混沌圖演算法

1. 混沌演算法是什麼

演算法要求是：因為每個人說的話一個對，一個錯。我們選擇1個人說的話，假設他說的其中一個是對的，然後對照其他人說的，反推下去，如果後面的結果都可以對上，那麼你假設的那個人其中對的就是對的，如果推下去中間有問題，那麼你假設的那個人對的那句話就是錯的，反選而已。

2. 混沌優化演算法可以求解全局最優解嗎

非線性最優化問題的一種混合解法

摘 要：把BFGS方法與混沌優化方法相結合，基於混沌變數提出一種求解具有變數邊界約束非線性最優化問題的混合優化方法。混合演算法兼顧了混沌優化全局搜索能力強和BFGS方法收斂速度快的優點，成為一種求解非凸優化問題全局最優的有效方法。算例表明，當混沌搜索的次數達到一定數量時，混合優化方法可以保證演算法收斂到全局最優解，且計算效率比混沌優化方法有很大提高。

關鍵詞：混合法；BFGS方法；混沌優化方法；全局最優

1 引言
在系統工程、控制工程、統計學、反問題優化求解等領域中，很多問題是具有非凸性的。對此普通的優化技術只能求出局部最優解，因為這些確定性演算法總是解得最近的一個極值點[1]，只有能夠給出很好的初始點才有可能得出所需要的全局最優解。為此，實際應用中通過在多個初始點上使用傳統數值優化方法來求取全局解的方法仍然被人們所採用，但是這種處理方法求得全局解的概率不高，可靠性低，建立盡可能大概率的求解全局解演算法仍然是一個重要問題。近年來基於梯度法的全局最優化方法已經有所研究[2]，基於隨機搜索技術的遺傳演算法和模擬退火演算法等在全局優化問題中的應用也得到越來越大的重視[3-4]。本文則基於混沌優化和BFGS方法，提出一種求解具有簡單界約束最優化問題(1)的混合演算法。
混沌是存在於非線性系統中的一種較為普遍的現象。混沌運動宏觀上無序無律，具有內隨機性、非周期性和局部不穩定性，微觀上有序有律，並不是完全的隨機運動，具有無窮嵌套的自相似幾何結構、存在普適性規律，並不是雜亂無章的。利用混沌變數的隨機性、遍歷性和規律性特點可以進行優化搜索[5]，且混沌優化方法容易跳出局部最優點。但是某些狀態需要很長時間才能達到，如果最優值在這些狀態時，計算時間勢必很長[5]。可以說混沌優化具有全局搜索能力，其局部搜索能力稍顯不足，文[5]採用二次載波技術，文[6]考慮逐漸縮小尋優變數的搜索空間都是為了彌補這一弱點。而本文則採用混沌搜索與BFGS方法進行優化求解，一方面採用混沌搜索幫助BFGS方法跳出局部最優，另一方面利用BFGS增強解附近的超線性收斂速度和搜索能力，以提高搜索最優的效率。
2 混沌－BFGS混合優化方法
2.1 BFGS方法
作為求解無約束最優化問題的擬牛頓方法類最有代表性的演算法之一，BFGS方法處理凸非線性規劃問題，以其完善的數學理論基礎、採用不精確線性搜索時的超線性收斂性和處理實際問題有效性，受到人們的重視[7-9]。擬牛頓方法使用了二階導數信息，但是並不直接計算函數的Hesse矩陣，而是採用一階梯度信息來構造一系列的正定矩陣來逼近Hesse矩陣。BFGS方法求解無約束優化問題min()的主要步驟如下：
(1) 給變數賦初值x0，變數維數n和BFGS方法收斂精度ε，令B0=I（單位陣），k=0，計算在點x0的梯度g0。
(2) 取sk=-Bk-1gk，沿sk作一維搜索，確定最優步長αk，，得新點xk+1=xk+αksk，計算xk+1點的梯度gk+1。
(3) 若||gk+1||≤ε，則令，，BFGS搜索結束，轉步驟3；否則執行(4)。
(4) 計算Bk+1：
(2)
(3)
(5) k=k+1，轉(2)。
2.2 混沌優化方法
利用混沌搜索求解問題(1)時，先建立待求變數與混沌變數的一一對應關系，本文採用。然後,由Logistic映射式(4)產生個軌跡不同的混沌變數（）進行優化搜索，式(4)中=4。已經證明，=4是「單片」混沌，在[0,1]之間歷遍。
(4)
(1)給定最大混沌變數運動次數M；給賦初值，計算和；置，。
(2) 。
(3) 。
(4) 若k<M，
若，令，；
若，和保持不變；
然後令k=k+1，，轉(2)。
若k>M，則，，混沌搜索結束。
2.3 混合優化方法
混沌方法和BFGS方法混合求解連續對象的全局極小值優化問題(1)的步驟如下：
step1 設置混沌搜索的最大次數M，迭代步數iter=0，變數賦初值x0，。
step2 以為始點BFGS搜索，得當前BFGS方法最優解及=。
step3 若，取=；若，取；若，取，是相對於,較小的數。
step 4 以為始點進行混沌搜索M次，得混沌搜索後的最優解及=。
step5 若<，iter=iter+1，，轉step2；否則執行step6。
step6 改變混沌搜索軌跡，再次進行混沌搜索，即給加微小擾動，執行step 4，得搜索結果和。若<，iter=iter+1，，轉step2；否則計算結束，輸出、。
對全局極大值問題，max ，可以轉化為求解全局極小問題min 。
混合演算法中混沌搜索的作用是大范圍宏觀搜索，使得演算法具有全局尋優性能。而BFGS搜索的作用是局部地、細致地進行優化搜索，處理的是小范圍搜索問題和搜索加速問題。
3 算例

圖 1 函數-特性示意圖 圖 2 函數特性示意圖
採用如下兩個非常復雜的、常用於測試遺傳演算法性能的函數測試本文演算法：

函數稱為Camel 函數，該函數有6個局部極小點(1.607105, 0.568651)、(-1.607105, -0.568651)、(1.703607, -0.796084)、(-1.703607, 0.796084)、(-0.0898,0.7126)和(0.0898,-0.7126)，其中(-0.0898,0.7126)和(0.0898,-0.7126)為兩個全局最小點，最小值為-1.031628。函數稱為 Schaffer's函數，該函數有無數個極大值，其中只有（0，0）為全局最大點，最大值為1。此函數的最大峰值周圍有一圈脊，它們的取值均為0.990283，因此很容易停留在此局部極大點。文獻[10]採用該函數對該文提出的基於移動和人工選擇的改進遺傳演算法（GAMAS）其性能進行了考察，運行50次，40％的情況下該函數的唯一全局最優點能夠找到。而採用本文混合演算法，由計算機內部隨機函數自動隨機生產100個不同的初始點，由這些初始點出發，一般混合演算法迭代2－4次即能夠收斂。M取不同數值時對函數、的計算結果分別如表1和表2所示，表中計算時間是指在奔騰133微機上計算時間。
由表2可見，當M=1500時，本文方法搜索到最優解的概率即達到40％，而此時計算量比文獻[10]小。同樣由混合演算法的100個起始點，採用文獻[5]的演算法對函數優化計算100次，以作為收斂標准，混沌搜索50000次，計算結果為67次搜索到最優解，概率為67%，平均計算時間為1.2369s。而即使保證混合演算法100次全收斂到最優解所花費的平均計算時間也只為0.2142s（表1），可見混合演算法優於文獻[5]的方法。
表1 M取不同數值時函數的計算結果
_____________________________________________________________________
M 搜索到全局最優點的次數 搜索到最優的概率 平均計算時間
(-0.0898,0.7126) (0.0898,-0.7126)
_____________________________________________________________________________________________
1000 44 39 83% 0.1214s
3000 53 45 98% 0.1955s
5000 53 47 100% 0.2142s
________________________________________________________________________________________________

