支持向量回歸演算法

㈠ 支持向量機(SVM)基本原理

看了很多關於SVM的博客，但是常常只能保存書簽之後看，有時候有的博客就突然沒了，這里就作為搬運工總結一下之後自己看吧。主要內容來自於：
支持向量機通俗導論（理解SVM的三層境界）

線性回歸
給定數據集 , 其中, ,線性回歸試圖學習到一個線性模型,盡可能地輸出正確標記.

如果我們要用線性回歸演算法來解決一個分類問題,(對於分類,y 取值為 0 或者 1),但如果你使用的是線性回歸,那麼假設函數的輸出值可能遠大於 1,或者遠小於 0,就算所有訓練樣本的標簽 y 都是 0 或 1但是如果演算法得到的值遠大於 1 或者遠小於 0 的話,就會感覺很奇怪。所以我們在接下來的要研究的演算法就叫做邏輯回歸演算法,這個演算法的性質是:它的輸出值永遠在 0 到 1 之間。

所以邏輯回歸就是一個分類演算法,這個演算法的輸出值永遠在 0 到 1 之間.
我們先看二分類的LR,具體做法是:利用sigmoid 函數,將每一個點的回歸值映射到0,1之間.sigmoid函數特性如下:

如圖所示,令 , 當 z > 0 , z 越大, sigmoid 返回值越接近1(但永遠不會超過1). 反之,當z < 0時,z 越小, sigmoid 返回值越接近0(但永遠不會小於0).

支持向量機 ，因其英文名為support vector machine，故一般簡稱SVM，通俗來講，它是一種二類分類模型，其基本模型定義為 特徵空間 上的間隔最大的線性分類器，其學習策略便是間隔最大化，最終可轉化為一個凸二次規劃問題的求解。

線性分類器
給定一些數據點，它們分別屬於兩個不同的類，現在要找到一個線性分類器把這些數據分成兩類。如果用x表示數據點，用y表示類別（y可以取1或者-1，分別代表兩個不同的類），一個線性分類器的學習目標便是要在n維的數據空間中找到一個超平面（hyper plane），這個超平面的方程可以表示為（ wT中的T代表轉置）：

logistic回歸目的是從特徵學習出一個0/1分類模型，而這個模型是將特性的線性組合作為自變數，由於自變數的取值范圍是負無窮到正無窮。因此，使用logistic函數（或稱作sigmoid函數）將自變數映射到(0,1)上，映射後的值被認為是屬於y=1的概率。
假設函數:

其中x是n維特徵向量，函數g就是logistic函數。

圖像為：

在超平面w x+b=0確定的情況下，|w x+b|能夠表示點x到距離超平面的遠近，而通過觀察w x+b的符號與類標記y的符號是否一致可判斷分類是否正確，所以，可以用(y (w*x+b))的正負性來判定或表示分類的正確性。於此，我們便引出了函數間隔（functional margin）的概念。
定義函數間隔 （用表示）為

而超平面(w，b)關於T中所有樣本點(xi，yi)的函數間隔最小值（其中，x是特徵，y是結果標簽，i表示第i個樣本），便為超平面(w, b)關於訓練數據集T的函數間隔：

但這樣定義的函數間隔有問題，即如果成比例的改變w和b（如將它們改成2w和2b），則函數間隔的值f(x)卻變成了原來的2倍（雖然此時超平面沒有改變），所以只有函數間隔還遠遠不夠。

事實上，我們可以對法向量w加些約束條件，從而引出真正定義點到超平面的距離--幾何間隔（geometrical margin）的概念。

假定對於一個點 x ，令其垂直投影到超平面上的對應點為 x0 ，w 是垂直於超平面的一個向量， 為樣本x到超平面的距離，如下圖所示：

根據平面幾何知識，有

其中||w||為w的二階范數（范數是一個類似於模的表示長度的概念）， 是單位向量（一個向量除以它的模稱之為單位向量）。

又由於x0 是超平面上的點，滿足 f(x0)=0，代入超平面的方程 ,可得 ，即

隨即讓此式 的兩邊同時乘以 ，再根據 和 ，即可算出 ：

為了得到 的絕對值，令 乘上對應的類別 y，即可得出幾何間隔（用 表示）的定義：

從上述函數間隔和幾何間隔的定義可以看出：幾何間隔就是函數間隔除以||w||，而且函數間隔y (wx+b) = y f(x)實際上就是|f(x)|，只是人為定義的一個間隔度量，而幾何間隔|f(x)|/||w||才是直觀上的點到超平面的距離。

