大數rsa演算法

㈠ 什麼是RSA演算法，求簡單解釋。

RSA公鑰加密演算法是1977年由Ron Rivest、Adi Shamirh和LenAdleman在（美國麻省理工學院）開發的。RSA取名來自開發他們三者的名字。RSA是目前最有影響力的公鑰加密演算法，它能夠
抵抗到目前為止已知的所有密碼攻擊，已被ISO推薦為公鑰數據加密標准。RSA演算法基於一個十分簡單的數論事實：將兩個大素數相乘十分容易，但那時想要對其乘積進行因式分解卻極其困難，因此可以將乘積公開作為加密密鑰。由於進行的都是大數計算，使得RSA最快的情況也比DES慢上好幾倍，無論是軟體還是硬體實現。速度一直是RSA的缺陷。一般來說只用於少量數據加密。RSA的速度比對應同樣安全級別的對稱密碼演算法要慢1000倍左右。
基礎
大數分解和素性檢測——將兩個大素數相乘在計算上很容易實現，但將該乘積分解為兩個大素數因子的計算量是相當巨大的，以至於在實際計算中是不能實現的。
1.RSA密碼體制的建立：
(1)選擇兩個不同的大素數p和q；
(2)計算乘積n=pq和Φ(n)=(p-1)(q-1)；
(3)選擇大於1小於Φ(n)的隨機整數e，使得gcd(e,Φ(n))=1；
(4)計算d使得de=1mod Φ(n)；
(5)對每一個密鑰k=(n,p,q,d,e)，定義加密變換為Ek(x)=xemodn，解密變換為Dk(x)=ydmodn，這里x,y∈Zn；
(6)以{e,n}為公開密鑰，{p,q,d}為私有密鑰。
2.RSA演算法實例:
下面用兩個小素數7和17來建立一個簡單的RSA演算法：
(1)選擇兩個素數p=7和q=17；
(2)計算n=pq=7 17=119，計算Φ(n)=(p-1)(q-1)=6 16=96；
(3)選擇一個隨機整數e=5，它小於Φ(n)＝96並且於96互素；
(4)求出d，使得de=1mod96且d<96，此處求出d=77，因為 77 5＝385＝4 96＋1；
(5)輸入明文M＝19，計算19模119的5次冪，Me＝195＝66mod119,傳出密文C＝66；(6)接收密文66，計算66模119的77次冪；Cd=6677≡19mod119得到明文19。

㈡ RSA演算法加密

RSA加密演算法是一種典型的非對稱加密演算法，它基於大數的因式分解數學難題，它也是應用最廣泛的非對稱加密演算法，於1978年由美國麻省理工學院（MIT）的三位學著：Ron Rivest、Adi Shamir 和 Leonard Adleman 共同提出。

它的原理較為簡單，假設有消息發送方A和消息接收方B，通過下面的幾個步驟，就可以完成消息的加密傳遞：
消息發送方A在本地構建密鑰對，公鑰和私鑰；
消息發送方A將產生的公鑰發送給消息接收方B；
B向A發送數據時，通過公鑰進行加密，A接收到數據後通過私鑰進行解密，完成一次通信；
反之，A向B發送數據時，通過私鑰對數據進行加密，B接收到數據後通過公鑰進行解密。
由於公鑰是消息發送方A暴露給消息接收方B的，所以這種方式也存在一定的安全隱患，如果公鑰在數據傳輸過程中泄漏，則A通過私鑰加密的數據就可能被解密。
如果要建立更安全的加密消息傳遞模型，需要消息發送方和消息接收方各構建一套密鑰對，並分別將各自的公鑰暴露給對方，在進行消息傳遞時，A通過B的公鑰對數據加密，B接收到消息通過B的私鑰進行解密，反之，B通過A的公鑰進行加密，A接收到消息後通過A的私鑰進行解密。
當然，這種方式可能存在數據傳遞被模擬的隱患，但可以通過數字簽名等技術進行安全性的進一步提升。由於存在多次的非對稱加解密，這種方式帶來的效率問題也更加嚴重。

