解線性方程組的演算法

㈠ 線性方程組的解法

高斯消元法（Gaussian Elimination）這種演算法，最早記錄於中國的《九章算術》。對於歐洲而言，則是牛頓最早發現了此種方法。不過直到高斯於1810年的發明，此演算法才被廣為接受。故而該演算法在數學界被稱為高斯消元法。

高斯消元法的核心包括三點。

（1）方程組中兩個方程的位置互換，方程的解不變

（2）方程組中的某個方程乘以非零數 k，方程的解不變

（3）方程組的某個方程乘以非零數 k，加上另一個方程，方程的解不變

我們將這三種變換，稱為線性方程組的變換。當然，變換的目的是為了消元（消減方程組中某些方程中未知數的個數），以達到最終求解方程組的目標，而不是無意識的隨機變換。比如線性方程組：

㈡ 怎樣用LU分解法解線性方程組

Ax=B，改寫成Ly=B，Ux=y的方程組。就相當於將A=LU分解成了兩個矩陣。稱為矩陣A的三角分解，或LU分解。如果L為單位下三角陣，則叫Doolittle分解，若U為單位上三角陣，則叫Crout分解。只要A的各順序主子式不為零，則A可唯一分解成一個單位下三角陣L與一個上三角陣U的乘積。

•設Ax=b，A=LU，則Ax=LUx=b

於是令Ux=y，則Ly=b

這樣原來方程能化為兩個簡單方程組

在線性代數中， LU分解(LU Decomposition)是矩陣分解的一種，可以將一個矩陣分解為一個單位下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積（有時是它們和一個置換矩陣的乘積）。LU分解主要應用在數值分析中，用來解線性方程、求反矩陣或計算行列式。

(2)解線性方程組的演算法擴展閱讀：

相關演算法：

LU分解在本質上是高斯消元法的一種表達形式。實質上是將A通過初等行變換變成一個上三角矩陣，其變換矩陣就是一個單位下三角矩陣。

這正是所謂的杜爾里特演算法：從下至上地對矩陣A做初等行變換，將對角線左下方的元素變成零，然後再證明這些行變換的效果等同於左乘一系列單位下三角矩陣，這一系列單位下三角矩陣的乘積的逆就是L矩陣，它也是一個單位下三角矩陣。這類演算法的復雜度一般在(三分之二的n三次方) 左右。

㈢ 線性方程組的通解方法是什麼

非齊次線性方程組的通解=齊次線性方程組的通解+非齊次線性方程組的一個特解（η=ζ+η*）。非齊次線性方程組是常數項不全為零的線性方程組。

若x1=c1，x2=c2，…，xn=cn代入所給方程各式均成立，則稱（c1，c2，…，cn）為一個解。若c1，c2，…，cn不全為0，則稱（c1，c2，…，cn）為非零解。若常數項均為0，則稱為齊次線性方程組，它總有零解（0，0，…，0）。兩個方程組，若它們的未知量個數相同且解集相等，則稱為同解方程組。

(3)解線性方程組的演算法擴展閱讀：

對有解方程組求解，並決定解的結構。這幾個問題均得到完滿解決：所給方程組有解，則秩(A）=秩（增廣矩陣）；若秩(A）=秩=r，則r=n時，有唯一解；r消元法求解。

當非齊次線性方程組有解時，解唯一的充要條件是對應的齊次線性方程組只有零解；解無窮多的充要條件是對應齊次線性方程組有非零解。但反之當非齊次線性方程組的導出組僅有零解和有非零解時，不一定原方程組有唯一解或無窮解，事實上，此時方程組不一定有 ，即不一定有解。

克萊姆法則（見行列式）給出了一類特殊線性方程組解的公式。n個未知量的任一齊次方程組的解集均構成n維空間的一個子空間。

㈣ 如何用行列式解線性方程組請舉例說明下。

用行列式解線性方程組，即Crammer法則

用它的前提條件是：線性方程組AX=b方程的個數與未知量的個數相同，即系數矩陣A是一個方陣

系數矩陣A的行列式|A|≠0

則方程組有唯一解:xi=Di/D

D=|A|

Di是D中第i列換成b得到的行列式

性質

①行列式A中某行（或列）用同一數k乘，其結果等於kA。

②行列式A等於其轉置行列式AT（AT的第i行為A的第i列）。

③若n階行列式|αij|中某行（或列）；行列式則|αij|是兩個行列式的和，這兩個行列式的第i行（或列），一個是b1，b2，…，bn；另一個是с1，с2，…，сn；其餘各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。

㈤ 線性方程組的基礎解系如何求得

通過分別令自由變數為1，解出其它變數，得到一個解向量。

基礎解系需要滿足三個條件：

1、基礎解系中所有量均是方程組的解。

2、基礎解系線性無關,即基礎解系中任何一個量都不能被其餘量表示。

3、方程組的任意解均可由基礎解系線性表出，即方程組的所有解都可以用基礎解系的量來表示。

值得注意的是基礎解系不是唯一的，因個人計算時對自由未知量的取法而異。

(5)解線性方程組的演算法擴展閱讀：

先求出齊次或非齊次線性方程組的一般解，即先求出用自由未知量表示獨立未知量的一般解的形式，然後將此一般解改寫成向量線性組合的形式，則以自由未知量為組合系數的解向量均為基礎解系的解向量。

