幻方雙格演算法

『壹』 四階幻方規律

【一般四階幻方】

什麼樣的16個數能組成四階幻方呢？四組任意的數，只要每組的四個數相互之間的差值都相同，就可以用拉丁方組成四階幻方。如下是四階拉丁方的數學模型：

『貳』 數學幻方問題怎麼做{最好有圖}

一、3階幻方

Merzirac法生成奇階幻方口訣：（適用於所有奇階幻方，3×3，5×5等。）
【1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下寫，右出框時左邊放，重復便在下格填，出角重復一個樣。】
3階幻方是奇階幻方，依口訣填寫，如下圖：

5階幻方有多少種形式，我沒算過。不過以上述方法每完成一種，將這一種轉一圈和鏡像（翻一面）又有7種形式。

如對幻方有興趣，可到我的網路空間去看看。

『叄』 幻方演算法

N為4的倍數時
採用對稱元素交換法。
首先把數1到n×n按從上至下，從左到右順序填入矩陣
然後將方陣的所有4×4子方陣中的兩對角線上位置的數關於方陣中心作對
稱交換，即a(i,j)與a(n-1-i,n-1-j)交換，所有其它位置上的數不變。
(或者將對角線不變，其它位置對稱交換也可)
N 為其它偶數時
當n為非4倍數的偶數(即4n+2形)時：首先把大方陣分解為4個奇數(2m+1階)子方陣。
按上述奇數階幻方給分解的4個子方陣對應賦值
上左子陣最小(i)，下右子陣次小(i+v)，下左子陣最大(i+3v)，上右子陣次大(i+2v)
即4個子方陣對應元素相差v，其中v＝n*n/4
四個子矩陣由小到大排列方式為 ① ③
④ ②
然後作相應的元素交換：a(i,j)與a(i+u,j)在同一列做對應交換(j<t或j>n-t+2),
a(t-1,0)與a(t+u-1,0)；a(t-1,t-1)與a(t+u-1,t-1)兩對元素交換
其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交換使每行每列與兩對角線上元素之和相等。

奇階
首行中間寫1，然後向右上依次填2，3順著寫，出上移下，出右移左，雙出（邊角）就寫在那個數下邊。

『肆』 簡單解決雙數 幻方

N介幻方的性質:每一行每一列以及每個對角線上的數之和相等,切都為N*(N*N+1)/2
設P[N*N]表示N*N方格
1.對於雙偶數N(N%4==0)
(1)先畫出N*N的方格
(2)在方格內從左到右,從上到下,依此填上1,2,...,N*N
(3)把N*N方格分成N*N/16個4*4的小方格
(4)畫出各個4*4小方格的對角線
(5)各對角線上的數不變,非對角線上的數和它對稱的數相互調換位置
即A和N*N-A+1對調.
好了,成功!

2. N%4==2
(1)把N*N個數的最前和最後的2N-2個數留下,其餘數按 1 的方法填入
正中(N-2)*(N-2)個方格內.
(2)補上外方框
今天從0:00到3:00想出一個補法:
先填上幾個特殊數
P[0]=3
P[N-1]=N
P[1]=1
P[N]=2
P[2]=N*N-3
P[3]=5
P[2N]=N+2
P[3N]=N+3
P[4]=N*N-5
下面再填入:
從P[5]到P[N-2]依此為7,8,N*N-8,N*N-9,11,12,N*N-12,N*N-13....
從P[4N]到P[(N-2)*N]依此為N*N-(N+3),N*N-(N+4),N+6,N+7,
N*N-(N+7),N*N-(N+8),N+10,N+11.........
再對稱的補上其餘.

『伍』 雙數階幻方求法

雙數階幻方通常稱之為偶階幻方。偶階幻方又分為雙偶幻方和單偶幻方。

能被4整除的偶階幻方稱為雙偶幻方，如8階、12階、16階等；

不能被4整除的偶階幻方稱為單偶幻方，如6階、10階、14階等。

一、雙偶幻方通用Spring法生成：

方法就是兩句話：順序填數，以中心點對稱互換數字。

4階幻方：

『陸』 誰能告訴我偶數階幻方的演算法用文字表述即可.