㈢ des演算法與rsa演算法區別

1、性質不同：RSA公開密鑰密碼體制是一種使用不同的加密密鑰與解密密鑰。DES演算法為密碼體制中的對稱密碼體制，是1972年美國IBM公司研製的對稱密碼體制加密演算法。

2、特點不同：密鑰事實上是56位參與DES運算分組後的明文組和56位的密鑰按位替代或交換的方法形成密文組的加密方法。RSA演算法是由已知加密密鑰推導出解密密鑰在計算上是不可行的密碼體制。

3、密鑰數字不同：RSA允許選擇公鑰的大小。512位的密鑰被視為不安全的；768位的密鑰不用擔心受到除了國家安全管理（NSA）外的其他事物的危害，1024位的密鑰幾乎是安全的。DES演算法把64位的明文輸入塊變為64位的密文輸出塊，所使用的密鑰也是64位。

(3)大數rsa演算法擴展閱讀：

注意事項：

當改變明文的前8位元組時，只會影響密文的前8位元組，密文後8位元組不變。因此，在應用3DES演算法對線路傳輸數據加密過程中，若想保證密文的整體變化，要保證每塊明文數據都是變化的。

使用者在設置密鑰的時候應注意，密鑰的前後8位元組不要完全一樣，否則就變為了DES演算法，安全強度就會下降（用戶可根據Cn=Ek3(Dk2(Ek1(Mn)))公式自行推導）。需要特別留意的是，密鑰每位元組中的最後一位是檢驗位，不會參與到加密運算中。

㈣ RSA演算法介紹

它是第一個既能用於數據加密也能用於數字簽名的演算法。它易於理解和操作，也很流行。演算法的名字以發明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理論上的證明。它經歷了各種攻擊，至今未被完全攻破。

一、RSA演算法 :

首先, 找出三個數, p, q, r,
其中 p, q 是兩個相異的質數, r 是與 (p-1)(q-1) 互質的數......
p, q, r 這三個數便是 private key

接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
這個 m 一定存在, 因為 r 與 (p-1)(q-1) 互質, 用輾轉相除法就可以得到了.....
再來, 計算 n = pq.......
m, n 這兩個數便是 public key

編碼過程是, 若資料為 a, 將其看成是一個大整數, 假設 a < n....
如果 a >= n 的話, 就將 a 表成 s 進位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
則每一位數均小於 n, 然後分段編碼......
接下來, 計算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
b 就是編碼後的資料......

解碼的過程是, 計算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
於是乎, 解碼完畢...... 等會會證明 c 和 a 其實是相等的 :)

如果第三者進行竊聽時, 他會得到幾個數: m, n(=pq), b......
他如果要解碼的話, 必須想辦法得到 r......
所以, 他必須先對 n 作質因數分解.........
要防止他分解, 最有效的方法是找兩個非常的大質數 p, q,
使第三者作因數分解時發生困難.........

<定理>
若 p, q 是相異質數, rm == 1 mod (p-1) (q-1),
a 是任意一個正整數, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
則 c == a mod pq

證明的過程, 會用到費馬小定理, 敘述如下:
m 是任一質數, n 是任一整數, 則 n^m == n mod m
(換另一句話說, 如果 n 和 m 互質, 則 n^(m-1) == 1 mod m)
運用一些基本的群論的知識, 就可以很容易地證出費馬小定理的........

<證明>
因為 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整數
因為在 molo 中是 preserve 乘法的
(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq

1. 如果 a 不是 p 的倍數, 也不是 q 的倍數時,
則 a^(p-1) == 1 mod p (費馬小定理) =& gt; a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理) =& gt; a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q- 1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q- 1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq

2. 如果 a 是 p 的倍數, 但不是 q 的倍數時,
則 a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq

3. 如果 a 是 q 的倍數, 但不是 p 的倍數時, 證明同上

4. 如果 a 同時是 p 和 q 的倍數時,
則 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.

