求極值的演算法

⑴ 極值的求法

極值的求法

定義1 設函數 y = f(x) 在點 x0 的某悉基跡鄰域內有定義,如果對於該鄰域內的任意一點x(x≠x0),有

(1)f(x)<f(x0),則稱f(x0)為 f(x) 的極大值,其中 x 為 f(x) 的極大值點;

(2)f(x)>f(x0),則稱f(x0)為 f(x) 的極小值,其中 x 為 f(x) 的極睜並小值點

函數的極大值與極小值統稱為函數的極值,極大值點與極小值點統稱為極值點

     如果 x0 是函數f(x)的極值點,則 f ' (x0)=0或者f(x)不存在

     如果 f'(x0) = 0,則鋒昌稱 x 為函數 f ' (x0)的駐點

定理8(極值的第一判定定理)設函數y=f(x)在點x0處連續,且在點x0的某一去心鄰域內可導,如果在該鄰域內

(1)當x<x0時, f ' (x)>0;而當x>x0時, f ' (x)<0,則f(x)為f(x)的極大值;

(2)當x<x0時, f ' (x)<0;而當x>x0, f ' (x)>0,則f(x)為f(x)的極小值;

(3)若在點 x0 的兩側 f ' (x)不變號,則fx0)不是f(x)的極值

定理9(極值的第二判定定理)設函數y=f(x)在點 x0 的某個鄰域內一階可導,在x= x0 處二階可導,且f  』(x)=0,f(x)≠0

(1)如果 f ' '(x)>0,則 f(x0) 為函數f(x)的極小值;

(2)如果 f ' '(x)<0,則 f(x0) 為函數f(x)的極大值

例題：

⑵ 函數求極值的方法

關於函數求極值的方法有如下幾項：

導數求極值步驟：1.先求導，2.使導函數等於零，求出x值，3.確定定義域，4.畫表格，5.找出極值，注意極值是把導函數中的x值代入原函數。

導數求極值步驟

1求函數f'(x)的極值步驟

1、找到等式f'(x)=0的根

2、在等式的左右檢查f'(x)值的符號。如果為負數，則f(x)在這個根得到最大值；如果為正數則f(x)在這個根得到最小值。

3、判斷f'(x)無意義的點。首先可以找到f'(x)=0的根和f'(x)的無意義點。這些點被稱為極點，然後根據定義來判斷。

4、函數z=f(x,y)的極值的方法描述如下：

(1)解方程式fx(x,y)=0，fy(x,y)=0，求一個實數解，可以求所有的塞音；

(2)對於每個停止點(x0,y0)，找到二階偏導數的值a,b,c；

(3)確定ac-b2的符號，並根據定理2的結論確定f(x0,y0)是一個最大值、最大值還是最小值。

⑶ 函數的極值如何求

①首先確定函數定義域。

②二次函數通過配方或分解因式可求極值。

③通過求導是求極值最常用方法。

f'(x)=0，則此時有極值。

>0為↑

<0為↓

判斷是極大還是極小值。

例如：

①求函數的二階導數，將極值點代入，二級導數值>0

為極小值點，反之為極大值點

二級導數值=0，有可能不是極值點；

②判斷極值點左右鄰域的導數值的正負：左+右-

為極大值點，左-右+

為極小值點，左右正負不變，不是極值點。

極大值和極小值

也可以為集合定義極大值和極小值。一般來說，如果有序集S具有極大的元素m，則m是極大元素。此外，如果S是有序集T的子集，並且m是相對於由T誘導的階數的S的極大元素，則m是T中S的極小上限。類似的結果適用於極小元素，極小元素和極大的下限。

在一般的部分順序的情況下，極小元素（小於所有其他元素）不應該與極小元素混淆（沒有更小）。同樣，部分有序集合（poset）的極大元素是集合中包含的集合的上限，而集合A的極大元素m是A的元素，使得如果m≤b（對於任何b在A）然後m = b。

⑷ 數學中的極值怎麼求,

分以下幾種步驟:
1、對題目給出的函數f(x)求導數f'(x).
2、令f'(x)=0,求出x.
3、在x(第2步中求出的)的左右判斷州野f'(x)的符號有沒有發生變化,如果沒有,則這個點就不是極值點;反之,就是極值鬧跡清點.
4、如果f'(x)的符號發生了變化,還要判斷是極大值還是極小值,方法如下:
如果是f'(x)的符號在x(第2步中求出的)的左液前右是從負變為正,這個點就是極小值點,將x代入f(x),得到極小值,
如果是f'(x)的符號在x(第2步中求出的)的左右是從正變為負,這個點就是極大值點,將x代入f(x),得到極大值

