四餘演算法
❶ 請問誰知道九除幾商是四餘三這道題怎麼演算法,謝謝。
余數，數學用語。在整數的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。當不能整除時，就產生余數。
9-3=6
6除任何整數，都不能使商為4
所以題目無解。
❷ 七政四餘推變黃道術
七政四餘推變黃道術
如果，我們學星命的人，只要稍那麼，稍那麼花上一丁點時間，其實就能明白，我們中國的黃道，不是現在的人所講的黃道，不是現代意義的黃道。學界會叫他為「准黃道」。所以，我會花上點時間，講下，這個黃道數值是怎麼算出來的。看起來好像過於「專業」了。但還是要講下，因為，就七政四餘來講，我們有星歷可以直接導入了。等於是，我們可以不用去學「步五星術」，不用再為推步問題而止步了。但黃道變化則不是，我們古人的所謂的「推進退差」「推黃道術」「依四正歲差變黃道」，因為清開始己經引入了現代的黃道，是與果老星術的黃道，全然不同了。所以我希望能寫上點演算法，以期真研究果老的人，能稍多少了解，原來是這樣算來的黃道。更希望有些人如要設計七政四餘排盤軟體，能借著這個文，明白怎麼去尋找資料學習「推變黃道術」。設計出果老仙術的排盤軟體來。
對我們的古人來講，赤道是相對來講「亘古不變」的。使稍有變化，也只是「前朝或測未密」。當然，從現代科學來講，是一直在變的，雖然變化的很微，很微。
而黃道呢，則是「常變」的。所以歷代常出現，黃道數據的變化。以致唐後，每布一歷，就會重新布定黃道28星宿數據。此黃道，大多時是根據赤道去推變，偶爾加以實測，因為對我們的黃道來講，他其實就相當於是「赤道數值在黃道上的投影」。所以就會有個「推黃道術」，即根據赤道數據，引用黃赤道之間的變化規律，去算出「黃道」。
如果從明文記錄來講，中國很早就有黃道數據記錄。而再再再明確的記錄黃道測宿事件，則是公元103年（漢和帝年間）「太史用黃道銅儀測得二十八星宿黃道距度值」，後來被東漢的四分歷吸收運用。而黃道和赤道之間變化規律的研究，如從明文記錄來講，是始於東漢張衡，張衡用「竹篾」去量黃赤道度的數值變化，得出兩者的「進退規律」，以後「進退有差」「進退之差」這樣的字眼就成了天文歷法志常見的字眼。並且後期的變化，無不由「進退」為基調。然後，將這種黃赤道度「進退」變化規律，直接明文入歷，則是東漢末劉洪的乾象歷。
一：第一種演算法。
是以，第一種推黃道術，並且其實不是第一種，而是以後的推變黃道，基調都是「進退」。其它只是演算法的區別而己。
演算法是，先將赤道數據布好。然後，將赤道數平分，平分為四個大象限（兩至兩分）。再每一大象限起點開始，每4度為一限，從春分（秋分）到夏至（冬至）。黃道相對赤道是增數。即赤道每4度一限，黃道數會增加1/4度。當赤道數到了45度時，黃道數到達48度，即相差3度，這己經是最大值了（現代實測算，最大值是2.5度）。然後，開始遞減式的增法。即如是將黃赤道拉成一條線，一條會慢慢增長的線，他們的規律是，春分開始，黃道這條線，會比赤道增長得快，赤道增長得慢。到了45度時，兩者相距最大是3度。然後開始，黃道增長減慢，赤道增長加快。到了一象限末數91.31度時，黃赤道相平。然後，從夏至開始，赤道比黃道增長得快，所以，從兩至到兩分，則要相減。他實際也可以變化成規律是，從兩分為定點看，向兩邊兩至45方向算，是黃道比赤道增度，所以黃道度會在赤度基礎上加黃赤道度差。從兩至為定點看，向兩邊45度方向算，是黃道比赤道減度，所以黃道度會在赤度的基礎上減黃赤道度差。（資料可詳看《中國古代歷法》和《古代歷法計演算法》）
乾象歷，是採用4.4.4.3的規律。而每一小象限常數增減1/4度。到了隋一朝的皇極歷，則將這個常數1/4，變化成遞增減的變化。即每4度增減從初97/450，第二個4度也就是8度時，增減98/450.（97..98...99如是增減）
到了一行的大衍歷，則將4度增變成5.即象限基數由4變成5.每限增減12/24.第二個5度即10，此限增變11/24.（12..11..10..如是增減）。至此用象限計算進退度之法，成定，後世多引用大衍歷的演算法。所以舉例一下，大衍歷的演算法。
（學習時，可以看著後面附的表格）。
舉例：如從春分點開始量，赤道量到5度，黃道就會是5+12/24=5.5度。即在5度內，增損12/24，黃赤道差12/24.以後每增損11/24..10/24...即相當於：黃道度=赤道度+黃赤道度差。也相當於：黃道度=5+每限增損度+前一限黃道度。
赤道度量到10度，黃道度就會是=赤道度 +黃道度差。（黃道度=10+（12/24+11/24）=10+23/24=10.96）.也相當於黃道度=5+每限增損度+前一限黃道度。（黃道度=5+11/24+5.5=10.96）。
初學時，是不是感覺很復雜，以往的歷家，會即有演算法，也會乾脆製成表格。所以你會看到歷律志上說，依率表變黃道。減小重復算的過程。到了授時歷時，就乾脆提供了一個表，細化到每一度，每一度增損的表格。下表是大衍諸歷的數值。
在《中國古代歷法》大衍歷篇中。也給出演算法。
根據這個表，和黃赤道變化的規律，即以兩分為定點向兩至兩邊45度，黃道相對赤道是增度。如以兩至為定點，向兩分兩邊45度，黃道相對赤道是減度。演算法如下：
二，第二種和第三演算法
當我們知道，我們中國古代的黃道和現代人意義的黃道不同時。只需想一下，星命術的全力發展時代。其實就能明白，我們應要用什麼樣的黃道。和為什麼星命術在清開始，幾成絕學原因之一。梅文鼎先生講得好「若用新法，則宮度之遷改不常，二者己如柄鑿之不相入，又安望其術之能驗乎」
是以怎麼推變黃道，雖然顯得難懂。但還是不得不寫。是希望真研究的人，能正視這個問題。也希望現在科技相對發達了，有要開發七政四餘軟體的人，能明白這個問題。和通過此文，能知道要怎麼去找資料，和找什麼資料。