對一個數據點進行分類，當超平面離數據點的「間隔」越大，分類的確信度（confidence）也越大。所以，為了使得分類的確信度盡量高，需要讓所選擇的超平面能夠最大化這個「間隔」值。這個間隔就是下圖中的Gap的一半。

通過由前面的分析可知：函數間隔不適合用來最大化間隔值，因為在超平面固定以後，可以等比例地縮放w的長度和b的值，這樣可以使得 的值任意大，亦即函數間隔 可以在超平面保持不變的情況下被取得任意大。但幾何間隔因為除上了 ，使得在縮放w和b的時候幾何間隔的值 是不會改變的，它只隨著超平面的變動而變動，因此，這是更加合適的一個間隔。換言之，這里要找的最大間隔分類超平面中的「間隔」指的是幾何間隔。

於是最大間隔分類器（maximum margin classifier）的目標函數可以定義為

同時需滿足一些條件，根據間隔的定義，有

回顧下幾何間隔的定義 ，可知：如果令函數間隔 等於1（之所以令等於1，是為了方便推導和優化，且這樣做對目標函數的優化沒有影響），則有 = 1 / ||w||且 ，從而上述目標函數轉化成了：

相當於在相應的約束條件 下，最大化這個1/||w||值，而1/||w||便是幾何間隔。

據了解，

由於這個問題的特殊結構，還可以通過拉格朗日對偶性（Lagrange Duality）變換到對偶變數 (al variable) 的優化問題，即通過求解與原問題等價的對偶問題（al problem）得到原始問題的最優解，這就是線性可分條件下支持向量機的對偶演算法，這樣做的優點在於：一者對偶問題往往更容易求解；二者可以自然的引入核函數，進而推廣到非線性分類問題。

那什麼是拉格朗日對偶性呢？簡單來講，通過給每一個約束條件加上一個拉格朗日乘子 ,（Lagrange multiplier），定義拉格朗日函數（通過拉格朗日函數將約束條件融合到目標函數里去，從而只用一個函數表達式便能清楚的表達出我們的問題）

然後令：

容易驗證，當某個約束條件不滿足時，例如 ，那麼顯然有 （只要令 即可）。而當所有約束條件都滿足時，則最優值為 ，亦即最初要最小化的量。

因此，在要求約束條件得到滿足的情況下最小化 ，實際上等價於直接最小化 （當然，這里也有約束條件，就是 ≥0,i=1,…,n） ，因為如果約束條件沒有得到滿足， 會等於無窮大，自然不會是我們所要求的最小值。

具體寫出來，目標函數變成了：

這里用 表示這個問題的最優值，且和最初的問題是等價的。如果直接求解，那麼一上來便得面對w和b兩個參數，而 又是不等式約束，這個求解過程不好做。不妨把最小和最大的位置交換一下，變成：

交換以後的新問題是原始問題的對偶問題，這個新問題的最優值用 來表示。而且有 ≤ ，在滿足某些條件的情況下，這兩者相等，這個時候就可以通過求解對偶問題來間接地求解原始問題。

換言之，之所以從minmax 的原始問題，轉化為maxmin 的對偶問題，一者因為 是 的近似解，二者，轉化為對偶問題後，更容易求解。

下面可以先求L 對w、b的極小，再求L對 的極大。

KKT條件
≤ 在滿足某些條件的情況下，兩者等價，這所謂的「滿足某些條件」就是要滿足KKT條件。

要讓兩者等價需滿足strong ality （強對偶），而後有學者在強對偶下提出了KKT條件，且KKT條件的成立要滿足constraint qualifications，而constraint qualifications之一就是Slater條件。所謂Slater 條件，即指：凸優化問題，如果存在一個點x，使得所有等式約束都成立，並且所有不等式約束都嚴格成立（即取嚴格不等號，而非等號），則滿足Slater 條件。對於此處，Slater 條件成立，所以 ≤ 可以取等號。