⑸ 極值點的計算

求極值點的步驟如下：

1、直接法

先判斷函數的單調性，若函數在定義域內為單調函數，則最大值為極大值，最小值為極小值。

2、導數法
1、求導數f'(x)；
2、求方程f'(x)=0的根；
3、檢查f'(x)在方程的左右的值的符號，如果左正右負，那麼f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正那麼f(x)在這個根處取得極小值。

舉例如下圖：該函數在f'(x)大於0，f'(x)小於0，在f'(x)=0時，取極大值。同理f'(x)小於0，f'(x)大於0時，在f'(x)=0時取極小值。

(5)求極值的演算法擴展閱讀：

尋求函數整個定義域上的最大值和最小值是數學優化的目標。如果函數在閉合區間上是連續的，則通過極值定理存在整個定義域上的最大值和最小值。此外，整個定義域上最大值（或最小值）必須是域內部的局部最大值（或最小值），或必須位於域的邊界上。

因此，尋找整個定義域上最大值（或最小值）的方法是查看內部的所有局部最大值（或最小值），並且還查看邊界上的點的最大值（或最小值），並且取最大值或最小的）一個。

⑹ 求一些求極值的方法

方法一（第一充分條件：利用一階導數）
步驟：
(1)求出函數的駐點和不可導的點．
(2)以上述點劃分定義域，列表分析，確定函數的單調區間．
(3)從表中找出單調性發生變化的交界點(即極值點)，並求出這些點處的函數值，即兆棚得肢歲所求極值．
說明：在極值點的左右，若一階導數符號從『－』變到『＋』，則該點為極小值點；若一階導數符號從『＋』變到『－』，則該點為極大值點；若一階導數不變號，則該點不是極值點．

方法二（第二充分條件：利用二階導數）
對於函數的駐點（即一階導數為零的點），考察該點處的二階導數．如果不為零，則該點為極值點；如果為零，則無法判斷．
在極值點處，若二階導數值大於零，則族飢則該點為極小值點，若二階導數值小於零，則該點為極大值點．
來自網路。

⑺ 求極值的方法有哪些

1、求極大極小值步驟：

求導數f'(x)；

求方程f'(x)=0的根；

檢查f'(x)在方程的左右的值的符號，如果左正右負，那麼f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正那麼f(x)在這個根處取得極小值。

f'(x)無意義的點也要討論。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)無意義的點，再按定義去判別。

2、求極值點步驟：

求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；

用極值的定義（半徑無限小的鄰域f(x)值比該點都小或都大的點為極值點），討論f(x)的間斷點。

上述所有點的集合即為極值點集合。

(7)求極值的演算法擴展閱讀：

定義：

若函數f(x)在x₀的一個鄰域D有定義，且對D中除x₀的所有點，都有f(x)<f(x₀)，則稱f(x₀)是函數f(x)的一個極大值。

同理，若對D的所有點，都有f(x)>f(x₀)，則稱f(x₀)是函數f(x)的一個極小值。

極值的概念來自數學應用中的最大最小值問題。根據極值定律，定義在一個有界閉區域上的每一個連續函數都必定達到它的最大值和最小值，問題在於要確定它在哪些點處達到最大值或最小值。

如果極值點不是邊界點，就一定是內點。因此，這里的首要任務是求得一個內點成為一個極值點的必要條件。

參考資料：

網路--極值

⑻ 極值的求法有哪些

1. 直接法

先判斷函數的單調性，若函數在定義域內為單調函數，則最大值為極大值，最小值為極小值

2.導數法

（1）、求導數f'(x)；

（2）、求方程f'(x)=0的根；

（3）、檢查f'(x)在方程的左右的值的符號，如果左正右負，那麼f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正那麼f(x)在這個根處取得極小值。

特別注意

f'(x)無意義的點也要討論。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)無意義的點，這些點都稱為可疑點，再用定義去判斷。

二階連續偏導數的函數z = f(x,y)的極值的求法敘述如下：

（1）解方程組fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切實數解，即可求得一切駐點；

（2）對於每一個駐點(x0,y0)，求出二階偏導數的值A、B和C；

（3）定出AC-B2的符號，按定理2的結論判定f(x0,y0)是否是極值、是極大值還是極小值。

上面介紹的極值必要條件和充分條件都是對函數在極值點可導的情形才有效的。當函數僅在區域D內的某些孤立點(xi, yi)不可導時，這些點當然不是函數的駐點，但這種點有可能是函數的極值點，要注意另行討論

