演算法時空圖
1. 數據結構中評價一個好的演算法,應該從哪幾個方面來考慮
數據結構中評價一個好的演算法，應該從四個個方面來考慮，分別是：
一、演算法的正確性。
二、演算法的易讀性。
三、是演算法的健壯性。
四、是演算法的時空效率（運行）。
演算法的設計取決於數據（邏輯）結構，而演算法的實現依賴於採用的存儲結構。數據的存儲結構實質上是它的邏輯結構在計算機存儲器中的實現，為了全面的反映一個數據的邏輯結構，它在存儲器中的映象包括兩方面內容，即數據元素之間的信息和數據元素之間的關系。
不同數據結構有其相應的若干運算。數據的運算是在數據的邏輯結構上定義的操作演算法，如檢索、插入、刪除、更新和排序等。
(1)演算法時空圖擴展閱讀：
分類
1、集合結構。該結構的數據元素間的關系是「屬於同一個集合」。
2、線性結構。該結構的數據元素之間存在著一對一的關系。
3、樹型結構。該結構的數據元素之間存在著一對多的關系。
4、圖形結構。該結構的數據元素之間存在著多對多的關系，也稱網狀結構。
2. 演算法是什麼意思 謝謝
演算法（Algorithm）是指解題方案的准確而完整的描述，是一系列解決問題的清晰指令，演算法代表著用系統的方法描述解決問題的策略機制。也就是說，能夠對一定規范的輸入，在有限時間內獲得所要求的輸出。如果一個演算法有缺陷，或不適合於某個問題，執行這個演算法將不會解決這個問題。不同的演算法可能用不同的時間、空間或效率來完成同樣的任務。一個演算法的優劣可以用空間復雜度與時間復雜度來衡量。
演算法中的指令描述的是一個計算，當其運行時能從一個初始狀態和（可能為空的）初始輸入開始，經過一系列有限而清晰定義的狀態，最終產生輸出並停止於一個終態。一個狀態到另一個狀態的轉移不一定是確定的。隨機化演算法在內的一些演算法，包含了一些隨機輸入。
(2)演算法時空圖擴展閱讀：
演算法分類：
1、有限的，確定性演算法 這類演算法在有限的一段時間內終止。他們可能要花很長時間來執行指定的任務，但仍將在一定的時間內終止。這類演算法得出的結果常取決於輸入值。
2、有限的，非確定演算法 這類演算法在有限的時間內終止。然而，對於一個（或一些）給定的數值，演算法的結果並不是唯一的或確定的。
3、無限的演算法 是那些由於沒有定義終止定義條件，或定義的條件無法由輸入的數據滿足而不終止運行的演算法。通常，無限演算法的產生是由於未能確定的定義終止條件。
3. 求計算機系統結構 習題答案
第一章(P33)
1.7-1.9（透明性概念），1.12-1.18（Amdahl定律），1.19、1.21、1.24（CPI/MIPS）
第二章(P124)
2.3、2.5、2.6（浮點數性能），2.13、2.15（指令編碼）
第三章(P202)
3.3（存儲層次性能），3.5（並行主存系統），3.15-3.15加1題（堆棧模擬），3.19中(3)(4)(6)(8)問（地址映象/替換演算法--實存狀況圖）
第四章(P250)
4.5（中斷屏蔽字表/中斷過程示意圖），4.8（通道流量計算/通道時間圖）
第五章(P343)
5.9（流水線性能/時空圖），5.15（2種調度演算法）
第六章(P391)
6.6（向量流水時間計算），6.10（Amdahl定律/MFLOPS）
第七章(P446)
7.3、7.29（互連函數計算），7.6-7.14（互連網性質），7.4、7.5、7.26（多級網尋徑演算法），7.27（尋徑/選播演算法）
第八章(P498)
8.12（SISD/SIMD演算法）
第九章(P562)
9.18（SISD/多功能部件/SIMD/MIMD演算法）
(註：每章可選1-2個主要知識點，每個知識點可只選1題。有下劃線者為推薦的主要知識點。)
4. 誰知道洛書河圖的正確圖與演算法
河圖與洛書是中國古代流傳下來的兩幅神秘圖案，歷來被認為是河洛文化的濫觴，中華文明的源頭，被譽為"宇宙魔方"。相傳，上古伏羲氏時，洛陽東北孟津縣境內的黃河中浮出龍馬，背負"河圖"，獻給伏羲。伏羲依此而演成八卦，後為《周易》來源。又相傳，大禹時，洛陽西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱"洛書"，獻給大禹。大禹依此治水成功，遂劃天下為九州。又依此定九章大法，治理社會，流傳下來收入《尚書》中，名《洪範》。《易·系辭上》說："河出圖，洛出書，聖人則之"，就是指這兩件事。河圖上，排列成數陣的黑點和白點，蘊藏著無窮的奧秘；洛書上，縱、橫、斜三條線上的三個數字，其和皆等於15，十分奇妙。對此，中外學者作了長期的探索研究，認為這是中國先民心靈思維的結晶，是中國古代文明的第一個里程碑。《周易》和《洪範》兩書，在中華文化發展史上有著重要的地位，在哲學、政治學、軍事學、倫理學、美學、文學諸領域產生了深遠影響。作為中國歷史文化淵源的河圖洛書，功不可沒。
河圖洛書是中華文化，陰陽五行術數之源。最早記錄在《尚書》之中，其次在《易傳》之中，諸子百家多有記述。太極、八卦、周易、六甲、九星、風水、等等皆可追源至此。1987年河南濮陽西水坡出土的形意墓，距今約6500多年。墓中用貝殼擺繪的青龍、白虎圖象栩栩如生，與近代幾無差別。河圖四象、28宿俱全。其布置形意，上合天星，下合地理，且埋葬時已知必被發掘。同年出土的安徽含山龜腹玉片，則為洛書圖象，距今約5000多年。可知那時人們已精通天地物理，河圖、洛書之數了。據專家考證，形意墓中之星象圖可上合二萬五千年前。這說明邵庸等先哲認為「河圖、洛書乃上古星圖」，其言不虛。
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6. C語言迷宮問題，求該演算法的時間和空間的復雜度。迷宮的路徑已經定義好，求出路的演算法。
該演算法是不穩定的，其時空復雜度不僅和m,n有關，還和mg[][]的具體數值有關。
最壞情況下：每個點都試探過才走到終點。此時時間復雜度為：(m*n-1)*4，（其中4為4個方向），空間復雜度m*n*2，(其中m*n為存儲迷宮圖空間，m*n為棧空間);
再好情況下：一次試探過就走到終點。此時時間復雜度為：(min(m,n)-1)，空間復雜度m*n;
所以：
該演算法時間復雜度為：[(m*n-1)*4+(min(m,n)-1)]/2，約為2×m×n
空間復雜度為3*m*n/2
7. 演算法效率與分析
演算法效率與分析
數據結構作為程序設計的基礎，其對演算法效率的影響必然是不可忽視的。本文就如何合理選擇數據結構來優化演算法這一問題，對選擇數據結構的原則和方法進行了一些探討。首先對數據邏輯結構的重要性進行了分析，提出了選擇邏輯結構的兩個基本原則；接著又比較了順序和鏈式兩種存儲結構的優點和缺點，並討論了選擇數據存儲結構的方法；最後本文從選擇數據結構的的另一角度出發，進一步探討了如何將多種數據結構進行結合的方法。在討論方法的同時，本文還結合實際，選用了一些較具有代表性的信息學競賽試題舉例進行了分析
【正文】一、引論
「數據結構＋演算法＝程序」，這就說明程序設計的實質就是對確定的問題選擇一種合適的數據結構，加上設計一種好的演算法。由此可見，數據結構在程序設計中有著十分重要的地位。
數據結構是相互之間存在一種或多種特定關系的數據元素的集合。因為這其中的「關系」，指的是數據元素之間的邏輯關系，因此數據結構又稱為數據的邏輯結構。而相對於邏輯結構這個比較抽象的概念，我們將數據結構在計算機中的表示又稱為數據的存儲結構。