表2 M取不同數值時函數的計算結果
___________________________________________________________
M 搜索到全局最優點的次數 搜索到最優的概率 平均計算時間
____________________________________________________________________________________
1500 40 40% 0.1406s
5000 73 73% 0.2505s
10000 88 88% 0.4197s
50000 100 100% 1.6856s
____________________________________________________________________________________

4 計算結果分析
由表1和表2可見，混合演算法全局尋優能力隨M的增加而增大，當M達到某一足夠大的數值Mu後，搜索到全局最優的概率可以達到100％。
從理論上說，Mu趨向無窮大時，才能使混沌變數遍歷所有狀態，才能真正以概率1搜索到最優點。但是，本文混沌運動M次的作用是幫助BFGS方法跳出局部最優點，達到比當前局部最優函數值更小的另一局部最優附近的某一點處，並不是要混沌變數遍歷所有狀態。由混沌運動遍歷特性可知，對於某一具體問題，Mu達到某一具體有限數值時，混沌變數的遍歷性可以得到較好模擬，這一點是可以滿足的，實際算例也證實了這一點。
由於函數性態、復雜性不同，對於不同函數，如這里的測試函數、，數值Mu的大小是有差別的。對於同一函數，搜索區間增大，在相同混沌運動次數下，即使始點相同，總體而言會降低其搜索到全局最優的概率,要保證演算法仍然以概率1收斂到全局最優，必然引起Mu 增大。跟蹤計算中間結果證實，當M足夠大時，混合演算法的確具有跳出局部最優點，繼續向全局最優進行搜索的能力；並且混合演算法的計算時間主要花費在為使混合演算法具有全局搜索能力而進行混沌搜索上。
5 結語
利用混沌變數的運動特點進行優化，具有非常強的跳出局部最優解的能力，該方法與BFGS方法結合使用，在可以接受的計算量下能夠計算得到問題的最優解。實際上，混沌優化可以和一般的下降類演算法結合使用，並非局限於本文採用的BFGS方法。採用的Logistic映射產生混沌變數序列，只是產生混沌變數的有效方式之一。
混沌運動與隨機運動是不同的。混沌是確定性系統中由於內稟隨機性而產生的一種復雜的、貌似無規的運動。混沌並不是無序和紊亂，更像是沒有周期的秩序。與隨機運動相比較，混沌運動可以在各態歷經的假設下，應用統計的數字特徵來描述。並且，混沌運動不重復地經過同一狀態，採用混沌變數進行優化比採用隨機變數進行優化具有優勢。
混沌優化與下降類方法結合使用是有潛力的一種全局優化途徑，是求解具有變數界約束優化問題的可靠方法。如何進一步提高搜索效率，以及如何把混沌優化有效應用於復雜約束優化問題是值得進一步研究的課題。
本文演算法全局收斂性的嚴格數學證明正在進行之中。
參考文獻
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A Hybrid Approach for Nonlinear Optimization
Abstract：Combined BFGS method with chaos optimization method, a hybrid approach was proposed to solve nonlinear optimization problems with boundary restraints of variables. The hybrid method is an effective approach to solve nonconvex optimization problems, as it given both attentions to the inherent virtue to locate global optimum of chaos optimization method and the advantage of high convergence speed of BFGS method. Numerical examples illustrate that the present method possesses both good capability to search global optima and far higher convergence speed than that of chaos optimization method.