⑼ 函數求極值的方法總結

數學主要以函數為研究對象,而函數極值無論在初等數學還是在高等數學里都是函數部分的一個重要問題，下文是函數求極值的方法，希望對同學們有幫助！

一、利用二次方程的判別式求極值

在求某一類分式函數的極值時，若其分子或分母是關於x的二次式，可將其變為關於x的一元二次方程，根據x在實數范圍內有解，由判別式求的。

例1、求函數y=求函數極值的若干方法 的極值。

解：將原函變形為關於x的二次方程

(y-1)x 求函數極值的若干方法 -2yx-3y=0

∵x∈R，且x≠3，x≠-1，

∴上方程在實數范圍內一定有解。

△= (-2y) 求函數極值的若干方法 -4 (-3y)(y-1)= 4y(4y-3)≥0

解之得 y≤0 或 y≥ 求函數極值的若干方法

這里雖然y無最大（小）值，但對應於y=0和y= 求函數極值的若干方法 的x分別為x=0和x=-3，

所以當x=0時，y有極大值0，當x=-3時，y有極小值 求函數極值的若干方法 。

例2、求函數y= 求函數極值的若干方法 的值域。

解：將原函數變形得：y+yx 求函數極值的若干方法 =2x

∵x∈R，∴△= 4-4y 求函數極值的若干方法 ≥0，解之得：-1≤y≤1

∴函數y= 求函數極值的若干方法 值域為[-1，1]

由上面兩例可以看出，用二次方程的判別式求函數的極值時，實際上就是將y看作x的系數，利用函數的定義域非空，即方程有解，將問題轉化為解一元二次不等式。但要注意的是：在變型過程中，可能會將x的取值范圍擴大，但所求函數的極值一定在不等式的解集內，此時，要注意檢驗，即招2出y取極值時的x是否有意義，若無意義必須捨去，再重新考慮其極值。

二、利用倒數關系求極值

對於有些分式函數，當其分子不含變數時，可由分母的極值來求整個函數的極值。

例3、求函數y=2- 求函數極值的若干方法 的最小值。

解：∵x 求函數極值的若干方法 -2x+6 = (x-1) 求函數極值的若干方法 +5＞0

∴函數的定義域為一切實數， 又由 x 求函數極值的若干方法 -2x+6=(x-1) 求函數極值的若干方法 +5 知

當x=1時， 求函數極值的若干方法 取最小值 求函數極值的若干方法 ,

∴ 求函數極值的若干方法 取最大值 求函數極值的若干方法 ,

此時 y=2- 求函數極值的若干方法 取最小值 2- 求函數極值的若干方法 ,

即 當x=1時，有y的最小值是 2- 求函數極值的若干方法 。

三、利用重要不等式求極值

對於一類各項積為定值，且每一項的符號相等的函數極值，可考慮用重要不等式解決。

例4、求函數y=4x+ 求函數極值的若干方法 的極值。

解：顯然函數的定義域為不等於零的一切實數。

(1) 當x＞0時，y = 4x+ 求函數極值的若干方法 ≥2 求函數極值的若干方法 =2 求函數極值的若干方法 =12

∴當4x = 求函數極值的若干方法 時, 即x = 求函數極值的若干方法 時, y有極小值12.

(2)當仿侍做x＜0時，令x = -t, 則t＞0. y = 4x+9/x = - (4t+ 求函數極值的若干方法 )≤-12

∴當x = 求函數極值的若干方法 時，y有極大值-12 。

在利用重要不等式解題時，一定要注意必須要求每一項均為正數，若均為負數時，可提取一個負號，使括弧內每一項仍為正。上題中若只考慮第一種情況，就不完全了。

例5、已知l＜0,m＜0，求函數y= 求函數極值的若干方法 在(0,+∞)上的最大值。

分析：雖然x 求函數極值的若干方法 ·8x· 求函數極值的若干方法 =2 求函數極值的若干方法 為常數，但由x 求函數極值的若干方法 =8x= 求函數極值的若干方法 解不出實數x，即無實數解。故由y≥3 求函數極值的若干方法 =3·8=24得出y的最小值為24的結論是錯誤的，但如能把8x、64/x 求函數極值的若干方法 各分成相等的m項和n項，備衡設法定出m、n、x，然後再求出y的最小值就談並行了。

解：設y=x 求函數極值的若干方法 + 求函數極值的若干方法 + 求函數極值的若干方法 +……+ 求函數極值的若干方法 + 求函數極值的若干方法 + 求函數極值的若干方法 + ……+ 求函數極值的若干方法 ,