建立問題的數學模型，進而設計問題的演算法，直至編出程序並進行調試通過，這就是我們解決信息學問題的一般步驟。我們要建立問題的數學模型，必須首先找出問題中各對象之間的關系，也就是確定所使用的邏輯結構；同時，設計演算法和程序實現的過程，必須確定如何實現對各個對象的操作，而操作的方法是決定於數據所採用的存儲結構的。因此，數據邏輯結構和存儲結構的好壞，將直接影響到程序的效率。
二、選擇合理的邏輯結構
在程序設計中，邏輯結構的選用就是要分析題目中的數據元素之間的關系，並根據這些特定關系來選用合適的邏輯結構以實現對問題的數學描述，進一步解決問題。邏輯結構實際上是用數學的方法來描述問題中所涉及的操作對象及對象之間的關系，將操作對象抽象為數學元素，將對象之間的復雜關系用數學語言描述出來。
根據數據元素之間關系的不同特性，通常有以下四種基本邏輯結構：集合、線性結構、樹形結構、圖狀（網狀）結構。這四種結構中，除了集合中的數據元素之間只有「同屬於一個集合」的關系外，其它三種結構數據元素之間分別為「一對一」、「一對多」、「多對多」的關系。
因此，在選擇邏輯結構之前，我們應首先把題目中的操作對象和對象之間的關系分析清楚，然後再根據這些關系的特點來合理的選用邏輯結構。尤其是在某些復雜的問題中，數據之間的關系相當復雜，且選用不同邏輯結構都可以解決這一問題，但選用不同邏輯結構實現的演算法效率大不一樣。
對於這一類問題，我們應採用怎樣的標准對邏輯結構進行選擇呢？
下文將探討選擇合理邏輯結構應充分考慮的兩個因素。
一、 充分利用「可直接使用」的信息。
首先，我們這里所講的「信息」，指的是元素與元素之間的關系。
對於待處理的信息，大致可分為「可直接使用」和「不可直接使用」兩類。對於「可直接使用」的信息，我們使用時十分方便，只需直接拿來就可以了。而對於「不可直接使用」的這一類，我們也可以通過某些間接的方式，使之成為可以使用的信息，但其中轉化的過程顯然是比較浪費時間的。
由此可見，我們所需要的是盡量多的「可直接使用」的信息。這樣的信息越多，演算法的效率就會越高。
對於不同的邏輯結構，其包含的信息是不同的，演算法對信息的利用也會出現不同的復雜程度。因此，要使演算法能夠充分利用「可直接使用」的信息，而避免演算法在信息由「不可直接使用」向「可直接使用」的轉化過程中浪費過多的時間，我們必然需要採用一種合理的邏輯結構，使其包含更多「可直接使用」的信息。
〖問題一〗 IOI99的《隱藏的碼字》。
〖問題描述〗
問題中給出了一些碼字和一個文本，要求編程找出文本中包含這些碼字的所有項目，並將找出的項目組成一個最優的「答案」，使得答案中各項目所包含的碼字長度總和最大。每一個項目包括一個碼字，以及該碼字在文本中的一個覆蓋序列（如』abcadc』就是碼字』abac』的一個覆蓋序列），並且覆蓋序列的長度不超過1000。同時，「答案」要求其中每個項目的覆蓋序列互相沒有重疊。
〖問題分析〗
對於此題，一種較容易得出的基本演算法是：對覆蓋序列在文本中的終止位置進行循環，再判斷包含了哪些碼字，找出所有項目，並最後使用動態規劃的方法將項目組成最優的「答案」。
演算法的其它方面我們暫且不做考慮，而先對問題所採用的邏輯結構進行選擇。
如果我們採用線性的邏輯結構（如循環隊列），那麼我們在判斷是否包含某個碼字t時，所用的方法為：初始時用指針p指向終止位置，接著通過p的不斷前移，依次找出碼字t從尾到頭的各個字母。例如碼字為「ABDCAB」，而文本圖1-1，終止位置為最右邊的箭頭符號，每個箭頭代表依次找到的碼字的各個字母。
指針p的移動方向
A B D C A B
C D A C B D C A D C D B A D C C B A D
圖1-1
由於題目規定碼字的覆蓋序列長度不超過1000，所以進行這樣的一次是否包含的判斷，其復雜度為O(1000)。
由於碼字t中相鄰兩字母在文本中的位置，並非只有相鄰(如圖1-1中的』D』和』C』)這一種關系，中間還可能間隔了許多的字母(如圖1-1中』C』和』A』就間隔了2個字母)，而線性結構中擁有的信息，僅僅只存在於相鄰的兩元素之間。通過這樣簡單的信息來尋找碼字的某一個字母，其效率顯然不高。
如果我們建立一個有向圖，其中頂點i(即文本的第i位)用52條弧分別連接』a』..』z』,』A』..』Z』這52個字母在i位以前最後出現的位置（如圖1-2的連接方式），我們要尋找碼字中某個字母的前一個字母，就可以直接利用已連接的邊，而不需用枚舉的方法。我們也可以把問題看為：從有向圖的一個頂點出發，尋找一條長度為length(t)-1的路徑，並且路徑中經過的頂點，按照碼字t中的字母有序。
C D A C B D C A D C D B A D C C B A D
圖1-2
通過計算，用圖進行記錄在空間上完全可以承受(記錄1000個點×52條弧×4位元組的長整型=200k左右)。在時間上，由於可以充分利用第i位和第i+1位弧的連接方式變化不大這一點(如圖1-2所示，第i位和第i+1位只有一條弧的指向發生了變化，即第i+1位將其中一條弧指向了第i位)，所以要對圖中的弧進行記錄，只需對弧的指向進行整體賦值，並改變其中的某一條弧即可。
因此，我們通過採用圖的邏輯結構，使得尋找字母的效率大大提高，其判斷的復雜度為O(length(t))，最壞為O(100)，比原來方法的判斷效率提高了10倍。
（附程序codes.pas）
對於這個例子，雖然用線性的數據結構也可以解決，但由於判斷的特殊性，每次需要的信息並不能從相鄰的元素中找到，而線性結構中只有相鄰元素之間存在關系的這一點，就成為了一個很明顯的缺點。因此，問題一線性結構中的信息，就屬於「不可直接使用」的信息。相對而言，圖的結構就正好滿足了我們的需要，將所有可能產生關系的點都用弧連接起來，使我們可以利用弧的關系，高效地進行判斷尋找的過程。雖然圖的結構更加復雜，但卻將「不可直接使用」的信息，轉化成為了「可直接使用」的信息，演算法效率的提高，自然在情理之中。。
二、 不記錄「無用」信息。
從問題一中我們看到，由於圖結構的信息量大，所以其中的信息基本上都是「可用」的。但是，這並不表示我們就一定要使用圖的結構。在某些情況下，圖結構中的「可用」信息，是有些多餘的。
信息都「可用」自然是好事，但倘若其中「無用」（不需要）的信息太多，就只會增加我們思考分析和處理問題時的復雜程度，反而不利於我們解決問題了。
〖問題二〗 湖南省1997年組隊賽的《乘船問題》
〖問題描述〗
有N個人需要乘船，而每船最多隻能載兩人，且必須同名或同姓。求最少需要多少條船。
〖問題分析〗
看到這道題，很多人都會想到圖的數據結構：將N個人看作無向圖的N個點，凡同名或同姓的人之間都連上邊。
要滿足用船最少的條件，就是需要盡量多的兩人共乘一條船，表現在圖中就是要用最少的邊完成對所有頂點的覆蓋。這就正好對應了圖論的典型問題：求最小邊的覆蓋。所用的演算法為「求任意圖最大匹配」的演算法。
使用「求任意圖最大匹配」的演算法比較復雜(要用到擴展交錯樹，對花的收縮等等)，效率也不是很高。因此，我們必須尋找一個更簡單高效的方法。
首先，由於圖中任兩個連通分量都是相對獨立的，也就是說任一條匹配邊的兩頂點，都只屬於同一個連通分量。因此，我們可以對每個連通分量分別進行處理，而不會影響最終的結果。
同時，我們還可以對需要船隻s的下限進行估計：
對於一個包含Pi個頂點的連通分量，其最小覆蓋邊數顯然為[Pi/2]。若圖中共有L個連通分量，則s=∑[Pi/2](1<=i<=L)。
然後，我們通過多次嘗試，可得出一個猜想：
實際需要的覆蓋邊數完全等於我們求出的下限∑[Pi/2](1<=i<=L)。