N介幻方的性質:每一行每一列以及每個對角線上的數之和相等,切都為N*(N*N+1)/2
設P[N*N]表示N*N方格
1.對於雙偶數N(N%4==0)
(1)先畫出N*N的方格
(2)在方格內從左到右,從上到下,依此填上1,2,...,N*N
(3)把N*N方格分成N*N/16個4*4的小方格
(4)畫出各個4*4小方格的對角線
(5)各對角線上的數不變,非對角線上的數和它對稱的數相互調換位置
即A和N*N-A+1對調.
好了,成功!
2.N%4==2
(1)把N*N個數的最前和最後的2N-2個數留下,其餘數按 1 的方法填入
正中(N-2)*(N-2)個方格內.
(2)補上外方框
今天從0:00到3:00想出一個補法:
先填上幾個特殊數
P[0]=3
P[N-1]=N
P[1]=1
P[N]=2
P[2]=N*N-3
P[3]=5
P[2N]=N+2
P[3N]=N+3
P[4]=N*N-5
下面再填入:
從P[5]到P[N-2]依此為7,8,N*N-8,N*N-9,11,12,N*N-12,N*N-13.
從P[4N]到P[(N-2)*N]依此為N*N-(N+3),N*N-(N+4),N+6,N+7,
N*N-(N+7),N*N-(N+8),N+10,N+11.
再對稱的補上其餘.

『柒』 九宮格的演算法

九宮格的計算公式或者口訣有很多種。比如：

1、二四為肩， 六八為足， 上九下一， 左七右三。

2、一居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框時向下放，右出框時向左放；排重便在下格填，右上排重一個樣。

口訣不僅適用於九宮，也適用於推廣的奇數九宮，如五五圖，七七圖等等。

(7)幻方雙格演算法擴展閱讀

九宮格游戲對人們的思維鍛煉有著極大的作用，從古時起人們便意識到九宮的教育意義。千百年來影響巨大，在文學、影視中都曾出現過。九宮格最早叫「洛書」，現在也叫「幻方」 。

在《射鵰英雄傳》中黃蓉曾破解九宮格，口訣：戴九履一，左三右七，二四有肩，八六為足，五居中央。

還有口訣：「一居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框時向下放，右出框時向左放；排重便在下格填，右上排重一個樣。」 這口訣不僅適用於九宮，也適用於推廣的奇數九宮，如五五圖，七七圖等等。

『捌』 幻方解法

按照圖片的方法樓梯法填寫9個數，然後「中部四數各向外挺出「，就得到結果了。下面是5階幻方的演示，其實3階幻方也是一樣的。

『玖』 幻方的解法

幻方分為奇階幻方和偶階幻方，構成方法也不同。

奇階幻方
一、Merzirac法生成奇階幻方
在第一行居中的方格內放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有數字，則向下移一格繼續填寫。如下圖用Merziral法生成的5階幻方：
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
Merzirac法，有人也叫樓梯法，我管它叫斜步法，即走X+Y斜步（數字按右上方順序填入），-Y跳步（如果右上方已有數字或出了對角線，則向下移一格繼續填寫）。
其實斜步法可以向4個方向依次填寫數字，即右上、右下、左上、左下4個方向，每種斜步都可有2種跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。
對於X+Y斜步相應的跳步可以為-X，-Y。 【記住，跳步是X+Y斜步的X（或Y）相反方向即可。如右上方向斜步，跳步就為向左（或向下）一步；左下方向斜步，跳步就為向右（或向上）一步；等等等等】

二、loubere法生成奇階幻方
在居中的方格向上一格內放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有數字，則向上移兩格繼續填寫。如下圖用Louberel法生成的5階幻方：
23 6 19 2 15
10 18 1 14 22
17 5 13 21 9
4 12 25 8 16
11 24 7 20 3