3. 混沌方程是什麼

對於混沌產生的機制, 或通向混沌的道路問題, 我們不能作全面, 深入的介紹, 我們只想通過一個簡單的例子揭示一種典型的通向混沌的道路, 從而使我們對混沌現象有較正確的認識.這個例子是生物學家梅(May)在1976年給出的, 是反映生態學中昆蟲繁殖情況的, 昆蟲繁殖可作為一個動力系統.
動力系統是一個廣泛的概念, 它由狀態 (並給出描述狀態的量) 和動態特性 (狀態演化規則)組成.設某種昆蟲第n代的蟲口數為,nx 第1+n代的蟲口數為1+nx, 則這種昆蟲的演化規律可表示為)1(1nnnxxx-=+λ ,3,2,1=n其中λ為參數, 1+n代的昆蟲數正比於第n代的昆蟲數, 同時要減去因食物有限及接觸傳染導致的昆蟲死亡數. 方程中因存在2nxλ項, 成為非線性迭代方程. 這種迭代關系也稱為邏輯斯諦映射(logistic map). 為了簡化, 設nx的取值范圍為[0,1], λ的取值范圍為[0,4].
一,周期倍化分叉過程
從任何初始值出發迭代時, 一般有個暫態過程, 但當迭代次數很大, 即當∞→n時, 演化會導致一個確定的終態. 我們關心的是終態, 終態情況與參數λ的取值有很大關系. 數值計算結果如下.
λ的值 終 態
4.2=λ
1271==+nnxx
(一個不動點) 周期為1.
2.3=λ
nnxx=+2
0513.05799.0 周期為2.
5.3=λ
nnxx=+1
|←←-
-→→
9500.00875.0
9862.08382.0
| 周期為4.
┇
周期為 ,16,8等的周期倍化分叉
過程.
4~569.3=λ
基本上為混沌區(即周期為∞),其中還有周期窗口, 並具有一定結構.
設,ξ=∞→nnx 則終態集ξ和λ的關系可用圖4.表示(示意圖, 未按比例畫).我們可以看到混沌產生和發展的過程. 當13>>λ時, 迭代的終態是一個確定值(或稱不動
點), 不管初值取何值, 終態是同一值, 此值只與λ有關, 與λ值一一對應, 例如4.2=λ時,127=ξ. 到達終態後, 每經過一次迭代都回到迭代前的值, 故稱其周期為1.
當3449.3>>λ時, 看到曲線從3=λ處開始分叉為2支, 即與一個λ值對應將有2個ξ值, 終態是2個值輪流取值, 經2次迭代後回到原先的值,故周期為2.
當449.3544.3>>λ時, 曲線進一步倍分叉,終態是4個值輪流取值, 周期變為4. 當λ繼續增大時, 曲線將繼續倍分叉, 出現周期為 ,32,16,8等, 這個過程稱為周期倍化分叉過程.
當569.3=λ時, 周期變為∞, 即終態可取無窮多的各種不同值, 終態對初值極為敏感, 使之成為不可預測, 即開始出現混沌現象. 在此之前(即569.3<λ時), 終態都是周期的, 可預測的,並與初值無關. 在4569.3≤≤λ區間, 基本上是混沌區, 但不是鐵板一塊, 其中還有周期窗口等結構.
為了對混沌現象有一個感性認識, 我們把4=λ時所做的數值計算結果列在表中. 3個初值的差別是非常小的, 僅在小數點後第七八位上有差別, 經過10次迭代後所得結果差別不大, 經50次迭代後所得結果差別就很大了, 對初值的敏感性充分顯示出來了. 3個初值差別如此小, 在物理上可能已無法分辨, 而把它們視為"同一"初值.
在前10步迭代過程, 它們幾乎有相同的演化規律,即演化可預測, 但到了50步迭代後, 3個"同一"初值卻產生了極不相同的結果, 好像演化規律出現了隨機性. 這就是混沌現象.
n )1(41nnnxxx-=+
0 0.1 0.100 000 01 0.100 000 1
1 0.36 0.360 000 003 2 0.360 000 032 0
2 0.921 6 0.921 600 035 8 0.921 600 358 4
10 0.147 836 559 9 0.147 824 444 9 0.147 715 428 1
50 0.277 569 081 0 0.435 057 399 7 0.937 349 588 2
51 0.802 094 386 2 0.983 129 834 6 0.104 139 309 1
52 0.634 955 927 4 0.066 342 251 5 0.373 177 253 6
二,費根鮑姆常數
1978年費根鮑姆發現在周期倍化分叉過程中存在著普適常數. 設mλ為第m個分叉點的參數值,我們從圖看到, 相鄰分叉點間的間隔隨著分叉過程是越來越小, 通過計算發現相鄰分叉間隔之比趨於一個常數9990102609201669.4lim
1
1==
-
-
+
-
∞→
δ
λλ
λλ
mm
mm
m
這個常數具有普適性, 被命名為費根鮑姆常數.周期倍化分叉過程是一條通向混沌的典型道路, 不僅邏輯斯諦映射是這樣, 實驗證明許多混沌現象, 如受迫的倒擺振動中, 受迫的大幅度單擺運動中的混沌現象等都是通過這條道路產生的,這些過程中同樣存在這個普適常數.
三,倒分叉
下面再來說明混沌區中存在的結構, 首先存在倒分叉的結構, 其次還存在許多周期窗口.
當參數λ從4開始逐漸減小時, 混沌區將發生倒分叉現象, 開始時混沌區是一整片, 但當λ減小到小於一個值6678.3)1(=λ時, 單片混沌開始變次,其數值從其中一個跳到另一個. 當λ再減小跨越6592.3)2(=λ時, 2片混沌又分為4片. λ繼續減小, 將相繼分化為8片, 16片, 32片……等等,分叉值 )3()2()1(,,λλλ收斂到.9569.3 這個倒分叉過程如圖所示. 相鄰分叉值間距比又收斂於費根鮑姆數, 即
δ
λλ
λλ
=
-
-
+
-
∞→
)1()(
)()1(lim
mm
mm
m
四,窗口
在4569.3≤≤λ的混沌區中還存在窗口(如圖中畫的一個), 它代表λ在某個范圍內取值時, 終態是穩定的周期解, 這一事實在物理實驗或計算機數值計算中能被觀察到. 如在8856.34828.3≤≤λ區間存在一個窗口, 在828.3=λ時出現周期為3的解, 在圖上呈現出3條曲線, 隨著λ值繼續增大,又會發生周期倍化分叉過程, 相繼出現周期為24,12,6等解, 最初3條曲線每一條都演化成一個
混沌區, 共有3個混沌區; 在每一個混沌區中又上演著倒分叉過程, 並且在混沌區中同樣也存在周期窗口.
我們看到在4~1=λ區間中的演化與在8856.3~4828.3=λ窗口中的演化是完全相似的,只是尺度不同而已. 這個從周期3開始的窗口稱窗口3.除此窗口外還存在許多其他窗口.
如上所述, 在窗口3內的混沌區中也存在窗口,依上類推, 在這個更小的窗口內也將重復相似的演化. 所以, 從理論上可以想像, 這是一幅精美的圖畫, 顯示出無窮套嵌著的自相似結構. 這些都說明混沌現象與隨機現象有著根本區別.
本章著重介紹了20世紀60年代以來在非線性研究中揭示的混沌現象, 它產生於不可積系統,由於方程解的長期行為對初值十分敏感, 出現了貌似隨機的行為. 在同一時期, 非線性研究中也揭示了與之相反的另一極端現象, 發現了孤立波(或孤立子) 的存在. 它產生於一批非線性完全可積系統, 它們的解具有規則性和出奇的穩定性,
說明非線性還在產生有序性方面有重要作用. 此外, 科學家也已找到求解這類非線性方程的普遍方法.

4. mathematica可以繪制出超混沌圖嗎

如果你演算法沒錯的話，就可以畫的出來。。只是時間慢。。哎。。你可以改進下方法

5. 迭代、分形和混沌

地球物理場能量很小，除天然地震震源物理研究外，場正演問題都歸結為線性偏微分方程。但是，反問題都是非線性的。

5.1.1 牛頓迭代與分形

非線性迭代的最基本方法是牛頓迭代法。也就是說，將函數展成台勞級數，略去高次項，從一次項中提出修改增量和Jacobian矩陣，構成線性方程組。牛頓迭代法收斂很快，但是收斂取決於初始猜測。

1988年，Petigen與Saupe的論文集中發表了一個有趣的試驗結果，他考慮以下簡單的非線性方程

z³-1=0 （5.1.1）

此方程的一個實根為z=1，兩個復根為

z=exp（± 2πi/3） （5.1.2）

用牛頓迭代格式

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來逼近，得到的是實根還是哪一個復根？

當然，初值z₀可以是復平面z=x+iy中的任一點。可以猜測，z₀在復平面上可以分為若干個區域，z₀在某個區域用式（5.1.3）作迭代後收斂，在另外的區域收斂於復根。習慣於線性思維的人會認為這些區域是有清晰邊界分開的幾塊，如z₀等於1的鄰域牛頓迭代將收斂於實根z=1，它的面積大約佔z平面的1/3左右，而其他區域收斂於復根。事實並非如此，初值z₀的收斂域是分形的，如圖5.1所示。從圖5.1 可見，黑色區域的面積的確是選初值區域（-2≤x≤2，-2≤y≤2）的1/3，但它的邊界是分形的，即含有所有的尺度，彼此自相似。為什麼像式（5.1.1）那麼簡單的迭代格式會導致這么復雜的分形圖像？為什麼初值在這種邊界上的微小變化會使迭代收斂到完全不同的根？

