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dijkstra最短路演算法

發布時間: 2024-06-13 18:17:53

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❷ 直觀理解:單源點最短路徑——Dijkstra演算法

  Dijkstra演算法是由荷蘭計算機科學家 Edsger Wybe Dijkstra於1959年提出的單源點最短路徑演算法(SSSP:Single Souce Shortest Path)。是一個解決加權圖(不含負權重的邊)中從一個頂點到其餘各個頂點最短路徑問題的演算法。Dijkstra演算法是一個集 貪心演算法 , 廣度優先搜索(BFS) 和 動態規劃 於一身的最短路徑演算法。Dijkstra演算法的主要特點是從起源點開始,採用貪心演算法的策略,每次遍歷到始點距離最近且未訪問過的頂點的鄰接頂點,直到擴展到終點為止。
  Dijkstra演算法通過維護兩個集合: (已求出最短路徑的頂點)和 (未求出最短路徑的頂點),每次迭代地從 中移除路徑距離最小的點到集合 中,並通過這個新移入的點來更新 中各個頂點到源點的最短路徑,直到集合 為空。下面我們通過一個例子來簡單描述Dijkstra演算法的過程。
  假設我們有如下的圖,其中頂點A未此次演算法的起點:

  首先我們需要初始化兩個集合 和 ,以及 中每個頂點到源點的距離,若不直接於A相鄰,結果置為正無窮∞。

   Step 1: 從集合 中挑選出距離最小的點,這里會挑選出頂點F,集合 和 變更為: , ,根據最新的 ,重新計算 中頂點到源點A的最短距離。

   Step 2:: 從集合 中挑選出距離最小的點,這里會挑選出頂點E,集合 和 變更為: , ,根據最新的 ,重新計算 中頂點到源點A的最短距離。

   Step 3: 從集合 中挑選出距離最小的點,這里會挑選出頂點C,集合 和 變更為: , ,根據最新的 ,重新計算 中頂點到源點A的最短距離。

   Step 4: 從集合 中挑選出距離最小的點,這里會挑選出頂點D,集合 和 變更為: , ,根據最新的 ,重新計算 中頂點到源點A的最短距離。

   Step 5: 從集合 中挑選出距離最小的點,這里會挑選出頂點B,集合 和 變更為: , ,根據最新的 ,重新計算 中頂點到源點A的最短距離。

   Step 6: 從集合 中挑選出距離最小的點,這里會挑選出頂點G,集合 和 變更為: , ,由於集合 為空,演算法停止迭代,輸出結果。

  以上就是對Dijkstra演算法的計算過程的簡單描述。

❸ 綆榪癲ijkstra鏂規硶鐨勫熀鏈鎬濇兂

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❹ 最短路徑演算法

Dijkstra演算法,A*演算法和D*演算法

Dijkstra演算法是典型最短路演算法,用於計算一個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴展,直到擴展到終點為止。Dijkstra演算法能得出最短路徑的最優解,但由於它遍歷計算的節點很多,所以效率低。

Dijkstra演算法是很有代表性的最短路演算法,在很多專業課程中都作為基本內容有詳細的介紹,如數據結構,圖論,運籌學等等。

Dijkstra一般的表述通常有兩種方式,一種用永久和臨時標號方式,一種是用OPEN, CLOSE表方式,Drew為了和下面要介紹的 A* 演算法和 D* 演算法表述一致,這里均採用OPEN,CLOSE表的方式。

大概過程:
創建兩個表,OPEN, CLOSE。
OPEN表保存所有已生成而未考察的節點,CLOSED表中記錄已訪問過的節點。
1. 訪問路網中里起始點最近且沒有被檢查過的點,把這個點放入OPEN組中等待檢查。
2. 從OPEN表中找出距起始點最近的點,找出這個點的所有子節點,把這個點放到CLOSE表中。
3. 遍歷考察這個點的子節點。求出這些子節點距起始點的距離值,放子節點到OPEN表中。
4. 重復2,3,步。直到OPEN表為空,或找到目標點。

提高Dijkstra搜索速度的方法很多,常用的有數據結構採用Binary heap的方法,和用Dijkstra從起始點和終點同時搜索的方法。

A*(A-Star)演算法是一種啟發式演算法,是靜態路網中求解最短路最有效的方法。

公式表示為: f(n)=g(n)+h(n),
其中f(n) 是節點n從初始點到目標點的估價函數,
g(n) 是在狀態空間中從初始節點到n節點的實際代價,
h(n)是從n到目標節點最佳路徑的估計代價。