這個定理說明 a 經過編碼為 b 再經過解碼為 c 時, a == c mod n (n = pq)....
但我們在做編碼解碼時, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
所以這就是說 a 等於 c, 所以這個過程確實能做到編碼解碼的功能.....

二、RSA 的安全性

RSA的安全性依賴於大數分解，但是否等同於大數分解一直未能得到理論上的證明，因為沒有證明破解 RSA就一定需要作大數分解。假設存在一種無須分解大數的演算法，那它肯定可以修改成為大數分解演算法。目前， RSA 的一些變種演算法已被證明等價於大數分解。不管怎樣，分解n是最顯然的攻擊方法。現在，人們已能分解多個十進制位的大素數。因此，模數n 必須選大一些，因具體適用情況而定。

三、 RSA的速度

由於進行的都是大數計算，使得RSA最快的情況也比DES慢上倍，無論是軟體還是硬體實現。速度一直是RSA的缺陷。一般來說只用於少量數據加密。

四、 RSA的選擇密文攻擊

RSA在選擇密文攻擊面前很脆弱。一般攻擊者是將某一信息作一下偽裝( Blind)，讓擁有私鑰的實體簽署。然後，經過計算就可得到它所想要的信息。實際上，攻擊利用的都是同一個弱點，即存在這樣一個事實：乘冪保留了輸入的乘法結構：

( XM )^d = X^d *M^d mod n

前面已經提到，這個固有的問題來自於公鑰密碼系統的最有用的特徵--每個人都能使用公鑰。但從演算法上無法解決這一問題，主要措施有兩條：一條是採用好的公鑰協議，保證工作過程中實體不對其他實體任意產生的信息解密，不對自己一無所知的信息簽名；另一條是決不對陌生人送來的隨機文檔簽名，簽名時首先使用 One-Way HashFunction 對文檔作HASH處理，或同時使用不同的簽名演算法。在中提到了幾種不同類型的攻擊方法。

五、RSA的公共模數攻擊

若系統中共有一個模數，只是不同的人擁有不同的e和d，系統將是危險的。最普遍的情況是同一信息用不同的公鑰加密，這些公鑰共模而且互質，那末該信息無需私鑰就可得到恢復。設P為信息明文，兩個加密密鑰為e1和e2，公共模數是n，則：

C1 = P^e1 mod n

C2 = P^e2 mod n

密碼分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。

因為e1和e2互質，故用Euclidean演算法能找到r和s，滿足：

r * e1 + s * e2 = 1

假設r為負數，需再用Euclidean演算法計算C1^(-1)，則

( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n

另外，還有其它幾種利用公共模數攻擊的方法。總之，如果知道給定模數的一對e和d，一是有利於攻擊者分解模數，一是有利於攻擊者計算出其它成對的e』和 d』，而無需分解模數。解決辦法只有一個，那就是不要共享模數n。

RSA的小指數攻擊。 有一種提高 RSA速度的建議是使公鑰e取較小的值，這樣會使加密變得易於實現，速度有
所提高。但這樣作是不安全的，對付辦法就是e和d都取較大的值。

RSA演算法是第一個能同時用於加密和數字簽名的演算法，也易於理解和操作。RSA是被研究得最廣泛的公鑰演算法，從提出到現在已近二十年，經歷了各種攻擊的考驗，逐漸為人們接受，普遍認為是目前最優秀的公鑰方案之一。RSA的安全性依賴於大數的因子分解，但並沒有從理論上證明破譯RSA的難度與大數分解難度等價。即RSA的重大缺陷是無法從理論上把握它的保密性能如何，而且密碼學界多數人士傾向於因子分解不是NPC問題。 RSA的缺點主要有：A)產生密鑰很麻煩，受到素數產生技術的限制，因而難以做到一次一密。B)分組長度太大，為保證安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使運算代價很高，尤其是速度較慢，較對稱密碼演算法慢幾個數量級；且隨著大數分解技術的發展，這個長度還在增加，不利於數據格式的標准化。目前，SET( Secure Electronic Transaction )協議中要求CA採用比特長的密鑰，其他實體使用比特的密鑰。