一般地，一個最優化數學模型能夠表示成下列標准形式：

其中，f(x)是需要最小化的函數，h(x)是等式約束，g(x)是不等式約束，p和q分別為等式約束和不等式約束的數量。
KKT條件的意義：它是一個非線性規劃（Nonlinear Programming）問題能有最優化解法的必要和充分條件。

而KKT條件就是指上面最優化數學模型的標准形式中的最小點 x* 必須滿足下面的條件：

我們這里的問題是滿足 KKT 條件的（首先已經滿足Slater條件，再者f和gi也都是可微的，即L對w和b都可導），因此現在我們便轉化為求解第二個問題。

也就是說，原始問題通過滿足KKT條件，已經轉化成了對偶問題。而求解這個對偶學習問題，分為3個步驟：首先要讓L(w，b，a) 關於 w 和 b 最小化，然後求對 的極大，最後利用SMO演算法求解對偶問題中的拉格朗日乘子。

對偶問題求解的3個步驟

將以上結果代入之前的L：

得到：

具體推導過程是比較復雜的，如下所示：

最後，得到：

「倒數第4步」推導到「倒數第3步」使用了線性代數的轉置運算，由於ai和yi都是實數，因此轉置後與自身一樣。「倒數第3步」推導到「倒數第2步」使用了(a+b+c+…)(a+b+c+…)=aa+ab+ac+ba+bb+bc+…的乘法運演算法則。最後一步是上一步的順序調整。

從上面的最後一個式子，我們可以看出，此時的拉格朗日函數只包含了一個變數，那就是 （求出了 便能求出w，和b，由此可見，則核心問題：分類函數 也就可以輕而易舉的求出來了）。

上述式子要解決的是在參數上 求最大值W的問題，至於 和 都是已知數。要了解這個SMO演算法是如何推導的，請跳到下文第3.5節、SMO演算法。

總結
讓我們再來看看上述推導過程中得到的一些有趣的形式。首先就是關於我們的 hyper plane ，對於一個數據點 x 進行分類，實際上是通過把 x 帶入到 算出結果然後根據其正負號來進行類別劃分的。而前面的推導中我們得到:

因此分類函數為：

這里的形式的有趣之處在於，對於新點 x的預測，只需要計算它與訓練數據點的內積即可（表示向量內積），這一點至關重要，是之後使用 Kernel 進行非線性推廣的基本前提。此外，所謂 Supporting Vector 也在這里顯示出來——事實上，所有非Supporting Vector 所對應的系數 都是等於零的，因此對於新點的內積計算實際上只要針對少量的「支持向量」而不是所有的訓練數據即可。

為什麼非支持向量對應的 等於零呢？直觀上來理解的話，就是這些「後方」的點——正如我們之前分析過的一樣，對超平面是沒有影響的，由於分類完全有超平面決定，所以這些無關的點並不會參與分類問題的計算，因而也就不會產生任何影響了。

回憶一下我們通過 Lagrange multiplier得到的目標函數：

注意到如果 xi 是支持向量的話，上式中紅顏色的部分是等於 0 的（因為支持向量的 functional margin 等於 1 ），而對於非支持向量來說，functional margin 會大於 1 ，因此紅顏色部分是大於零的，而 又是非負的，為了滿足最大化， 必須等於 0 。這也就是這些非Supporting Vector 的點的局限性。

至此，我們便得到了一個maximum margin hyper plane classifier，這就是所謂的支持向量機（Support Vector Machine）。當然，到目前為止，我們的 SVM 還比較弱，只能處理線性的情況，不過，在得到了對偶al 形式之後，通過 Kernel 推廣到非線性的情況就變成了一件非常容易的事情了(通過求解對偶問題得到最優解，這就是線性可分條件下支持向量機的對偶演算法，這樣做的優點在於：一者對偶問題往往更容易求解；二者可以自然的引入核函數，進而推廣到非線性分類問題」)。