中國的歷法發展，重實測。在總結時，表格法起了一個很好的作用。但是莫要忘了，中國古代數學的發展。同時代來講，也是不遜於任何其它文明的。所以歷法的發展，在計算歷數時，就會慢慢的出現公式總結。黃赤道的公式轉法也是其中一項。自一行大衍歷，進退之法己成定調。而公式發展呢。從《中國古代歷法》一書來看，則認為唐末的邊岡對此貢獻很大。設計出了一個很好的公式。但還是顯得繁復，所以後代歷家又不斷的改進。如北宋宋行古的崇天歷，北宋周琮的明天歷，北宋皇居卿觀天歷，北宋姚舜輔的紀天歷相繼給出公式，特別是紀天歷給出的公式達到了誤差最少。後代的如南宋趙知微大明歷，元代耶律楚材的庚午歷一直沿用不棄。所以，第二種演算法，就選用姚舜輔的公式法。
即依照公式，求出黃赤道度差。然後，從春分開始是加黃赤道度差，從夏至開始是減黃赤道度差。兩至到兩分，黃道值減損。兩分到兩至，黃道值增益。如果你想著，還是在45.65545這個要相減的問題過於繁復。那你就可以用這個公式。以兩分為定點的向兩至方向45度時，用加黃赤道差。以兩至為定點向兩分方向45度時，用減黃赤道差。
由公式，我們還可簡化看：黃赤道差=C/1000 X (101-C).式中C是赤道度。
舉例，如以春分為零點，某宿赤道距離春分點為10度。那麼：
黃赤道差=10/1000 X(101-10)=0.91
黃道數值=赤道數值+黃赤道差=10+0.91=10.91度。
如果，是以夏至，冬至點為零點，則相減。
黃道數值=赤道數值-黃赤道差=10-0.91=9.09度。
由此公式就可以求得任何一宿的黃道數值。假設春分點在赤道宿壁宿0度時。壁宿的赤道度為8.6.
壁整度離春分點：8.6-0=8.6
即赤道值為：8.6
黃赤道差=8.6/1000 X(101-8.6)=0.7964度
黃道數值=赤道數值+黃赤道差=8.6+0.7964=9.3946度。9.3946也是壁宿的黃道度。因為是假設在壁0度為春分點。
再求奎宿的黃道度。奎宿的赤道度為16.6.是以離春分點的赤道數值是：
赤道值：8.6（壁）+16.6（奎）=25.2
黃赤道差=25.2/1000 X（101-25.2）=1.9102
黃道數值=赤道數值+黃赤道差=25.2+1.9102=27.1105度
奎宿的黃道度為：27.1105-9.3946=17.7156度。
第三種演算法就是元授時歷的演算法。是引用勾股演算法和北宋沈括的會圓術。相當於球面三角法。像我這種小學畢業的，就幫不大家了。但是我估計，王恂和郭守敬也和我們一樣想著，這樣算太麻煩。所以會提供了一個表格。裡面細細的列出各度的黃赤度，和黃赤度差，差率。是以，如去看元史，會說，依表而推。但是元史似沒收錄這份表格。相反在明史中，大統法原里有收錄這份表格。需要研究的，網上找明史，即能找到。
和以往一樣，只需得出黃赤道差。兩分到兩至用加，兩至到兩分用減。注意用此表時，因為此表可能傳抄過程有誤，裡面的有些數據，最好左右上下多相較。
舉例比如某宿離春分點相距赤度6度。
即赤道值是6度
黃道度值此表也直接給出可以看從左至右第四欄：6.5137度
我們假設，元時的春分點在壁6--8度間。取個6度來算。壁宿的赤道度有8.6度。是以，壁宿右段的赤道度為：8.6-6=2.6
即赤道度2.6
黃道度=2的黃道度+0.6的黃道度=2.1728+0.6+（0.6 X(0.2588-0.1728)）=2.1728+0.6+(0.6X 0.086)=2.8244度
奎宿的赤道宿度是16.6.即離春分點的赤道度為：2.6+16.6=19.2度
黃道度=19的黃道度（查表19對應20.4872）+0.2的黃道度（查度率0.0622）=20.4872+0.2+（0.2 X0.0622)=20.4872+0.21244=20.69964
奎宿的黃道宿度=20.69964-2.8244=17.87524授時歷給定的奎宿黃道度數是：17.87。
三 推變黃道的赤道基數
1.依元史明史考對。元明時的赤道宿度如下:
角12.1亢9.2 氐16.3 房5.6 心6.5 尾19.1 箕10.4
斗25.2牛7.2 女11.35 虛8.9575 危15.4 室17.1 壁8.6
奎16.6婁11.8 胃15.6 昴11.3 畢17.4 觜0.05 參11.1
井33.3鬼2.2 柳13.3 星6.3 張17.25 翼18.75 軫17.3
2.依大統法原。考定授時歷赤道十二宮界宿次如下（周天365.2575）：
玄枵之次 子宮：女2.1309始 （女2.1309--危12.2614=30.4381）
娵訾之次 亥宮：危12.2615始 （危12.2615--奎1.5995=30.4381）
降婁之次 戌宮：奎1.5996始 （奎1.5996---胃3.6377=30.4382）
大梁之次 酉宮：胃3.6378始 （胃3.6378--畢7.1758=30.4381）
實沈之次 申宮：畢7.1759始 （畢7.1759--井9.0639=30.4381）
鶉首之次 未宮：井9.064始 （井9.064--柳4.002 =30.4381）
鶉火之次 午宮：柳4.0021始 （柳4.0021--張14.8402=30.4382）
鶉尾之次 巳宮：張14.8403始 （張14.8403--軫9.2783=30.4381）
壽星之次 辰宮：軫9.2784始 （軫9.2784--氐1.1164=30.4381）
大火之次 卯宮：氐1.1165始 （氐1.1165--尾3.1545=30.4381）
析木之次 寅宮：尾3.1546始 （尾3.1546--斗4.0927=30.4382）
星紀之次 丑宮：斗4.0928始 （斗4.0928--女2.1308=30.4381）