(其中 求函數極值的若干方法 有m項， 求函數極值的若干方法 有n項)。

即m= 求函數極值的若干方法 ，n= 求函數極值的若干方法 時（由x 求函數極值的若干方法 = 求函數極值的若干方法 ,x 求函數極值的若干方法 = 求函數極值的若干方法 得）,y有最小值,

由2+ 求函數極值的若干方法 =3· 求函數極值的若干方法 (x 求函數極值的若干方法 ·x 求函數極值的若干方法 =x 求函數極值的若干方法 )得x 求函數極值的若干方法 +4x=96,解此方程的唯一正數解x=2,

此時m = 4, n = 2當時，y的最小值為4+16+8=28（代回去求得）

y≥7 求函數極值的.若干方法 = 7· 求函數極值的若干方法 = 7·4=28

四、利用換元法求極值

有些無理函數，往往用以上方法無法求出極值，此時可試用換元法求之。

例6.求函數 y= 求函數極值的若干方法 -x 在區間[0,1]上的最大值。

解：設 求函數極值的若干方法 = t，則0≤t≤1,且x = t 求函數極值的若干方法

∴當t=求函數極值的若干方法 即x= 求函數極值的若干方法 時,y取最大值 求函數極值的若干方法 .

這里利用了換元法將無理式變形為二次求解，它是求無理函數極值的常用方法，特別是對形如 y=kx+ 求函數極值的若干方法 的函數, 可令 t= 求函數極值的若干方法 化為關於的二次函數再利用配方法求得其極值。

例7.求函數y=x 求函數極值的若干方法 +1+2x(1-x 求函數極值的若干方法 )的最大值和最小值

解：∵y的定義域為[-1，1]，故可令x=cosθ(0≤θ≤π),

則 y= 求函數極值的若干方法

= 求函數極值的若干方法 (其y=中求函數極值的若干方法 為銳角，且 求函數極值的若干方法 )

∵-1≤sin(2θ+α)≤1,

∴ 求函數極值的若干方法 ≤y≤ 求函數極值的若干方法

當sin( 求函數極值的若干方法 ) = -1時, 求函數極值的若干方法

故x = 求函數極值的若干方法

當sin 求函數極值的若干方法 時，2 求函數極值的若干方法

故x = 求函數極值的若干方法

即當x =- 求函數極值的若干方法 時, 求函數極值的若干方法

當x= 求函數極值的若干方法 時, 求函數極值的若干方法

此題中抓住了函數的定義域[-1，1]為條件。從而將無理函數轉化為三角函數來得以解決函數的極值問題。

五、用解析法求極值

形如y=求函數極值的若干方法 其中(f(x)、g(x)是關於的二次式，且二次項系數為1)的函

極值，直接用純代數法非常困難，因為要平方兩次才能去掉根號。但若藉助與解析法，將 求函數極值的若干方法 分別視作平面直角坐標系內兩點的距離，利用平面圖形性質，便可簡捷求解。

例8.求函數y= 求函數極值的若干方法 的最小值，其中a、b、c均為正數，

解：在直角坐標系內取點C (0, 求函數極值的若干方法 )、D (c,- 求函數極值的若干方法 )、M (x,0) 、B (c,0)

則y = 求函數極值的若干方法 =∣CM∣+∣MD∣

即為M到C、D兩點的距離之和。

由平面圖形性質可知當且僅當C、M、D三點共線時距離之和最短，此時M在Mˊ位置上。

由 △CO Mˊ∽△DBMˊ 得∣OM∣∶∣MˊB∣=∣OC∣∶∣BD∣

即 求函數極值的若干方法 解之得 x=求函數極值的若干方法

此時 求函數極值的若干方法 =∣CD∣= 求函數極值的若干方法

例9.求函數y= 求函數極值的若干方法 的值域。

分析y= 求函數極值的若干方法 = 求函數極值的若干方法

所以 求函數極值的若干方法 可看作平面直角坐標系內的點(x,0)到點求函數極值的若干方法 與點 求函數極值的若干方法 的距離之差。

解: 在直角坐標系內取點A(- 求函數極值的若干方法 , 求函數極值的若干方法 )、點B( 求函數極值的若干方法 , 求函數極值的若干方法 )、點M(x,0)

則y= 求函數極值的若干方法 =∣AM∣-∣BM∣

即為△ABM的兩邊之差，由平面圖形性質知：

∣AM∣-∣BM∣＜∣AB∣=∣ 求函數極值的若干方法 ∣=1

反之∣BM∣-∣AM∣＜∣AB∣= 1

∴∣y∣＜1

∴-1＜ y ＜1

此法一般適用於為兩個二次根式的和、差函數，且根號內為二次函數式，此時可通過配方將其變型為平面直角坐標系內兩點之間的距離和與差來計算。這樣既省去了平方計算的麻煩，又使式子具有明顯的幾何意義，從而更方便找出解題方法，將難度較大的問題轉化為較簡單的問題。在解此軸上的點到另兩點的距離和或差，若求和的極值，則當三點共線時有最小值，即為這兩點的距離，若為差，則無極值，此時差的絕對值小於這兩點的距離，從而可求出函數值域。