㈤ rsa演算法原理

RSA演算法是最常用的非對稱加密演算法，它既能用於加密，也能用於數字簽名。RSA的安全基於大數分解的難度。其公鑰和私鑰是一對大素數（100到200位十進制數或更大）的函數。從一個公鑰和密文恢復出明文的難度，等價於分解兩個大素數之積。

我們可以通過一個簡單的例子來理解RSA的工作原理。為了便於計算。在以下實例中只選取小數值的素數p,q,以及e，假設用戶A需要將明文「key」通過RSA加密後傳遞給用戶B，過程如下：設計公私密鑰(e,n)和(d,n)。

令p=3，q=11，得出n=p×q=3×11=33；f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20；取e=3，（3與20互質）則e×d≡1 mod f(n)，即3×d≡1 mod 20。通過試算我們找到，當d=7時，e×d≡1 mod f(n)同餘等式成立。因此，可令d=7。從而我們可以設計出一對公私密鑰，加密密鑰（公鑰）為：KU =(e,n)=(3,33)，解密密鑰（私鑰）為：KR =(d,n)=(7,33)。

英文數字化。將明文信息數字化，並將每塊兩個數字分組。假定明文英文字母編碼表為按字母順序排列數值。則得到分組後的key的明文信息為：11，05，25。

明文加密。用戶加密密鑰(3,33) 將數字化明文分組信息加密成密文。由C≡Me(mod n)得：
C1(密文)≡M1（明文）^e (mod n) == 11≡11^3 mod 33 ;
C2(密文)≡M2（明文）^e (mod n) == 26≡05^3 mod 33;
C3(密文)≡M3（明文）^e (mod n) == 16≡25^3 mod 33;
所以密文為11.26.16。

密文解密。用戶B收到密文，若將其解密，只需要計算，即：
M1(明文)≡C1（密文）^d (mod n) == 11≡11^7 mod 33;
M2(明文)≡C2（密文）^d (mod n) == 05≡26^7 mod 33;
M3(明文)≡C3（密文）^d (mod n) == 25≡16^7 mod 33;
轉成明文11.05.25。根據上面的編碼表將其轉換為英文，我們又得到了恢復後的原文「key」。

當然，實際運用要比這復雜得多，由於RSA演算法的公鑰私鑰的長度（模長度）要到1024位甚至2048位才能保證安全，因此，p、q、e的選取、公鑰私鑰的生成，加密解密模指數運算都有一定的計算程序，需要仰仗計算機高速完成。

㈥ RSA演算法的原理及演算過程

RSA演算法非常簡單，概述如下：
找兩素數p和q
取n=p*q
取t=(p-1)*(q-1)
取任何一個數e,要求滿足e<t並且e與t互素（就是最大公因數為1）
取d*e%t==1

這樣最終得到三個數： n d e

設消息為數M (M <n)
設c=(M**d)%n就得到了加密後的消息c
設m=(c**e)%n則 m == M，從而完成對c的解密。
註：**表示次方,上面兩式中的d和e可以互換。

在對稱加密中：
n d兩個數構成公鑰，可以告訴別人；
n e兩個數構成私鑰，e自己保留，不讓任何人知道。
給別人發送的信息使用e加密，只要別人能用d解開就證明信息是由你發送的，構成了簽名機制。
別人給你發送信息時使用d加密，這樣只有擁有e的你能夠對其解密。

rsa的安全性在於對於一個大數n，沒有有效的方法能夠將其分解
從而在已知n d的情況下無法獲得e；同樣在已知n e的情況下無法
求得d。

RSA簡潔幽雅，但計算速度比較慢，通常加密中並不是直接使用RSA 來對所有的信息進行加密，
最常見的情況是隨機產生一個對稱加密的密鑰，然後使用對稱加密演算法對信息加密，之後用
RSA對剛才的加密密鑰進行加密。

