求微分的演算法

⑴ 求函數的微分

在數學中，微分是對函數的局部變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變數的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。

定義
設函數y = f(x)在x0的鄰域內有定義，x0及x0 + Δx在此區間內。如果函數的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依賴於Δx的常數），而o(Δx)是比Δx高階的無窮小，註：o讀作奧密克戎，希臘字母,那麼稱函數f(x)在點x0是可微的，且AΔx稱作函數在點x0相應於自變數增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。函數的微分是函數增量的主要部分，且是Δx的線性函數，故說函數的微分是函數增量的線性主部（△x→0）。
通常把自變數x的增量 Δx稱為自變數的微分，記作dx，即dx = Δx。於是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數的微分與自變數的微分之商等於該函數的導數。因此，導數也叫做微商。
當自變數X改變為X+△X時，相應地函數值由f(X)改變為f(X+△X)，如果存在一個與△X無關的常數A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0關於△X的高階無窮小量，則稱A·△X是f(X)在X的微分，記為dy，並稱f(X)在X可微。一元微積分中，可微可導等價。記A·△X=dy，則dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。
微分概念是在解決直與曲的矛盾中產生的，在微小局部可以用直線去微分近似替代曲線，它的直接應用就是函數的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個微小的量，因此就可以把線性函數的數值計算結果作為本來函數的數值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。

⑵ 微分公式是什麼

基本微分公式是dy=f'（x）dx。

微分公式的推導設函數y = f(x)在某區間內有定義，x0及x0+△x在這區間內，若函數的增量Δy = f(x0 +Δx)−f(x0)可表示為Δy = AΔx + o(Δx)，其中A是不依賴於△x的常數，o(Δx)是△x的高階無窮小，則稱函數y = f(x)在點x0是可微的。

學習微積分的方法有：

1、課前預習

一個老生常談的話題，也是提到學習方法必將的一個，話雖老，雖舊，但仍然是不得不提。雖然大家都明白該這樣做，但是真正能夠做到課前預習的能有幾人，課前預習可以使我們提前了解將要學習的知識，不至於到課上手足無措，加深我們聽課時的理解，從而能夠很快的吸收新知識。

2、記筆記

這里主要指的是課堂筆記，因為每節課的時間有限，所以老師將的東西一般都是精華部分，因此很有必要把它們記錄下來，一來可以加深我們的理解，好記性不如爛筆頭嗎，二來可以方便我們以後復習查看。

3、認真聽講

對於大學生，特別是大一新生，學習方式與上高中時有了很大不同，上課時老師基本都用PPT來講課，但是，千萬不要認為上課不用聽，下課把老師的PPT拷貝下來學習就可以了，老師上課會滲透很多PPT上沒有的內容，如果錯過了，在PPT上是找不到的。

4、課後復習

同預習一樣，是個老生常談的話題，但也是行之有效的方法，課堂的幾十分鍾不足以使我們學習和消化所學知識，需要我們在課下進行大量的練習與鞏固，才能真正掌握所學知識。

⑶ 求微分是不是就是按求導數的演算法算，最後乘上dx

是的。

y=f(x)；y'=f'(x)=dy/dx，所以 dy=y'dx=f'(x)dx。

一元函數：y（x）dy=y'（x）dx。

多元函數：u（x，y，z）=∂u/∂xdx+∂u/∂ydy+∂u/∂zdz。

導數

函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變數和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。

⑷ 微積分是怎麼樣計算的

對於一元函數有，可微<=>可導=>連續=>可積

對於多元函數，不存在可導的概念，只有偏導數存在。函數在某處可微等價於在該處沿所有方向的方向導數存在，僅僅保證偏導數存在不一定可微，因此有：可微=>偏導數存在=>連續=>可積。

可導與連續的關系：可導必連續，連續不一定可導；

可微與連續的關系：可微與可導是一樣的；

可積與連續的關系：可積不一定連續，連續必定可積；

可導與可積的關系：可導一般可積，可積推不出一定可導；

可導，即設y=f(x)是一個單變數函數， 如果y在x=x0處左右導數分別存在且相等，則稱y在x=x[0]處可導。如果一個函數在x0處可導，那麼它一定在x0處是連續函數。

函數可導的條件：

如果一個函數的定義域為全體實數，即函數在其上都有定義。函數在定義域中一點可導需要一定的條件：函數在該點的左右導數存在且相等，不能證明這點導數存在。只有左右導數存在且相等，並且在該點連續，才能證明該點可導。

可導的函數一定連續；連續的函數不一定可導，不連續的函數一定不可導。

⑸ 怎麼用MATLAB求微分並求值

用MATLAB求微分並求值的方法：

f =x^2+exp(x^2)+sin(x)*cos(2*x+1)

1、diff(S,'v')：對符號對象S 中指定的符號變數v，求其1階導數。

2、diff(S)：對符號對象S 中的默認的獨立變數求其1階導數。

3、diff(S,n)：對符號對象S中的默認的獨立變數求其n階導數。

4、diff(S,'v',n)：對符號對象S 中指定的符號變數v求其n階導數。

即：

>> syms x n
>> y=sin(x)^n*cos(n*x);
>> Xd=diff(y)
Xd =
sin(x)^n*n*cos(x)/sin(x)*cos(n*x)-sin(x)^n*sin(n*x)*n
>> Nd=diff(y, n)
Nd =
sin(x)^n*log(sin(x))*cos(n*x)-sin(x)^n*sin(n*x)*x