圖5.1 實虛軸在（-2，2）范圍內的復平面z黑色區域經牛頓迭代後收斂於實根z=1初值區，白色為收斂於復根的區域

問題歸結為方程（5.1.1）的非線性，而非線性是系統走向混沌的必要條件。對於非線性系統，初值的微小變化會使系統狀態在幾個「吸引子」之間回彈，其幾何表現就是分形。

5.1.2 分形地球模型

本書把地球參數看成是實函數集，即Hilbert空間的元，這是確定性模型。確定性模型隱含著地球物質有序分布的假定，而隨機模型隱含著地球物質隨機分布的假定。我們現在進一步假定地球物質分布是自相似或自仿射的，具有多尺度的層次結構，這就導致地球的分形模型。

從分形的觀點描述地球的根據是：地球是無標度的復雜對象，其尺度可由幾毫米的微裂縫到上萬公里的地球直徑，而不同尺度之間的現象具有相似性。

人有特徵尺度，即人的身高，在1.6 m或5 ft左右。因此，人造的東西也有特徵尺度，如火車的高度在2m上下，輪船和高樓平均為幾十米，這種特徵尺度稱為標度。

自然現象一般具有多尺度的特徵，沒有特徵尺度。分形幾何學把不同尺度的現象用標度律聯系起來

p（λt）=λ^αp（t），0 ＜ α ＜ 1 （5.1.4）

式中p（t）為某種層次的尺度，p（λt）為它放大λ倍之後的尺度，α為標度指數。而

D₀=2-α （5.1.5）

等於Mandelbrot分維數。

維數指的是幾何對象中的一個點所置的獨立坐標的個數，如地球表面的一個點用經緯度表示，它的維數是2。在分形幾何學中，維數可以為分數，分數的維數稱為分維數。

對二維情況，一個正方形每邊都放大3倍（尺度放大），則變為9個原正方形，有

2=l n9/l n3

對整數維為d的幾何對象，每個方向都放大L倍，結果得到N個原來的對象，有

d=lnN/lnL

每個方向放大L倍等效於此方向測量尺度（或度量的單位）縮小為原來的ε=1/L倍。因此，在一般情況下，用很小的度量單位ε研究對象的尺度變化時，可定義

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這就是Mandelbrot分形維。

1992年Korvin編了一本名為《地學中的分形模型》的書，書中列舉了與地球科學有關的許多分形模型。其中談到，1984年美國地調所出動數十輛消防車對內華達岩石出露區進行沖洗，然後對其裂隙作詳細填圖，得出該區裂隙系統的平均分維數為1.744。用大尺度的區域斷裂構造圖計算此區斷裂系統的分維數為1.773，證實了不同層次的地球斷裂系統之間具有自相似性。陳顒與特科特等人的專著對此也有精彩的描述。

關於分形幾何學與其他分維數（如相關維D₂、信息維D₁等）的討論詳見有關專著。以下只介紹對時間序列計算分形維D₀的方法。傳統的介紹D₀分維數的方法多用時間系列的功率譜計算。由於地球物理資料的功率譜在高頻段含有大量噪音，這種計算方法幾乎不能用。我們只研究以下演算法，在反射地震資料處理上取得良好效果。

對平面曲線，其總長度為

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式中：ε為度量單位（尺子）；N為量得的尺數；f為尺子量完後的剩餘長度（f＜ε）；D₀為Mandelbrot分形維數。將式（5.1.7）兩邊取對數，有

ln（N+f/ε）=-D₀lny+lnL （5.1.8）

設時間序列為 ｛s₁，s₂，…，s_m｝，取樣率為Δt，則用ε₁=Δt為尺子量出它對應的曲線長度為

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再令ε₂=2Δt為尺子量出，有

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取ε₃=4Δt，有

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將式（5.1.9）至（5.1.11）代入式（5.1.8）有方程

ln（N_j+f_j/ε_j）=-D₀lnε_j+lnL，j=1，2，3 （5.1.12）

用最小二乘法易求出方程組（5.1.12）中的兩個未知數D₀和L。當然，還可取ε₄=8Δt等，以提高求分形維D₀的准確度。下節還要提到，反演迭代輸出序列的分形維是指示迭代狀態的一種有用參數。

5.1.3 非線性迭代與混沌

設x_n為第n步的迭代輸出，x_n+1為下一步的迭代輸出，二次方程

x_n+1=rx_n（1-x_n） （5.1.13）

雖然很簡單，但迭代過程（演化）卻是很復雜的。這個方程稱為May生態方程。將x_n+1及x_n視為若干年後池塘中大魚的產量，由於x_n越大繁殖就越多，所以x_n+1與它成正比；又因大魚越多吃的小魚也越多，x_n+1又與（1-x_n）成正比。這就是生態方程的含義，系數r與飼料總量有關。

將x_n及x_n+1視為若干年後你的一筆銀行存款的總值，當年存款x_n越多次年本利就越多，所以x_n+1與x_n成比例。但是，存款越多銀行利率下降越多，x_n+1又與（1-x_n）成比例。系數r為控制參數，與銀行存款總量有關。可見，生態方程反映許多自然與人文發展的規律。

將（5.1.13）式中的x_n+1視為常數，則它是一個關於x_n的二次方程，有兩個根。這意味著演化問題存在兩種選擇（線性問題只有一種選擇）。x_n有兩種選擇將造成迭代輸出不穩定，在兩種選擇中跳來跳去。例如，池塘魚的產量和水果產量常出現大年與小年的區別，這種演化成為二齒分叉（Pitchfork bifurcation）。

分叉取決於控制參數r，二齒分叉可能不斷進行下去，即由兩叉變四叉，四叉變八叉。具體地說，隨r從很小變到r=r₁=1.0時，開始第一次分叉。當r=r₂=3時，再次分四叉等等。此後，迭代變得非常不穩定，並很快變得沒有規律和不可預測（即混沌）。

圖5.2示出二次映射的迭代輸出隨控制系數的分叉過程，以及相應的Lyapunov指數。由圖可見，二次映射迭代隨外部控制參數r的增大導致有規律的分叉，直至走向混沌。

圖5.2 二次映射（式（5.1.13））的迭代輸出x_n隨r的變化，黑色區表示混沌區（a），以及Lyapunov指數的變化（b）

在非線性動力學中，混沌指的是非線性系統演化的一種不確定和無規則狀態。分叉、間歇、突變（如相變）都是典型的不規則狀態。在地球科學中，火山爆發是典型的間歇，地震發生是能量的突然釋放，其形成的斷裂裂隙具有分形結構。

混沌發生的必要條件是系統為非線性。多層次的復雜非線性系統（如人類社會）由於其自組織的困難，較易演化為混沌運動（如戰爭）。開放的耗散（Dissipative）系統由於固有的非線性性質，也經常出現混沌。但是，非線性只是混沌運動發生的必要條件，而不是充分條件。混沌運動的特徵如下。

