網格優化演算法

『壹』 常見的數學模型有哪些

1、生物學數學模型

2、醫學數學模型

3、地質學數學模型

4、氣象學數學模型

5、經濟學數學模型

6、社會學數學模型

7、物理學數學模型

8、化學數學模型

9、天文學數學模型

10、工程學數學模型

11、管理學數學模型

(1)網格優化演算法擴展閱讀

數學模型的歷史可以追溯到人類開始使用數字的時代。隨著人類使用數字，就不斷地建立各種數學模型，以解決各種各樣的實際問題。

數學模型這種數學結構是藉助於數學符號刻劃出來的某種系統的純關系結構。從廣義理解，數學模型包括數學中的各種概念，各種公式和各種理論。

因為它們都是由現實世界的原型抽象出來的，從這意義上講，整個數學也可以說是一門關於數學模型的科學。從狹義理解，數學模型只指那些反映了特定問題或特定的具體事物系統的數學關系結構，這個意義上也可理解為聯系一個系統中各變數間內的關系的數學表達。

『貳』 數學建模的十類演算法

1、蒙特卡羅演算法（該演算法又稱隨機性模擬演算法，是通過計算機模擬來解決問題的演算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，是比賽時必用的方法）
2．數據擬合、參數估計、插值等數據處理演算法（比賽中通常會遇到大量的數據需要處理，而處理數據的關鍵就在於這些演算法，通常使用Matlab作為工具）
3．線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題（建模競賽大多數問題屬於最優化問題，很多時候這些問題可以用數學規劃演算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟體實現）
4．圖論演算法（這類演算法可以分為很多種，包括最短路、網路流、二分圖等演算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真准備）
5．動態規劃、回溯搜索、分治演算法、分支定界等計算機演算法（這些演算法是演算法設計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中）
6．最優化理論的三大非經典演算法：模擬退火法、神經網路、遺傳演算法（這些問題是用來解決一些較困難的最優化問題的演算法，對於有些問題非常有幫助，但是演算法的實現比較困難，需慎重使用）
7．網格演算法和窮舉法（網格演算法和窮舉法都是暴力搜索最優點的演算法，在很多競賽題中有應用，當重點討論模型本身而輕視演算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具）
8．一些連續離散化方法（很多問題都是實際來的，數據可以是連續的，而計算機只認的是離散的數據，因此將其離散化後進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的）
9．數值分析演算法（如果在比賽中採用高級語言進行編程的話，那一些數值分析中常用的演算法比如方程組求解、矩陣運算、函數積分等演算法就需要額外編寫庫函數進行調用）
10．圖象處理演算法（賽題中有一類問題與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進行處理）

『叄』 數學建模應用的數學建模十大演算法

1、蒙特卡羅演算法,該演算法又稱隨機性模擬演算法，是通過計算機模擬來解決問題的演算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性。
2、數據擬合、參數估計、插值等數據處理演算法，通常使用Matlab作為工具。
3、線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題，通常使用Lindo、Lingo軟體實現。
4、圖論演算法，這類演算法可以分為很多種，包括最短路、網路流、二分圖等演算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決。
5、動態規劃、回溯搜索、分治演算法、分支定界等計算機演算法。
6、最優化理論的三大非經典演算法：模擬退火法、神經網路、遺傳演算法（這些問題是用來解決一些較困難的最優化問題的演算法，對於有些問題非常有幫助，但是演算法的實現比較困難，需慎重使用）
7、網格演算法和窮舉法，網格演算法和窮舉法都是暴力搜索最優點的演算法，在很多競賽題中有應用，當重點討論模型本身而輕視演算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具。
8、一些連續離散化方法，很多問題都是實際來的，數據可以是連續的，而計算機只認的是離散的數據，因此將其離散化後進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要。
9、數值分析演算法（如果在比賽中採用高級語言進行編程的話，那一些數值分析中常用的演算法比如方程組求解、矩陣運算、函數積分等演算法就需要額外編寫庫函數進行調用）。
10、圖象處理演算法（賽題中有一類問題與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進行處理）。