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❸ 七政四餘黃道十二宮法原
七政四餘黃道十二宮法原
當我們明白了，我們中國古代星歷所用的黃道，不是現代意義的黃道，而是被現在學界稱為「准黃道」時。我們其實就明白了，我們所用的天星黃道數據，其實就是「天體的赤道數據在黃道上的投影」。由此我們就需要去學或了解赤變黃之術。古人是怎麼「依赤道四正歲差推變黃道」的。當我們一去了解推變黃道術時，其實也就能明白了，黃道十二宮界是怎麼設定的。以我學果老星宗的經歷來講，估計不是很多人知道。因為自清朝始，更多學七政四餘的，都只是想當然認為，以致以訛傳訛，紛亂難言。所以這篇文章有必要寫一下。原因還是很簡單，是希望後來者，能明白或最少了解我們七政四餘所用的宮界設定和演算法。更希望如有些要開發軟體的人，能借著此文明白怎麼去設定七政四餘的宮界變化，不用再「被以訛傳訛」。
漢朝劃定天宮，是以節氣劃定的。因為，那時尚沒能在「歲差」問題上有充分明確的認識。劃定的原則呢，是將一個月分成二個節氣點，在初的，放在宮的初位，中氣呢，放在宮的中間，所以叫中氣。比如寅月，立春雨水兩個節氣，就將立春點放在宮初，雨水點放在宮的中度。所以說，如果設定宮界的人，還非要用節氣來劃宮，最少也要將中氣放在宮的中間，而非現代借用西佔制的中氣放在宮的初度。因為歲差等原因，慢慢的天官們發現，很難維持住了，節氣點在不斷的西移，大量的數據，支持不了這種劃定了。天星辰次宮位，分野慢慢的會變得不能切合「古歷」了。於是虞喜提出「天自為天，歲自為歲」。即乾脆保持天區不動，節氣點自己移動就好。
但歷法爭議對我們古代來講，涉及很多的因素，很難說定下就定下。所以到了唐時，如像李淳風等，就採用劉歆類似的做法。即，內心上和觀察上都明白，冬至點己經不能保證在宮的中間了，更和以前不知相差幾許了。但在說法上，又會說冬至還在中宮，甚至用含糊的表達蓋過這一爭議。這樣就必然要去重新釐定辰次分野，所以，李淳風考定了辰次分野，以期在大約上還能合上中氣在中宮的劃分。但實際還是不能讓冬至點保持在中宮，而且在歷家眼中，他必然不在中宮。是以，一行《大衍歷議》，就這個問題，通考古今，鼎定「辰次分野」。最終定下著名的「天自為天，歲自為歲」原則。採用四象分天，保證天區不亂的原則。「古之辰次與節氣相系，各據當時歷數，與歲差遷徙不同。今更以七宿之中分四象中位，自上元之首，以度數紀之，而著其分野，其州縣雖改隸不同，但據山河以分爾。」後世歷家引為定式。
即採用四象的中宿房虛昴星定為宮中之位，定下四正宮中。但度數呢，就各歷可能不同了，也可能相同，因歷法常這樣，布定是一回事，實算是一回事。我們假設他是不同的，要「自上元之首，以度數紀之」。就是看你推的上元，太陽在那度，就大約那度就是子宮玄枵大約中度，真正的中度，在配以實測。那這「上元」其實各歷有差別的。就是，大家對堯聖時冬至太陽是在虛幾度，各歷測算各有偏差。為什麼要推到堯聖時代呢，因為歷法這東西，是要合古今往來的，須古今往來以測驗。這種偏差有多大呢，這個數據是很易查的，就是找出史書，看每歷步日躔術這一節時，大多會留下數據。有虛四度的，虛六度的，虛七度的，虛九度，等四個度數較常出現，但要注意各歷採用的赤道數的不同。其實他們的偏差沒想的大的，就是大約在虛6度和虛7度一直偏差。比如大衍歷是採用了虛九度，要注意這個數哦，如是學風水的，一看到這個數就要明白了，原來是這樣來的，至於說，是不是這虛9度的採用還與天極和磁極的偏差3度有關，這個我就沒去考了。但大衍歷的虛宿赤道數是10度多要注意。其中虛四度，我的印象只出現過一次。其它大部分是在6.7.8等度以推。至集歷法大成的「授時歷」。則採用了虛6度，虛宿的赤道宿值是8度多不大夠9度。但這虛6度，和以往的諸歷多少不同。就是王恂郭守敬，是全重實測而來。但不管怎麼樣，大約是定在虛6度吧。注意整數的問題，實際還不大到虛6度，還差了點秒數。但取用是取了虛6度。號為精密的授時歷到明一直引用。直到明末崇禎時，徐光啟李天經引西法入歷。借用回回歷太陽月宮位名，又錯名交雜於辰次宮名，從此辰次分野錯亂。此套歷法在明時沒能用上，明亡了，清朝引為時憲。就這個問題，清時有一些明識中歷法原的大方之家，呼籲改正，但是一直沒能成實。反正可憐了神棍業吧。因真識歷者，自心能明。但神棍業又有多少能涉及這么專業的東西啊。
所以，四象分天，四象中宿定宮位之中，定下天區四正，就能永保天區東西南北不亂，在配合「天自為天，歲自為歲」原則下。就能上合堯聖，中符人倫，下便民用。因為對我們的辰次來講，不全是天區問題的，還是將分野，記歲月干支法，時辰刻數等等全方位結合的。定下了四正宮中，則將赤道數據排布。就是赤道十二宮的數據。四正頂立，每宮平分度數。其中能找到的很明顯具體的數據。是授時歷的數據。詳見《明史 大統法原》。也可參看七政四餘推變黃道術一文中的第三章，中有引存赤道十二宮數據。
赤道十二宮數據一排列好。就可以用我們古代的推變黃道術。算出各宮赤道變為黃道後的數據。由等宮變成不等宮。相同的，黃道交宮度數，亦由此推。即將赤道交宮數度，變成黃道數度，即為黃道交宮數度，如有後學能用球面三角法重新算定「極黃經」就更好了，必竟古代公式的算定，有分秒上的誤差。如果是要設制軟體的，還需要去明白，我們目前採用的星歷是實行度了，我們可以不用像星平會海里所講的，要設「空白」之日了。我個人的理解是，只需將所變的黃道數據，排入各本在宮中，由實際星歷主導即可。因為我們的黃道，實際就是赤道數值在黃道上，在「准黃道」上的折射。雖曰黃道，實則赤道。或說，黃道為表，赤道為里，表裡相通無礙。古代這種黃赤相為表裡的設計，深思之，常讓人拍案叫絕。