（1）不可預測性，指初始條件有微小的差別將導致最終結果迥然不同。設迭代映射方程為x_n+1=f（x_n），例如當f為二次函數時，它變成（5.1.13）的May生態方程。f在一般情況下指任何導致混沌結果的函數。如果初始條件x₀帶有微小的誤差ε₀，經過N次迭代後其誤差被指數放大，記f_N（x₀+ε）為帶誤差的迭代輸出，有

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因此定義

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為Lyapunov指數。還可將式（5.1.15）寫為

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可見Lyapunov指數表示經N次迭代後系統演化軌道加速偏離的指數。設|ΔI|為經過一次迭代後系統信息的平均損失，有

λ（x₀）=ln2|ΔI| （5.1.17）

說明λ與|ΔI|成正比。根據Shannon資訊理論，系統信息量等於該系統作完備描述編碼所需的最小bit數目。當λ＞0時，每次迭代的信息損失都大於零，系統的熵不斷增大以導致混沌的發生。圖5.2（b）示出了二次迭代的λ隨r的變化並將它與系統的分叉和混沌作對比。由圖可見，λ＜0時對應的系統穩定，在λ=0的點系統發生分叉，而λ＞0的點對應混沌。因此，Lyapunov是指示狀態的重要標量參數。

（2）整體行為的有規律性。雖然系統在未來的具體狀態具有不確定性和不可預測，但是「表面上看起來瘋狂雜亂，其實自有規矩」（莎士比亞）。所有系統演化的軌跡形成的相空間的圖形中，存在若干個吸引軌跡的若干個很小的空間（成為吸引子），使軌跡不斷收縮到其中，或者突跳到另一個吸引子附近。這種現象表示整體行為仍具有整體性。

整體行為的規律性還表現在不同層次的運動的相似性（分形）上。Feigenbaum證明，無論是哪種形如x_n+1=f（x_n）的混沌運動，其轉化為混沌的尺度特徵都由兩個普適常數控制，更說明混沌理論具有整體規律性。

形式周期性，混沌狀態的發生有時會重復出現，但這種重復是不確定的。例如，大地震的發生時多時少，既包括高頻度的重復出現，又沒有準確的周期。

非線性科學研究的全面展開，還是20世紀90年代的事。19世紀建立了線性科學的理論框架，它在20世紀發展為完整的體系。但是非線性科學理論框架的建立，將是21世紀的事。對正問題的研究尚且如此，對非線性問題的研究更加零星。接下來介紹根據混沌理論進行非線性反演的一些實例。