事實上，大部分時候數據並不是線性可分的，這個時候滿足這樣條件的超平面就根本不存在。在上文中，我們已經了解到了SVM處理線性可分的情況，那對於非線性的數據SVM咋處理呢？對於非線性的情況，SVM 的處理方法是選擇一個核函數 κ(⋅,⋅) ，通過將數據映射到高維空間，來解決在原始空間中線性不可分的問題。

具體來說，在線性不可分的情況下，支持向量機首先在低維空間中完成計算，然後通過核函數將輸入空間映射到高維特徵空間，最終在高維特徵空間中構造出最優分離超平面，從而把平面上本身不好分的非線性數據分開。如圖所示，一堆數據在二維空間無法劃分，從而映射到三維空間里劃分：

而在我們遇到核函數之前，如果用原始的方法，那麼在用線性學習器學習一個非線性關系，需要選擇一個非線性特徵集，並且將數據寫成新的表達形式，這等價於應用一個固定的非線性映射，將數據映射到特徵空間，在特徵空間中使用線性學習器，因此，考慮的假設集是這種類型的函數：

這里ϕ：X->F是從輸入空間到某個特徵空間的映射，這意味著建立非線性學習器分為兩步：

首先使用一個非線性映射將數據變換到一個特徵空間F，
然後在特徵空間使用線性學習器分類。

而由於對偶形式就是線性學習器的一個重要性質，這意味著假設可以表達為訓練點的線性組合，因此決策規則可以用測試點和訓練點的內積來表示：

如果有一種方式可以在特徵空間中直接計算內積〈φ(xi · φ(x)〉，就像在原始輸入點的函數中一樣，就有可能將兩個步驟融合到一起建立一個非線性的學習器，這樣直接計演算法的方法稱為核函數方法：
核是一個函數K，對所有x，z，滿足 ，這里φ是從X到內積特徵空間F的映射。

來看個核函數的例子。如下圖所示的兩類數據，分別分布為兩個圓圈的形狀，這樣的數據本身就是線性不可分的，此時咱們該如何把這兩類數據分開呢(下文將會有一個相應的三維空間圖)？

事實上，上圖所述的這個數據集，是用兩個半徑不同的圓圈加上了少量的噪音生成得到的，所以，一個理想的分界應該是一個「圓圈」而不是一條線（超平面）。如果用 和 來表示這個二維平面的兩個坐標的話，我們知道一條二次曲線（圓圈是二次曲線的一種特殊情況）的方程可以寫作這樣的形式：

注意上面的形式，如果我們構造另外一個五維的空間，其中五個坐標的值分別為 ，那麼顯然，上面的方程在新的坐標系下可以寫作：

關於新的坐標 ，這正是一個 hyper plane 的方程！也就是說，如果我們做一個映射 ，將 按照上面的規則映射為 ，那麼在新的空間中原來的數據將變成線性可分的，從而使用之前我們推導的線性分類演算法就可以進行處理了。這正是 Kernel 方法處理非線性問題的基本思想。

再進一步描述 Kernel 的細節之前，不妨再來看看上述例子在映射過後的直觀形態。當然，你我可能無法把 5 維空間畫出來，不過由於我這里生成數據的時候用了特殊的情形，所以這里的超平面實際的方程是這個樣子的（圓心在 軸上的一個正圓）

