演算法

迭代演算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重復性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進行重復執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變數的原值推出它的一個新值。

利用迭代演算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：

一、確定迭代變數。在可以用迭代演算法解決的問題中，至少存在一個直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變數，這個變數就是迭代變數。

二、建立迭代關系式。所謂迭代關系式，指如何從變數的前一個值推出其下一個值的公式（或關系）。迭代關系式的建立是解決迭代問題的關鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。

三、對迭代過程進行控制。在什麼時候結束迭代過程？這是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地重復執行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次數無法確定。對於前一種情況，可以構建一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制；對於後一種情況，需要進一步分析出用來結束迭代過程的條件。

例 1 ： 一個飼養場引進一隻剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問到第 12 個月時，該飼養場共有兔子多少只？

分析： 這是一個典型的遞推問題。我們不妨假設第 1 個月時兔子的只數為 u 1 ，第 2 個月時兔子的只數為 u 2 ，第 3 個月時兔子的只數為 u 3 ，……根據題意，「這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子」，則有

u 1 ＝ 1 ， u 2 ＝ u 1 ＋ u 1 × 1 ＝ 2 ， u 3 ＝ u 2 ＋ u 2 × 1 ＝ 4 ，……

根據這個規律，可以歸納出下面的遞推公式：

u n ＝ u n － 1 × 2 (n ≥ 2)

對應 u n 和 u n － 1 ，定義兩個迭代變數 y 和 x ，可將上面的遞推公式轉換成如下迭代關系：

y=x*2

x=y

讓計算機對這個迭代關系重復執行 11 次，就可以算出第 12 個月時的兔子數。參考程序如下：

cls

x=1

for i=2 to 12

y=x*2

x=y

next i

print y

end

例 2 ： 阿米巴用簡單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分鍾。將若干個阿米巴放在一個盛滿營養參液的容器內， 45 分鍾後容器內充滿了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴 2 20 個。試問，開始的時候往容器內放了多少個阿米巴？請編程序算出。

分析： 根據題意，阿米巴每 3 分鍾分裂一次，那麼從開始的時候將阿米巴放入容器裡面，到 45 分鍾後充滿容器，需要分裂 45/3=15 次。而「容器最多可以裝阿米巴 2 20 個」，即阿米巴分裂 15 次以後得到的個數是 2 20 。題目要求我們計算分裂之前的阿米巴數，不妨使用倒推的方法，從第 15 次分裂之後的 2 20 個，倒推出第 15 次分裂之前（即第 14 次分裂之後）的個數，再進一步倒推出第 13 次分裂之後、第 12 次分裂之後、……第 1 次分裂之前的個數。

設第 1 次分裂之前的個數為 x 0 、第 1 次分裂之後的個數為 x 1 、第 2 次分裂之後的個數為 x 2 、……第 15 次分裂之後的個數為 x 15 ，則有

x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1)

因為第 15 次分裂之後的個數 x 15 是已知的，如果定義迭代變數為 x ，則可以將上面的倒推公式轉換成如下的迭代公式：

x=x/2 （ x 的初值為第 15 次分裂之後的個數 2 20 ）

讓這個迭代公式重復執行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴個數。因為所需的迭代次數是個確定的值，我們可以使用一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制。參考程序如下：

cls

x=2^20

for i=1 to 15

x=x/2

next i

print x

end

⑤ 什麼是牛頓迭代法，說一下，牛頓迭代法的主要思想

牛頓迭代法 牛頓迭代法(Newton's method)又稱為牛頓-拉夫遜方法(Newton-Raphson method),它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和復數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式,因此求精確根非常困難,甚至不可能,從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函數f(x)的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大優點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂,而且該法還可以用來求方程的重根、復根。 設r是f(x) = 0的根,選取x0作為r初始近似值,過點(x0,f(x0))做曲線y = f(x)的切線L,L的方程為y = f(x0) f'(x0)(x-x0),求出L與x軸交點的橫坐標 x1 = x0-f(x0)/f'(x0),稱x1為r的一次近似值。過點(x1,f(x1))做曲線y = f(x)的切線,並求該切線與x軸的橫坐標 x2 = x1-f(x1)/f'(x1),稱x2為r的二次近似值。重復以上過程,得r的近似值序列,其中x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n)),稱為r的n+1次近似值,上式稱為牛頓迭代公式。 解非線性方程f(x)=0的牛頓法是把非線性方程線性化的一種近似方法。把f(x)在x0點附近展開成泰勒級數 f(x) = f(x0)+(x-x0)f'(x0)+(x-x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其線性部分,作為非線性方程f(x) = 0的近似方程,即泰勒展開的前兩項,則有f(x0)+f'(x0)(x-x0)=f(x)=0 設f'(x0)≠0則其解為x1=x0-f(x0)/f'(x0) 這樣,得到牛頓法的一個迭代序列:x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n))。 參考資料: http://ke..com/view/643093.html

⑥ 什麼是迭代法

迭代法也稱輾轉法，是一種不斷用變數的舊值遞推新值的過程，跟迭代法相對應的是直接法(或者稱為一次解法)，即一次性解決問題。

迭代演算法是用計算機解決問題的一種基本方法，它利用計算機運算速度快、適合做重復性操作的特點，讓計算機對一組指令(或一定步驟)進行重復執行，在每次執行這組指令(或這些步驟)時，都從變數的原值推出它的一個新值，迭代法又分為精確迭代和近似迭代。