6. 求混沌數學公式

什麼是混沌數學
要弄明白不可預言性如何可以與確定論相調和，可以來看看 一個比整個宇宙次要得多的系統——水龍頭滴下的水滴。這是一 個確定性系統，原則上流入水龍頭中的水的流量是平穩、均勻的， 水流出時發生的情況完全由流體運動定律規定。但一個簡單而有效的實驗證明，這一顯然確定性的系統可以產生不可預言的行為。 這使我們產生某種數學的「橫向思維」，它向我們解釋了為什麼此種怪事是可能的。
假如你很小心地打開水龍頭，等上幾秒鍾，待流速穩定下來， 通常會產生一系列規則的水滴，這些水滴以規則的節律、相同的時 間間隔落下。很難找到比這更可預言的東西了。但假如你緩緩打 開水龍頭，使水流量增大，並調節水龍頭，使一連串水滴以很不規則的方式滴落，這種滴落方式似乎是隨機的。只要做幾次實驗就會 成功。實驗時均勻地轉動水龍頭，別把龍頭開大到讓水成了不間斷 的水流，你需要的是中速滴流。如果你調節得合適，就可以在好多 分鍾內聽不出任何明顯的模式出現。
1978年，加利福尼亞大學聖克魯斯分校的一群年青的研究生 組成了一個研究動力學系統的小組。他們開始考慮水滴系統的時 候，就認識到它並不像表現出來的那樣毫無規則。他們用話筒記錄 水滴的聲音，分析每一滴水與下一滴水之間的間隔序列。他們所發 現的是短期的可預言性。要是我告訴你3個相繼水滴的滴落時刻， 你會預言下一滴水何時落下。例如，假如水滴之間最近3個間隔是 0.63秒、1.17秒和0.44秒，則你可以肯定下一滴水將在0.82秒 後落下(這些數只是為了便於說明問題)。事實上，如果你精確地知 道頭3滴水的滴落時刻，你就可以預言系統的全部未來。
那麼，拉普拉斯為什麼錯了? 問題在於，我們永遠不能精確地測量系統的初始狀態。我們在任何物理系統中所作出的最精確的 測量，對大約10位或12位小數來說是正確的。但拉普拉斯的陳述 只有在我們使測量達到無限精度(即無限多位小數，當然那是辦不 到的)時才正確。在拉普拉斯時代，人們就已知道這一測量誤差問 題，但一般認為，只要作出初始測量， 比如小數點後10位，所有相 繼的預言也將精確到小數點後10位。誤差既不消失，也不放大。 不幸的是，誤差確實放大，這使我們不能把一系列短期預言串 在一起，得到一個長期有效的預言。例如，假設我知道精確到小數 點後10位的頭3滴水的滴落時刻，那麼我可以精確到小數點後9 位預言下一滴的滴落時刻，再下一滴精確到8位，以此類推。誤差 在每一步將近放大10倍，於是我對進一步的小數位喪失信心。所 以，向未來走10步，我對下一滴水的滴落時刻就一無所知了。(精 確的位數可能不同：它可能使每6滴水失去1位小數的精度，但只 要取60滴，同樣的問題又會出現。)
這種誤差放大是使拉普拉斯完全確定論破滅的邏輯缺陷。要 完善整個測量根本做不到。假如我們能測量滴落時刻到小數點後 100位，我們的預言到將來100滴(或用較為樂觀的估計，600滴) 時將失敗。這種現象叫「對初始條件的敏感性」，或更非正式地叫 「蝴蝶效應」(當東京的一隻蝴蝶振翅時，可能導致一個月後佛羅里 達的一場颶風)。它與行為的高度不規則性密切相關。任何真正規 則的東西，據定義都是完全可預言的。但對初始條件的敏感性卻使 行為不可預言—從而不規則。因此，呈現對初始條件敏感性的系 統被稱為混沌系統。混沌行為滿足確定性的定律，但它又如此不規 則，以至在未受過訓練的眼睛看來顯得雜亂無章。混沌不僅僅是復 雜的、無模式的行為，它要微妙得多。混沌是貌似復雜的、貌似無模 式的行為，它實際上具有簡單的、確定性的解釋。
混沌的發現是由許多人(多得在此無法一一列舉)作出的。它 的出現，是由3個相互獨立的進展匯合而成的。第一個是科學注重 點的變化，從簡單模式(如重復的循環)趨向更復雜的模式。第二個 是計算機，它使得我們能夠容易和迅速地找到動力學方程的近似 解。第三個是關於動力學的數學新觀點— 幾何觀點而非數值觀 點。第一個進展提供了動力，第二個進展提供了技術，第三個進展 則提供了認識。
動力學的幾何化發端於大約100年前。法國數學家昂利·龐 加萊(Henri Poincare)是一個獨立獨行的人(如果有的話)，但他非 常傑出，以致他的許多觀點幾乎一夜之間就成了正統的觀點，當時 他發明了相空間概念，這是一個虛構的數學空間，表示給定動力學 系統所有可能的運動。為了舉一個非力學的例子，讓我們來考慮獵 食生態系統的群體動力學。此系統中捕食者是豬，被捕食者是塊菌 (一種味道奇特、辛辣的真菌)。我們關注的變數是兩個群體的規模 ——豬的數目和塊菌的數目(兩者都相對於某個參考值，如100 萬)。這一選擇實際上使得兩個變數連續，即取帶小數位的實數值， 而不取整數值。例如，假如豬的參考數目是100萬，則17439頭豬 相當於值0.017439。現在，塊菌的自然增長依賴於有多少塊菌以及 豬吃塊菌的速率：豬的增長依賴於豬的頭數以及豬吃的塊菌數目。 於是每個變數的變化率都依賴於這兩個變數，我們可把注意力轉 向群體動力學的微分方程組。我不把方程列出來，因為在這里關鍵 不是方程，而是你用方程干什麼。
這些方程原則上確定任何初始群體值將如何隨時間而變化。 例如，假使我們從17439頭豬和788444株塊菌開始，則你對豬變 量引入初始值0.017439，對塊菌變數引入初始值0.788444，方程 會含蓄地告訴你這些數將如何變化。困難的是使這種含蓄變得清 晰：求解方程。但在什麼意義上求解方程呢? 經典數學家的自然反 應是尋找一個公式，這個公式精確地告訴我們豬頭數和塊菌株數 在任何時刻將是多少。不幸的是，此種「顯式解」太罕見，幾乎不值 得費力去尋找它們，除非方程具有很特殊的、受限制的形式。另一 個辦法是在計算機上求近似解，但那隻能告訴我們這些特定韌始 值將發生什麼變化，以及我們最想知道的許多不同的初始值將發 生什麼變化。
龐加萊的思想是畫一幅圖，這幅圖顯示所有初始值所發生的 情況。系統的狀態--在某一時刻兩個群體的規模——可以表示 成平面上的點，用坐標的方法即可表示。例如，我們可能用橫坐標 代表豬頭數，用縱坐標代表塊菌株數。上述初始狀態對應於橫坐標 是0.017439、縱坐標是0.788444的點。現在讓時間流逝。坐標按 照微分方程表達的規則從一個時刻變到下一個時刻，於是對應點 運動。依動點劃出一條曲線；那條曲線是整個系統未來狀態的直觀 表述。事實上，通過觀察這條曲線，不用搞清楚坐標的實際數值，你 就可以「看出」重要的動力學特徵。
例如，如果這曲線閉合成環，則兩個群體遵從周期性循環，不 斷重復同樣一些值 就像跑道上的賽車每一圈都經過同一個旁 觀者那樣。假如曲線趨近某個特定點並停在那，則群體穩定到一個 定態，它們在此都不發生變化——就像耗盡了燃料的賽車。由於幸 運的巧合，循環和定態具有重要的生態意義—特別是，它們給群 體規模設置了上限和下限。所以肉眼最易看出的這些特徵確實是 實際事物的特徵。並且，許多不相關的細節可以被忽略——例如， 不必描述其精確形狀，我們就可以看出存在一種閉合環(它代表兩 個群體循環的合成「波形」)。
假如我們試一試一對不同的初始值，那將會發生什麼情況? 我 們得到第二條曲線。每一對初始值定義一條新曲線。通過畫出一 整族的此種曲線，我們可以抓住所有初始值之下系統所有可能的 行為。這族曲線類似於圍繞平面盤旋的一種虛擬數學流體的流線。 我們稱此平面為系統的相空間，那族盤旋曲線是系統的相圖。取代 具有各種初始條件的以符號為基礎的微分方程概念，我們有了流 經豬塊菌空間的點的直觀幾何圖像。這僅在其許多點是潛在點而 非實際點而有別於普通平面：它們的坐標對應於在適當初始條件 下可能出現，但在特定情況下可能不會出現的豬頭數和塊菌株數。 所以，除了從符號到幾何的心理轉移，還存在從實際向潛在的哲理 性的轉移。
對於任何動力學系統，都可以設想同一種類型的幾何圖像。有 相空間，其坐標是所有變數的值；有相圖，即一族表示從所有可能 的初始條件出發的所有可能行為的盤旋曲線，這些曲線為微分方 程所刻劃。這一思想是一大進展，因為我們無需關心微分方程解的 精確數值，而可以把注意力集中於相圖的寬廣范圍，使人發揮其最 大優勢(即驚人的圖像處理能力)。作為把全部潛在行為編織起來 的一種方式(自然界從中選擇實際觀察到的行為)的相空間圖，在 科學中已被廣為應用。
龐加萊這一大創新所帶來的結果，是動力學可藉助被稱為吸 引子(attractor)的幾何形狀來加以直觀化。假如你使一動力學系 統從某個初始點出發，觀察它長期運作的情況，你往往會發現，它 最終圍繞相空間中某個明確的形狀游盪。例如，曲線可以向一個閉 合環旋進，然後繞環永遠兜圈子。而且，初始條件的不同選擇會導 致相同的終末形狀。倘若如此，那形狀就叫做吸引子。系統長期的 動力學特性受其吸引子支配，吸引子的形狀決定產生何種類型的 動力學特性。
例如，趨向於定態的系統，它具有的吸引子是一個點。趨向於 周期性地重復同樣行為的系統，它具有的吸引子是一個閉環。也就 是說，閉環吸引子相當於振盪器。請回憶一下第五章有關振動的小 提琴弦的描述：小提琴弦經歷一系列最終使它回歸到出發點的運 動，並將一遍又一遍重復那個系列。我的意思不是小提琴弦以物理 環運動，但我對它的描述是隱喻意義上的閉環：運動經過相空間的 動態地形而環游。
混沌有其自身頗為古怪的幾何學意義，它與被稱為奇異吸引 子的離奇分形形狀相聯系。蝴蝶效應表明，奇異吸引子上的詳細運 動不可預先確定，但這並末改變它是吸引子這個事實。設想一下如 果把一個 古 球拋進波 洶涌的大海，無論你從空中向下丟球，還 是從水下讓球向上浮，球都會向海面運動。一旦到了海面之後，它 就在起伏的波浪中經歷一個很復雜的運動路徑，但不管這路徑多 么復雜，球仍然留在海面上或至少很接近海面。在這一圖景里，海 面是吸引子。因此，盡管有混沌，不論出發點可能是什麼，系統最終 將很接近它的吸引子。