因此我只需要把它映射到 ，這樣一個三維空間中即可，下圖即是映射之後的結果，將坐標軸經過適當的旋轉，就可以很明顯地看出，數據是可以通過一個平面來分開的

核函數相當於把原來的分類函數：

映射成：

而其中的 可以通過求解如下 al 問題而得到的：

這樣一來問題就解決了嗎？似乎是的：拿到非線性數據，就找一個映射

㈡ 如何通俗易懂地解釋支持向量回歸

超級通俗的解釋：
支持向量機是用來解決分類問題的。
先考慮最簡單的情況，豌豆和米粒，用曬子很快可以分開，小顆粒漏下去，大顆粒保留。
用一個函數來表示就是當直徑d大於某個值D，就判定為豌豆，小於某個值就是米粒。
d>D, 豌豆
d
在數軸上就是在d左邊就是米粒，右邊就是綠豆，這是一維的情況。
但是實際問題沒這么簡單，考慮的問題不單單是尺寸，一個花的兩個品種，怎麼分類？
假設決定他們分類的有兩個屬性，花瓣尺寸和顏色。單獨用一個屬性來分類，像剛才分米粒那樣，就不行了。這個時候我們設置兩個值 尺寸x和顏色y.
我們把所有的數據都丟到x-y平面上作為點，按道理如果只有這兩個屬性決定了兩個品種，數據肯定會按兩類聚集在這個二維平面上。
我們只要找到一條直線，把這兩類劃分開來，分類就很容易了，以後遇到一個數據，就丟進這個平面，看在直線的哪一邊，就是哪一類。
比如x+y-2=0這條直線，我們把數據(x,y)代入，只要認為x+y-2>0的就是A類，x+y-2<0的就是B類。
以此類推，還有三維的，四維的，N維的 屬性的分類，這樣構造的也許就不是直線，而是平面，超平面。
一個三維的函數分類 ：x+y+z-2=0，這就是個分類的平面了。
有時候，分類的那條線不一定是直線，還有可能是曲線，我們通過某些函數來轉換，就可以轉化成剛才的哪種多維的分類問題，這個就是核函數的思想。
例如：分類的函數是個圓形x^2+y^2-4=0。這個時候令x^2=a; y^2=b,還不就變成了a+b-4=0 這種直線問題了。
這就是支持向量機的思想。
機的意思就是 演算法，機器學習領域裡面常常用「機」這個字表示演算法
支持向量意思就是 數據集種的某些點，位置比較特殊，比如剛才提到的x+y-2=0這條直線，直線上面區域x+y-2>0的全是A類，下面的x+y-2<0的全是B類，我們找這條直線的時候，一般就看聚集在一起的兩類數據，他們各自的最邊緣位置的點，也就是最靠近劃分直線的那幾個點，而其他點對這條直線的最終位置的確定起不了作用，所以我姑且叫這些點叫「支持點」（意思就是有用的點），但是在數學上，沒這種說法，數學里的點，又可以叫向量，比如二維點(x,y)就是二維向量，三維度的就是三維向量（ x,y,z)。所以 「支持點」改叫「支持向量」，聽起來比較專業，NB。
所以就是 支持向量機 了。

㈢ 如何通俗易懂地解釋支持向量回歸

超級通俗的解釋：x0dx0a支持向量機是用來解決分類問題的。x0dx0a先考慮最簡單的情況，豌豆和米粒，用曬子很快可以分開，小顆粒漏下去，大顆粒保留。x0dx0a用一個函數來表示就是當直徑d大於某個值D，就判定為豌豆，小於某個值就是米粒。x0dx0ad>D, 豌豆x0dx0adx0dx0a在數軸上就是在d左邊就是米粒，右邊就是綠豆，這是一維的情況。x0dx0a但是實際問題沒這么簡單，考慮的問題不單單是尺寸，一個花的兩個品種，怎麼分類？x0dx0a假設決定他們分類的有兩個屬性，花瓣尺寸和顏色。單獨用一個屬性來分類，像剛才分米粒那樣，就不行了。這個時候我們設置兩個值 尺寸x和顏色y.x0dx0a我們把所有的數據都丟到x-y平面上作為點，按道理如果只有這兩個屬性決定了兩個品種，數據肯定會按兩類聚集在這個二維平面上。x0dx0a我們只要找到一條直線，把這兩類劃分開來，分類就很容易了，以後遇到一個數據，就丟進這個平面，看在直線的哪一邊，就是哪一類。x0dx0a比如x+y-2=0這條直線，我們把數據(x,y)代入，只要認為x+y-2>0的就是A類，x+y-2<0的就是B類。x0dx0a以此類推，還有三維的，四維的，N維的 屬性的分類，這樣構造的也許就不是直線，而是平面，超平面。x0dx0a一個三維的函數分類 ：x+y+z-2=0，這就是個分類的平面了。x0dx0a有時候，分類的那條線不一定是直線，還有可能是曲線，我們通過某些函數來轉換，就可以轉化成剛才的哪種多維的分類問題，這個就是核函數的思想。x0dx0a例如：分類的函數是個圓形x^2+y^2-4=0。這個時候令x^2=a; y^2=b,還不就變成了a+b-4=0 這種直線問題了。x0dx0a這就是支持向量機的思想。x0dx0a機的意思就是 演算法，機器學習領域裡面常常用「機」這個字表示演算法x0dx0a支持向量意思就是 數據集種的某些點，位置比較特殊，比如剛才提到的x+y-2=0這條直線，直線上面區域x+y-2>0的全是A類，下面的x+y-2<0的全是B類，我們找這條直線的時候，一般就看聚集在一起的兩類數據，他們各自的最邊緣位置的點，也就是最靠近劃分直線的那幾個點，而其他點對這條直線的最終位置的確定起不了作用，所以我姑且叫這些點叫「支持點」（意思就是有用的點），但是在數學上，沒這種說法，數學里的點，又可以叫向量，比如二維點(x,y)就是二維向量，三維度的就是三維向量（ x,y,z)。所以 「支持點」改叫「支持向量」，聽起來比較專業，NB。x0dx0a所以就是 支持向量機 了。