保證找到最短路徑(最優解的)條件,關鍵在於估價函數h(n)的選取:
估價值h(n)<= n到目標節點的距離實際值,這種情況下,搜索的點數多,搜索范圍大,效率低。但能得到最優解。
如果 估價值>實際值, 搜索的點數少,搜索范圍小,效率高,但不能保證得到最優解。
估價值與實際值越接近,估價函數取得就越好。
例如對於幾何路網來說,可以取兩節點間歐幾理德距離(直線距離)做為估價值,即f=g(n)+sqrt((dx-nx)*(dx-nx)+(dy-ny)*(dy-ny));這樣估價函數f在g值一定的情況下,會或多或少的受估價值h的制約,節點距目標點近,h值小,f值相對就小,能保證最短路的搜索向終點的方向進行。明顯優於Dijstra演算法的毫無無方向的向四周搜索。
conditions of heuristic
Optimistic (must be less than or equal to the real cost)
As close to the real cost as possible
主要搜索過程:
創建兩個表,OPEN表保存所有已生成而未考察的節點,CLOSED表中記錄已訪問過的節點。
遍歷當前節點的各個節點,將n節點放入CLOSE中,取n節點的子節點X,->算X的估價值->
While(OPEN!=NULL)
{
從OPEN表中取估價值f最小的節點n;
if(n節點==目標節點) break;
else
{
if(X in OPEN) 比較兩個X的估價值f //注意是同一個節點的兩個不同路徑的估價值
if( X的估價值小於OPEN表的估價值 )
更新OPEN表中的估價值; //取最小路徑的估價值
if(X in CLOSE) 比較兩個X的估價值 //注意是同一個節點的兩個不同路徑的估價值
if( X的估價值小於CLOSE表的估價值 )
更新CLOSE表中的估價值; 把X節點放入OPEN //取最小路徑的估價值
if(X not in both)
求X的估價值;
並將X插入OPEN表中; //還沒有排序
}
將n節點插入CLOSE表中;
按照估價值將OPEN表中的節點排序; //實際上是比較OPEN表內節點f的大小,從最小路徑的節點向下進行。
}

A*演算法和Dijistra演算法的區別在於有無估價值,Dijistra演算法相當於A*演算法中估價值為0的情況。

動態路網,最短路演算法 D*A* 在靜態路網中非常有效(very efficient for static worlds),但不適於在動態路網,環境如權重等不斷變化的動態環境下。

D*是動態A*(D-Star,Dynamic A*) 卡內及梅隆機器人中心的Stentz在1994和1995年兩篇文章提出,主要用於機器人探路。是火星探測器採用的尋路演算法。

主要方法:
1.先用Dijstra演算法從目標節點G向起始節點搜索。儲存路網中目標點到各個節點的最短路和該位置到目標點的實際值h,k(k為所有變化h之中最小的值,當前為k=h。每個節點包含上一節點到目標點的最短路信息1(2),2(5),5(4),4(7)。則1到4的最短路為1-2-5-4。
原OPEN和CLOSE中節點信息保存。
2.機器人沿最短路開始移動,在移動的下一節點沒有變化時,無需計算,利用上一步Dijstra計算出的最短路信息從出發點向後追述即可,當在Y點探測到下一節點X狀態發生改變,如堵塞。機器人首先調整自己在當前位置Y到目標點G的實際值h(Y),h(Y)=X到Y的新權值c(X,Y)+X的原實際值h(X).X為下一節點(到目標點方向Y->X->G),Y是當前點。k值取h值變化前後的最小。
3.用A*或其它演算法計算,這里假設用A*演算法,遍歷Y的子節點,點放入CLOSE,調整Y的子節點a的h值,h(a)=h(Y)+Y到子節點a的權重C(Y,a),比較a點是否存在於OPEN和CLOSE中,方法如下:
while()
{
從OPEN表中取k值最小的節點Y;
遍歷Y的子節點a,計算a的h值 h(a)=h(Y)+Y到子節點a的權重C(Y,a)
{
if(a in OPEN) 比較兩個a的h值
if( a的h值小於OPEN表a的h值 )
{ 更新OPEN表中a的h值;k值取最小的h值
有未受影響的最短路經存在
break;
}
if(a in CLOSE) 比較兩個a的h值 //注意是同一個節點的兩個不同路徑的估價值
if( a的h值小於CLOSE表的h值 )
{
更新CLOSE表中a的h值; k值取最小的h值;將a節點放入OPEN表
有未受影響的最短路經存在
break;
}
if(a not in both)
將a插入OPEN表中; //還沒有排序
}
放Y到CLOSE表;
OPEN表比較k值大小進行排序;
}
機器人利用第一步Dijstra計算出的最短路信息從a點到目標點的最短路經進行。