由此易知，齊次線性方程組中含幾個自由未知量，其基礎解系就含幾個解向量。先確定自由未知量，可以設AX=b的系數矩陣A的秩為r，並假設A經過初等行變換化。

㈥ 線性方程組的解有哪些規律

D1就是把D中的第1列的數, 換成方程組等號右邊的數。

D2就是把D中的第2列的數, 換成方程組等號右邊的數。

克萊姆法則：是將方程組等式右側的向量，替換到系數矩陣的第幾行，得到新的行列式。

假若有n個未知數，n個方程組成的方程組： 克萊姆法則

a11X1+a12X2+．．．+a1nXn = b1

a21X1+a22X2+．．．+a2nXn = b2

an1X1+an2X2+．．．+annXn = bn

(6)解線性方程組的演算法擴展閱讀：

一般來說，用克萊姆法則求線性方程組的解時，計算量是比較大的。使用克萊姆法則求線性方程組的解的演算法時間復雜度依賴於矩陣行列式的演算法復雜度O(f(n))，其復雜度為O(n·f(n))，一般沒有計算價值，復雜度太高。. 對具體的數字線性方程組，當未知數較多時往往可用計算機來求解。用計算機求解線性方程組目前已經有了一整套成熟的方法。

㈦ 線性方程組通解怎麼求

矩陣消元法.將線性方程組的增廣矩陣通過行的初等變換化為行簡化階梯形矩陣，則以行簡化階梯形矩陣為增廣矩陣的線性方程組與原方程組同解。當方程組有解時，將其中單位列向量對應的未知量取為非自由未知量，其餘的未知量取為自由未知量，即可找出線性方程組的解。

關於未知量是一次的方程組，其一般形式為

當r<n時，則任意給自由未知量的一組值，由⑶可求出x1，x2，…，xr的值即方程組⑴的一個解，此時方程組⑴的解不只一個。當r=n時，則方程組⑵不含自由未知量，由⑶給出方程組⑴的唯一解。當m=n=r時，公式⑶稱為克萊姆規則。

㈧ 高等代數中解線性方程組的方法有幾種

高等代數中解線性方程組的方法：分兩大類：一、直接法：按選元分不選主元法和選主元法(列選、全選)。接不同消元方法又分：1、高斯消元法。2、高斯主元素法。3、三角解法。4、追趕法。二、迭代法：1、雅可比迭代法。2、高斯—塞德爾迭代法。3、超松馳迭代法。

㈨ 線性代數有幾種解線性方程組的方法

第一種 消元法 ,此法 最為簡單,直接消掉只剩最後一個未知數,再回代求餘下的未知數,但只適用於未知數個數等於方程的個數,且有解的情況.
第二種 克拉姆法則,如果行列式不等於零,則用常數向量替換系數行列式中的每一行再除以系數行列式,就是解；
第三種 逆矩陣法,同樣要求系數矩陣可逆,直接建立AX=b與線性方程組的關系,X=A^-1.*b就是解
第四種 增光矩陣法,利用增廣矩陣的性質(A,b)通過線性行變換,化為簡約形式,確定自由變數,（各行中第一個非零元對應的未知數除外餘下的就是自由變數）,對自由變數進行賦值,求出其它未知數,然後寫成基礎解析的形式,最後寫出通解.
這種方法需要先判別:增廣矩陣的秩是否等於系數矩陣的秩,相等且小於未知數個數,則無窮多解；等於未知數個數,唯一解.秩不想等,無解.
第五種 計算機編程,隨便用個軟體,譬如Matlab,輸入密令,
目前這5中教為適用,適合一切齊次或者非齊次線性方程組.

㈩ 高斯消元法解線性方程組

高斯消元法解線性方程組如下：

高斯消元法，是線性代數中求解線性方程組的一種演算法。它通常被理解為在相應的系數矩陣上執行的一系列操作。要對矩陣執行行縮減，可以使用一系列基本行操作修改矩陣，直到矩陣的左下角盡可能地用零填充。

基本行操作有三種類型:

交換兩行

將一行乘以一個非零數字

將一行的倍數添加到另一行

運用以上方法作，一個矩陣總是可以被轉換成一個上三角矩陣，實際上是一個行階梯形。一旦所有的主系數(每一行中最左邊的非零項)都為1，並且包含主系數的每一列在其他地方都為零，這個矩陣就稱為行簡化階梯形。最終的形式是獨特的;換句話說，它與所使用的行操作序列無關。

例如，在接下來的行運算序列中(每一步可能進行多個初等運算)，第三和第四個矩陣是行簡化階梯形矩陣，最終的矩陣是唯一的行簡化階梯形矩陣。

一旦y也從第三行中刪除，結果是三角形形式的線性方程組，因此演算法的第一部分完成。從計算的角度來看，以相反的順序求解變數更快，這一過程被稱為反向替換。人們看到的解決辦法是z= 1,y= 3，和x= 2。所以原始方程組有唯一的解。

第二列描述了剛剛執行了哪些行操作。所以第一步x從...中消除L2通過添加 3 / 2 L一到L2。接下來，x從...中消除L3通過添加L一到L3。