傅立葉變換演算法

① 傅里葉變換的目的和意義

目的：把聲音、圖像都分解為N多個三角函數的疊加。使用不同的基本函數去分解可以得到不同變換。傅里葉變換只是其中一種，還是有拉普拉斯變換、Z 變換等

傅里葉變換的應用：

1、傅里葉變換是線性運算元，若賦予適當的范數，它還是酉運算元；

2、傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；

3、正弦基函數是微分運算的本徵函數，從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解在線性時不變的物理系統內，頻率是個不變的性質，從而系統對於復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取；

4、著名的卷積定理指出：傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；

5、離散形式的傅里葉變換可以利用數字計算機快速的算出（其演算法稱為快速傅里葉變換演算法（FFT))。

② 傅里葉變換的物理意義是什麼為什麼需要進行傅里葉變換

傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要的演算法，要知道傅立葉變換演算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。

傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換演算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。

傅立葉變換的提出：

用正弦曲線來代替原來的曲線而不用方波或三角波來表示的原因在於，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正餘弦來表示原信號會更加簡單，因為正餘弦擁有原信號所不具有的性質：正弦曲線保真度。

一個正弦曲線信號輸入後，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。

③ f=coswt的傅里葉變換怎麼求

根據歐拉公式，cosω0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。

直流信號的傅里葉變換是2πδ(ω)。

根據頻移性質可得exp(jω0t)的傅里葉變換是2πδ(ω-ω0)。

再根據線性性質，可得

cosω0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2的傅里葉變換是πδ(ω-ω0)+πδ(ω+ω0)。

(3)傅立葉變換演算法擴展閱讀

計算離散傅里葉變換的快速方法，有按時間抽取的FFT演算法和按頻率抽取的FFT演算法。前者是將時域信號序列按偶奇分排，後者是將頻域信號序列按偶奇分排。

它們都藉助於的兩個特點：一是周期性；二是對稱性，這里符號*代表其共軛。這樣，便可以把離散傅里葉變換的計算分成若干步進行，計算效率大為提高。

時間抽取演算法令信號序列的長度為N=2,其中M是正整數，可以將時域信號序列x(n)分解成兩部分，一是偶數部分x（2n），另一是奇數部分x（2n+1），於是信號序列x(n）的離散傅里葉變換可以用兩個N/2抽樣點的離散傅里葉變換來表示和計算。考慮到和離散傅里葉變換的周期性，式⑴可以寫成

⑶其中（4a）（4b）由此可見，式⑷是兩個只含有N/2個點的離散傅里葉變換，G(k）僅包括原信號序列中的偶數點序列，H(k）則僅包括它的奇數點序列。雖然k=0，1，2，…，N-1，但是G(k）和H(k）的周期都是N/2，它們的數值以N/2周期重復。