D*演算法在動態環境中尋路非常有效,向目標點移動中,只檢查最短路徑上下一節點或臨近節點的變化情況,如機器人尋路等情況。對於距離遠的最短路徑上發生的變化,則感覺不太適用。

❺ 已知帶權有向圖如圖7-29所示,請利用Dijkstra演算法從頂點V4出發到其餘頂點的最短路

初始化d[i]為無窮大,由於從v4開始,所以將d4=0,標記v4已選擇。
下面開始Dijkstra演算法:
和v4相連的且未標記的點有v2和v6,這樣更新d2=20,d6=15,選擇未標記所有點中最小的d6=15,標記v6已選擇,這樣我們算出了v4->v6最短距離d6=15;
從v6開始,和v6相連的且未標記的是v2,此時算d6+6=21>20,所以不更新d2,選擇未標記所有點中最小的d2=20,標記v2已選擇,這樣算出了v4->v2最短距離d2=20;
從v2開始,和v2相連的且未標記的有v1和v5,d1=d2+10=30,d5=d2+30=50,選擇未標記所有點中最小的d1=30,標記v1已選擇,這樣我們算出了v4->v1最短距離d1=30;
從v1開始,和v1相連的且未標記的有v3,d3=d1+15=45,選擇剩下沒被選的所有點的最小的d3=45(d5=50),標記v3已選擇,這樣我們算出了v4->v3最短距離d3=45
從v3開始,沒有出去的路徑,不更新距離,選擇剩下沒被選的所有點的最小的d5=50,標記v5已選擇,這樣我們算出了v4->v5最短距離d5=50.
此時所有的點都被訪問,結束。
註:上面的標記點已選擇注意下,在演算法的實現中用的是將所有的點放入隊列中,一旦一個點被選擇就是說求出了最短距離,就從此隊列刪除該點,一直到此隊列為空,結束演算法,我寫標記只是為了方便理解。
希望能幫你清晰了解Dijkstra演算法,圖論中很重要的演算法之一。

❻ dijkstra演算法是什麼

Dijkstra演算法是由荷蘭計算機科學家狄克斯特拉(Dijkstra)於1959年提出的,因此又叫狄克斯特拉演算法。是從一個頂點到其餘各頂點的最短路徑演算法,解決的是有向圖中最短路徑問題。

其基本原理是:每次新擴展一個距離最短的點,更新與其相鄰的點的距離。當所有邊權都為正時,由於不會存在一個距離更短的沒擴展過的點,所以這個點的距離永遠不會再被改變,因而保證了演算法的正確性。

不過根據這個原理,用Dijkstra求最短路的圖不能有負權邊,因為擴展到負權邊的時候會產生更短的距離,有可能就破壞了已經更新的點距離不會改變的性質。

舉例來說,如果圖中的頂點表示城市,而邊上的權重表示著城市間開車行經的距離。Dijkstra演算法可以用來找到兩個城市之間的最短路徑。

Dijkstra演算法的輸入包含了一個有權重的有向圖G,以及G中的一個來源頂點S。我們以V表示G中所有頂點的集合。每一個圖中的邊,都是兩個頂點所形成的有序元素對。(u,v)表示從頂點u到v有路徑相連。我們以E所有邊的集合,而邊的權重則由權重函數w: E→[0,∞]定義。

因此,w(u,v)就是從頂點u到頂點v的非負花費值(cost)。邊的花費可以想像成兩個頂點之間的距離。任兩點間路徑的花費值,就是該路徑上所有邊的花費值總和。

已知有V中有頂點s及t,Dijkstra演算法可以找到s到t的最低花費路徑(i.e.最短路徑)。這個演算法也可以在一個圖中,找到從一個頂點s到任何其他頂點的最短路徑。

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