要用圖的結構對上述猜想進行證明，可參照以下兩步進行：
1． 連通分量中若不存在度為1的點，就必然存在迴路。
2． 從圖中刪去度為1的點及其相鄰的點，或刪去迴路中的任何一邊，連通分量依然連通，即連通分量必然存在非橋邊。
由於圖的方法不是這里的重點，所以具體證明不做詳述。而由採用圖的數據結構得出的演算法為：每次輸出一條非橋的邊，並從圖中將邊的兩頂點刪去。此演算法的時間復雜度為O(n3)。（尋找一條非橋邊的復雜度為O(n2)，尋找覆蓋邊操作的復雜度為O(n)）
由於受到圖結構的限制，時間復雜度已經無法降低，所以如果我們要繼續對演算法進行優化，只有考慮使用另一種邏輯結構。這里，我想到了使用二叉樹的結構，具體說就是將圖中的連通分量都轉化為二叉樹，用二叉樹來解決問題。
首先，我們以連通分量中任一個頂點作為樹根，然後我們來確定建樹的方法。
1． 找出與根結點i同姓的點j（j不在二叉樹中）作為i的左兒子，再以j為樹根建立子樹。
2． 找出與根結點i同名的點k（k不在二叉樹中）作為i的右兒子，再以k為樹根建立子樹。
如圖2-1-1中的連通分量，我們通過上面的建樹方法，可以使其成為圖2-1-2中的二叉樹的結構(以結點1為根)。（兩點間用實線表示同姓，虛線表示同名）
圖2-1-2
圖2-1-1
接著，我就來證明這棵樹一定包含了連通分量中的所有頂點。
【引理2.1】
若二叉樹T中包含了某個結點p，那麼連通分量中所有與p同姓的點一定都在T中。
證明：
為了論證的方便，我們約定：s表示與p同姓的頂點集合；lc[p,0]表示結點p，lc[p,i](i>0)表示lc[p,i-1]的左兒子，顯然lc[p,i]與p是同姓的。
假設存在某個點q，滿足qs且qT。由於s是有限集合，因而必然存在某個lc[p,k]無左兒子。則我們可以令lc[p,k+1]=q，所以qT，與假設qT相矛盾。
所以假設不成立，原命題得證。
由引理2.1的證明方法，我們同理可證引理2.2。
【引理2.2】
若二叉樹T中包含了某個結點p，那麼連通分量中所有與p同名的點一定都在T中。
有了上面的兩個引理，我們就不難得出下面的定理了。
【定理一】
以連通分量中的任一點p作為根結點的二叉樹，必然能夠包含連通分量中的所有頂點。
證明：
由引理2.1和引理2.2，所有與p同姓或同名的點都一定在二叉樹中，即連通分量中所有與p有邊相連的點都在二叉樹中。由連通分量中任兩點間都存在路徑的特性，該連通分量中的所有點都在二叉樹中。
在證明二叉樹中包含了連通分量的所有頂點後，我們接著就需要證明我們的猜想，也就是下面的定理：
【定理二】包含m個結點的二叉樹Tm，只需要船的數量為boat[m]=[m/2](mN)。
證明：
(i) 當m=1,m=2,m=3時命題顯然成立。
圖2-2-1
圖2-2-2
圖2-2-3
(ii) 假設當m<k(k>3)時命題成立，那麼當m=k時，我們首先從樹中找到一個層次最深的結點，並假設這個結點的父親為p。那麼，此時有且只有以下三種情況（結點中帶有陰影的是p結點）：
(1) 如圖2-2-1，p只有一個兒子。此時刪去p和p唯一的兒子，Tk就成為了Tk-2，則boat[k]=boat[k-2]+1=[(k-2)/2]+1=[k/2]。
(2) 如圖2-2-2，p有兩個兒子，並且p是其父親的左兒子。此時可刪去p和p的右兒子，並可將p的左兒子放到p的位置上。同樣地，Tk成為了Tk-2，boat[k]=boat[k-2]+1=[k/2]。
(3) 如圖2-2-3，p有兩個兒子，並且p是其父親的右兒子。此時可刪去p和p的左兒子，並可將p的右兒子放到p的位置上。情況與(2)十分相似，易得此時得boat[k]=boat[k-2]+1=[k/2]。
綜合(1)、(2)、(3)，當m=k時，boat[k]=[k/2]。
最後，綜合(i)、(ii)，對於一切mN，boat[m]=[m/2]。
由上述證明，我們將問題中數據的圖結構轉化為樹結構後，可以得出求一棵二叉樹的乘船方案的演算法：
proc try(father:integer;var root:integer;var rest:byte);
{輸出root為樹根的子樹的乘船方案，father=0表示root是其父親的左兒子，
father=1表示root是其父親的右兒子，rest表示輸出子樹的乘船方案後，
是否還剩下一個根結點未乘船}
begin
visit[root]:=true; {標記root已訪問}
找到一個與root同姓且未訪問的結點j;
if j<>n+1 then try(0,j,lrest);
找到一個與root同姓且未訪問的結點k;
if k<>n+1 then try(1,k,rrest);
if (lrest=1) xor (rrest=1) then begin {判斷root是否只有一個兒子，情況一}
if lrest=1 then print(lrest,root) else print(rrest,root);
rest:=0;
end
else if (lrest=1) and (rrest=1) then begin {判斷root是否有兩個兒子}
if father=0 then begin
print(rrest,root);root:=j; {情況二}
end
else begin
print(lrest,root);root:=k; {情況三}
end;
rest:=1;
end
else rest:=1;
end;
這只是輸出一棵二叉樹的乘船方案的演算法，要輸出所有人的乘船方案，我們還需再加一層循環，用於尋找各棵二叉樹的根結點，但由於每個點都只會訪問一次，尋找其左右兒子各需進行一次循環，所以演算法的時間復雜度為O(n2)。（附程序boat.pas）
最後，我們對兩種結構得出不同時間復雜度演算法的原因進行分析。其中最關鍵的一點就是因為二叉樹雖然結構相對較簡單，但已經包含了幾乎全部都「有用」的信息。由我們尋找乘船方案的演算法可知，二叉樹中的所有邊不僅都發揮了作用，而且沒有重復的使用，可見信息的利用率也是相當之高的。
既然採用樹結構已經足夠，圖結構中的一些信息就顯然就成為了「無用」的信息。這些多餘的「無用」信息，使我們在分析問題時難於發現規律，也很難找到高效的演算法進行解決。這正如迷宮中的牆一樣，越多越難走。「無用」的信息，只會干擾問題的規律性，使我們更難找出解決問題的方法。
小結
我們對數據的邏輯結構進行選擇，是構造數學模型一大關鍵，而演算法又是用來解決數學模型的。要使演算法效率高，首先必須選好數據的邏輯結構。上面已經提出了選擇邏輯結構的兩個條件（思考方向），總之目的是提高信息的利用效果。利用「可直接使用」的信息，由於中間不需其它操作，利用的效率自然很高；不不記錄「無用」的信息，就會使我們更加專心地研究分析「有用」的信息，對信息的使用也必然會更加優化。
總之，在解決問題的過程中，選擇合理的邏輯結構是相當重要的環
三、 選擇合理的存儲結構
數據的存儲結構，分為順序存儲結構和鏈式存儲結構。順序存儲結構的特點是藉助元素在存儲器中的相對位置來表示數據元素之間的邏輯關系；鏈式存儲結構則是藉助指示元素存儲地址的指針表示數據元素之間的邏輯關系。
因為兩種存儲結構的不同，導致這兩種存儲結構在具體使用時也分別存在著優點和缺點。
這里有一個較簡單的例子：我們需要記錄一個n×n的矩陣，矩陣中包含的非0元素為m個。
此時，我們若採用順序存儲結構，就會使用一個n×n的二維數組，將所有數據元素全部記錄下來；若採用鏈式存儲結構，則需要使用一個包含m個結點的鏈表，記錄所有非0的m個數據元素。由這樣兩種不同的記錄方式，我們可以通過對數據的不同操作來分析它們的優點和缺點。