而微分值則要按照上述方法，然後調用函數subs（）完成所求值就能求得了。

⑹ 數值計算day7-數值微分

上一節課主要介紹了曲線擬合與插值，曲線擬合主要包括線性擬合（單特徵線性回歸和非線性擬合（非線性方程特徵變換、高階多項式擬合），插值包括多項式插值（拉格朗日形式、牛頓形式）、樣條插值（線性插值、二次樣條插值、三次樣條插值），其中三次樣條插值還有一個便於求解的拉格朗日形式。這里的曲線擬合與機器學習中的回歸問題非常相似，具有很大的參考意義。本節課主要介紹幾種求解微分的數值方法。

給定一個函數 ， 在 處的微分 定義為： 圖上的解釋是 在 處的斜率：

前向、後向以及中心差分法是最簡單的有限差分法：

例： ，計算 在 處的微分
(a)
真實值： ,
前向差分：
後向差分：
中心差分：
(b)
前向差分：
後向差分：
中心差分：

可以看到中心差分最為准確，且兩點間距變小時，差分計算會更為准確。
MATLAB實現：

分別寫出 四點的泰勒展開：

可以看到： 進一步得： 這是一階微分的 三點前向公式 ，具有二階准確度，類似地，可以得到如下具有二階准確度的 三點後向公式 ：

注意：

前面兩式相加，得 可得 此即為 三點中心差分公式 ，具有二階准確度。類似地，推導可得如下 五點中心差分公式 ： 具有四階准確度。

另一方面： 可得 此即為 三點前向差分公式 ，具有一階准確度，類似可得如下具有一階准確度 三點後向差分公式 ：

MATLAB實現：

對點 進行拉格朗日多項式插值，有
此時 因此 當 時，有 此式與 三點前向差分公式 一致。

Richardson外推加速演算法能夠把兩個低精度的方法組合成一個高精度的計算方法，假設 是一種數值微分計算方法， 是估計的微分， 和 是估計誤差，可以看到，具有二階精度，如果把間距調整為 ，則 其精度仍是二階的。但是有： 因此， 可以看到，具有四階精度。

舉個例子，考慮一階微分的兩點中心差分法（二階精度）： 縮短間距，有 按照Richardson外推加速演算法，有 進一步 因此 可以看到，精度提高到了四階。

本節課主要介紹了一些數值微分演算法，對於一階微分，最常用的有兩點前向差分（精度為 ）、兩點後向差分（精度為 ）以及兩點中心差分演算法（精度為 ），其表達式均可以通過處理泰勒展開式來得到。通過處理泰勒展開式還可以得到一階微分的三點前向差分和三點後向差分演算法，精度與兩點中心差分一致。對於二階微分，同樣可以利用泰勒展開，得到三點前向差分、三點後向差分以及三點中心差分演算法。另一方面，還可以通過拉格朗日插值公式，得到相應的微分計算公式。這些公式又都可以很容易推廣到多元函數的數值微分中去。最後，對於兩個精度不高的微分演算法，可以通過Richardson外推加速演算法得到一個精度更高的演算法，在實際問題中具有很廣泛的應用。

⑺ 求解微分方程的方法

已知微分方程的通解怎麼求這個微分方程
答：求導！如：1。x^2-xy+y^2=c
等式兩邊對x求導：2x-y-x(dy/dx)+2y(dy/dx)=0
故dy/dx=(2x-y)/(x-2y)；或寫成
2x-y-(x-2y)y′=0
若要求二階微分方程則需再求導一次：
2-y′-(1-2y′)y′+(x-2y)y〃=0
2。e^(-ay)=c1x+c2
-ay′e^(-ay)=c₁(一階微分方程）
-ay〃e^(-ay)-ay′(-ay′)e^(-ay)=0，即a²(y′)²-ay〃=0(二階微分方程）

⑻ 如何求函數的微分

操作方法
01
令y=f(x)，若f(x)連續可導，則對於f(x)有微分公式:dy=f'(x)dx

⑼ 高數微分怎麼求

（1）dx可以乘過去是因為微分的定義，以及微分的計算公式dy=f'(x)dx

（2）不定積分∫f(x)dx中的被積表達式f(x)dx，按其定義的確僅僅是形式的東西，但是由性質：

d[∫f(x)dx]=(∫f(x)dx)'dx=f(x)dx發現，它恰好就是原函數的微分，所有可以看做微分。

（3）真正有問題的是定積分中的被積表達式，以下用∫(a,b)f(x)dx表示從a到b對f(x)求定積分。

這里的f(x)dx真正是完全形式的了，與微分相去甚遠，有很多書把定積分記作∫(a,b)f，根本就不寫出積分變數來，因為由定積分的定義知，這個自變數是什麼根本不重要，那麼定積分該怎麼計算呢？定積分中的換元積分法以及分部積分法又怎麼來的呢？這個就是牛頓和萊布尼茲的貢獻！！！

解決問題的關鍵：變上限積分∫(a,x)f(t)dt這個東西按定義是個定積分，但是當x變動的時候，它是個函數，而最最重要的是它的微分d[∫(a,x)f(t)dt]=f(x)dx,由此我們又一次看到定積分的被積表達式部分與微分聯系了起來，這個結論是微積分部分最重要的一個結論，它的一個直接的結果就是牛頓-萊布尼茲公式。

⑽ 這些函數的微分怎麼求啊

這些函數的的微分怎麼求？兩種方法①復合函數的微分，可以象求導一樣，從外函數到內函數一層一層地往裡求，類似於求導的鏈式法則；②先求函數的導數，再求函數的微分。