㈣ 如何通俗易懂地解釋支持向量回歸

向量自回歸模型（Vector autoregression,VAR)：是基於數據的統計性質建立模型，VAR模型把系統中每一個內生變數作為系統中所有內生變數的滯後值的函數來構造模型，從而將單變數自回歸模型推廣到由多元時間序列變數組成的「向量」自回歸模型。
VAR模型是處理多個相關經濟指標與預測最容易操作的模型之一，並且在一定的條件下，多元MA和ARMA模型也可轉化成VAR模型，因此近年來VAR模型受到越來越多的經濟工作者的重視。
Y(t)=A(1)Y(t-1)+…A(n)Y(t-n)+BX(t)+e(t)
Y(t)是一個內生變數列向量，
X(t)是外生變數向量，
A(1),……,A(n),和B是等估的系數矩陣，
e(t)是誤差向量。誤差向量內的誤差變數之間允許相關，但是這些誤差變數不存在自相關，與Y(t)，Y(t-1)，……，Y(t-n)和X(t)也不相關。
在VAR內，每個方程的最佳估計為普通最小二乘估計。

㈤ 支持向量機原理

支持向量機方法的基本思想是：定義最優線性超平面，並把尋找最優線性超平面的演算法歸結為求解一個凸規劃問題。進而基於Mercer核展開定理，通過非線性映射φ，把樣本空間映射到一個高維乃至於無窮維的特徵空間（Hilbert空間），使在特徵空間中可以應用線性學習機的方法解決樣本空間中的高度非線性分類和回歸等問題（Nello Cristianini，2005）。簡單地說就是升維和線性化。一般的升維都會帶來計算的復雜化。這里自然發生的兩個問題是如何求得非線性映射φ和解決演算法的復雜性。SVM方法巧妙地解決了這兩個難題：由於應用了核函數的展開定理，所以根本不需要知道非線性映射的顯式表達式；由於是在高維特徵空間中應用線性學習機的方法，所以與線性模型相比不但幾乎不增加計算的復雜性，而且在某種程度上避免了「維數災」。另外，SVM是一種有堅實理論基礎的新穎的小樣本學習方法。它基本上不涉及概率測度的定義及大數定律等，因此不同於現有的統計方法。從本質上看，它避開了從歸納到演繹的傳統過程，實現了高效的從訓練樣本到預報樣本的「轉導推理」（transctive inference），大大簡化了通常的分類和回歸等問題。SVM的最終決策函數只由少數的支持向量所確定，計算的復雜性取決於支持向量的數目，而不是樣本空間的維數，這在某種意義上避免了「維數災」。如果說神經網路方法是對樣本的所有因子加權的話，SVM方法是對只佔樣本集少數的支持向量樣本「加權」。當預報因子與預報對象間蘊涵的復雜非線性關系尚不清楚時，基於關鍵樣本的方法可能優於基於因子的「加權」。少數支持向量決定了最終結果，這不但可以幫助我們抓住關鍵樣本、「剔除」大量冗餘樣本，而且註定了該方法不但演算法簡單，而且具有較好的「魯棒」性。由於有較為嚴格的統計學習理論做保證，應用SVM方法建立的模型具有較好的推廣能力。SVM方法可以給出所建模型的推廣能力的確定的界，這是目前其它任何學習方法所不具備的。