『肆』 數學建模建模分為幾種類型，分別用什麼法求解

數學建模應當掌握的十類演算法
1、蒙特卡羅演算法（該演算法又稱隨機性模擬演算法，是通過計算機模擬來解決問題的算
法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，是比賽時必用的方法）
2、數據擬合、參數估計、插值等數據處理演算法（比賽中通常會遇到大量的數據需要
處理，而處理數據的關鍵就在於這些演算法，通常使用Matlab作為工具）
3、線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題（建模競賽大多數問題
屬於最優化問題，很多時候這些問題可以用數學規劃演算法來描述，通常使用Lindo、
Lingo軟體實現）
4、圖論演算法（這類演算法可以分為很多種，包括最短路、網路流、二分圖等演算法，涉
及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真准備）
5、動態規劃、回溯搜索、分治演算法、分支定界等計算機演算法（這些演算法是演算法設計
中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中）
6、最優化理論的三大非經典演算法：模擬退火法、神經網路、遺傳演算法（這些問題是
用來解決一些較困難的最優化問題的演算法，對於有些問題非常有幫助，但是演算法的實
現比較困難，需慎重使用）
7、網格演算法和窮舉法（網格演算法和窮舉法都是暴力搜索最優點的演算法，在很多競賽
題中有應用，當重點討論模型本身而輕視演算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好
使用一些高級語言作為編程工具）
8、一些連續離散化方法（很多問題都是實際來的，數據可以是連續的，而計算機只
認的是離散的數據，因此將其離散化後進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非
常重要的）
9、數值分析演算法（如果在比賽中採用高級語言進行編程的話，那一些數值分析中常
用的演算法比如方程組求解、矩陣運算、函數積分等演算法就需要額外編寫庫函數進行調
用）
10、圖象處理演算法（賽題中有一類問題與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應該
要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab
進行處理）

『伍』 D3D中鄰接數組的值是怎麼定義的啊看不懂

鄰接數組是一個DWORD數組，記錄了mesh中的三角形的相鄰關系。鄰接數組中的值就是三角形的索引值。
所謂三角形相鄰，就是有一條邊相同（即有兩個頂點相同）。一個三角形有三條邊，所以一個三角形有0~3個相鄰的三角形。用 (DWORD)-1 表示沒有。
Triangle's adjacent to triangle 0: 1 7 11

與三角形0相同的三角形有：1 7 11
從索引緩存中可以知道，三角形0的三個頂點：0 1 2
三角形1的三個頂點：0 3 1
可以看出 三角形0 和 三角形1 有兩個相同的頂點
但是 0號三角形 與 7 和 11 沒有相同的頂點，為什麼也是鄰接三角形呢？
看一下D3D介面：
HRESULT ID3DXMESH::GenerateAdjacency( FLOAT fEpsilon, DWORD* pAdjacency );//生成鏈接數組
參數fEpsilon表示 兩個點距離小於fEpsilon時，可以看做一個點。
所以靠得很近的三角形，雖然頂點不同，也可當做鄰接三角形。

樓主為什麼要糾結於這個問題？生成鄰接數組是為了網格優化。會使用就可以了。還是你想實現自己的網格優化演算法？

『陸』 網格光順

網格光順是通過改變結點坐標的方式來提高網格整體質量的一項技術。對於某一個結點來講，該結點可能位於網格邊界或內部，相應的，該結點被稱為邊界結點或內部結點。通常情況下，為了保持與其他網格之間拓撲相容，網格光順所能夠移動的只能是內部結點，而固定邊界結點。

網格光順最常用的方法是Laplacian光順，Laplacian光順是將某一結點移動到與之相鄰結點的中心。這種方法，演算法簡單，程序實現容易，但計算量大。本節介紹的另外一種網格光順方法是優化平面及曲面三角網格的直接法，該方法的主要思想是通過移動結點使每個三角形都盡可能地趨近於正三角形，從而達到優化網格的效果。