④ 快速傅里葉變換的計算方法

計算離散傅里葉變換的快速方法，有按時間抽取的FFT演算法和按頻率抽取的FFT演算法。前者是將時域信號序列按偶奇分排，後者是將頻域信號序列按偶奇分排。它們都藉助於的兩個特點：一是周期性；二是對稱性，這里符號*代表其共軛。這樣，便可以把離散傅里葉變換的計算分成若干步進行，計算效率大為提高。
時間抽取演算法 令信號序列的長度為N=2,其中M是正整數，可以將時域信號序列x(n)分解成兩部分，一是偶數部分x（2n），另一是奇數部分x（2n+1），於是信號序列x(n）的離散傅里葉變換可以用兩個N/2抽樣點的離散傅里葉變換來表示和計算。考慮到和離散傅里葉變換的周期性，式⑴可以寫成
⑶其中（4a）（4b）由此可見，式⑷是兩個只含有N/2個點的離散傅里葉變換，G(k）僅包括原信號序列中的偶數點序列，H(k）則僅包括它的奇數點序列。雖然k=0，1，2，…，N-1，但是G(k）和H(k）的周期都是N/2，它們的數值以N/2周期重復。
因為於是由式⑶和式⑷得到（5a）（5b)
因此，一個抽樣點數為N 的信號序列x(n）的離散傅里葉變換，可以由兩個 N/2抽樣點序列的離散傅里葉變換求出。依此類推，這種按時間抽取演算法是將輸入信號序列分成越來越小的子序列進行離散傅里葉變換計算，最後合成為N點的離散傅里葉變換。
通常用圖1中蝶形演算法的信號流圖來表示式⑸的離散傅里葉變換運算。例如，N=8=2的抽樣點的信號序列x(n）的離散傅里葉變換，可用如圖2所示的FET演算法的信號流圖來計算。
①N=2點的離散傅里葉變換的計算全由蝶形運算組成，需要M級運算，每級包括N/2個蝶形運算，總共有 個蝶形運算。所以，總的計算量為次復數乘法運算和N log2N次復數加法運算。
②FFT演算法按級迭代進行，計算公式可以寫成
⑹N抽樣點的輸入信號具有N個原始數據x0(n），經第一級運算後，得出新的N個數據x1(n），再經過第二級迭代運算，又得到另外N個數據x2(n），依此類推，直至最後的結果x(k)=xM(k)=X(k）在逐級迭代計算中，每個蝶形運算的輸出數據存放在原來存貯輸入數據的單元中，實行所謂「即位計算」，這樣可以節省大量存放中間數據的寄存器。
③蝶形運算中加權系數隨迭代級數成倍增加。由圖2可以看出系數的變化規律。對於N=8,M=3情況，需進行三級迭代運算。在第一級迭代中，只用到一種加權系數；蝶形運算的跨度間隔等於1。在第二級迭代中，用到兩種加權系數即、；蝶形運算的跨度間隔等於2。在第三級迭代中，用到4種不同的加權系數即、、、；蝶形運算的跨度間隔等於4。可見，每級迭代的不同加權系數的數目比前一級迭代增加一倍；跨度間隔也增大一倍。
④輸入數據序列x(n）需重新排列為x(0）、x⑷、x⑵、x⑹、x⑴、x⑸、x⑶、x⑺，這是按照二進制數的碼位倒置所得到的反序數，例如N=8中數「1」的二進制數為「001」，將其碼位倒轉變為「100」，即為十進制數「4」。
頻率抽取演算法按頻率抽取的 FFT演算法是將頻域信號序列X(k）分解為奇偶兩部分，但演算法仍是由時域信號序列開始逐級運算，同樣是把N點分成N/2點計算FFT，可以把直接計算離散傅里葉變換所需的N次乘法縮減到次。
在N=2的情況下，把N點輸入序列x(n）分成前後兩半
⑺
時間序列x1(n）±x2(n）的長度為N/2，於是N點的離散傅里葉變換可以寫成
（8a)
（8b)
頻率信號序列X（2l）是時間信號序列x1(n)+x2(n）的N/2點離散傅里葉變換，頻率信號序列X（2l+1）是時間信號序列【x1(n)-x2(n）】的N/2點離散傅里葉變換，因此，N點離散傅里葉變換的計算，通過兩次加（減）法和一次乘法，從原來序列獲得兩個子序列，所以，頻率抽取演算法也具有蝶形運算形式。以2為基數的FFT基本蝶形運算公式為
⑼
其計算量完全和時間抽取演算法一樣，即只需次乘法運算和Nlog2N次加（減）法運算。圖3 表示N=8=2點的離散傅里葉變換的信號流圖。由圖可見，它以三級迭代進行即位計算，輸入數據是按自然次序存放，使用的系數也是按自然次序，而最後結果則以二進制反序存放。
實際上，頻率抽取演算法與時間抽取演算法的信號流圖之間存在著轉置關系，如將流圖適當變形，可以得出多種幾何形狀。
除了基2的FFT演算法之外，還有基4、基8等高基數的FFT演算法以及任意數為基數的FFT演算法。

⑤ 如何理解傅里葉變換公式

公式描述：公式中F(ω)為f(t)的像函數，f(t)為F(ω)的像原函數。
2、傅立葉變換，表示能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉變換和離散傅立葉變換。最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。
3、相關
* 傅里葉變換屬於諧波分析。
* 傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似;
* 正弦基函數是微分運算的本徵函數，從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變的物理系統內，頻率是個不變的性質，從而系統對於復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取；
*卷積定理指出：傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；
* 離散形式的傅立葉變換可以利用數字計算機快速地算出（其演算法稱為快速傅里葉變換演算法（FFT))。

⑥ 快速傅里葉變換的演算法類型

FFT演算法很多，根據實現運算過程是否有指數因子WN可分為有、無指數因子的兩類演算法。
有指數因子的演算法
經典庫利-圖基演算法 當輸入序列的長度N不是素數(素數只能被1而它本身整除）而是可以高度分解的復合數，即N=N1N2N3…Nr時，若N1=N2=…=Nr=2，N=2則N點DFT的計算可分解為N=2×N/2，即兩個N/2點DFT計算的組合，而N/2點DFT的計算又可分解為N/2=2×N/4，即兩個N/4點DFT計算的組合。依此類推，使DFT的計算形成有規則的模式，故稱之為以2為基底的FFT演算法。同理，當N=4時，則稱之為以4為基底的FFT演算法。當N=N1·N2時，稱為以N1和N2為基底的混合基演算法。
在這些演算法中，基2演算法用得最普遍。通常按序列在時域或在頻域分解過程的不同，又可分為兩種：一種是時間抽取FFT演算法（DIT），將N點DFT輸入序列x(n)、在時域分解成2個N/2點序列而x1(n)和x2(n)。前者是從原序列中按偶數序號抽取而成，而後者則按奇數序號抽取而成。DIT就是這樣有規律地按奇、偶次序逐次進行分解所構成的一種快速演算法。
分裂基演算法(RSFFT) 1984年由P．杜哈美爾和H．赫爾曼等導出的一種比庫利圖基演算法更加有效的改進演算法，其基本思想是在變換式的偶部採用基2演算法，在變換式的奇部採用基4演算法。優點是具有相對簡單的結構，非常適用於實對稱數據，對長度N=2能獲得最少的運算量(乘法和加法），所以是選用固定基演算法中的一種最佳折衷演算法。

