證明極限運演算法則

⑴ 極限的運演算法則的證明怎麼證明

先證lim[f(x)+-g(x)]=limf(x)+-limg(x)
由limf(x)=A,limg(x)=B,得到f(x)=A+a,g(x)=B+b,其中a,b為無窮小，於是有f(x)+-g(x)=(A+a)+-(B+b)=(A+-B)+(a+-b)由於無窮小量a和b所以 lim[f(x)+-g(x)]=A+-B=limf(x)+-g(x)極限乘法的證明也類似，樓主可以自己證。
再證lim[f(x)/g(x)]=limf(x)/limg(x)=A/B,B不為0
同樣的有f(x)=A+a,g(x)=B+b 設 r=f(x)/g(x)-A/B 即r=(A+a)*(B+b)-A/B=(Ba-Ab)/[B(B+b)]
r看作2個數的乘積，其中Ba-Ab是無窮小，轉而證明1/[B(B+b)]在x的某一鄰域內有界，即證明了r的極限為0，命題成立。
由於limg(x)=B由極限定理可知 存在x，當x屬於u(x)時，|g(x)|>|B|/2,從而|1/g(x)|<2/|B|
|1/B(B+b)|=1/B*|1/g(x)|<1/|B|*2/|B|=2/|B|^2B是非0常數 從而證明了1/[B(B+b)]有界，r為無窮小量（常數乘無窮小=無窮小）
得到f(x)/g(x)=A/B+r limf(x)/g(x)=A/B=limf(x)/limg(x)
應該差不多了吧 希望滿足樓主需求

⑵ 函數極限的運演算法則的證明

先證lim[f(x)+-g(x)]=limf(x)+-limg(x)，再證lim[f(x)/g(x)]=limf(x)/limg(x)=A/B,B不為0。

以下是函數極限的相關介紹：

函數極限是高等數學最基本的概念之一，導數等概念都是在函數極限的定義上完成的。函數極限性質的合理運用。常用的函數極限的性質有函數極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數極限的運演算法則和復合函數的極限等等。

問題的關鍵在於找到符合定義要求的 ，在這一過程中會用到一些不等式技巧，例如放縮法等。1999年的研究生考試試題中，更是直接考察了考生對定義的掌握情況。

在運用以上兩條去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數 ，並且要滿足極限是趨於同一方向 ，從而證明或求得函數 的極限值。

以上資料參考網路——函數極限

⑶ 極限運演算法則定理3證明

(1)你已理解,"從證明過程看是需要的".這就對了!事實上,這種需要,是為了不失一般性,為了符合"極限的定義"之需要,並不是g（x）不符合這個條件就不成立了的那種需要.而極限這樣定義,卻是為了研究那些趨於x0而不達到x0之問題,至於達到x0的情況,是比達不到的情況更簡單的.
(2)具體說,你不可能舉出反例.因為當g（x）等於u0時,結論必真.
(3)這樣理解:是為了符合極限定義中"(x-x0)的絕對值

⑷ 極限的運演算法則

⑸ 極限運演算法則的證明

因為 f(x)以A|為極限，所以| f(x)-A|<∮加一個2M 是為了相加時候湊個整數。
你不用2M也是可以的
|f(x)g(x)-AB|〈2M*∮也可以呀！2M*∮也是任意小的數，因為m是定數∮任意小，乘在一起也任意小。
如果加以個2M ，就更好了。

⑹ 極限運算除法法則證明

設limf(x)=a,limg(x)=b(b≠0),（x→x0)求證limf(x)/g(x)=a/b
證明：只要證明f(x)/g(x)-a/b是無窮小即可。
由於limf(x)=a,limg(x)=b,可設f(x)=a+a,g(x)=b+b,其中a和b是x→x0時的無窮小
f(x)/g(x)-a/b=(a+a)/(b+b)-a/b=(bb-aa)/[b(b+b)]
因為a,b是無窮小，a,b是常數，所以bb-aa是無窮小，因此只要證明1/b(b+b)有界。
因為limg(x)=b≠0，所以存在點x0的某個去心鄰域u(x0),當x∈u(x0)時，
│g(x)│>│b│/2,所以1/│b(b+b)│=1/(│b│*│g(x)│)<2/│b│^2（正數）
所以1/b(b+b)有界,(bb-aa)/[b(b+b)]是無窮小
證畢！

⑺ 極限四則運演算法則是什麼

極限四則運演算法則的前提是兩個極限存在，當有一個極限本身是不存在的，則不能用四則運演算法則。設limf(x)和limg(x)存在，且令limf(x)=A，limg(x)=B。

四則運算是指加法、減法、乘法和除法四種運算。四則運算是小學數學的重要內容，也是學習其它各有關知識的基礎。

相關內容解釋：

1.是指無限趨近於一個固定的數值。

2.數學名詞。在高等數學中，極限是一個重要的概念。

極限可分為數列極限和函數極限。

學習微積分學，首要的一步就是要理解到，「極限」引入的必要性：因為，代數是人們已經熟悉的概念，但是，代數無法處理「無限」的概念。所以為了要利用代數處理代表無限的量，於是精心構造了「極限」的概念。在「極限」的定義中，我們可以知道，這個概念繞過了用一個數除以0的麻煩，而引入了一個過程任意小量。

就是說，除數不是零，所以有意義，同時，這個過程小量可以取任意小，只要滿足在Δ的區間內，都小於該任意小量，我們就說他的極限為該數——你可以認為這是投機取巧，但是，他的實用性證明，這樣的定義還算比較完善，給出了正確推論的可能。這個概念是成功的。

⑻ 極限四則運演算法則證明求解

具體回答如圖：

極限四則運演算法則的前提是兩個極限存在，當有一個極限本身是不存在的，則不能用四則運演算法則。

(8)證明極限運演算法則擴展閱讀：

設{xn} 是一個數列，如果對任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 滿足 n > N，則對於任意正整數p，都有|xn+p-xn|<ε。

在區間(a-ε，a+ε)之外至多隻有N個（有限個）點；所有其他的點xN+1，xN+2，...（無限個）都落在該鄰域之內。這兩個條件缺一不可，如果一個數列能達到這兩個要求，則數列收斂於a；而如果一個數列收斂於a，則這兩個條件都能滿足

⑼ 復合函數極限運演算法則是怎麼證明的

就是套定義啊……
證明若lim(x→x0)f(x)=y0，lim(y→y0)g(y)=l，且存在正數a，當0<|x-x0|<a時f(x)≠y0，則lim(x→x0)g(f(x))=l
證明：任意給定正數b，存在正數c，當0<|y-y0|<c時|g(y)-l|<b
對這個c，存在正數d，當0<|x-x0|<d時|f(x)-y0|<c
取e=min{a,d}，則當0<|x-x0|<e時0<|f(x)-y0|<c，這時|g(f(x))-l|<b
所以lim(x→x0)g(f(x))=l

⑽ 極限運算除法法則證明

設limf(x)=a,limg(x)=b(b≠0),（x→x0)求證limf(x)/g(x)=a/b，證明：只要證明f(x)/g(x)-a/b是無窮小即可。

柯西收斂准則：數列{Xn}收斂的充分必要條件是：對於任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當m>N，n > N時，且m≠n。我們把滿足該條件的{Xn}稱為柯西序列，那麼上述定理可表述成：數列{Xn}收斂，當且僅當它是一個柯西序列。

單調有界准則：單調增加（減少）有上（下）界的數列必定收斂。

在運用以上兩條去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數 ，並且要滿足極限是趨於同一方向 ，從而證明或求得函數 的極限值。