混沌作為一種數學現象已得到充分證實，但在現實世界裡我 們如何檢測它呢? 我們必須完成一些實驗，但這存在一個問題。實 驗在科學中的傳統作用是檢驗理論預言，但要是蝴蝶效應在起作 用—正像它對任何混沌系統所做的那樣——我們怎麼能期望去 檢驗一個預言? 莫非混沌天生不可檢驗，從而是不科學的? 回答是，「不」! 因為「預言」這個詞有兩個含義。一是指「預卜 未來」。當混沌出現時，蝴蝶效應阻礙預卜未來。但另一個含義是 「預先描述實驗結果將是什麼」。讓我們來考慮一下如果擲100次 硬幣的例子。為了預言— 在算命先生的意義上預卜— 會發生 什麼情況，你必須預先列出每一次拋擲的結果。但你可以作出科學 的預言，如「大約一半硬幣將正面朝上」，而不必具體地預卜未來 ——甚至預言時，這系統仍然是隨機的。沒有人會因為統計學處理 不可預言的事件而認為它不科學，因此亦座以同樣態度來對待混沌。 你可以作出各種各樣的關於混沌系統的預言。事實上，你可以 作出充足的預言把確定性混沌與真正的隨機性區分開。你能常常 預言的一件事是吸引子的形狀，它不受蝴蝶效應的影響。蝴蝶效應 所做的一切，是使系統遵從同一吸引子上的不同軌線。總之，吸引 子的一般形狀往往可從實驗觀測中得到。
混噸的發現揭示了我們對規律與由此產生的行為之間——即 原因與結果之間——關系的一個基本性的錯誤認識。我們過去認 為，確定性的原因必定產生規則的結果，但現在我們知道了，它們 可以產生易被誤解為隨機性的極不規則的結果。我們過去認為，簡 單的原因必定產生簡單的結果(這意味著復雜的結果必然有復雜 的原因)，但現在我們知道了，簡單的原因可以產生復雜的結果。我 們認識到，知道這些規律不等於能夠預言未來的行為。
原因和結果之間的這種脫節是怎麼出現的? 為什麼相同的一 些規律有時候產生明顯的模式，有時候卻產生混油? 答案可以在家 家戶戶的廚房裡，就在打蛋器那樣簡單的機械裝置中找到。兩條打 蛋臂的運動簡單又可預言：每條打蛋臂都平穩地旋轉。然而，裝置 里的糖和蛋白的運動則復雜得多。糖和蛋白在打蛋臂的作用下得 到混合，那正是打蛋器要達到的目的，但那兩條旋轉的打蛋臂並未 絞在一起。當你打完蛋後，不必把打蛋臂解開。為什麼調合蛋白的 運動如此不同於打蛋臂的運動? 混合是一個遠比我們想像的復雜 得多的動態過程。設想一下，試圖預言一顆特定的糖粒最終將在何 處是何等艱難! 當混合物在那對打蛋臂之間通過時，它被向左右兩 邊扯開。兩顆起初緊靠在一起的糖粒不久分得很開，各走各的道。 事實上，這正是蝴蝶效應在起作用。初始條件中的微小變化有 著巨大的影響。因此，混合是一個混沌過程。
反之，每一個混沌過程都包含一種在龐加萊虛擬相空間中的 數學混合。這就是潮汐可預言、而天氣不可預言的原因。兩者包含 同一種類型的數學，但潮汐的動力學不在相空間混合，而天氣的動 力學則在相空間混合。
科學在傳統上看重秩序，但我們正開始認識到混沌能給科學 帶來獨特的好處。混沌更容易對外部刺激作出快速反應。設想一 下等待接發球的網球運動員。他們站著不動嗎? 他們有規則地從 一邊移向另一邊嗎? 當然不。他們雙腳零亂地蹦跳。部分原因在 於擾亂其對手；但同時也准備對任何發過來的球作出反應。為了能 夠向任何特定方向快速運動，他們在許多不同方向上作出快速運 動。混沌系統與非混沌系統相比較，前者輕而易舉地就能非常快地 對外部事件作出反應。這對工程式控制制問題來說很重要。例如，我們 現在知道某類湍流由混沌造成— 混沌正是使湍流混亂不堪的元 凶。我們也許可以證明，通過建立對破壞任何小區域的原發湍流作 出極快反應的控制機制，使擦過飛機表面的氣流不致太湍亂，從而 減小運動阻力，這種情況是可能的。活的生物為了對變化的環境作 出快速反應，也必須呈現混沌行為。
這一思想已被一群數學家和物理學家，其中包括威廉·迪托 (William Ditto)、艾倫·加芬科(Alan Garfinkel)和吉姆·約克 (Jim Yorke)，變成了一項非常有用的實用技術，他們稱之為混沌 控制。實質上，這一思想就是使蝴蝶效應為你所用。初始條件的小 變化產生隨後行為的大變化，這可以是一個優點；你必須做的一 切，是確保得到你想要的大變化。對混沌動力學如何運作的認識， 使我們有可能設計出能完全實現這一要求的控制方案。這個方法 已取得若干成功。混沌控制的最早成就之一，是僅用衛星上遺留的 極少量肼使一顆「死」衛星改變軌道，而與一顆小行星相碰撞。美國 國家航空與航天管理局操縱這顆衛星圍繞月球旋轉5圈，每一圈 用射出的少許肼將衛星輕推一下，最後實現碰撞。
這一數學思想已被用來控制湍亂流體中的一條磁性條帶—— 控制流經潛水艇或飛機的湍流的一個原型；控制使胡亂跳動的心 臟恢復有規則的節律，這預示著智能起搏器的發明；用來建立和防 止腦組織中電活動的節律波，這又開辟了預防癲癇發作的新途徑。 混沌已是一個迅速發展的行業。每一個星期都有有關混沌的 數學基礎的新發現、混沌對我們認識自然界的新應用，或有關應用 混噸產生的新技術的報導，包括混沌洗碟機(日本人發明用兩條混沌 旋轉的轉臂使碟子潔凈的節能機器)和英國人發明的用混沌理 論進行數據分析從而改進礦泉水生產中的質量管理的機器。 然而，還有更多的東西有待研究。或許混沌最終懸而末決的問 題是奇異的量子世界，幸運女神主宰那裡的一切。放射性原子「隨 機地」衰變，它們唯一的規律是統計規律。大量放射性原子雖有明 確的「半衰期」 一段半數原子將衰變的時間，但我們不能預言 哪一半原子即將衰變。前面提到的愛因斯坦的斷言，就是針對這一 問題的。在將不衰變的放射性原子與將要衰變的放射性原子之間， 確實根本不存在任何差別嗎? 原子怎麼知道該干什麼? 量子力學的表觀隨機性可能騙人嗎? 它確實是確定性混沌嗎?
設想原於是宇宙流體的某種振動液滴。放射性原子很有力地振動， 並且較小的液滴時常會分裂——衰變。這振動快得我們無法對它 們進行細致測量，我們只能測量平均量(如能級)。現在，經典力學 告訴我們，一滴真實流體會混油地振動。當它振動時，其運動是確 定性的，但不可預言。許多振動不約而同「隨意地」分裂微小的液 滴。蝴蝶效應使得不可能預言何時液滴將分裂，但這事件具有精確 的統計特徵，包括明確的「半衰期」。
放射性原子表觀隨機衰變可能是某種在微觀尺度上的類似 物? 為什麼終歸存在統計規律? 統計規律是內在確定性的外顯，抑 或會來自別的什麼地方? 遺憾的是，尚沒有人使這誘人的思想產生 結果——盡管它在精神上類似於時髦的超弦理論，在超弦理論中， 亞原於粒子是一種人為的振動著的多維環。在這里主要的類似特 征是，振動環與振動液滴都將新的「內部變數」引入其物理學圖景 中，而顯著的區別在於它們處理量子不確定性的方式。超弦理論同 傳統量子力學一樣，把這種不確定性視為真正的隨機。然而，在一 個像液滴這樣的系統里，表觀不確定性實際上是由確定性的(但是 混沌的)原動力所產生。訣竅——如果只有我們知道如何來操作的 話— 也許在於：發明某種維持超弦理論成功特徵的結構，同時造 就幾個行為混沌的內部變數。它可能是使上帝的骰子變得確定，並 使愛因斯坦在天之靈欣慰的一條動人途徑。
重要的不在於你做什麼，而在於你如何來做。
混沌正在顛覆我們關於世界如何運作的舒適假定。一方面混 沌告訴我們，宇宙遠比我們想得要怪異。混沌使許多傳統的科學方 法受到懷疑，僅僅知道自然界的定律不再足夠了。另一方面，混沌 還告訴我們，我們過去認為是無規則的某些事物實際上可能是簡 單規律的結果。自然之混噸也受規律約束。過去，科學往往忽視貌 似無規則的事件或現象，理由是，既然它們根本沒有任何明顯的模 式，所以不受簡單規律的支配。事實並非如此。恰好在我們鼻子底 下就有簡單規律——支配疾病流行、心臟病發作或蝗災的規律。如 果我們認識了這些規律，我們就有可能制止隨之而來的災難。 混沌已經向我們顯示了新的規律，甚至是新型的規律。混沌自 有一類新的普適模式。最初被發現的模式之一存在於滴水水龍頭 里。可能我們還記得水龍頭可以有節律地或雜亂地滴水，這取決於 水流的速度。實際上，有規則滴水的水龍頭與「無規則」滴水的水龍 頭都是同一數學處方的略微不同的變體。但隨著水流經過水龍頭 的速率的增加，動力學特性的類型發生變化。代表動力學特性的相 空間中的吸引子在不斷地變化— 它以一種可預言的、但極復雜 的方式在發生變化。
有規則滴水的水龍頭有一個反復滴一滴一滴一滴的節律，每 一滴都與前一滴相同。然後略微旋開水龍頭，水滴略快。現在節律 變成滴一滴一滴一滴，每2滴就重復一次。不僅水滴的大小(它決 定水滴聽上去有多響)，而且從這一滴到下一滴的滴落時刻，都略 有變化。
假如你讓水流得再快一些，得到4滴節律，水滴再快一點，產 生8滴節律。水滴重復序列的長度不斷加倍。在數學模型里，這一 過程無限繼續下去，具有16，32，64等水滴的節律群。但產生每次 相繼周期倍化的流速變得愈來愈細微；並存在一個節律群大小在 此無限頻繁加倍的流速。此時此刻，沒有任何水滴序列完全重復同 一模式。這就是混沌。
我們可以用龐加萊的幾何語言來表達所發生的情形。對於水 龍頭，吸引子起初是閉環，表示周期循環。設想這環是圍繞你手指 的一根橡皮筋。當流速增大時，這環分裂成2個相鄰的環，就像橡 皮筋在手指上繞了2圈。於是橡皮筋2倍於原長度，所以周期加 倍。然後這已經加倍的環又沿其長度完全以同樣方式加倍，產生周 期4循環，以此類推。在無窮多次加倍之後，你的手指被細面條似 的橡皮筋纏繞，即混沌吸引子。
這種混沌創生方案叫周期倍化級聯。1975年，物理學家米切爾·費根鮑姆(Mitchell Feigenbaum)發現，一個可用實驗加以測 量的特殊數與每個周期倍化級聯相聯系。這個數大約是4.669，它 與π並列成為似乎在數學及其與自然界的關系中都有非同尋常意 義的離奇數之一。費根鮑姆數也有一個符號：希臘宇母δ。數π告 訴我們圓周長如何與圓的直徑相關。類似地，費根鮑姆數δ告訴我 們水滴周期如何與水的流速相關。准確地說，你必須通過這個額外 量旋開水龍頭，在每次周期倍化時減小 l/4.669。
π是與圓有關的任何東西的一個定量特徵。同理，費根鮑姆數 δ是任何周期倍化級聯的定量特徵，不管級聯是如何產生的或如 何用實驗得出的。這同一個數在關於液氨、水、電路、擺、磁體以及 振動車輪的實驗中都會出現。它是自然界中一個新的普適模式，是 我們僅僅透過混沌之眼就可看到的模式，一個從定性現象產生的 定量模式，一個數。這數確實是自然之數中的一個。費根鮑姆數打 開了通往數學新世界的大門，我們才剛剛開始探索這個世界? 費根鮑姆發現的這個精確模式(和諧如此類的其他模式)是一 件傑作。其根本點在於，甚至當自然之定律的結果看上去無模式 時，定律依然存在，模式亦然。混沌不是無規，它是由精確規律產生 的貌似無規的行為。混沌是隱秘形式的秩序。