1． 隨機訪問矩陣中任意元素。由於順序結構在物理位置上是相鄰的，所以可以很容易地獲得任意元素的存儲地址，其復雜度為O(1)；對於鏈式結構，由於不具備物理位置相鄰的特點，所以首先必須對整個鏈表進行一次遍歷，尋找需進行訪問的元素的存儲地址，其復雜度為O(m)。此時使用順序結構顯然效率更高。
2． 對所有數據進行遍歷。兩種存儲結構對於這種操作的復雜度是顯而易見的，順序結構的復雜度為O(n2)，鏈式結構為O(m)。由於在一般情況下m要遠小於n2，所以此時鏈式結構的效率要高上許多。
除上述兩種操作外，對於其它的操作，這兩種結構都不存在很明顯的優點和缺點，如對鏈表進行刪除或插入操作，在順序結構中可表示為改變相應位置的數據元素。
既然兩種存儲結構對於不同的操作，其效率存在較大的差異，那麼我們在確定存儲結構時，必須仔細分析演算法中操作的需要，合理地選擇一種能夠「揚長避短」的存儲結構。
一、合理採用順序存儲結構。
我們在平常做題時，大多都是使用順序存儲結構對數據進行存儲。究其原因，一方面是出於順序結構操作方便的考慮，另一方面是在程序實現的過程中，使用順序結構相對於鏈式結構更便於對程序進行調試和查找錯誤。因此，大多數人習慣上認為，能夠使用順序結構進行存儲的問題，最「好」採用順序存儲結構。
其實，這個所謂的「好」只是一個相對的標准，是建立在以下兩個前提條件之下的：
1． 鏈式結構存儲的結點與順序結構存儲的結點數目相差不大。這種情況下，由於存儲的結點數目比較接近，使用鏈式結構完全不能體現出記錄結點少的優點，並且可能會由於指針操作較慢而降低演算法的效率。更有甚者，由於指針自身佔用的空間較大，且結點數目較多，因而演算法對空間的要求可能根本無法得到滿足。
2． 並非演算法效率的瓶頸所在。由於不是演算法最費時間的地方，這里是否進行改進，顯然是不會對整個演算法構成太大影響的，若使用鏈式結構反而會顯得操作過於繁瑣。
二、必要時採用鏈式存儲結構。
上面我對使用順序存儲結構的條件進行了分析，最後就只剩下何時應該採用鏈式存儲結構的問題了。
由於鏈式結構中指針操作確實較繁瑣，並且速度也較慢，調試也不方便，因而大家一般都不太願意用鏈式的存儲結構。但是，這只是一般的觀點，當鏈式結構確實對演算法有很大改進時，我們還是不得不進行考慮的。
〖問題三〗 IOI99的《地下城市》。
〖問題描述〗
已知一個城市的地圖，但未給出你的初始位置。你需要通過一系列的移動和探索，以確定初始時所在的位置。題目的限制是：
1． 不能移動到有牆的方格。
2． 只能探索當前所在位置四個方向上的相鄰方格。
在這兩個限制條件下，要求我們的探索次數（不包括移動）盡可能的少。
〖問題分析〗
由於存儲結構要由演算法的需要確定，因此我們首先來確定問題的演算法。
經過對問題的分析，我們得出解題的基本思想：先假設所有無牆的方格都可能是初始位置，再通過探索一步步地縮小初始位置的范圍，最終得到真正的初始位置。同時，為提高演算法效率，我們還用到了分治的思想，使我們每一次探索都盡量多的縮小初始位置的范圍(使程序盡量減少對運氣的依賴)。
接著，我們來確定此題的存儲結構。
由於這道題的地圖是一個二維的矩陣，所以一般來講，採用順序存儲結構理所當然。但是，順序存儲結構在這道題中暴露了很大的缺點。我們所進行的最多的操作，一是對初始位置的范圍進行篩選，二是判斷要選擇哪個位置進行探索。而這兩種操作，所需要用到的數據，只是龐大地圖中很少的一部分。如果採用順序存儲結構(如圖3-1中陰影部分表示已標記)，無論你需要用到多少數據，始終都要完全的遍歷整個地圖。
4
3
2
1
1 2 3 4
圖3-1
head
圖3-2
然而，如果我們採用的是鏈式存儲結構(如圖3-2的鏈表)，那麼我們需要多少數據，就只會遍歷多少數據，這樣不僅充分發揮了鏈式存儲結構的優點，而且由於不需單獨對某一個數據進行提取，每次都是對所有數據進行判斷，從而避免了鏈式結構的最大缺點。
我們使用鏈式存儲結構，雖然沒有降低問題的時間復雜度(鏈式存儲結構在最壞情況下的存儲量與順序存儲結構的存儲量幾乎相同)，但由於體現了前文所述選擇存儲結構時揚長避短的原則，因而演算法的效率也大為提高。（程序對不同數據的運行時間見表3-3）
測試數據編號 使用順序存儲結構的程序 使用鏈式存儲結構的程序
1 0.06s 0.02s
2 1.73s 0.07s
3 1.14s 0.06s
4 3.86s 0.14s
5 32.84s 0.21s
6 141.16s 0.23s
7 0.91s 0.12s
8 6.92s 0.29s
9 6.10s 0.23s
10 17.41s 0.20s
表3-3
（附使用鏈式存儲結構的程序under.pas）
我們選擇鏈式的存儲結構，雖然操作上可能稍復雜一些，但由於改進了演算法的瓶頸，演算法的效率自然也今非昔比。由此可見，必要時選擇鏈式結構這一方法，其效果是不容忽視的。
小結
合理選擇邏輯結構，由於牽涉建立數學模型的問題，可能大家都會比較注意。但是對存儲結構的選擇，由於不會對演算法復雜度構成影響，所以比較容易忽視。那麼，這種不能降低演算法復雜度的方法是否需要重視呢？
大家都知道，剪枝作為一種常用的優化演算法的方法，被廣泛地使用，但剪枝同樣是無法改變演算法的復雜度的。因此，作用與剪枝相似的存儲結構的合理選擇，也是同樣很值得重視的。
總之，我們在設計演算法的過程中，必須充分考慮存儲結構所帶來的不同影響，選擇最合理的存儲結構。
四、 多種數據結構相結合
上文所探討的，都是如何對數據結構進行選擇，其中包含了邏輯結構的選擇和存儲結構的選擇，是一種具有較大普遍性的演算法優化方法。對於多數的問題，我們都可以通過選擇一種合理的邏輯結構和存儲結構以達到優化演算法的目的。
但是，有些問題卻往往不如人願，要對這類問題的數據結構進行選擇，常常會顧此失彼，有時甚至根本就不存在某一種合適的數據結構。此時，我們是無法選擇出某一種合適的數據結構的，以上的方法就有些不太適用了。
為解決數據結構難以選擇的問題，我們可以採用將多種數據結構進行結合的方法。通過多種數據結構相結合，達到取長補短的作用，使不同的數據結構在演算法中發揮出各自的優勢。
這只是我們將多種數據結構進行結合的總思想，具體如何進行結合，我們可以先看下面的例子。
我們可以採用映射的方法，將線性結構中的元素與堆中間的結點一一對應起來，若線性的數組中的元素發生變化，堆中相應的結點也接著變化，堆中的結點發生變化，數組中相應的元素也跟著變化。
將兩種結構進行結合後，無論是第一步還是第二步，我們都不需對所有元素進行遍歷，只需進行常數次復雜度為O(log2n)的堆化操作。這樣，整個時間復雜度就成為了O(nlog2n)，演算法效率無疑得到了很大提高。
五、 總結
我們平常使用數據結構，往往只將其作為建立模型和演算法實現的工具，而沒有考慮這種工具對程序效率所產生的影響。信息學問題隨著難度的不斷增大，對演算法時空效率的要求也越來越高，而演算法的時空效率，在很大程度上都受到了數據結構的制約。
8. 關於動態規劃演算法，哪位可以講一下自己心得體會
動態規劃的特點及其應用
安徽 張辰
動態規劃 階段
動態規劃是信息學競賽中的常見演算法，本文的主要內容就是分析它的特點。
文章的第一部分首先探究了動態規劃的本質，因為動態規劃的特點是由它的本質所決定的。第二部分從動態規劃的設計和實現這兩個角度分析了動態規劃的多樣性、模式性、技巧性這三個特點。第三部分將動態規劃和遞推、搜索、網路流這三個相關演算法作了比較，從中探尋動態規劃的一些更深層次的特點。