隨著支持向量機理論的深入研究，出現了許多變種的支持向量機，如Sheng-wei Fe（2009）提出的兩類重要的預測技術：分類和回歸。其中分類問題預測要求觀察值是離散的，而回歸問題主要針對決策屬性值是連續的情況，它通過學習訓練樣本集建立一個回歸器，然後在條件屬性給定的情況下進行預測。

支持向量機回歸分為線性回歸和非線性回歸，其原理如下：

（1）支持向量機線性回歸

設樣本集為：（x₁，y₁），…，（x_i，y_i），x∈Rⁿ，y∈R，回歸函數用下列線性方程來表示：

f（x）=w·x＋b （4.14）

假設所有訓練數據在ε精度下如圖4.5所示無誤差地用線性函數擬合，即

基坑降水工程的環境效應與評價方法

圖4.5 支持向量機回歸

考慮到允許誤差的情況，引入鬆弛因子ξ_i，

，則式（4.13）變為

基坑降水工程的環境效應與評價方法

其中常數C＞0，表示對超出誤差ε的樣本的懲罰程度，ξ_i，

為鬆弛變數的上限與下限。為此構造拉格朗日函數：

基坑降水工程的環境效應與評價方法

得到其對偶問題為：

基坑降水工程的環境效應與評價方法

基坑降水工程的環境效應與評價方法

基坑降水工程的環境效應與評價方法

可以得到回歸函數為：

其中，α_i，

將只有一小部分小為零，它們對應的樣本就是支持向量。

（2）支持向量機非線性回歸

以上討論的是線性問題，對於非線性問題，把輸入樣本x_i通過ψ：x→H映射到高維特徵空間H（可能是無窮維）。當在特徵空間中構造最優超平面時，實際上只需進行內積運算，而這種內積運算是可以用原空間中的函數來實現的，沒有必要知道ψ的形式。因為只要核函數K（x_i，x_j）滿足Mercer條件，它就對應某一變換空間的內積即K（x_i，x_j）=ψ（_i）·ψ（x_j）。這一點提供了可能導致的「維數災難」問題解決方法。

由線性支持向量回歸可知，二次規劃的拉格朗日目標函數：

基坑降水工程的環境效應與評價方法

其對偶形式：

基坑降水工程的環境效應與評價方法

可以得到回歸函數為：

基坑降水工程的環境效應與評價方法

傳統的擬合方法通常是在線性方程後面加高階項。由此增加的可調參數增加了過擬合的風險。支持向量回歸用核函數即能作非線性回歸，達到了「升維」的目的，增加的可調參數很少，過擬合仍能控制。

㈥ 支持向量機的基本原理是什麼

支持向量機回歸分為線性回歸和非線性回歸，其原理如下：
（1）支持向量機線性回歸
設樣本集為：（x1，y1），…，（xi，yi），x∈Rn，y∈R，回歸函數用下列線性方程來表示：
f（x）=w·x＋b（4.14）
假設所有訓練數據在ε精度下如圖4.5所示無誤差地用線性函數擬合，即
基坑降水工程的環境效應與評價方法
圖4.5支持向量機回歸
考慮到允許誤差的情況，引入鬆弛因子ξi，
，則式（4.13）變為
基坑降水工程的環境效應與評價方法
其中常數C＞0，表示對超出誤差ε的樣本的懲罰程度，ξi，
為鬆弛變數的上限與下限。為此構造拉格朗日函數：
基坑降水工程的環境效應與評價方法
得到其對偶問題為：
基坑降水工程的環境效應與評價方法
基坑降水工程的環境效應與評價方法
基坑降水工程的環境效應與評價方法
可以得到回歸函數為：
其中，αi，
將只有一小部分小為零，它們對應的樣本就是支持向量。
（2）支持向量機非線性回歸
以上討論的是線性問題，對於非線性問題，把輸入樣本xi通過ψ：x→H映射到高維特徵空間H（可能是無窮維）。當在特徵空間中構造最優超平面時，實際上只需進行內積運算，而這種內積運算是可以用原空間中的函數來實現的，沒有必要知道ψ的形式。因為只要核函數K（xi，xj）滿足Mercer條件，它就對應某一變換空間的內積即K（xi，xj）=ψ（i）·ψ（xj）。這一點提供了可能導致的「維數災難」問題解決方法。
由線性支持向量回歸可知，二次規劃的拉格朗日目標函數：
基坑降水工程的環境效應與評價方法
其對偶形式：
基坑降水工程的環境效應與評價方法
可以得到回歸函數為：
基坑降水工程的環境效應與評價方法
傳統的擬合方法通常是在線性方程後面加高階項。由此增加的可調參數增加了過擬合的風險。支持向量回歸用核函數即能作非線性回歸，達到了「升維」的目的，增加的可調參數很少，過擬合仍能控制。