7. matlab中的混沌問題 feigenbaum圖對應程序

clear;clf; hold on
axis([0,3,-3,3]); grid
for a=0:0.005:3 x=[0.1]; for i=2:150
x(i)=a*sin(pi*x(i-1)); end pause(0.1) for i=101:150
plot(a,x(i),'k.'); end end

8. 混沌演算法是什麼

例題:
大虎說：三虎要木珠，五虎要水珠
二虎說：三虎要土珠，四虎要金珠
三虎說：二虎要金珠，大虎要火珠
四虎說：五虎要金珠，四虎要火珠
五虎說：三虎要水珠，大虎要木珠
開個QQ聊天框輸入：
3木
5水
3土
4金
2金
1火
5金
4火
3水
1木觀察得出：
上面只有「2」出現了一次。可以確定「2」一定是「金」。
所以含「2」、「金」的項可以去掉。
剩下：
3木
5水
3土
1火
4火
3水
1木觀察得出：
上面只有「土」、「4」出現了一次。可以確定「3」一定是「土」。
「4」一定是「火」。
所以含「3」、「4」、「土」、「火」的項可以去掉。
剩下：
5水
1木
最終確定了：
2金
3土
4火
5水
1木即：
大虎——木
二虎——金
三虎——土
四虎——火
五虎——水
脫毛，來分，辛苦！