文章在分析動態規劃的特點的同時，還根據這些特點分析了我們在解題中應該怎樣利用這些特點，怎樣運用動態規劃。這對我們的解題實踐有一定的指導意義。
動態規劃是編程解題的一種重要的手段，在如今的信息學競賽中被應用得越來越普遍。最近幾年的信息學競賽，不分大小，幾乎每次都要考察到這方面的內容。因此，如何更深入地了解動態規劃，從而更為有效地運用這個解題的有力武器，是一個值得深入研究的問題。
要掌握動態規劃的應用技巧，就要了解它的各方面的特點。首要的，是要深入洞悉動態規劃的本質。
§1動態規劃的本質
動態規劃是在本世紀50年代初，為了解決一類多階段決策問題而誕生的。那麼，什麼樣的問題被稱作多階段決策問題呢？
§1.1多階段決策問題
說到多階段決策問題，人們很容易舉出下面這個例子。
[例1] 多段圖中的最短路徑問題：在下圖中找出從A1到D1的最短路徑。
仔細觀察這個圖不難發現，它有一個特點。我們將圖中的點分為四類（圖中的A、B、C、D），那麼圖中所有的邊都處於相鄰的兩類點之間，並且都從前一類點指向後一類點。這樣，圖中的邊就被分成了三類（AàB、BàC、CàD）。我們需要從每一類中選出一條邊來，組成從A1到D1的一條路徑，並且這條路徑是所有這樣的路徑中的最短者。
從上面的這個例子中，我們可以大概地了解到什麼是多階段決策問題。更精確的定義如下：
多階段決策過程，是指這樣的一類特殊的活動過程，問題可以按時間順序分解成若干相互聯系的階段，在每一個階段都要做出決策，全部過程的決策是一個決策序列[1]。要使整個活動的總體效果達到最優的問題，稱為多階段決策問題。
從上述的定義中，我們可以明顯地看出，這類問題有兩個要素。一個是階段，一個是決策。
§1.2階段與狀態
階段：將所給問題的過程，按時間或空間特徵分解成若干相互聯系的階段，以便按次序去求每階段的解。常用字母k表示階段變數。[1]
階段是問題的屬性。多階段決策問題中通常存在著若干個階段，如上面的例子，就有A、B、C、D這四個階段。在一般情況下，階段是和時間有關的；但是在很多問題（我的感覺，特別是信息學問題）中，階段和時間是無關的。從階段的定義中，可以看出階段的兩個特點，一是「相互聯系」，二是「次序」。
階段之間是怎樣相互聯系的？就是通過狀態和狀態轉移。
狀態：各階段開始時的客觀條件叫做狀態。描述各階段狀態的變數稱為狀態變數，常用sk表示第k階段的狀態變數，狀態變數sk的取值集合稱為狀態集合，用Sk表示。[1]
狀態是階段的屬性。每個階段通常包含若干個狀態，用以描述問題發展到這個階段時所處在的一種客觀情況。在上面的例子中，行人從出發點A1走過兩個階段之後，可能出現的情況有三種，即處於C1、C2或C3點。那麼第三個階段就有三個狀態S3=。
每個階段的狀態都是由以前階段的狀態以某種方式「變化」而來，這種「變化」稱為狀態轉移（暫不定義）。上例中C3點可以從B1點過來，也可以從B2點過來，從階段2的B1或B2狀態走到階段3的C3狀態就是狀態轉移。狀態轉移是導出狀態的途徑，也是聯系各階段的途徑。
說到這里，可以提出應用動態規劃的一個重要條件。那就是將各階段按照一定的次序排列好之後，對於某個給定的階段狀態，它以前各階段的狀態無法直接影響它未來的發展，而只能通過當前的這個狀態。換句話說，每個狀態都是「過去歷史的一個完整總結[1]」。這就是無後效性。對這個性質，下文還將會有解釋。
§1.3決策和策略
上面的階段與狀態只是多階段決策問題的一個方面的要素，下面是另一個方面的要素——決策。
決策：當各段的狀態取定以後，就可以做出不同的決定，從而確定下一階段的狀態，這種決定稱為決策。表示決策的變數，稱為決策變數，常用uk(sk)表示第k階段當狀態為sk時的決策變數。在實際問題中，決策變數的取值往往限制在一定范圍內，我們稱此范圍為允許決策集合。常用Dk(sk)表示第k階段從狀態sk出發的允許決策集合。顯然有uk(sk) ?Dk(sk)。[1]
決策是問題的解的屬性。決策的目的就是「確定下一階段的狀態」，還是回到上例，從階段2的B1狀態出發有三條路，也就是三個決策，分別導向階段3的C1、C2、C3三個狀態，即D2(B1)=。
有了決策，我們可以定義狀態轉移：動態規劃中本階段的狀態往往是上一階段和上一階段的決策結果，由第k段的狀態sk和本階段的決策uk確定第k+1段的狀態sk+1的過程叫狀態轉移。狀態轉移規律的形式化表示sk+1=Tk(sk,uk)稱為狀態轉移方程。
這樣看來，似乎決策和狀態轉移有著某種聯系。我的理解，狀態轉移是決策的目的，決策是狀態轉移的途徑。
各段決策確定後，整個問題的決策序列就構成一個策略，用p1,n=表示。對每個實際問題，可供選擇的策略有一定范圍，稱為允許策略集合，記作P1,n，使整個問題達到最有效果的策略就是最優策略。[1]
說到這里，又可以提出運用動態規劃的一個前提。即這個過程的最優策略應具有這樣的性質：無論初始狀態及初始決策如何，對於先前決策所形成的狀態而言，其以後的所有決策應構成最優策略[1]。這就是最優化原理。簡言之，就是「最優策略的子策略也是最優策略」。
§1.4最優化原理與無後效性
這里，我把最優化原理定位在「運用動態規劃的前提」。這是因為，是否符合最優化原理是一個問題的本質特徵。對於不滿足最優化原理的一個多階段決策問題，整體上的最優策略p1,n同任何一個階段k上的決策uk或任何一組階段k1…k2上的子策略pk1,k2都不存在任何關系。如果要對這樣的問題動態規劃的話，我們從一開始所作的劃分階段等努力都將是徒勞的。
而我把無後效性定位在「應用動態規劃的條件」，是因為動態規劃是按次序去求每階段的解，如果一個問題有後效性，那麼這樣的次序便是不合理的。但是，我們可以通過重新劃分階段，重新選定狀態，或者增加狀態變數的個數等手段，來是問題滿足無後效性這個條件。說到底，還是要確定一個「序」。
在信息學的多階段決策問題中，絕大部分都是能夠滿足最優化原理的，但它們往往會在後效性這一點上來設置障礙。所以在解題過程中，我們會特別關心「序」。對於有序的問題，就會考慮到動態規劃；對於無序的問題，也會想方設法來使其有序。
§1.5最優指標函數和規劃方程
最優指標函數：用於衡量所選定策略優劣的數量指標稱為指標函數，最優指標函數記為fk(sk)，它表示從第k段狀態sk採用最優策略p*k,n到過程終止時的最佳效益值[1]。
最優指標函數其實就是我們真正關心的問題的解。在上面的例子中，f2(B1)就表示從B1點到終點D1點的最短路徑長度。我們求解的最終目標就是f1(A1)。
最優指標函數的求法一般是一個從目標狀態出發的遞推公式，稱為規劃方程：
其中sk是第k段的某個狀態，uk是從sk出發的允許決策集合Dk(sk)中的一個決策，Tk(sk,uk)是由sk和uk所導出的第k+1段的某個狀態sk+1，g(x,uk)是定義在數值x和決策uk上的一個函數，而函數opt表示最優化，根據具體問題分別表為max或min。
，稱為邊界條件。
上例中的規劃方程就是：
邊界條件為
這里是一種從目標狀態往回推的逆序求法，適用於目標狀態確定的問題。在我們的信息學問題中，也有很多有著確定的初始狀態。當然，對於初始狀態確定的問題，我們也可以採用從初始狀態出發往前推的順序求法。事實上，這種方法對我們來說要更為直觀、更易設計一些，從而更多地出現在我們的解題過程中。
我們本節所討論的這些理論雖然不是本文的主旨，但是卻對下面要說的動態規劃的特點起著基礎性的作用。
§2動態規劃的設計與實現