例10.求函數y= 求函數極值的若干方法 的值域

分析：此題既是分式函數，又是三角函數，往往用純代數法不易達到目的，

但如果將其看作是點 ( 求函數極值的若干方法 )與點(3,2)所在直線的斜率，就不難解決了。

解：設xˊ= 求函數極值的若干方法 ,yˊ=求函數極值的若干方法 , 則 y= 求函數極值的若干方法

即為平面直角坐標系內點( 求函數極值的若干方法 )與(3,2)所在直線的斜率，

又(xˊ, yˊ)在圓 xˊ 求函數極值的若干方法 + yˊ 求函數極值的若干方法 = 1 上，

故只要求出點(3,2)與圓上每一點連線的斜率范圍即可。

設過(3,2)且與圓 xˊ 求函數極值的若干方法 + yˊ 求函數極值的若干方法 = 1 相交的直線方程為

yˊ-2=k (xˊ-3) , 即 kxˊ-yˊ- 3k+2 = 0

由點到直線的距離公式知： 求函數極值的若干方法 = 1,

即(-3k+2) 求函數極值的若干方法 =1+k 求函數極值的若干方法 ， 8k 求函數極值的若干方法 -12k+3 = 0

∴k= 求函數極值的若干方法

∴當 求函數極值的若干方法 ≤k≤ 求函數極值的若干方法 時，直線與圓相交

即函數y=求函數極值的若干方法 的值域為[ 求函數極值的若干方法 , 求函數極值的若干方法 ]

形如f(x) = 求函數極值的若干方法 函數的值域，可將其看作平面內點( 求函數極值的若干方法 , 求函數極值的若干方法 ),（-b,-d）的斜率來解決 ，而點（求函數極值的若干方法 ）必在二次曲線 求函數極值的若干方法 = 1上，再利用點(-b,-d)的直線與曲線相交的斜率取值范圍來解決是一種簡便易行的方法。從上例我們可以看出，上

面函數關系也可看成是：求三元函數，多元函數的最大、最小值問題

我們已經知道求一元函數極大值、極小值的步驟，對於多元函數的極大值、極小值的求解也可採用同樣的步驟。下面我們給出實際問題中多元函數的極大值、極小值求解步驟。 如下：

a)：根據實際問題建立函數關系，確定其定義域；

b)：求出駐點；

c)：結合實際意義判定最大、最小值.

例題：在平面3x+4y-z=26上求一點，使它與坐標原點的距離最短。

解答：a)：先建立函數關系,確定定義域

求解與原點的距離最短的問題等價於求解與原點距離的平方最小的問題.但是P點位於所給的平面上，故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我們所需的函數關系:

-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞

b)：求駐點

解得唯一駐點x=3，y=4.由於點P在所給平面上,故可知

z=-1

c)：結合實際意義判定最大、最小值在約束條件 3x+4y-z=26 下的最小值 ，一個多元函數在一個或幾個約束條件下的極值稱為條件極值。

由問題的實際意義可知，原點與平面距離的最小值是客觀存在的，且這個最小值就是極小值.而函數僅有唯一的駐點.所以，平面上與原點距離最短的點為P(3,4,-1)的若干方法 。

拓展延續

關於函數求極值的方法有如下幾項：

導數求極值步驟：

1.先求導，

2.使導函數等於零，求出x值，

3.確定定義域，

4.畫表格，

5.找出極值，注意極值是把導函數中的x值代入原函數。

導數求極值步驟：

1求函數f'(x)的極值步驟

1、找到等式f'(x)=0的根

2、在等式的左右檢查f'(x)值的符號。如果為負數，則f(x)在這個根得到最大值；如果為正數則f(x)在這個根得到最小值。

3、判斷f'(x)無意義的點。首先可以找到f'(x)=0的根和f'(x)的無意義點。這些點被稱為極點，然後根據定義來判斷。

4、函數z=f(x,y)的極值的方法描述如下：

(1)解方程式fx(x,y)=0，fy(x,y)=0，求一個實數解，可以求所有的塞音；

(2)對於每個停止點(x0,y0)，找到二階偏導數的值a,b,c；

(3)確定ac-b2的符號，並根據定理2的結論確定f(x0,y0)是一個最大值、最大值還是最小值。