3.5.1.1 直接法

Balendran於1999年提出了優化平面及曲面三角網格的直接法，該方法的主要思想是將網格作為可變形體，在不改變網格拓撲關系的前提下，通過移動結點使每個三角形都盡可能地趨近於正三角形，從而達到優化網格的效果(Balen-dran，1999)。在移動結點時需要注意該結點是否為約束點，所謂約束點即是在生成初始網格和優化時需要保持位置固定的結點，通常情況下，約束點為網格邊界結點和內部「硬」點。優化時只能改變非約束點的位置而保持約束點固定不變。

圖3.26 Laplacian光順優化三角形網格實例

『柒』 如何寫這樣的論文

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課題名稱：民用飛機機翼三維結冰外形的氣動性能分析
學者姓名： 李岱

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開題報告：

民用飛機機翼三維結冰外形的氣動性能分析

開題報告

李 岱

一、課題背景和研究現狀概述

2008年5月「中國商用飛機有限責任公司」掛牌成立，著手研製國產大型客機，首個C919大飛機預計於2014年首飛，2016年適航取證；2008年11月，中國首架具有完全自主知識產權的商用客機ARJ 21-700在上海首飛成功，國內外訂單已愈200架中國航空業的突飛猛進和良好前景對飛機設計人員提出了更高的要求，許多實際問題亟待解決。我國幅員遼闊，氣象條件復雜，高寒地區廣，飛機結冰現象比較常見。飛機結冰是指飛機在飛行過程中，機翼、發動機進氣口等某些迎風部位聚集冰層的現象。結冰輕則使飛機飛行性能下降、飛行品質降低；重則危及飛行安全、造成墜機事故。據統計，在美國所有重大的飛行事故中，結冰作為主要失事原因佔到9% [1,2]。為了研究和應對結冰現象，產生了飛行結冰動力學這一分支學科。

飛機結冰動力學研究[3]始於20世紀30年代。第二次世界大戰後的30年中，研究人員主要在冰風洞中進行試驗研究，探討結冰對飛機氣動性能的影響。隨著計算機能力的提升和對飛機全天候飛行的要求，70年代後期以來，美國和歐洲一些國家開始領銜全面系統的結冰動力學研究，包括地面和飛行試驗，結冰機理研究，防除冰技術研究等。而我國對飛機結冰動力學問題的研究起步於20世紀90年代。

飛機結冰動力學的研究方法直到目前為止，主要有兩個分支：冰風洞試驗模擬研究和計算機數值模擬研究。前者通過流動相似性原理模擬真實飛行條件下的結冰問題，數據較為准確，但花費巨大；基於計算流體力學(Computational Fluid Dynamics)的數值模擬技術則能有效地降低研究成本，縮短研究周期。自上世紀50年代以來，國外相繼開發出了一些結冰計算軟體對結冰狀態下飛機飛行進行模擬，例如美國的LEWICE，加拿大的FENSAP-ICE，法國的ONERA等，這些軟體的開發為進一步的飛機結冰研究提供了很好的基礎。但由於起步較晚，國內尚未有相應的一體化數值模擬軟體。而一款適用於飛機設計過程中計算模擬研究的成熟軟體，將大幅節約研發成本、提高研發效率；有效地預測冰型，也將對調整飛行控制參數、預防嚴重結冰、消除積冰提供幫助，從而減少因結冰發生的飛行事故概率，具有很高的實用價值。

目前，國內對結冰的數值模擬分為兩塊[4]：模擬積冰的形成過程和模擬積冰對飛行性能的影響。國內有西北工業大學、南京航空航天大學和北京航空航天大學等對結冰外形進行了詳細研究。這些研究大多數限於二維的平面情況。

