密碼學本原元是什麼

A. 現代密碼學加密原理

密碼學是在區塊鏈技術中承擔著非常重要的角色，但其實，在互聯網中，也大量的使用著密碼學的技術，本文將介紹現代密碼學中的早期加密方法，這將有助於我們理解區塊鏈中的復雜演算法。

第二次大戰之後，從軍方演化而來的互聯網慢慢的進入了尋常百姓家，我們能夠將一切事物都電子化處理，交易也不例外，於是電子銀行也出現了，所有交易都可以通過網路進行。隨著互聯網用戶越來越多，新的問題產生了，加密需要雙方共享一個秘密的隨機數，也就是秘鑰，但從未謀面的兩個人，如何就此共享密鑰達成一致，而又不讓第三方監聽這知道呢？這將是現代密碼學的目標。

1976年，維特菲爾德和馬丁赫爾曼找到了一種巧妙的解決方法，讓我們用顏色為比喻來講解該技巧是如何實現的：

首先，明確我們的目標，發送者和接受者就秘密顏色達成一致，而不讓竊聽者知道，於是需要採用一種技巧，該技巧基於兩點：

一、混合兩種顏色得到第三種顏色很容易；

二、得到這種混合色後，想在此基礎上知道原來的顏色就很難了， 這就是鎖的原理。

朝一個方向容易，朝反方向難，這被稱作是單向函數。解決方案是這樣的，首先，他們公開對某種顏色達成一致，假設是黃色，然後發送者和接收者隨機選取私有顏色，混到公共的黃色中，從而掩飾掉他們的私有顏色，並且將混合顏色發給接收者，接收者知道自己的私有顏色，並將它的混合顏色發給發送者，

然後就是技巧的關鍵了，發送者和接收者將各自私有顏色加入到另一個人的混合色中，然後得到一種共享秘密顏色，此時，竊聽者無法確定這種顏色，她必須有一種私有顏色才能確定，技巧就是這樣，對密碼學的世界中， 我們需要一個數值的運算過程，這個過程向單一方向很容易，反方向會很難。

我們需要一種朝一方向易，反方向難的數值過程，於是密碼學家找到了模算數，也就是取余的函數，（比如46除12的余數是10）。

假設我們考慮用質數做模型，比如17，我們找到17的一個原根，這里是3，它具有如下重要性質，取不同冪次時，結果會在時鍾上均勻分布，3是一個生成元，取3的X次方，結果會等可能地出現在0和17中間任何整數上。

但相反的過程就難了，比如給定12，要求這是3的多少次方，這被稱為離散對數問題，這樣我們就有了單向函數，一個方向計算很容易，但反方向就很難了，已知12，我們只能採用試錯法，求出匹配的質數。

這有多難呢？如果數字很小，這還很容易，但模數是長達數百位的質數，那麼，想解密是不切實際的，即便藉助世界上最強大的計算機，要遍歷所有可能的情況，也需要上千年的時間，單向函數的強度取決於反向過程所需要的時間。

解決方案是這樣的，首先，發送者和接收者公開質模數和生成元，這里的例子中也就是17和3，然後發送者選擇一個私有的隨機數，比如15，計算315 mod 17（結果為6），然後公開將此結果發送給接收者，之後接收者選擇自己的私有隨機數，比如13，計算313mod 17（結果為12），然後公開將此結果發送給對方。

關鍵在於，將接收者的公開結果，取她的私有數字次方，以獲得共享密鑰，這里是10，接收者將發送者的公開結果，取她的私有數字次方，結果得到相同的共享密鑰，可能大家還不好理解，但他們實際上進行了相同的運算。

考慮發送者，她從接收者接收到的是12，來自313 mod 17，所以她的計算實際上是3∧13∧15 mod 17，而接收者，他從發送者那裡接收6，來自315mod17，所以他的計算實際上是3∧15∧13mod17，兩種計算結果是相同的，只是指數的順序不同，調換指數順序，結果不會改變，他們的結果都是，3取兩人私有數字次冪，沒有這些私有數字，15或13，第三方將無法求出結果。

第三方會被困在離散對數問題之中，數字足夠大時，實踐中，她在合理時限內，幾乎不可能破解，這就解決了交換密鑰的問題，這可以同偽隨機數生成器結合使用，為從未謀面的人提供通信加密。

現在區塊鏈常用的演算法，如sha256，都是繼承單向函數的設計思維，一個方向計算容易，反過來幾乎不能破解，來保證安全。

B. 本原元的階數是一樣的嗎

一樣。本原元令K是域F的一個擴域，一個元素a如果它生成擴域K/F，即K=F(a)，則稱該元索為該擴域的本原元。有本原元，即存在α使得，當且僅當E和F之間只有有限個中間域，則在該區域之間的數值是在同一階段的，所以階數是一樣的，證明如果F是有限域，由於E/F是有限擴張，推得E也是有限域。

C. 本原元的概念，數學知識

先是階的概念：模19下7的階為3（7^1=7
mod
19,7^2=11
mod
19,
7^3=1
mod
19,7^4=7
mod
19....）
本原元的概念：若模n下a的階d=φ(n)，a就是n的本原元（又稱為原根）。此時a是Z*_n的生成元。[1]
本原元並不唯一（19本原元還有2，3，10，13，14，15）
不是所有的整數都有本原元，應是這樣的形式：2,3,p^a,2p^a(p為奇素數)
在數學中，本原元定理精確刻畫了什麼時候對於一個域擴張E/F，E可以表示為F(α)的形式，即E可以由單個元素生成。
編輯本段定理
一個有限擴張E/F有本原元，即存在α使得E
=
F(α)，當且僅當E和F之間只有有限個中間域。
編輯本段推論
由於有限可分擴張只有有限個中間域，由本原元定理立刻推出這個擴張有單個生成元

D. 關於密碼學的問題

你上幾年級了，這些知識我怎麼沒學過

E. 本原元是什麼意思

應該是一個域論中間的概念
先是階的概念：模19下7的階為3（7^1=7 mod 19,7^2=11 mod 19,7^3=1 mod 19,7^4=7 mod 19....）
本原元的概念：模n下a的階m=phi(n)，a就是n的本原元，如3是19的本原元
本原元並不唯一（19本原元還有2，3，10，13，14，15）
不是所有的整數都有本原元，應是這樣的形式2,3,p^a,2p^a(p為奇素數)

F. 請教關於密碼學的問題

基於環的比基於域的安全性高一些

G. 本原元在有限域乘法與乘法逆元計算方面的應用有哪些

本原元是指有限域乘法群的生成元，它的階數是q-1，q是有限域中元素個數。本原元的作用有很多，你問的是在乘法和乘法逆元上計算的用處。下面假設w是一個本原元
首先，有限域F中的任何非零元素a都可以表達成w^m的形式，這是因為有限域的乘法群是一個循環群，而本原元是這個循環群的生成元。這樣在計算有限域元素之間乘法的時候，只要將指數相加。具體的說，a=w^m,b=w^n,ab=w^(m+n).
其次，任何一個非零元素a，有上面知道a=w^m,那麼a的逆a^(-1)=w^(-m)
本原元還有其他的用處，如分圓多項式，本原多項式，域的擴張等。不過這不是幾句話能說清楚的了。
我是學代數的，有問題我們可以再交流。