所以，整個宮位辰次怎麼設定，我常講，我們學星命的人，其實只要稍花那麼一丁心思。只需稍多看看諸代天文歷法志，其實就能一目瞭然的。或有再疑思者，所以結文附上邢雲路《古今律歷考》中所記黃道交宮演算法之文，一時看不懂的，可多參看的《七政四餘推變黃道術》一文。
----九紫辰
附：邢雲路將授時和萬曆己亥年推變的黃道的過程考寫如下，他採用的是授時立成表格，至到分的表格數據。「授時厯至元辛巳黃道躔度十二交宮界，守敬所測也。至今三百餘年冬至日躔已退五度，則宜另步日躔宮界，另以赤道變黃道以合今時在。天宮界從古厯家未有以三百年後仍用三百年前黃道者，而何欽天監之茫然莫覺也？考唐志雲：日躔宿度如郵傳之過，宿度既差黃道隨而變矣。元志雲：黃道宿度據歲差毎移一度依術推變。嘉靖初，樂頀掌監事上言，厯經即歲差以推變黃道六十七年該推變一次，本監失於推變。頀又嘗語人雲：徃年在監未奉更正，甚為遺憾。頀有文集可考也。胡大統不是之察也！余以法推，授時交宮界在赤道斗四度○九二八一二五。加至後箕宿四十分得四度四九二八一二五，以減至後赤道率四度三四四五，餘一十四分八三一二五，以黃道率乗之以赤道率一度○八四九，而一得一十三分六十七秒，加至後黃道四度共得四度一三六七，為至後黃道交宮界度。另置至後箕四十分，以黃道率乗之以至後黃道初度下赤道一度○八六五，而一得三十六分八一以減至後黃道交宮界度，餘三度七六八六為黃道斗宿交入丑宮星紀，界度由此法推女二度○六三八入子宮玄枵，以次推至尾三度○一一五入寅宮析木，此授時十二宮界也。復以前法推萬厯己亥歳交宮界度，斗三度七九八五入丑宮星紀，以次推女二度○八九一入子玄枵，以至尾二度九七九一入寅析木，此己亥十二宮界也。以己亥較授時入丑宮界差三百分矣，今大統步今時之厯，仍用授時日躔以致差謬。如己亥一嵗十二宮有先天四五十刻者六七十刻者甚至秋正後太陽入辰宮，授時步秋正後十日壬辰申初一刻入辰宮，大統則步秋正後九日辛卯酉正三刻入辰宮，先天八十餘刻隔一日矣。然此猶就本率推之也，如加消長所差尤多夫，日躔乃厯家第一義，今若此尚可以為厯乎」
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❹ 請問一個方陣的子方陣的個數有什麼規律啊謝謝!
請看下面文段的第五大點:
學術研究
關孝和著作很多，近20部，但生前只出版過一部《發微演算法》(1674)，死後又由其弟子對他的遺稿作了整理，出版了《括要演算法》，其餘均為未出版的稿本．從這些著作的寫作時間來看，孝和的數學研究工作可分為兩個階段，他的數學著作基本上是在1685年以前完成的，以後因體弱多病而較少進行新的數學研究，只寫了一些天文歷法方面的注釋書．下面介紹他的主要貢獻．
1．引入「傍書法」和代數記號而創立了「演段術」
這是關孝和的最大貢獻．主要集錄於他的著作《發微演算法》(1674)及《三部抄》中的《解見題之法》和《解伏題之法》(1683)．在《發微演算法》中，孝和運用演段術對日本數學家澤口一之(有資料說澤口一之是孝和的弟子)的《古今演算法記》(1671)中的15道「遺題」作了分析和解答．但書中只有結果而把有關演段術的記述略去了，所以當時的日本人對他的解答一般都看不懂，於是就有人指責說《發微演算法》可能是關孝和胡編亂造的．1680年，日本數學家佐治一平竟寫成《演算法入門》指出《發微演算法》中解法的「錯誤」並給予「訂正」．作為對此類問題的答復，孝和的弟子建部賢弘寫成《發微演算法演段諺解》(1685)公諸於世，對孝和的演段術作了詳細解說，使之傳播開來．
孝和又在《三部抄》中闡述了「傍書法」和演段術．《三部抄》是《解見題之法》、《解隱題之法》(1685)和《解伏題之法》(1683)三部著作的總稱．見題是只用加減乘除即可解答的問題，隱題是只用一個方程就可以解答的問題，伏題是必須用兩個以上方程組成的方程組才能解答的問題，這也是三部著作各自名稱的來歷．《解見題之法》中首次出現傍書法表示的式子．所謂傍書法即在一條短豎線旁邊寫上文字作為記號來表示數量關系的一種方法．如「甲加乙」、「甲減乙」、「甲
乘乙」分別寫成「|甲|乙」、「|甲乙」、「|甲乙」；甲2，甲3，甲4，…
將「甲÷乙」記為「乙|甲」．
孝和就用上述一套符號來處理文字方程，比如方程
甲－乙×x＋丙×x2＋丁×x3＝0
表示為
|甲乙|丙|丁．
如果一個方程有兩個未知數，如
3y3＋5xy2＋8x2y＋4x3＝0，
就用「甲」代替y，整個方程表示為
由於「傍書法」可以表示含有兩個或者多個未知數的方程，因而「消元」就有了可能，這使得孝和能夠用消元法解方程組，從而得出了他的行列式理論．這些內容集中在《解伏題之法》中．書中介紹了一系列以傍書法為基礎的演算法，他稱之為「天元演段術」，後來又擴展為「歸源整法」．這一系列的演算法傳到孝和的第二代弟子松永良弼時，良弼又受其主君內藤政樹(1703—1766，「關流」和算家)之命將「歸源整法」更名為「點竄術」．點竄術就是用上述的傍書法系統地研究公式變形、解方程(組)、行列式等問題，內容相當於現在的初等代數學．但由於這種代數學不同於西方代數中用a，b，c，…作為記號而採用漢字加短豎線作為記號，因而不僅是日本的而且是整個漢字文化圈內的文化財富，是具有東方風格的符號代數．
2．提出代數方程變換理論和行列式理論
這一研究集中在《解伏題之法》中．書中介紹的方程變換的方法有：略、省、約、縮、疊、括等．把一個方程乘以某一式後從另一方程中減去，稱之為「略」；一個方程各項有公因式的就將此公因式約去，稱之為「省」；各項有共同的數字系數(他稱之為「段數」)時就約去這個公因數，他稱之為「約」；兩個方程中都不含未知數x的奇次冪時，就用換元法把x2作為一個未知數從而簡化方程，稱之為「縮」；「疊」是兩個方程分別乘以適當的式子再相減以消去某些項；「括」是把相同次冪的系數合起來，即合並同類項．孝和的演段術在這些方法中得到了明確表示．