最後需要說明的是，當前小於1024位的N已經被證明是不安全的
自己使用中不要使用小於1024位的RSA，最好使用2048位的。

㈦ RSA和DES演算法的優缺點、比較

DES演算法：

優點：密鑰較短，加密處理簡單，加解密速度快，適用於加密大量數據的場合。

缺點：密鑰單一，不能由其中一個密鑰推導出另一個密鑰。

RSA演算法：

優點：應用廣泛，加密密鑰和解密密鑰不一樣，一般加密密鑰稱為私鑰。解密密鑰稱為公鑰，私鑰加密後只能用公鑰解密,，當然也可以用公鑰加密，用私鑰解密。

缺點：密鑰尺寸大，加解密速度慢，一般用來加密少量數據，比如DES的密鑰。

(7)大數rsa演算法擴展閱讀：

安全性

RSA的安全性依賴於大數分解，但是否等同於大數分解一直未能得到理論上的證明，因為沒有證明破解RSA就一定需要作大數分解。假設存在一種無須分解大數的演算法，那它肯定可以修改成為大數分解演算法。RSA 的一些變種演算法已被證明等價於大數分解。

不管怎樣，分解n是最顯然的攻擊方法。人們已能分解多個十進制位的大素數。因此，模數n必須選大一些，因具體適用情況而定。

㈧ RSA演算法詳解

總括： 本文詳細講述了RSA演算法詳解，包括內部使用數學原理以及產生的過程。

相濡以沫。到底需要愛淡如水。

之前寫過一篇文章 SSL協議之數據加密過程 ，裡面詳細講述了數據加密的過程以及需要的演算法。SSL協議很巧妙的利用對稱加密和非對稱加密兩種演算法來對數據進行加密。這篇文章主要是針對一種最常見的非對稱加密演算法——RSA演算法進行講解。其實也就是對私鑰和公鑰產生的一種方式進行描述。首先先來了解下這個演算法的歷史：

RSA是1977年由 羅納德·李維斯特 （Ron Rivest）、 阿迪·薩莫爾 （Adi Shamir）和 倫納德·阿德曼 （Leonard Adleman）一起提出的。當時他們三人都在 麻省理工學院 工作。RSA就是他們三人姓氏開頭字母拼在一起組成的。

但實際上，在1973年，在英國政府通訊總部工作的數學家 克利福德·柯克斯 （Clifford Cocks）在一個內部文件中提出了一個相同的演算法，但他的發現被列入機密，一直到1997年才被發表。

所以誰是RSA演算法的發明人呢？不好說，就好像貝爾並不是第一個發明電話的人但大家都記住的是貝爾一樣，這個地方我們作為旁觀者倒不用較真，重要的是這個演算法的內容：

RSA演算法用到的數學知識特別多，所以在中間介紹這個演算法生成私鑰和公鑰的過程中會穿插一些數學知識。生成步驟如下：

隨意選擇兩個大的質數p和q，p不等於q，計算N=p*q;

什麼是質數?我想可能會有一部分人已經忘記了，定義如下：

比如2，3，5，7這些都是質數，9就不是了，因為3*3=9了

r = φ(N) = φ(p)φ(q) = (p-1)(q-1) 。

這里的數學概念就是什麼是歐拉函數了，什麼是歐拉函數呢？

歐拉函數 的定義：

互質 的定義：

例如： φ(8) = 4 ，因為 1,3,5,7 均和 8 互質。

推導歐拉函數:

（1）如果 n = 1 , φ(1) = 1 ；(小於等於1的正整數中唯一和1互質的數就是1本身)；

（2）如果 n 為質數， φ(n) = n - 1 ；因為質數和每一個比它小的數字都互質。比如5，比它小的正整數1,2,3,4都和他互質；

(3) 如果 n 是 a 的 k 次冪，則 φ(n) = φ(a^k) = a^k - a^(k-1) = (a-1)a^(k-1) ；

(4) 若 m , n 互質，則 φ(mn) = φ(m)φ(n)