二、課題意義和預期成果

「民用飛機機翼三維結冰外形的氣動性能分析」的預期成果，是對特定三維外形的機翼在特定的結冰外形和特定飛行條件下，進行若干迎角下流場的計算，從而比較和分析干凈機翼和結冰機翼的空氣動力學性能。

本課題如能順利完成，一方面將為後續的飛行控制、結冰控制提供基礎參數；另一方便，也將為拓寬計算范圍提供一定參考，即模擬在更復雜的機翼外形、結冰外形和飛行條件下的空氣動力學特性。

三、課題基本思路和主要內容，研究現狀詳述

對機翼結冰完整的數值模擬計算包括以下5個循環流程[5]，示意圖如下：

1、三維結冰機翼計算網格生成

2、空氣流場計算

5、結冰邊界重構

3、水滴運動軌跡計算

4、結冰量計算

「民用飛機機翼三維結冰外形的氣動性能分析」所涉及的內容包括上述流程中的第一步和第二步，即計算網格的生成和空氣流場的計算。

課題基本思路是：(1)、三維結冰機翼建模；(2)、對外形進行網格劃分；(3)、基於三維流動方程求解流場；(4)、計算氣動性能。具體內容和分析如下。

(1)、三維結冰外型建模[6-8]

積冰可按復雜程度分為霜狀冰、混合冰以及瘤狀冰。霜狀冰較為平滑，瘤狀冰包含冰角，形狀復雜。飛機現實飛行中，機翼積冰一般為霜狀冰和瘤狀冰的混合。

為了模擬特定外形的流場，首先須明確原始機翼和積冰的三維空間外形。建立冰形有兩種方法：1、從既有的實驗數據中獲取三維結冰機翼外形；2、通過軟體模擬得到結冰外形。

第一種方法的優點是數據由試驗得到，准確程度高；外形既定，直接導入數據即可，工作量減小。缺點是可供選擇的數據不多，這是由於查閱國外資料的困難和國內相關資料的欠缺。第二種方法則相反，只要給定參數，可以順利模擬出所需要的冰型；然而冰型的精度與程序的精度密切相關。

目前，通過查閱資料和求助導師，已經獲得了幾個簡單及復雜結冰外形的數據資料，可以在此基礎上對它們進行數值模擬。

(2)、計算網格生成[9-12]

對連續的物理系統的數學描述是用偏微分方程來完成的。為了在計算機上實現對流場狀態的模擬，連續的方程必須離散化，其中一個必需步驟是實現對求解區域的網格劃分。結冰網格體系的好壞直接影響結冰計算結果的精度，甚至影響結冰計算的成敗。

以網格類型來分，可分為結構化網格和非結構化網格。結構化網格數據結構簡單，生成速度快，但對於復雜的冰形，其精確程度無法滿足要求；非結構化網格有以下優點：1、突破了結構網格的網格節點的限制，節點和單元的分布可任意，能較好地適應具有復雜外形的邊界，具有優越的幾何靈活性；2、其隨機的數據結構有利於網格的自適應，可在計算過程中調整網格結構，提高計算精度。

三維非結構網格由四面體構成，其節點分布、節點編號和單元編號均可任意選取，沒有固定的拓撲結構，適合處理復雜邊界問題，具有對復雜外形的高度貼體性。目前，比較成熟的非結構網格生成技術分為兩類：1、基於Delaunay准則的網格劃分方法（如Bowyer-Watson Algorithm和Watson』s Algorithm法）；2、波前法（Advancing Front Triangulation）。基於Delaunay准則的網格生成方法的速度快，網格的尺寸比較容易控制，但對邊界的恢復比較困難，很可能造成網格生成的失敗；波前法的對區域邊界擬合的較好，但是生成的區域內部網格質量較差，生成的速度較慢。結合兩方面技術的非結構化生成技術是目前復雜外形生成非結構化網格的趨勢。