他用這些方法解方程組的基本思想是，將兩個二元方程經過上述變換消去一個未知數，得到一個一元方程，再解這個一元方程．對於二元高次方程組(設兩個方程關於x的次數分別是m和n，m≥n，這時方程中每一項中x的冪的系數都是另一未知數y的多項式)，為達到一次消元的目的，他先用疊、括方法從原來的兩個方程中導出n個關於x的n－1次方程，這些方程都寫成標准形式，即方程右邊為0，左邊按x的升冪排列，他稱這n個方程為「換式」．於是求解原方程組的問題就轉化為求解由換式構成的方程組了．將這個方程組的各項中x的冪去掉，得到各項系數(y的多項式或單項式)按原來的位置次序構成的行列式，令這個行列式等於0，得到的這個行列式表示出的關於y的方程即是原方程組消去x後得到的一元方程．這樣，解原方程組的問題就轉化為解這個一元方程的問題．
為了對這個含有行列式的方程化簡、求解，他接著對行列式進行變換．他的行列式理論就是由此引出的．他在書中介紹了兩種計算行列式值的方法：逐式交乘法和交式斜乘法．
逐式交乘法的基本思想是，對行列式的各行分別乘以適當的式子，再將各列元素相加，直到除第一列(即x0的系數對應的那一列)外，其餘各列元素的和均為零，這時第一列元素的和即為行列式的值．
當行列式階數較高時，要看出上述各行要乘的因式顯然不容易，於是，他在書中又介紹了另一種計算行列式的方法即交式斜乘法．不過他沒有說明這種方法的根據，只是對2—5階行列式的展開給出了規則並用圖加以說明．從這些說明看出，他的交式斜乘法大致相當於今天中學里介紹的對角線法或其擴展．
西方對於行列式的研究首次出現在G．W．萊布尼茨(Leibniz)1693年寫給G．F．A．洛比達(L』Hospital)的信中，而孝和的《解伏法之法》是1683年完成的，所以孝和的研究比西方的此類研究至少要早10年．西方最早發表的關於行列式研究的著作是G．克萊姆(Cramer)的《代數曲線的分析引論》(Intro－ction àl』analyse des lignes courbes algébriques，1750)，這比《解伏題之法》要晚70年．在行列式方面，關孝和的研究是世界領先的．
3．研究了數字系數高次方程，發現了負根、虛根並提出了判別式概念和相當於多項式函數導函數的多項式
關孝和的這些成就主要包含在《解隱題之法》、《開方算式》及著作集《七部書》中．《七部書》是《開方翻變之法》(1685)、《題術辨議之法》(1685)、《病題明致之法》(1685)、《方陣圓攢之法》(1683)、《算脫驗符之法》、《求積》、《毬闕變形草解》這七部著作的總稱．
《解隱題之法》、《開方翻變之法》和《開方算式》中記述了解數字系數高次方程的兩種近似方法，分別相當於「霍納法」和「牛頓迭代法」．孝和又將這些解法用在字母系數方程f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＝0上，從形式上求出了f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn-1，即從形式上求出了多項式函數f(x)的導函數．另外，他考察了只有虛根的方程(他稱其為「無商式」)、只有負根的方程(他稱其為「負商式」)和方程正、負根的個數問題，給出了判別式的概念，研究了方程正、負根存在的條件．在《題術辨議之法》和《病題明致之法》中，他將導出方程是「無商式」和「負商式」的問題歸入「病題」之列，利用他對數字系數方程的研究介紹了變換「予量」而糾正「病題」的方法．
對於無商式f(x)＝0，他主要是變更方程的系數使其判別式取一定的數值，從而使得方程有正根或負根．這樣的變換中又得出了f(x)取極大值(或極小值)的條件f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn-1＝0，由此式求出極值點x0，再代入f(x)可以求出極大值(或極小值)．這是今天通用的求極值方法的雛形，孝和稱其為「適盡方級法」．這種求極值方法是關孝和獨立發現的．
4．將中國的「三差之法」推廣為一般的招差法，研究了數論問題並發明「零約術」
這些成果都集中在《括要演算法》中．孝和去世之後，其遺稿全部傳給了弟子荒木村英(1640—1718)．據說，村英與孝和本來同學於高原吉種門下，後來他又拜孝和為師，由於其在同門弟子中學德俱高，所以得到了孝和的全部遺稿．可是當時村英已年高體弱，就把整理孝和遺稿的工作交給自己的弟子大高由昌．大高由昌從遺稿中抽出數篇編輯成《括要演算法》，村英為此作序，並於1712年出版．孝和的有關單行本至今尚存，與此比較看出，大高由昌在編輯時並沒有作多大改動．只是孝和原稿中的「諸約之法」不包括「翦管術」，而《括要演算法》中將「翦管術」列於「諸約之法」中．
(1)招差法 這是由x＝x1，x2，…，xn和相應的y＝y1，y2，…，yn兩組數據確定函數y＝a1x＋a2x2＋…＋anxn的系數的方法，相當於西方數學中的有限差分法．孝和的方法如下：
乘積．
若所有平積相等，就有a3＝a4＝…＝0，這時可取a2＝δz1，a1＝z1－a2x1，這時的招差法稱為「一次相乘之法」．若所有的立積都相等，則a4＝a5＝…＝0，可取a3＝δ2z1，再計算zi－a3x2i＝ui(1≤i≤n)，它是u＝a1＋a2x在x＝xi處的值，再對此施行「一次相乘之法」可得a2，a1的值．依此類推．
關孝和稱a1，a2，…，an這些系數為「差」，求這些差為「招差」．上述求差的方法就是他的招差法．
對於n＝2，3，4的情況，求f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn系數的問題早在中國數學中已得到解決，孝和的貢獻主要在於將這種「三差之法」推廣到了n為任意自然數的一般招差法．