證明： 設 A , B , C 是跟 m , n , mn 互質的數的集，據 中國剩餘定理 (經常看數學典故的童鞋應該了解，剩餘定理又叫韓信點兵，也叫孫子定理)， A * B 和 C 可建立雙射一一對應)的關系。（或者也可以從初等代數角度給出 歐拉函數積性的簡單證明 ） 因此的φ(n)值使用 算術基本定理 便知。（來自維基網路）

選擇一個小於r並與r互質的整數e，求得e關於r的模反元素，命名為 d （ ed = 1(mod r) 模反元素存在，當且僅當e與r互質）， e 我們通常取65537。

模反元素：

比如 3 和 5 互質， 3 關於 5 的模反元素就可能是2，因為 3*2-1=5 可以被5整除。所以很明顯模反元素不止一個，2加減5的整數倍都是3關於5的模反元素 {...-3, 2,7,12…} 放在公式里就是 3*2 = 1 (mod 5)

上面所提到的歐拉函數用處實際上在於歐拉定理：

歐拉定理：

歐拉定理就可以用來證明模反元素必然存在。

由模反元素的定義和歐拉定理我們知道， a 的 φ(n) 次方減去1，可以被n整除。比如，3和5互質，而 5 的歐拉函數 φ(5) 等於4，所以 3 的 4 次方 (81) 減去1，可以被 5 整除（ 80/5=16 ）。

小費馬定理：

此時我們的 (N , e) 是公鑰， (N, d) 為私鑰，愛麗絲會把公鑰 (N, e) 傳給鮑勃，然後將 (N, d) 自己藏起來。一對公鑰和私鑰就產生了，然後具體的使用方法呢？請看： SSL協議之數據加密過程詳解

我們知道像RSA這種非對稱加密演算法很安全，那麼到底為啥子安全呢？
我們來看看上面這幾個過程產生的幾個數字：

N 和 e 我們都會公開使用，最為重要的就是私鑰中的 d ， d 一旦泄露，加密也就失去了意義。那麼得到d的過程是如何的呢？如下:

所以得出了在上篇博客說到的結論，非對稱加密的原理：

將a和b相乘得出乘積c很容易，但要是想要通過乘積c推導出a和b極難。即對一個大數進行因式分解極難

目前公開破譯的位數是768位，實際使用一般是1024位或是2048位，所以理論上特別的安全。

RSA演算法的核心就是歐拉定理，根據它我們才能得到私鑰，從而保證整個通信的安全。

㈨ 網路安全 簡述RSA演算法的原理和特點

1978年就出現了這種演算法，它是第一個既能用於數據加密也能用於數字簽名的演算法。
它易於理解和操作，也很流行。演算法的名字以發明者的名字命名：Ron Rivest, Adi
Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理論上的證明。

RSA的安全性依賴於大數分解。公鑰和私鑰都是兩個大素數（ 大於 100
個十進制位）的函數。據猜測，從一個密鑰和密文推斷出明文的難度等同於分解兩個
大素數的積。

密鑰對的產生。選擇兩個大素數，p 和q 。計算：

n = p * q

然後隨機選擇加密密鑰e，要求 e 和 ( p - 1 ) * ( q - 1 ) 互質。最後，利用
Euclid 演算法計算解密密鑰d, 滿足

e * d = 1 ( mod ( p - 1 ) * ( q - 1 ) )

其中n和d也要互質。數e和
n是公鑰，d是私鑰。兩個素數p和q不再需要，應該丟棄，不要讓任何人知道。

加密信息 m（二進製表示）時，首先把m分成等長數據塊 m1 ,m2,..., mi ，塊長s
，其中 2^s <= n, s 盡可能的大。對應的密文是：

ci = mi^e ( mod n ) ( a )

解密時作如下計算：

mi = ci^d ( mod n ) ( b )