比較典型的迭代法如「二分法」和"牛頓迭代法」屬於近似迭代法。

(6)迭代演算法的基本思想擴展閱讀：

對於區間[a，b]上連續不斷且f（a）·f（b）<0的函數y=f（x），通過不斷地把函數f（x）的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫二分法。

二分法（Bisection method） 即一分為二的方法. 設[a，b]為R的閉區間. 逐次二分法就是造出如下的區間序列([an，bn])：a0=a，b0=b，且對任一自然數n，[an+1，bn+1]或者等於[an，cn]，或者等於[cn，bn]，其中cn表示[an，bn]的中點。

參考資料來源：網路-二分法

參考資料來源：網路-迭代法

⑦ 迭代通俗解釋是什麼

「迭代」一詞的通俗解釋：重復執行一系列運算步驟，從前面的量依次求出後面的量的過程。

迭代是重復反饋過程的活動，其目的通常是為了逼近所需目標或結果。每一次對過程的重復稱為一次「迭代」，而每一次迭代得到的結果會作為下一次迭代的初始值，例如利用迭代法求某一數學問題的解。

對計算機特定程序中需要反復執行的子程序（一組指令），進行一次重復，即重復執行程序中的循環，直到滿足某條件為止，亦稱為迭代。

迭代式開發的優勢：

1、它允許需求的變化。

2、早期的迭代可以暴露風險。

3、它使重用更加容易。

4、能夠在每一個迭代中發現並更正缺陷。

5、它能夠更好的利用項目的人員資源。

6、能夠沿著項目的道路改進開發的過程。

7、團隊成員能夠沿著項目的道路進行學習。

以上內容參考：網路-迭代

⑧ 迭代演算法是什麼

迭代法也稱輾轉法，是一種不斷用變數的舊值遞推新值的過程，跟迭代法相對應的是直接法，即一次性解決問題。迭代法又分為精確迭代和近似迭代。

「二分法」和「牛頓迭代法」屬於近似迭代法。迭代演算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重復性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進行重復執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變數的原值推出它的一個新值。

迭代是數值分析中通過從一個初始估計出發尋找一系列近似解來解決問題（一般是解方程或者方程組）的過程，為實現這一過程所使用的方法統稱為迭代法（Iterative Method）。

輾轉相除法， 又名歐幾里德演算法（Euclidean algorithm），是求最大公約數的一種方法。它的具體做法是：用較大數除以較小數，再用出現的余數（第一餘數）去除除數，再用出現的余數（第二餘數）去除第一餘數，如此反復，直到最後余數是0為止。

如果是求兩個數的最大公約數，那麼最後的除數就是這兩個數的最大公約數。另一種求兩數的最大公約數的方法是更相減損法。

⑨ 迭代法，二分法，牛頓迭代法，弦截法的演算法設計思想

1)迭代法設計思想最簡單：x=f(x)
但這種方法初值很主要，不然容易發散。
2)二分法設計思想是先給定區間[a,b]，要求f(a)與f(b)是異號，保證區間內與x軸有交點，求x=(a+b)/2，求f(x)，檢查f(x)與f(a)是否同號，如果是同號，把x當成新的a，否則把x當成新的b，得到新的區間，重復求a和b的中點的值，判斷與f(a)是否同號，不斷循環下去，直到達到精度為止。
3)牛頓迭代法設計思想是對f(x0)某點求切線，與x軸交x1點後，把x1當成x0，再求出其相應新的f(x0)，再對其求切線，找到與x軸的新交點，不斷循環下去，直到達到精度為止。這種方法要求先對函數求一階導數，然後再迭代：x1=x0-f(x0)/f『(x0)
4)弦截法設計思想利用插值原理，避免上面的求導，要求在f(x)上取二點x0,x1，做過f(x0),f(x1)的直線交x軸一點為x，把原來的x1當成x0，把x當成x1，再重復上面的做直線的過程，不斷循環下去，直到達到精度為止。迭代公式：x=x1-(x1-x0)*f(x1)/(f(x1)-f(x0))

⑩ 迭代演算法是什麼啊

迭代演算法就是實現數值分析中通過從一個初始估計出發尋找一系列近似解來解決問題（一般是解方程或者方程組）的過程的方法。

最常見的迭代法是牛頓法。其他還包括最速下降法、共軛迭代法、變尺度迭代法、最小二乘法、線性規劃、非線性規劃、單純型法、懲罰函數法、斜率投影法、遺傳演算法、模擬退火等等。

迭代法的應用：

迭代法的主要研究課題是對所論問題構造收斂的迭代格式，分析它們的收斂速度及收斂范圍。迭代法的收斂性定理可分成下列三類：

1、局部收斂性定理：假設問題解存在，斷定當初始近似與解充分接近時迭代法收斂。

2、半局部收斂性定理：在不假定解存在的情況下，根據迭代法在初始近似處滿足的條件，斷定迭代法收斂於問題的解。

3、大范圍收斂性定理：在不假定初始近似與解充分接近的條件下，斷定迭代法收斂於問題的解。

迭代法在線性和非線性方程組求解，最優化計算及特徵值計算等問題中被廣泛應用。