(2)約術及垛術 他敘述的「約術」有互約、逐約、齊約、遍約、增約、損約、零約、遍通等．其中「逐約術」是給出n個整數a1，a2，…，an，確定各自的一個約數a′1，a′2，…，a′n，使這n個約數兩兩互素且其和等於a1，a2，…，an的最小公倍數．n＝2時，他把「逐約術」又稱為「互約術」．「齊約」是求整數的最小公倍數．「遍約」是用整數的最大公約數分別去除這n個整數．「遍通」是分數通分．「增約」是求級數a＋ar＋ar2＋…的和，「損約」是求級數a－ar－ar2－…的和．「剩一術」是解一次不定方程ax－by＝1的方法．除「增約」和「損約」之外，這些都是數論的內容．
「零約術」是孝和的發明．它是一種確定無限不循環小數的近似分數的方法．在書中他用例子對零約術作了說明．比如邊長為1尺的正方
取p1＝1，q1＝1，按下述規則確定後面的pn，qn．若
n，而相應的pn依次是1，3，4，6，7，9，10，11，13，14，16，17，18，20，21，23，24，26，27，28，30，31，33，34，35，37，38，40，41， 43， 44，45， 47，48，50，51，52，54，55，57，58．於是有
它們都出現在上述的近似分數列中．
在《括要演算法》最後一卷(貞卷)中，他用自己發明的這種零約術
給出，但他是怎樣得到的呢？這一點卻沒有流傳下來．孝和的這一工作給出了一種推導方法．
《括要演算法》的第一卷(元卷)中還記述了「垛術」問題，即求
和Sp＝1p＋2p＋3p＋… ＋np(他稱其為「方垛積」)與求和
對於方垛積，他用招差法計算出了p＝1，2，3，…，11的情況，然後歸納得出了方垛積一般公式：
對於衰垛積，他也給出一般公式：
值得注意的是，方垛積公式中的B1，B2，…，Bn，…與伯努利數一樣．而西方第一部導入伯努利數並給出上述公式的書是數學家雅格布·伯努利(Jacob Bernoulli)的《猜度術》(Ars conj－ectandi，1713)．可見關孝和與伯努利幾乎同時發現了伯努利數．
(3)翦管術 數論方面，他還研究了翦管術，即解同餘式組b1x≡a1(mod m1)， b2x≡a2(mod m2)，…，bnx≡an(mod mn)的方法．《括要演算法》第二卷(亨卷)的「翦管術解」部分舉出九個問題說明這種方法，前五個是b1＝b2＝…＝bn＝1的情況，根據m1，m2，…，mn是否兩兩互素而分為兩種情況給出了解法；後四個問題都是b1，b2，…，bn不全為1的情況，利用逐約術和剩一術給出了解法．
翦管術的名稱和問題形式在中國宋代楊輝的著作集《楊輝演算法》中就有記述，但楊輝解決的同餘式組只限於b1＝b2＝…＝bn＝1，且m1，m2，…，mn兩兩互素的情況，而且由於所舉的例子涉及的數據都比較簡單，往往是只靠心算就可以解決，而不用剩一術．可以說，孝和是從《楊輝演算法》中得到了翦管術的名稱和問題形式，但他由於發明了剩一術，又引入了逐約、互約概念，因而對m1，m2，…，mn不全兩兩互素的情況和b1，b2，…，bn不全為1的同餘式組問題也完滿地解決了．因此可以說是關孝和發展完善了翦管術．
5．給出了一些曲線求長和立體求積的近似方法
這些研究主要集中在《解見題之法》、《求積》及《毬闕變形草解》中．其中創新性的成果在於他給出了橢圓周長、阿基米德螺線長的近似演算法，解決了圓環體、弧環體和十字環的近似求積問題．
(1)橢圓周長與阿基米德螺線長 《解隱題之法》中第一次出現橢圓周長的近似演算法．他將橢圓看成是從不同角度看圓時得到的圖形，得出橢圓周長L的近近似計算公式：
L2＝π2(長徑×短徑)＋4×(長徑－短徑)2．
此書中還解決了「畹背」問題，即求所謂「畹形」長度的問題．如圖1，將扇形OAB用半徑OC1，OC2，…，OCn-1 n等分，再將半徑OA用C′1，C′2，…，C′n-1 n等分，經過OA的各分點以O為圓心分別畫弧，得到過C′k點的弧與半徑OCk的交點Dk(0≤k≤n，記O點為D0，A點為Dn)，Dk點的軌跡即是「畹形」．可見，畹形就是阿基米德螺線．他給出畹形長(背)的計算公式：
至於他是如何得到這個公式的，書中沒有說明．
(2)圓環體、弧環體和十字環的體積 所謂圓環體是圓繞其所在平面上與圓沒有公共點的一條直線旋轉一周所得到的立體；弧環體則是由弓形繞其所在平面上與弓形沒有公共點的一條直線旋轉一周所得的立體．關孝和設想，把圓環體截斷伸直，圓環體就變成圓柱，因此圓環體的體積就等於這個截面(圓面)的面積乘以這個「圓柱」的高(即圓環體的「中心圓」周長)．他這樣計算是假定了「圓環體經截斷伸直成圓柱後體積不變」，以此假定為基礎，他用弓形的面積乘以弧環體的中心圓周長作為弧環體的體積．這里所說的中心圓是指在圓(或弓形)旋轉過程中，圓(或弓形)面上一個特定點所形成的圓，這個特定點就是圓(或弓形)的重心．可見，孝和已經有了「重心」這一概念．他這樣計算圓環體、弧環體的體積的方法相當於帕波斯－古爾丁(Pappus－Guldin) 定理所敘述的方法．
所謂「十字環」是指兩個圓柱體與一個圓環體互相截取組成的立體，如圖2所示，兩個圓柱的軸互相垂直且都通過圓環體的重心，圓柱被圓環體的表面所截，並且兩圓柱的底半徑與圓環體的截面半徑相等．這一問題最早出現在槻⒑統蔚摹恫瘟鉸肌?)中，孝和首次用近似方法求出了十字環的體積．
另外，《毬闕變形草解》也是主要研究求積問題的著作．不過此書所涉及的多是闕球(用平面去截球體所得)、闕圓柱(用平面去截圓柱所得)、弧錐(底是弓形的錐體)和弧台(兩底都是弓形的台體)等復雜的立體．他通過將這些立體變形而給出這些立體的近似求積方法．他把此書命名為《草解》，可見還有未盡之意，這說明上述一類立體的求積是當時最難的求積問題．
6．創立圓理、角術，解決了有關圓弧長、球體積及正多邊形的一些問題