RSA 可用於數字簽名，方案是用 ( a ) 式簽名， ( b )
式驗證。具體操作時考慮到安全性和 m信息量較大等因素，一般是先作 HASH 運算。

RSA 的安全性。
RSA的安全性依賴於大數分解，但是否等同於大數分解一直未能得到理論上的證明，因
為沒有證明破解
RSA就一定需要作大數分解。假設存在一種無須分解大數的演算法，那它肯定可以修改成
為大數分解演算法。目前， RSA
的一些變種演算法已被證明等價於大數分解。不管怎樣，分解n是最顯然的攻擊方法。現
在，人們已能分解140多個十進制位的大素數。因此，模數n
必須選大一些，因具體適用情況而定。

RSA的速度。
由於進行的都是大數計算，使得RSA最快的情況也比DES慢上100倍，無論是軟體還是硬
件實現。速度一直是RSA的缺陷。一般來說只用於少量數據加密。

RSA的選擇密文攻擊。
RSA在選擇密文攻擊面前很脆弱。一般攻擊者是將某一信息作一下偽裝(
Blind)，讓擁有私鑰的實體簽署。然後，經過計算就可得到它所想要的信息。實際上
，攻擊利用的都是同一個弱點，即存在這樣一個事實：乘冪保留了輸入的乘法結構：

( XM )^d = X^d *M^d mod n

前面已經提到，這個固有的問題來自於公鑰密碼系統的最有用的特徵--每個人都能使
用公鑰。但從演算法上無法解決這一問題，主要措施有兩條：一條是採用好的公鑰協議
，保證工作過程中實體不對其他實體任意產生的信息解密，不對自己一無所知的信息
簽名；另一條是決不對陌生人送來的隨機文檔簽名，簽名時首先使用One-Way Hash
Function
對文檔作HASH處理，或同時使用不同的簽名演算法。在中提到了幾種不同類型的攻擊方
法。

RSA的公共模數攻擊。
若系統中共有一個模數，只是不同的人擁有不同的e和d，系統將是危險的。最普遍的
情況是同一信息用不同的公鑰加密，這些公鑰共模而且互質，那末該信息無需私鑰就
可得到恢復。設P為信息明文，兩個加密密鑰為e1和e2，公共模數是n，則：

C1 = P^e1 mod n

C2 = P^e2 mod n

密碼分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。

因為e1和e2互質，故用Euclidean演算法能找到r和s，滿足：

r * e1 + s * e2 = 1

假設r為負數，需再用Euclidean演算法計算C1^(-1)，則

( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n

另外，還有其它幾種利用公共模數攻擊的方法。總之，如果知道給定模數的一對e和d
，一是有利於攻擊者分解模數，一是有利於攻擊者計算出其它成對的e』和d』，而無
需分解模數。解決辦法只有一個，那就是不要共享模數n。

RSA的小指數攻擊。 有一種提高
RSA速度的建議是使公鑰e取較小的值，這樣會使加密變得易於實現，速度有所提高。
但這樣作是不安全的，對付辦法就是e和d都取較大的值。

RSA演算法是第一個能同時用於加密和數字簽名的演算法，也易於理解和操作。RSA是被研
究得最廣泛的公鑰演算法，從提出到現在已近二十年，經歷了各種攻擊的考驗，逐漸為
人們接受，普遍認為是目前最優秀的公鑰方案之一。RSA
的安全性依賴於大數的因子分解，但並沒有從理論上證明破譯RSA的難度與大數分解難
度等價。即RSA的重大缺陷是無法從理論上把握它的保密性能如何，而且密碼學界多數
人士傾向於因子分解不是NPC問題。
RSA的缺點主要有：A)產生密鑰很麻煩，受到素數產生技術的限制，因而難以做到一次
一密。B)分組長度太大，為保證安全性，n 至少也要 600 bits
以上，使運算代價很高，尤其是速度較慢，較對稱密碼演算法慢幾個數量級；且隨著大
數分解技術的發展，這個長度還在增加，不利於數據格式的標准化。目前，SET(
Secure Electronic Transaction
)協議中要求CA採用2048比特長的密鑰，其他實體使用1024比特的密鑰。