本課題將探究「與波前法相結合的Delaunay四面體網格生成技術」 [13]。進行網格劃分的具體步驟如下：

1、曲面非結構網格生成：用各向異性的Delaunay三角剖分方法生成參數平面的非結構網格，再變換到空間曲面上；

2、邊界確認：將經典Delaunay 方法與波前法相結合，進行邊界四面體剖分，解決邊界還原問題；

3、內點、空間網格生成：使用陣面推進法生成具有最優位置的內部節點，並用Delaunay方法將內部節點高效率地插入，生成四面體空間網格；

4、網格優化：有兩種方法具體可行，一種是Laplace網格光順技術，一種是用邊交換技術和面交換技術。對三維網格的優化，後者效果更加理想，但也更復雜，故選用哪種方法將在實際操作中進行選取。

網格的准確生成是此課題成功與否的基礎所在。查閱文獻和國外網站後，已獲得一些相關演算法和算例。

(3)、空氣流場計算[14-15]

獲得機翼的空氣動力學性能主要依靠空氣流場計算；同時，如前所述，獲得確定的流場也是整個結冰動力學模擬過程中繼而建立液滴運動形式、計算結冰量、重構結冰邊界的基礎。

計算內容包括建立數學模型、數值求解、編程三個步驟。

1、數學模型：對於可視為連續介質的空氣，描述其運動的基本方程為非線性偏微分Navier-Stokes方程組(簡稱N-S方程)。N-S 方程參數繁多，較為復雜，求解這一方程組來模擬真實飛行器的繞流需要十分復雜和龐大的計算。為此，須根據實際問題的物理特徵對 N-S方程進行簡化。在本課題中，權衡結冰時的實際飛行狀態和課題工作量，將N-S方程簡化為Euler方程，即來流無粘情況下的流場動量方程。Euler方程仍然十分適用於復雜流場計算[2]；也使得運算量大幅減少。

2、數值求解：在已劃分好的網格的基礎上，使用數值計算方法求解方程。目前，基於N-S和Euler方程的流場求解方法和求解器已經十分成熟，包括有限體積法、有限差分法和有限元法。具體求解方法將在實踐中比較和選擇。

3、編程：在C或Fortran程序平台上對以上各個步驟進行整合：讀入外形數據、網格劃分、編寫求解程序、調試程序和物理參數、並輸出流場計算結果。這部分工作將配合畫圖軟體完成。

(4)、氣動性能計算[1,16-19]

在分析飛機空氣動力學特性時，其所受力和力矩以空氣動力系數和空氣動力導數的形式出現。空氣動力系數包括升力系數、阻力系數、力矩系數等；氣動導數是空氣動力系數對迎角、馬赫數等參數的導數和這些系數對某些參數隨時間的變化率的導數。

求解並比較干凈機翼與結冰機翼在不同迎角下的流場、升阻力系數、力矩系數以及升力線斜率，這些系數和導數是飛機氣動特性的重要表徵，也是本課題預期最終獲得的結果。

四、課題創新點和難點

(1)、課題創新點

1、二維到三維：目前國內對飛機結冰氣動力的研究絕大部分集中於二維情況，開展三維的研究具有一定的創新性。

2、網格劃分方法新：結合Delaunay和AFT兩種劃分方法，整合兩者優點、彌補各自的缺點。

3、結果可擴展性：建立起正確的流場求解方法以後，可以應用到後續的求解水滴流動狀態、水滴結冰量計算、重構邊界層，繼而建立起一套完整的飛機結冰動力學模型，為解決真實三維情況下的防冰、除冰問題提供有力參考。