「圓理」一詞在後來的和算家中常用來總稱求解曲線長、圖形(平面圖形或曲面圖形)的面積及立體的體積的方法．但孝和創立的圓理只限於圓、球的有關計算．他關於圓理的研究主要集中在《括要演算法》第4卷(貞卷)中，由「求圓周率術」、「求弧矢弦率術」和「求立圓積率術」(立圓即球)三部分組成．他求圓的正 215，216，217邊形的周長a，b，c，並對此施以增約術，用a，b，c的一種平均值
作為圓周長的近似值，由此求得圓周率的小數點後11位數字，接著又用
他的「求弧術」是由弦a，矢c，徑d來求弧長s的方法，他給出公式：
其中A0， A1， A2， A3， A4， A5是由 c＝c0，c1，c2，c3，c4，c5和相應的s＝s0，s1，s2，s3，s4，s5來確定的．
如果上述插值公式中沒有分母(d－c)i(i＝1，2，…，5)，則與牛頓插值公式完全一樣．這個公式與牛頓插值公式的原理相同．牛頓插值公式是I．牛頓(Newton)發現的，W．瓊斯(Jones)得到牛頓允許後著成《微分法》(Methos differentilis，1711)將其公布於世，而《括要演算法》是1709年寫成序、跋，1712年出版的，因此可以說關孝和與牛頓幾乎同時各自獨立地發現了這個公式．
對於球的體積，他提出了「求立圓積率術」，首先用平行平面把球截成50個薄片，將各薄片先看成以各自的接近球心一側的底面為底的圓柱，求這50個「圓柱」的體積之和；再將各薄片看成是以各自的另一底面為底的圓柱，求出這50個「圓柱」的體積之和，再求出這兩個體積和的平均值a作為這50個薄片的總體積．同樣將球截成100個、200個薄片，分別如上求出這100個、200個薄片的總體積b和c，用增約術求出
將其作為球體積．雖然這一過程中用增約術的條件並不充足，但他如此分割—轉換—求和的求積方法中，積分思想已開始萌芽．
「角術」是建立正多邊形的邊長與外接圓半徑、邊長與內切圓半徑之間關系式的方法．他對正3—20邊形分別給出了這種關系式，而以前的和算家只是求出了邊數不大於15的正多邊形的上述關系式．另外，孝和在推導過程中所用的幾何學上的定理，有一些是僅憑直覺得到的．
7．研究了幻方問題，又用同餘式解決了日本流傳的古老的「繼子立」即「立後嗣」的問題
《七部書》中的《方陣之法·圓攢之法》給出了幻方(他稱為「方陣」)和圓攢的一般構造方法，即按一定規律變化n－2階幻方的每一個數，將其相應地作為「內核」，再在外圈上按一定規則填上4n－4個數就可以得到n階幻方．這種方法與16世紀德國數學家M．施蒂費爾(Stiefel)首次在其著作《整數算術》(Arithme－tica Integra，1544)中嘗試證陰幻方的思想是一致的．
「繼子立」是在日本廣泛流傳的一個古老問題，它說的是，某貴族家有30個孩子，其中15人是前妻所生，15人為後妻所生．要從這30個孩子中選出一個來繼承家業，就讓這30個孩子排成一圈，從某一個小孩開始往下數，讓第10個孩子從圈中退出，再從下一個繼續數，數到20時就讓對應20的那個孩子從圈中出去．照此數下去，數到整十的數時就把對應該數的孩子從圈中拉出，直到最後剩下一個孩子，就由這個孩子來繼承家業．如果現在只剩下一個前妻之子和14個後妻之子了，那麼只要從這個前妻之子開始數，就可以使這個孩子成為「繼子」．
孝和在《算脫驗符之法》中將這個問題理論化並用同餘式進行了推導證明．
除上述著作之外，孝和在數學方面還寫下了《角法並演段圖》、《闕疑抄一百問答術》、《勿憚改答術》等書．在天文歷法方面他也有許多著作，如《授時歷經立成》四卷、《授時歷經立成立法》(1681)、《授時發明》、《四餘演算法》(1697)、《星曜演算法》、《數學雜著》(又名《天文數學雜著》)等．
先前數學對關孝和的影響
從上面的介紹可以看出，關孝和的數學研究有的起源於在他之前的和算著作中的「遺題」．他最初的數學著作《發微演算法》是對澤口一之的《古今演算法記》(1671)中遺題的解答．他還解答了礒村吉德的《演算法闕疑抄》(1659)的100道遺題和村瀨義益的《演算法勿憚記》(1673)的遺題，至今尚存有關的抄本．有些遺題成為關孝和研究的起點．例如《演算法闕疑抄》第45個問題(「圓台斜截口」)引出了他對橢圓的研究；第 41個問題(「俱利加羅卷」，即在圓錐形棒上緾繩，求繩長)引出了他對畹背問題的研究．他的一些重要的思想方法也是從這些著作中得到的．例如，澤口一之在《古今演算法記》中通過變換方程系數避開了有兩個正根的情況，關孝和由此受啟發變換「無商式」和「負商式」系數使其根達到要求，進而得到了求多項式函數的極大值、極小值的「適盡方級法」．他在《題術辨議之法》中，對「碎術」(即「自遠至近數次而求所問」的方法，他認為「其術不定也」，因而不是最恰當的方法)問題採用逐次逼近法解決，這可能是從《演算法勿憚改》中受到啟發的，因為《演算法勿憚改》在日本是首次使用逐次逼近法的著作．
但是，他的最主要的數學成就並不能在他之前的和算著作中找到線索，這就在他的研究與先前和算家的研究之間形成了一個「斷層」．一些人認為，彌補這個斷層的是中國數學和西方數學對他的影響．據日本武林史著作《武林隱見錄》(1738)中「關新助算術秩事」一條記載，孝和估計到南部某寺收藏的「唐本」(指古時由中國傳到日本的書籍)中可能有數學書，就去南都搜尋，並將其抄錄下來帶回江戶研究．從此類「秩事」中可知關孝和在研究中參考了中國數學著作．
從孝和的數學成果來看，對他的研究產生較大影響的中國數學著作是《楊輝演算法》(1378)和清朝的《天文大成管窺輯要》等．《楊輝演算法》是楊輝的《乘除通變本末》(上卷為《演算法通變本末》，中卷為《乘除通變算寶》，下卷為《法算取用本末》，與史仲榮合著)、《田畝比類乘除捷法》和《續古摘奇演算法》三部著作合刻的，在朝鮮重刻後傳入日本並保存下來．孝和從《楊輝演算法》中得到了「翦管術」的名稱和問題形式，並完善了「翦管術」．另外，《楊輝演算法》中已有類似於「霍納法」的解方程方法，大概是孝和從中受到啟發，才提出了分別相當於霍納法和牛頓逼近法的兩種解方程方法．