上面我們討論了動態規劃的一些理論，本節我們將通過幾個例子中，動態規劃的設計與實現，來了解動態規劃的一些特點。
§2.1動態規劃的多樣性
[例2] 花店櫥窗布置問題（IOI99）試題見附錄
本題雖然是本屆IOI中較為簡單的一題，但其中大有文章可作。說它簡單，是因為它有序，因此我們一眼便可看出這題應該用動態規劃來解決。但是，如何動態規劃呢？如何劃分階段，又如何選擇狀態呢？
<方法1>以花束的數目來劃分階段。在這里，階段變數k表示的就是要布置的花束數目（前k束花），狀態變數sk表示第k束花所在的花瓶。而對於每一個狀態sk，決策就是第k-1束花應該放在哪個花瓶，用uk表示。最優指標函數fk(sk)表示前k束花，其中第k束插在第sk個花瓶中，所能取得的最大美學值。
狀態轉移方程為
規劃方程為
（其中A(i,j)是花束i插在花瓶j中的美學值）
邊界條件 （V是花瓶總數，事實上這是一個虛擬的邊界）
<方法2>以花瓶的數目來劃分階段。在這里階段變數k表示的是要佔用的花瓶數目（前k個花瓶），狀態變數sk表示前k個花瓶中放了多少花。而對於任意一個狀態sk，決策就是第sk束花是否放在第k個花瓶中，用變數uk=1或0來表示。最優指標函數fk(sk)表示前k個花瓶中插了sk束花，所能取得的最大美學值。
狀態轉移方程為
規劃方程為
邊界條件為
兩種劃分階段的方法，引出了兩種狀態表示法，兩種規劃方式，但是卻都成功地解決了問題。只不過因為決策的選擇有多有少，所以演算法的時間復雜度也就不同。[2]
這個例子具有很大的普遍性。有很多的多階段決策問題都有著不止一種的階段劃分方法，因而往往就有不止一種的規劃方法。有時各種方法所產生的效果是差不多的，但更多的時候，就像我們的例子一樣，兩種方法會在某個方面有些區別。
所以，在用動態規劃解題的時候，可以多想一想是否有其它的解法。對於不同的解法，要注意比較，好的演算法好在哪裡，差一點的演算法差在哪裡。從各種不同演算法的比較中，我們可以更深刻地領會動態規劃的構思技巧。
§2.2動態規劃的模式性
這個可能做過動態規劃的人都有體會，從我們上面對動態規劃的分析也可以看出來。動態規劃的設計都有著一定的模式，一般要經歷以下幾個步驟。
劃分階段：按照問題的時間或空間特徵，把問題分為若干個階段。注意這若干個階段一定要是有序的或者是可排序的，否則問題就無法求解。
選擇狀態：將問題發展到各個階段時所處於的各種客觀情況用不同的狀態表示出來。當然，狀態的選擇要滿足無後效性。
確定決策並寫出狀態轉移方程：之所以把這兩步放在一起，是因為決策和狀態轉移有著天然的聯系，狀態轉移就是根據上一階段的狀態和決策來導出本階段的狀態。所以，如果我們確定了決策，狀態轉移方程也就寫出來了。但事實上，我們常常是反過來做，根據相鄰兩段的各狀態之間的關系來確定決策。
寫出規劃方程（包括邊界條件）：在第一部分中，我們已經給出了規劃方程的通用形式化表達式。一般說來，只要階段、狀態、決策和狀態轉移確定了，這一步還是比較簡單的。
動態規劃的主要難點在於理論上的設計，一旦設計完成，實現部分就會非常簡單。大體上的框架如下：
對f1(s1)初始化（邊界條件）
for k?2 to n（這里以順序求解為例）
對每一個sk?Sk
fk(sk)?一個極值（∞或－∞）
對每一個uk(sk)?Dk(sk)
sk-1?Tk(sk,uk)
t?g(fk-1(sk-1),uk)
y t比fk(sk)更優 n
fk(sk)?t
輸出fn(sn)
這個N-S圖雖然不能代表全部，但足可以概括大多數。少數的一些特殊的動態規劃，其實現的原理也是類似，可以類比出來。我們到現在對動態規劃的分析，主要是在理論上、設計上，原因也就在此。
掌握了動態規劃的模式性，我們在用動態規劃解題時就可以把主要的精力放在理論上的設計。一旦設計成熟，問題也就基本上解決了。而且在設計演算法時也可以按部就班地來。
但是「物極必反」，太過拘泥於模式就會限制我們的思維，扼殺優良演算法思想的產生。我們在解題時，不妨發揮一下創造性，去突破動態規劃的實現模式，這樣往往會收到意想不到的效果。[3]
§2.3動態規劃的技巧性
上面我們所說的動態規劃的模式性，主要指的是實現方面。而在設計方面，雖然它較為嚴格的步驟性，但是它的設計思想卻是沒有一定的規律可循的。這就需要我們不斷地在實踐當中去掌握動態規劃的技巧，下面僅就一個例子談一點我自己的體會。
[例3] 街道問題：在下圖中找出從左下角到右上角的最短路徑，每步只能向右方或上方走。
這是一道簡單而又典型的動態規劃題，許多介紹動態規劃的書與文章中都拿它來做例子。通常，書上的解答是這樣的：
按照圖中的虛線來劃分階段，即階段變數k表示走過的步數，而狀態變數sk表示當前處於這一階段上的哪一點（各點所對應的階段和狀態已經用ks在地圖上標明）。這時的模型實際上已經轉化成了一個特殊的多段圖。用決策變數uk=0表示向右走，uk=1表示向上走，則狀態轉移方程如下：
（這里的row是地圖豎直方向的行數）
我們看到，這個狀態轉移方程需要根據k的取值分兩種情況討論，顯得非常麻煩。相應的，把它代入規劃方程而付諸實現時，演算法也很繁。因而我們在實現時，一般是不會這么做的，而代之以下面方法：
將地圖中的點規則地編號如上，得到的規劃方程如下：
（這里Distance表示相鄰兩點間的邊長）
這樣做確實要比上面的方法簡單多了，但是它已經破壞了動態規劃的本來面目，而不存在明確的階段特徵了。如果說這種方法是以地圖中的行（A、B、C、D）來劃分階段的話，那麼它的「狀態轉移」就不全是在兩個階段之間進行的了。
也許這沒什麼大不了的，因為實踐比理論更有說服力。但是，如果我們把題目擴展一下：在地圖中找出從左下角到右上角的兩條路徑，兩條路徑中的任何一條邊都不能重疊，並且要求兩條路徑的總長度最短。這時，再用這種「簡單」的方法就不太好辦了。
如果非得套用這種方法的話，則最優指標函數就需要有四維的下標，並且難以處理兩條路徑「不能重疊」的問題。
而我們回到原先「標准」的動態規劃法，就會發現這個問題很好解決，只需要加一維狀態變數就成了。即用sk=(ak,bk)分別表示兩條路徑走到階段k時所處的位置，相應的，決策變數也增加一維，用uk=(xk,yk)分別表示兩條路徑的行走方向。狀態轉移時將兩條路徑分別考慮：
在寫規劃方程時，只要對兩條路徑走到同一個點的情況稍微處理一下，減少可選的決策個數：
從這個例子中可以總結出設計動態規劃演算法的一個技巧：狀態轉移一般是在相鄰的兩個階段之間（有時也可以在不相鄰的兩個階段間），但是盡量不要在同一個階段內進行。
動態規劃是一種很靈活的解題方法，在動態規劃演算法的設計中，類似的技巧還有很多。要掌握動態規劃的技巧，有兩條途徑：一是要深刻理解動態規劃的本質，這也是我們為什麼一開始就探討它的本質的原因；二是要多實踐，不但要多解題，還要學會從解題中探尋規律，總結技巧。
§3動態規劃與一些演算法的比較
動態規劃作為諸多解題方法中的一種，必然和其他一些演算法有著諸多聯系。從這些聯系中，我們也可以看出動態規劃的一些特點。
§3.1動態規劃與遞推
——動態規劃是最優化演算法
由於動態規劃的「名氣」如此之大，以至於很多人甚至一些資料書上都往往把一種與動態規劃十分相似的演算法，當作是動態規劃。這種演算法就是遞推。實際上，這兩種演算法還是很容易區分的。
按解題的目標來分，信息學試題主要分四類：判定性問題、構造性問題、計數問題和最優化問題。我們在競賽中碰到的大多是最優化問題，而動態規劃正是解決最優化問題的有力武器，因此動態規劃在競賽中的地位日益提高。而遞推法在處理判定性問題和計數問題方面也是一把利器。下面分別就兩個例子，談一下遞推法和動態規劃在這兩個方面的聯系。