DSS/DSA演算法

Digital Signature Algorithm
(DSA)是Schnorr和ElGamal簽名演算法的變種，被美國NIST作為DSS(Digital Signature
Standard)。演算法中應用了下述參數：
p：L bits長的素數。L是64的倍數，范圍是512到1024；
q：p - 1的160bits的素因子；
g：g = h^((p-1)/q) mod p，h滿足h < p - 1, h^((p-1)/q) mod p > 1；
x：x < q，x為私鑰 ；
y：y = g^x mod p ，( p, q, g, y )為公鑰；
H( x )：One-Way Hash函數。DSS中選用SHA( Secure Hash Algorithm )。
p, q,
g可由一組用戶共享，但在實際應用中，使用公共模數可能會帶來一定的威脅。簽名及
驗證協議如下：
1. P產生隨機數k，k < q；
2. P計算 r = ( g^k mod p ) mod q
s = ( k^(-1) (H(m) + xr)) mod q
簽名結果是( m, r, s )。
3. 驗證時計算 w = s^(-1)mod q
u1 = ( H( m ) * w ) mod q
u2 = ( r * w ) mod q
v = (( g^u1 * y^u2 ) mod p ) mod q
若v = r，則認為簽名有效。

DSA是基於整數有限域離散對數難題的，其安全性與RSA相比差不多。DSA的一個重要特
點是兩個素數公開，這樣，當使用別人的p和q時，即使不知道私鑰，你也能確認它們
是否是隨機產生的，還是作了手腳。RSA演算法卻作不到。

本文來自CSDN博客，

㈩ RSA演算法的實現細節

首先要使用概率演算法來驗證隨機產生的大的整數是否質數，這樣的演算法比較快而且可以消除掉大多數非質數。假如有一個數通過了這個測試的話，那麼要使用一個精確的測試來保證它的確是一個質數。
除此之外這樣找到的p和q還要滿足一定的要求，首先它們不能太靠近，此外p-1或q-1的因子不能太小，否則的話N也可以被很快地分解。
此外尋找質數的演算法不能給攻擊者任何信息，這些質數是怎樣找到的，尤其產生隨機數的軟體必須非常好。要求是隨機和不可預測。這兩個要求並不相同。一個隨機過程可能可以產生一個不相關的數的系列，但假如有人能夠預測出（或部分地預測出）這個系列的話，那麼它就已經不可靠了。比如有一些非常好的隨機數演算法，但它們都已經被發表，因此它們不能被使用，因為假如一個攻擊者可以猜出p和q一半的位的話，那麼他們就已經可以輕而易舉地推算出另一半。
此外密鑰d必須足夠大，1990年有人證明假如p大於q而小於2q（這是一個很經常的情況）而，那麼從N和e可以很有效地推算出d。此外e = 2永遠不應該被使用。 由於進行的都是大數計算，使得RSA最快的情況也比DES慢上好幾倍，無論是軟體還是硬體實現。速度一直是RSA的缺陷。一般來說只用於少量數據加密。RSA的速度比對應同樣安全級別的對稱密碼演算法要慢1000倍左右。
比起DES和其它對稱演算法來說，RSA要慢得多。實際上Bob一般使用一種對稱演算法來加密他的信息，然後用RSA來加密他的比較短的對稱密碼，然後將用RSA加密的對稱密碼和用對稱演算法加密的消息送給Alice。
這樣一來對隨機數的要求就更高了，尤其對產生對稱密碼的要求非常高，因為否則的話可以越過RSA來直接攻擊對稱密碼。 1995年有人提出了一種非常意想不到的攻擊方式：假如Eve對Alice的硬體有充分的了解，而且知道它對一些特定的消息加密時所需要的時間的話，那麼她可以很快地推導出d。這種攻擊方式之所以會成立，主要是因為在進行加密時所進行的模指數運算是一個位元一個位元進行的而位元為1所花的運算比位元為0的運算要多很多，因此若能得到多組訊息與其加密時間，就會有機會可以反推出私鑰的內容。