朝黃鼎的《天文大成管窺輯要》對孝和也有影響．孝和的《授時發明》(或稱《天文大成三條圖解》)就是對此書第三卷的解釋，由此看來孝和曾仔細研究過這部書．書中有對元朝郭守敬《授時歷》中「三差法」所作的解說，可能由此引出了孝和對「招差法」的研究．
關於西方數學的影響是進入明治時代之後才開始研究的．17世紀中葉荷蘭萊頓大學的F．范·斯霍騰(Schooten)教授有一個學生，名叫P．哈特辛烏斯(Hartsingius)，是日本人．這由荷蘭阿姆斯特丹大學的D．J．科爾泰韋赫(korteweg)教授給林鶴一博士的信中可知．這個日本人後來是否回到日本已無法證實．但據日本數學史家三上義夫考證，那個時期在日本有一名叫鳩野巴宗的醫學家，此人或許就是哈特辛烏斯．如果這個推測正確，則說明當時已經有人將西方數學帶回日本了，從而可以認為關孝和的數學研究直接受到西方數學的影響．
從以上的介紹可以看出，關孝和從以往數學家的研究中發現問題，又對這些問題從理論上加以解決或者將其推廣為一般性方法．除此之外他還有自己的首創性研究．這些成果奠定了和算的基礎，擺脫了日本數學家單純介紹中國數學的傳統束縛，成為後世和算家的典範．
關流數學教育及關流弟子
關孝和作為一個數學家的同時又是一位數學教育家．他一生中親自授過課的弟子就有幾百人，其中最傑出的是荒木村英及建部賢弘、建部賢明兩兄弟，村英的弟子中有松永良弼，賢弘的弟子中有中根元圭，元圭弟子中有山路主住等最為著名．孝和與他的弟子們的研究構成了和算的一個最大流派——關流(關流各代數學家系譜如文後圖所示)．能培養出這許多傑出的弟子，與孝和創立的教育方式有很大關系．他根據學生的情況分成五個等級分別集中指導，每一級都規定有相應的具體數學內容和具體教材．初級的教以珠算，進而籌算，高級的從演段術到點竄術，隨著每一級學生學業的完成而分別授以相應的「免許證」，相當於現在的畢業證，有「見題免許」、「隱題免許」、「伏題免許」、「別傳免許」和「印可免許」五個等級．後來這種方式不斷發展，成為關流嚴格的教育制度——五段免許制．只有得到五個等級的免許之後，才可以被稱為「關流第幾傳」，而且最後得到「印可」的只限於幾名高徒．後來隨著數學研究的發展，加入到各等級的學習內容不斷增加，五段免許制日益完善和嚴格．到了山路主住成為關流掌門人時，據說規定一代弟子中只傳一子和高徒二人．
關於所用的教材，除了關孝和的著作之外，其他關流數學家也寫過教科書，如山路主住的《關流算術》45卷作為關流入門者的最初教程；久留島義太的《廣益算梯》25卷也作為數學初學者的教材．
可見，關孝和創立的五段免許制體系，已有班級授課制的萌芽．
附：關流系譜參考資料：http://www.cnmaths.com/zttj/Print.asp?ArticleID=51
❺ 124除以幾等於幾餘4有三種演算法請問怎麼算出
124-4=120
124/10=12,,,4
124/5=25,,,4
124/15=8,,,4
❻ 354除以一位數余數是4有幾種演算法
除以一位數余數是4，那麼除數至少為5。
354-4=350
350=2¹×5²×7¹
350的約數個數為
(1+1)×(2+1)×(1+1)=12(個)
其中約數為一位數的只有2,5,7。這其中大於4的一位數只有5和7。
答：354除以一位數，余數是4的有2種演算法。
驗證：
354÷5=70……4
354÷7=50……4。
❼ 關孝和的主要著作
《解見題之法》、《解隱題之法》、《解伏題之法》、《開放翻變之法》、《提術辨議之法》、《病題明致之法》、《方陣之法-圓攢之法》、《算脫之法-驗符之法》、《求積》、《球闕變形草》、《開方算式》、《八法略訣》、《授時發明》、《授時歷經立成之法》、《授時歷經立成》、《關訂書》、《四餘演算法》《宿曜演算法》、《天文數學雜著》
❽ 七政四餘擇日法有什麼實際的意義
七政四餘天星擇日法，其演算法非常繁復，必須用用事者的東經度和北緯度加入計算，取太陽，太陰，金木水火土五星及四餘星，三王星當天所臨的宮度，是到山，到向，或30度.60度.120度.180度.與山.命形成的角度關系.並星與星的角度關系.用星的取捨.立命的深淺.等等.一言難盡
❾ 關孝和的主要成就
關孝和改進了朱世傑《算學啟蒙》中的天元術演算法，開創了和算獨有的筆算代數，建立了行列式概念及其初步理論，完善了中國傳入的數字方程的近似解法，發現方程正負根存在的條件，對勾股定理、橢圓面積公式、阿基米德螺線、圓周率的研究，開創「圓理」（徑、弧、矢間關系的無窮級數表達式）研究，幻方理論，連分數理論等。同時他還寫過數種天文歷法方面的著作，《授時歷經立成》四卷、《授時歷經立成立法》、《授時發明》、《四餘演算法》、《星曜演算法》。
❿ 一個數除以2餘1、3餘2、4餘3、5餘4、6餘5、7餘6、8餘7、9餘8、10餘9、11整除
11整除說明這數是11的倍數，
11除以5不餘4，所以不是11。
22除以2不餘1，所以不是22。
33除以3不餘2，所以不是33。
44除以2不餘1，所以不是44。
55除以3不餘2，所以不是55。
66除以2不餘1，所以不是66。
77除以4不餘3，所以不是77。
88除以2不餘1，所以不是88。
99除以3不餘2，所以不是99。
110除以2不餘1，所以不是110。
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以此推下去為
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