[例4] mod 4 最優路徑問題：在下圖中找出從第1點到第4點的一條路徑，要求路徑長度mod 4的余數最小。
這個圖是一個多段圖，而且是一個特殊的多段圖。雖然這個圖的形式比一般的多段圖要簡單，但是這個最優路徑問題卻不能用動態規劃來做。因為一條從第1點到第4點的最優路徑，在它走到第2點、第3點時，路徑長度mod 4的余數不一定是最小，也就是說最優策略的子策略不一定最優——這個問題不滿足最優化原理。
但是我們可以把它轉換成判定性問題，用遞推法來解決。判斷從第1點到第k點的長度mod 4為sk的路徑是否存在，用fk(sk)來表示，則遞推公式如下：
（邊界條件）
（這里lenk,i表示從第k-1點到第k點之間的第i條邊的長度，方括弧表示「或(or)」運算）
最後的結果就是可以使f4(s4)值為真的最小的s4值。
這個遞推法的遞推公式和動態規劃的規劃方程非常相似，我們在這里借用了動態規劃的符號也就是為了更清楚地顯示這一點。其實它們的思想也是非常相像的，可以說是遞推法借用了動態規劃的思想解決了動態規劃不能解決的問題。
有的多階段決策問題（像這一題的階段特徵就很明顯），由於不能滿足最優化原理等使用動態規劃的先決條件，而無法應用動態規劃。在這時可以將最優指標函數的值當作「狀態」放到下標中去，從而變最優化問題為判定性問題，再借用動態規劃的思想，用遞推法來解決問題。
§3.2動態規劃與搜索
——動態規劃是高效率、高消費演算法
同樣是解決最優化問題，有的題目我們採用動態規劃，而有的題目我們則需要用搜索。這其中有沒有什麼規則呢？
我們知道，撇開時空效率的因素不談，在解決最優化問題的演算法中，搜索可以說是「萬能」的。所以動態規劃可以解決的問題，搜索也一定可以解決。
把一個動態規劃演算法改寫成搜索是非常方便的，狀態轉移方程、規劃方程以及邊界條件都可以直接「移植」，所不同的只是求解順序。動態規劃是自底向上的遞推求解，而搜索則是自頂向下的遞歸求解（這里指深度搜索，寬度搜索類似）。
反過來，我們也可以把搜索演算法改寫成動態規劃。狀態空間搜索實際上是對隱式圖中的點進行枚舉，這種枚舉是自頂向下的。如果把枚舉的順序反過來，變成自底向上，那麼就成了動態規劃。（當然這里有個條件，即隱式圖中的點是可排序的，詳見下一節。）
正因為動態規劃和搜索有著求解順序上的不同，這也造成了它們時間效率上的差別。在搜索中，往往會出現下面的情況：
對於上圖(a)這樣幾個狀態構成的一個隱式圖，用搜索演算法就會出現重復，如上圖(b)所示，狀態C2被搜索了兩次。在深度搜索中，這樣的重復會引起以C2為根整個的整個子搜索樹的重復搜索；在寬度搜索中，雖然這樣的重復可以立即被排除，但是其時間代價也是不小的。而動態規劃就沒有這個問題，如上圖(c)所示。
一般說來，動態規劃演算法在時間效率上的優勢是搜索無法比擬的。（當然對於某些題目，根本不會出現狀態的重復，這樣搜索和動態規劃的速度就沒有差別了。）而從理論上講，任何拓撲有序（現實中這個條件常常可以滿足）的隱式圖中的搜索演算法都可以改寫成動態規劃。但事實上，在很多情況下我們仍然不得不採用搜索演算法。那麼，動態規劃演算法在實現上還有什麼障礙嗎？
考慮上圖(a)所示的隱式圖，其中存在兩個從初始狀態無法達到的狀態。在搜索演算法中，這樣的兩個狀態就不被考慮了，如上圖(b)所示。但是動態規劃由於是自底向上求解，所以就無法估計到這一點，因而遍歷了全部的狀態，如上圖(c)所示。
一般說來，動態規劃總要遍歷所有的狀態，而搜索可以排除一些無效狀態。更重要的事搜索還可以剪枝，可能剪去大量不必要的狀態，因此在空間開銷上往往比動態規劃要低很多。
如何協調好動態規劃的高效率與高消費之間的矛盾呢？有一種折衷的辦法就是記憶化演算法。記憶化演算法在求解的時候還是按著自頂向下的順序，但是每求解一個狀態，就將它的解保存下來，以後再次遇到這個狀態的時候，就不必重新求解了。這種方法綜合了搜索和動態規劃兩方面的優點，因而還是很有實用價值的。
§3.3動態規劃與網路流
——動態規劃是易設計易實現演算法
由於圖的關系復雜而無序，一般難以呈現階段特徵（除了特殊的圖如多段圖，或特殊的分段方法如Floyd），因此動態規劃在圖論中的應用不多。但有一類圖，它的點卻是有序的，這就是有向無環圖。
在有向無環圖中，我們可以對點進行拓撲排序，使其體現出有序的特徵，從而據此劃分階段。在有向無還圖中求最短路徑的演算法[4]，已經體現出了簡單的動態規劃思想。但動態規劃在圖論中還有更有價值的應用。下面先看一個例子。
[例6] N個人的街道問題：在街道問題（參見例3）中，若有N個人要從左下角走向右上角，要求他們走過的邊的總長度最大。當然，這里每個人也只能向右或向上走。下面是一個樣例，左圖是從出發地到目的地的三條路徑，右圖是他們所走過的邊，這些邊的總長度為5 + 4 + 3 + 6 + 3 + 3 + 5 + 8 + 8 + 7 + 4 + 5 + 9 + 5 + 3 = 78（不一定是最大）。
這個題目是對街道問題的又一次擴展。仿照街道問題的解題方法，我們仍然可以用動態規劃來解決本題。不過這一次是N個人同時走，狀態變數也就需要用N維來表示，。相應的，決策變數也要變成N維，uk=(uk,1,uk,2,…,uk,N)。狀態轉移方程不需要做什麼改動：
在寫規劃方程時，需要注意在第k階段，N條路徑所走過的邊的總長度的計算，在這里我就用gk(sk,uk)來表示了：
邊界條件為
可見將原來的動態規劃演算法移植到這個問題上來，在理論上還是完全可行的。但是，現在的這個動態規劃演算法的時空復雜度已經是關於N的指數函數，只要N稍微大一點，這個演算法就不可能實現了。
下面我們換一個思路，將N條路徑看成是網路中一個流量為N的流，這樣求解的目標就是使這個流的費用最大。但是本題又不同於一般的費用流問題，在每一條邊e上的流費用並不是流量和邊權的乘積 ，而是用下式計算：
為了使經典的費用流演算法適用於本題，我們需要將模型稍微轉化一下：
如圖，將每條邊拆成兩條。拆開後一條邊上有權，但是容量限制為1；另一條邊沒有容量限制，但是流過這條邊就不能計算費用了。這樣我們就把問題轉化成了一個標準的最大費用固定流問題。
這個演算法可以套用經典的最小費用最大流演算法，在此就不細說了。（參見附錄中的源程序）
這個例題是我仿照IOI97的「障礙物探測器」一題[6]編出來的。「障礙物探測器」比這一題要復雜一些，但是基本思想是相似的。類似的題目還有99年冬令營的「迷宮改造」[7]。從這些題目中都可以看到動態規劃和網路流的聯系。
推廣到一般情況，任何有向無環圖中的費用流問題在理論上說，都可以用動態規劃來解決。對於流量為N（如果流量不固定，這個N需要事先求出來）的費用流問題，用N維的變數sk=(sk,1,sk,2,…,sk,N)來描述狀態，其中sk,i?V(1￡i￡N)。相應的，決策也用N維的變數uk=(uk,1,uk,2,…,uk,N)來表示，其中uk,i?E(sk,i)(1￡i￡N)，E(v)表示指向v的弧集。則狀態轉移方程可以這樣表示：
sk-1,i = uk,i的弧尾結點
規劃方程為
邊界條件為
但是，由於動態規劃演算法是指數級演算法，因而在實現中的局限性很大，僅可用於一些N非常小的題目。然而在競賽解題中，比如上面說到的IOI97以及99冬令營測試時，我們使用動態規劃的傾向性很明顯（「障礙物探測器」中，我們用的是貪心策略，求N=1或N=2時的局部最優解[8]）。這主要有兩個原因：