⑦ 傅里葉變換有什麼用

傅里葉變換是數字信號處理領域一種很重要的演算法。要知道傅里葉變換演算法的意義，首先要了解傅里葉原理的意義。

傅里葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅里葉變換演算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。

和傅里葉變換演算法對應的是反傅里葉變換演算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。

因此，可以說，傅里葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易於分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最後還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。

從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。

在數學領域，盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特徵。"任意"的函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類：

1、傅里葉變換是線性運算元,若賦予適當的范數,它還是酉運算元；

2、傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似；

3、正弦基函數是微分運算的本徵函數,從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段；

4、離散形式的傅里葉的物理系統內,頻率是個不變的性質,從而系統對於復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取；

5、著名的卷積定理指出:傅里葉變換可以化復變換可以利用數字計算機快速的算出(其演算法稱為快速傅里葉變換演算法(FFT))。

正是由於上述的良好性質,傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。

(7)傅立葉變換演算法擴展閱讀

傅里葉生於法國中部歐塞爾（Auxerre）一個裁縫家庭，9歲時淪為孤兒，被當地一主教收養。1780年起就讀於地方軍校，1795年任巴黎綜合工科大學助教，1798年隨拿破崙軍隊遠征埃及，受到拿破崙器重，回國後於1801年被任命為伊澤爾省格倫諾布爾地方長官。

傅里葉早在1807年就寫成關於熱傳導的基本論文《熱的傳播》，向巴黎科學院呈交，但經拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德審閱後被科學院拒絕，1811年又提交了經修改的論文，該文獲科學院大獎，卻未正式發表。

傅里葉在論文中推導出著名的熱傳導方程 ，並在求解該方程時發現解函數可以由三角函數構成的級數形式表示，從而提出任一函數都可以展成三角函數的無窮級數。傅里葉級數（即三角級數）、傅里葉分析等理論均由此創始。

傅里葉由於對傳熱理論的貢獻於1817年當選為巴黎科學院院士。

1822年，傅里葉終於出版了專著《熱的解析理論》（Theorieanalytique de la Chaleur ，Didot ，Paris，1822）。這部經典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下應用的三角級數方法發展成內容豐富的一般理論，三角級數後來就以傅里葉的名字命名。

傅里葉應用三角級數求解熱傳導方程，為了處理無窮區域的熱傳導問題又導出了當前所稱的「傅里葉積分」，這一切都極大地推動了偏微分方程邊值問題的研究。

然而傅里葉的工作意義遠不止此，它迫使人們對函數概念作修正、推廣，特別是引起了對不連續函數的探討；三角級數收斂性問題更刺激了集合論的誕生。因此，《熱的解析理論》影響了整個19世紀分析嚴格化的進程。傅里葉1822年成為科學院終身秘書。

由於傅里葉極度痴迷熱學，他認為熱能包治百病，於是在一個夏天，他關上了家中的門窗，穿上厚厚的衣服，坐在火爐邊，結果因CO中毒不幸身亡，1830年5月16日卒於法國巴黎。

參考資料來源：網路-傅立葉變換

參考資料來源：網路-傅立葉

⑧ 符號函數的傅里葉變換的求取過程謝謝！

答案如下圖：

(8)傅立葉變換演算法擴展閱讀：

傅里葉變換的作用：

1、傅立葉變換為一種分析信號的方法，可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。許多波形可作為信號的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅立葉變換用正弦波作為信號的成分。

2、傅里葉變換在物理學、電子類學科、數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成頻率譜——顯示與頻率對應的幅值大小）。

3、和傅里葉變換演算法對應的是反傅里葉變換演算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。

⑨ 傅里葉變換公式

1、公式描述：公式中F(ω)為f(t)的像函數，f(t)為F(ω)的像原函數。 2、傅立葉變換，表示能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉變換和離散傅立葉變換。最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。 3、相關 * 傅里葉變換屬於諧波分析。 * 傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似; * 正弦基函數是微分運算的本徵函數，從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變的物理系統內，頻率是個不變的性質，從而系統對於復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取； *卷積定理指出：傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段； * 離散形式的傅立葉變換可以利用數字計算機快速地算出（其演算法稱為快速傅里葉變換演算法（FFT))。

⑩ 傅里葉變換的意義和理解是什麼

傅里葉變換的意義和理解：

一、意義：

從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。

在數學領域，盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特徵。"任意"的函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類。

正是由於上述的良好性質,傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。

二、理解：

傅里葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅里葉變換演算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。

傅里葉變換的相關說明：

1、圖像經過二維傅里葉變換後，其變換系數矩陣表明：

若變換矩陣Fn原點設在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數短陣的中心附近（圖中陰影區）。若所用的二維傅里葉變換矩陣Fn的原點設在左上角，那麼圖像信號能量將集中在系數矩陣的四個角上。這是由二維傅里葉變換本身性質決定的。同時也表明一股圖像能量集中低頻區域。

2 、變換之後的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之後中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）。

以上內容參考：網路-傅里葉變換