上述loubere法可以記作X+Y斜步（數字按右上方順序填入），2Y跳步（如果右上方已有數字或出了對角線，則向上移二格繼續填寫）。對於X+Y斜步相應的跳步可以為2X，2Y。 【記住，跳步是X+Y斜步的X（或Y）相同方向即可。】
2Y跳步，則在居中的方格向上一格放1里，按上斜步，2Y跳步的方法構成幻方。
-2Y跳步，則在居中的方格向下一格放1里，按下斜步，-2Y跳步的方法構成幻方。
2X跳步，則在居中的方格向右一格放1里，按右斜步，2X跳步的方法構成幻方。
-2X跳步，則在居中的方格向左一格放1里，按左斜步，-2X跳步的方法構成幻方。

三、horse法生成奇階幻方
對於所有的奇階幻方，在第一行居中的方格內放1，向左走1步，下走2步以跳馬步，依次填入2、3、4…，若出到方陣下方，把該數字填到本該填數所在列上方相應的格；若出到方陣右方，把該數字填到本該填數所在行的左方相應的格；如果落步格已有數字， 則向下移一格繼續填寫。如下圖用Horse法生成的5階幻方：
23 12 1 20 9
4 18 7 21 15
10 24 13 2 16
11 5 19 8 22
17 6 25 14 3
n階奇階幻方，若n為不是3的倍數，那麼在任意一格內放1，向左走1步，下走2步以跳馬步，依次填入2、3、4…，若出到方陣下方，把該數字填到本該填數所在列上方相應的格；若出到方陣右方，把該數字填到本該填數所在行的左方相應的格；如果落步格已有數字， 則向上移一格繼續填寫。如下圖用Horse法生成的5階幻方：
1 14 22 10 18
25 8 16 4 12
19 2 15 23 6
13 21 9 17 5
7 20 3 11 24

偶階幻方
偶階幻方分為雙偶幻方和單偶幻方。一個n階幻方，當n為偶數時，我們稱幻方為偶階幻方；當n可以被4整除時，我們稱該偶階幻方為雙偶幻方，如8階、12階、16階等；當n不可被4整除時，我們稱該偶階幻方為單偶幻方，如6階、10階、14階等。

一、雙偶幻方的解法
能被4整除的n階幻方叫雙偶幻方，如8階、12階、16階等，雙偶幻方用Spring法、Strachey法生成。
1、Spring法生成雙偶幻方：
方法就是兩句話：順序填數，以中心點對稱互換數字。
將n階雙偶幻方表示為4m階幻方。將n階幻方看作一個矩陣，記為A，其中的第i行j列方格內的數字記為a(i,j)。
第一步，先令a(i,j)=(i-1)*n+j，即第一行從左到可分別填寫1、2、3、……、n；即第二行從左到可分別填寫n+1、n+2、n+3、……、2n；…………n^2【n的平方】。
簡單地說，就是1放在幻方的任意一個角格，然後按同一個方向按順序依次填寫其餘數。
以8階幻方為例，順序填數。如下所示：
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
等等等等，共有8種方法。（以下我只以一種為例講解。其餘方法相同）

第二步，進行對稱交換。
對稱交換的方法有兩種：
方法一；將左上區域i+j為偶數的與幻方內以中心點為對稱點的右下角對角數字進行交換；將右上區域i+j為奇數的與幻方內以中心點為對稱點的左下角對角數字進行交換。（保證不同時為奇或偶即可。）
64 2 62 4 5 59 7 57
9 55 11 53 52 14 50 16
48 18 46 20 21 43 23 41
25 39 27 37 36 30 34 32
33 31 35 29 28 38 26 40
24 42 22 44 45 19 47 17
49 15 51 13 12 54 10 56
8 58 6 60 61 3 63 1
或，
1 63 3 61 60 6 58 8
56 10 54 12 13 51 15 49
17 47 19 45 44 22 42 24
40 26 38 28 29 35 31 33
32 34 30 36 37 27 39 25
41 23 43 21 20 46 18 48
16 50 14 52 53 11 55 9
57 7 59 5 4 62 2 64
完成幻方，幻和值260。