一． 雖然網路流有著經典的演算法，但是在競賽中不可能出現經典的問題。如果要運用網路流演算法，則需要經過一番模型轉化，有時這個轉化還是相當困難的。因此在演算法的設計上，靈活巧妙的動態規劃演算法反而要更為簡單一些。
二． 網路流演算法實現起來很繁，這是被人們公認的。因而在競賽的緊張環境中，實現起來有一定模式的動態規劃演算法又多了一層優勢。
正由於動態規劃演算法在設計和實現上的簡便性，所以在N不太大時，也就是在動態規劃可行的情況下，我們還是應該盡量運用動態規劃。
§4結語
本文的內容比較雜，是我幾年來對動態規劃的參悟理解、心得體會。雖然主要的篇幅講的都是理論，但是根本的目的還是指導實踐。
動態規劃，據我認為，是當今信息學競賽中最靈活、也最能體現解題者水平的一類解題方法。本文內容雖多，不能涵蓋動態規劃之萬一。「紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。」要想真正領悟、理解動態規劃的思想，掌握動態規劃的解題技巧，還需要在實踐中不斷地挖掘、探索。實踐得多了，也就能體會到漸入佳境之妙了。
動態規劃，
演算法之常，
運用之妙，
存乎一心。
9. 演算法課程設計報告
題目中要求的功能進行敘述分析，並且設計解決此問題的數據存儲結構，（有些題目已經指定了數據存儲的，按照指定的設計），設計或敘述解決此問題的演算法，描述演算法建議使用流程圖，進行演算法分析指明關鍵語句的時間復雜度。
給出實現功能的一組或多組測試數據，程序調試後，將按照此測試數據進行測試的結果列出來 。
對有些題目提出演算法改進方案，比較不同演算法的優缺點。
如果程序不能正常運行，寫出實現此演算法中遇到的問題，和改進方法；
2 對每個題目要有相應的源程序（可以是一組源程序，即詳細設計部分）：
源程序要按照寫程序的規則來編寫。要結構清晰，重點函數的重點變數，重點功能部分要加上清晰的程序注釋。
程序能夠運行，要有基本的容錯功能。盡量避免出現操作錯誤時出現死循環；
3 最後提供的主程序可以象一個應用系統一樣有主窗口，通過主菜單和分級菜單調用課程設計中要求完成的各個功能模塊，調用後可以返回到主菜單，繼續選擇其他功能進行其他功能的選擇。最好有窗口展示部分。
4 課程設計報告：（保存在word 文檔中，文件名要求 按照"姓名-學號-課程設計報告"起名，如文件名為"張三-001-課程設計報告".doc ）按照課程設計的具體要求建立的功能模塊，每個模塊要求按照如下幾個內容認真完成；
其中包括:
a)需求分析：
在該部分中敘述，每個模塊的功能要求
b)概要設計
在此說明每個部分的演算法設計說明（可以是描述演算法的流程圖），每個程序中使用的存儲結構設計說明（如果指定存儲結構請寫出該存儲結構的定義。
c）詳細設計
各個演算法實現的源程序，對每個題目要有相應的源程序（可以是一組源程序，每個功能模塊採用不同的函數實現）
源程序要按照寫程序的規則來編寫。要結構清晰，重點函數的重點變數，重點功能部分要加上清晰的程序注釋。
d）調試分析
測試數據，測試輸出的結果，時間復雜度分析，和每個模塊設計和調試時存在問題的思考（問題是哪些？問題如何解決？），演算法的改進設想。
5. 課設總結： （保存在word 文檔中）總結可以包括 : 課程設計 過程的收獲、遇到問題、遇到問題解決問題過程的思考、程序調試能力的思考、對數據結構這門課程的思考、在課程設計過程中對C課程的認識等內容；
6.實驗報告的首頁請參考如下格式：
課程設計實驗
起止日期:20 -20 學年 學期
系別 班級 學號 姓名
實驗題目 □設計性 □綜合性
自我評價
教師評語 能夠實現實驗要求的功能 □全部 □部分演算法有新意 □有 □一般程序運行通過 □全部 □部分 演算法注釋說明 □完善 □僅有功能說明介面參數說明 □有 □無按期上交列印文檔資料及源程序 □所有 □部分綜合設計說明報告結構 □合理 □不合理用戶使用說明 □完整 □不全現場演示操作有準備 □有 □無問題解答流暢 □流暢 □不流暢獨立完成實驗 □能 □不能體現團隊合作精神。 □能夠 □不能
成績
這是張表格，過來時沒調整好，不過應該看得明白。我們是這樣寫的，你可以參考一下。
10. 簡單演算法的概念，並舉例說明它在程序中的作用。
1 什麼叫演算法
演算法（Algorithm）是解題的步驟，可以把演算法定義成解一確定類問題的任意一種特殊的方法。在計算機科學中，演算法要用計算機演算法語言描述，演算法代表用計算機解一類問題的精確、有效的方法。演算法+數據結構=程序，求解一個給定的可計算或可解的問題，不同的人可以編寫出不同的程序，來解決同一個問題，這里存在兩個問題：一是與計算方法密切相關的演算法問題；二是程序設計的技術問題。演算法和程序之間存在密切的關系。
演算法是一組有窮的規則，它們規定了解決某一特定類型問題的一系列運算，是對解題方案的准確與完整的描述。制定一個演算法，一般要經過設計、確認、分析、編碼、測試、調試、計時等階段。
對演算法的學習包括五個方面的內容：① 設計演算法。演算法設計工作是不可能完全自動化的，應學習了解已經被實踐證明是有用的一些基本的演算法設計方法，這些基本的設計方法不僅適用於計算機科學，而且適用於電氣工程、運籌學等領域；② 表示演算法。描述演算法的方法有多種形式，例如自然語言和演算法語言，各自有適用的環境和特點；③確認演算法。演算法確認的目的是使人們確信這一演算法能夠正確無誤地工作，即該演算法具有可計算性。正確的演算法用計算機演算法語言描述，構成計算機程序，計算機程序在計算機上運行，得到演算法運算的結果；④ 分析演算法。演算法分析是對一個演算法需要多少計算時間和存儲空間作定量的分析。分析演算法可以預測這一演算法適合在什麼樣的環境中有效地運行，對解決同一問題的不同演算法的有效性作出比較；⑤ 驗證演算法。用計算機語言描述的演算法是否可計算、有效合理，須對程序進行測試，測試程序的工作由調試和作時空分布圖組成。
2、演算法的特性
演算法的特性包括：① 確定性。演算法的每一種運算必須有確定的意義，該種運算應執行何種動作應無二義性，目的明確；② 能行性。要求演算法中有待實現的運算都是基本的，每種運算至少在原理上能由人用紙和筆在有限的時間內完成；③ 輸入。一個演算法有0個或多個輸入，在演算法運算開始之前給出演算法所需數據的初值，這些輸入取自特定的對象集合；④ 輸出。作為演算法運算的結果，一個演算法產生一個或多個輸出，輸出是同輸入有某種特定關系的量；⑤ 有窮性。一個演算法總是在執行了有窮步的運算後終止，即該演算法是可達的。
滿足前四個特性的一組規則不能稱為演算法，只能稱為計算過程，操作系統是計算過程的一個例子，操作系統用來管理計算機資源，控製作業的運行，沒有作業運行時，計算過程並不停止，而是處於等待狀態。
3、演算法的描述
演算法的描述方法可以歸納為以下幾種：
(1) 自然語言；
(2) 圖形，如N�S圖、流程圖，圖的描述與演算法語言的描述對應；
(3) 演算法語言，即計算機語言、程序設計語言、偽代碼；
(4) 形式語言，用數學的方法，可以避免自然語言的二義性。
用各種演算法描述方法所描述的同一演算法，該演算法的功用是一樣的，允許在演算法的描述和實現方法上有所不同。
人們的生產活動和日常生活離不開演算法，都在自覺不自覺地使用演算法，例如人們到商店購買物品，會首先確定購買哪些物品，准備好所需的錢，然後確定到哪些商場選購、怎樣去商場、行走的路線，若物品的質量好如何處理，對物品不滿意又怎樣處理，購買物品後做什麼等。以上購物的演算法是用自然語言描述的，也可以用其他描述方法描述該演算法。