㈦ svr演算法和svm演算法哪個好

1、支持向量機（ SVM ）是一種比較好的實現了結構風險最小化思想的方法。它的機器學習策略是結構風險最小化原則
為了最小化期望風險，應同時最小化經驗風險和置信范圍）

支持向量機方法的基本思想：

（ 1
）它是專門針對有限樣本情況的學習機器，實現的是結構風險最小化：在對給定的數據逼近的精度與逼近函數的復雜性之間尋求折衷，以期獲得最好的推廣能力；

（ 2
）它最終解決的是一個凸二次規劃問題，從理論上說，得到的將是全局最優解，解決了在神經網路方法中無法避免的局部極值問題；

（ 3
）它將實際問題通過非線性變換轉換到高維的特徵空間，在高維空間中構造線性決策函數來實現原空間中的非線性決策函數，巧妙地解決了維數問題，並保證了有較好的推廣能力，而且演算法復雜度與樣本維數無關。

目前， SVM
演算法在模式識別、回歸估計、概率密度函數估計等方面都有應用，且演算法在效率與精度上已經超過傳統的學習演算法或與之不相上下。

對於經驗風險R，可以採用不同的損失函數來描述，如e不敏感函數、Quadratic函數、Huber函數、Laplace函數等。

核函數一般有多項式核、高斯徑向基核、指數徑向基核、多隱層感知核、傅立葉級數核、樣條核、 B
樣條核等，雖然一些實驗表明在分類中不同的核函數能夠產生幾乎同樣的結果，但在回歸中，不同的核函數往往對擬合結果有較大的影響

2、支持向量回歸演算法（svr）主要是通過升維後，在高維空間中構造線性決策函數來實現線性回歸，用e不敏感函數時，其基礎主要是 e
不敏感函數和核函數演算法。

若將擬合的數學模型表達多維空間的某一曲線，則根據e 不敏感函數所得的結果，就是包括該曲線和訓練點的「
e管道」。在所有樣本點中，只有分布在「管壁」上的那一部分樣本點決定管道的位置。這一部分訓練樣本稱為「支持向量」。為適應訓練樣本集的非線性，傳統的擬合方法通常是在線性方程後面加高階項。此法誠然有效，但由此增加的可調參數未免增加了過擬合的風險。支持向量回歸演算法採用核函數解決這一矛盾。用核函數代替線性方程中的線性項可以使原來的線性演算法「非線性化」，即能做非線性回歸。與此同時，引進核函數達到了「升維」的目的，而增加的可調參數是過擬合依然能控制。

㈧ csv怎麼支持向量機回歸

用crv對基本處理的數據進行特徵分析來實現向量回歸。
因為數據和特徵決定了機器學習的上限，而模型和演算法只是逼近這個上限而已。為了模型有更好的結果，特徵分析和提取是非常重要的。導入所有的庫數據進行特徵分析，得到的圖案進行向量研究從而實現向量機回歸。
支持向量機和支持向量回歸是目前機器學習領域用得較多的方法，不管是人臉識別，字元識別，行為識別，姿態識別等，都可以看到它們的影子。支持向量機回歸SVR是支持向量機在回歸問題上的應用模型。支持向量機回歸模型基於不同的損失函數產生了很多變種。