(2)、課題難點

1、網格生成：按照既定方法劃分網格將獲得良好的效果，但是需要補充大量關於網格生成方面的知識，增加時間成本；且編程過程中需要調試眾多參數，工作量較大。

2、選擇求解方法：由於計算量比較大，必須在已有的數值求解方法中，選擇效率、精度均較為理想的一種。對求解方法的調試和選擇將增大課題計算量和難度。

五、課題進展計劃

時間進程

內容進展

預期結果

2009.4-2009.5

查閱文獻，了解國內外研究情況

初步明確課題研究方向和方法

2009.5-2009.6

查閱結冰外形數據，比對並捕捉外型

獲得較准確的三維結冰機翼外形

2009.6-2009.9

參考算例完成網格生成程序，並應用於結冰機翼外形上

初步獲得可用的非結構網格

2009.9-2009.10

調試參數，對網格生成程序進行修正和優化

完善網格質量

2009.10

中期報告

2009.11-2010.1

完成流場求解器調試和選擇

選擇效率和質量相對較高的求解方法

2010.1-2010.4

求解流場，計算氣動系數和氣動導數，比對干凈、結冰機翼性能

獲得預期流場分布圖和結冰機翼氣動性能

2010.4

結題

六、課題可行性

(1)、盡管課題處理的是較為復雜的三維情況，但是經過一系列的簡化，如飛行狀態、氣動參數、流動方程，以及目前已經獲得的既有成果，如冰型數據、求解器程序，課題所設計的研究方向入口已並不過寬，導師認為可在預定期限內完成。

(2)、在近三年的本科學習中，申請者已完成了一些相關課程的學習，包括《空氣動力學》、《實驗空氣動力學》、《C程序設計》、《Matlab原理及工程應用》等，具有一定的理論能力和程序編寫、調試能力。

(3)、導師常年從事計算流體力學研究，可對課題進行充分有力的指導；同時，多年的研究也為導師積累了大量的資料，可供學習，參考和利用。

七、參考文獻和書目

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[3]董葳,趙冬梅.飛機結冰動力學的研究發展概述.氣體物理—理論與應用.2006,1(1):6-11

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[5]陳偉健,張大林. 飛機機翼結冰過程的數值模擬. 航空動力學報,2005，20(6):1010-1017

[6]常士楠,艾素霄,陳余,袁修干.一種飛機機翼表面結冰過程模擬方法.系統模擬學報,2008，20(10):2538-2541

[7]張大林,楊曦,昂海松.過冷水滴撞擊結冰表面的數值模擬.航空動力學報,2003,18(1):87-91

[8]蔣勝矩,李鳳蔚.基於N-S方程的翼型結冰數值模擬.西北工業大學學報,2004，22(5):559-562

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『捌』 求，數學建模十大演算法

數學建模的十大演算法
1、蒙特卡羅演算法（該演算法又稱隨機性模擬演算法，是通過計算機模擬來解決問題的演算法，

同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，是比賽時必用的方法）

2、數據擬合、參數估計、插值等數據處理演算法（比賽中通常會遇到大量的數據需要處理，

而處理數據的關鍵就在於這些演算法，通常使用Matlab作為工具）

3、線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題（建模競賽大多數問題屬於最優化問題，

很多時候這些問題可以用數學規劃演算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟體實現）

4、圖論演算法（這類演算法可以分為很多種，包括最短路、網路流、二分圖等演算法，

涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真准備）

5、動態規劃、回溯搜索、分治演算法、分支定界等計算機演算法（這些演算法是演算法設計中比較常用的方法，

很多場合可以用到競賽中）

6、最優化理論的三大非經典演算法：模擬退火法、神經網路、遺傳演算法

（這些問題是用來解決一些較困難的最優化問題的演算法，對於有些問題非常有幫助，

但是演算法的實現比較困難，需慎重使用）

7、網格演算法和窮舉法（網格演算法和窮舉法都是暴力搜索最優點的演算法，在很多競賽題中有應用，

當重點討論模型本身而輕視演算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具）

8、一些連續離散化方法（很多問題都是實際來的，數據可以是連續的，而計算機只認的是離散的數據，

因此將其離散化後進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的）

9、數值分析演算法（如果在比賽中採用高級語言進行編程的話，那一些數值分析中常用的演算法比

如方程組求解、矩陣運算、函數積分等演算法就需要額外編寫庫函數進行調用）

10、圖象處理演算法（賽題中有一類問題與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應該要不乏圖片的，

這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進行處理）