方法二；將幻方等分成m*m個4階幻方，將各4階幻方中對角線上（或非對角線上）的方格內數字與n階幻方內以中心點為對稱點的對角數字進行交換。
下圖為將各4階幻方中對角線上的方格內數字與n階幻方內以中心點為對稱點的對角數字進行交換，完成幻方，幻和值260。
64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 13 51 50 16
17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56
8 58 59 5 4 62 63 1
下圖為將各4階幻方中非對角線上的方格內數字與n階幻方內以中心點為對稱點的對角數字進行交換，完成幻方，幻和值260。
1 63 62 4 5 59 58 8
56 10 11 53 52 14 15 49
48 18 19 45 44 22 23 41
25 39 38 28 29 35 34 32
33 31 30 36 37 27 26 40
24 42 43 21 20 46 47 17
16 50 51 13 12 54 55 9
57 7 6 60 61 3 2 64

2、Strachey法生成雙偶幻方
第一步，將n階雙偶幻方表示為4m階幻方。將其等分為四分，成為如下圖所示A、B、C、D四個2m階偶數幻方。
A C
D B
A用1至(2m)^2填寫成2m階幻方；B用(2m)^2+1至2*(2m)^2填寫成2m階幻方；C用2*(2m)^2+1至3*(2m)^2填寫成2m階幻方；D用3*(2m^)2+1至4*(2m)^2填寫成2m階幻方；
將8階雙偶幻方表示為4×2階幻方。將其等分為四個2×2階偶數幻方，即4階偶數幻方。
16 2 3 13 48 34 35 45
5 11 10 8 37 43 42 40
9 7 6 12 41 39 38 44
4 14 15 1 36 46 47 33
64 50 51 61 32 18 19 29
53 59 58 56 21 27 26 24
57 55 54 60 25 23 22 28
52 62 63 49 20 30 31 17
第三步，在A每行取m個小格（一側對角線格為必換格，其餘m-1格只要不是另一側對角線格即可），將其與D相應方格內交換；B與C以相同方法進行。
對於8階幻方，A每行取2個小格（一側對角線格為必換格，其餘1格只要不是另一側對角線格即可），要與D相應方格內交換；C與B以相同方法進行。
最簡單的方法就是：A任意2列，與D相對應的2列互換，C任意2列，與B相對應的2列互換即可。
64 50 3 13 48 34 19 29
53 59 10 8 37 43 26 24
57 55 6 12 41 39 22 28
52 62 15 1 36 46 31 17
16 2 51 61 32 18 35 45
5 11 58 56 21 27 42 40
9 7 54 60 25 23 38 44
4 14 63 49 20 30 47 33
或
64 50 3 13 32 18 35 45
53 59 10 8 21 27 42 40
57 55 6 12 25 23 38 44
52 62 15 1 20 30 47 33
16 2 51 61 48 34 19 29
5 11 58 56 37 43 26 24
9 7 54 60 41 39 22 28
4 14 63 49 36 46 31 17
等等完成幻方，幻和值260。

二、單偶幻方的解法
將n階單偶幻方表示為4m+2階幻方。將其等分為四分，成為如下圖所示A、B、C、D四個2m+1階奇數幻方。
A C
D B
A用1至2m+1填寫成(2m+1)2階幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填寫成2m+1階幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填寫成2m+1階幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填寫成2m+1階幻方；
【註：(2m+1)2是(2m+1)的平方，以下同】
8 1 6 26 19 24
3 5 7 21 23 25
4 9 2 22 27 20
35 28 33 17 10 15
30 32 34 12 14 16
31 36 29 13 18 11

在A每行取m個小格（中心格及一側對角線格為必換格，其餘m-1格只要不是另一側對角線格即可），也就是說在A中間一行取包括中心格在內的m個小格，其他行左側邊緣取m個小格，將其與D相應方格內交換；B與C任取m-1列相互交換。
6階幻方就是4*1+2，那麼m就是1。在A中間一行取中心格1個小格，其他行左側邊緣取1個小格，將其與D相應方格內交換；B與C接近右側m-1列相互交換（6階幻方m-1=0，則不用互換）。如下圖用Strachey法生成的6階幻方：
35 1 6 26 19 24
3 32 7 21 23 25
31 9 2 22 27 20
8 28 33 17 10 15
30 5 34 12 14 16
4 36 29 13 18 11

每一行，每一列，對角線的和值（稱為幻和值）為111。
一個n階幻方幻和值公式為：
Nn=1/2xn(n2+1)
【註：n2是n的平方】
N6=1/2x6x(36+1)=111