以利坊演算法

『壹』 簡評三個基於VRF的共識演算法

上交所技術公司  朱立

Algorand、Dfinity和Ouroboros Praos三個共識演算法（Dfinity雖然是項目名，這里用來稱呼其共識演算法也應無不妥）近期較受關注，而且都是基於VRF(Verifiable Random Function) 設計，可以對照學習。Algorand的版本很多，以下單指  1607.01341v9 ，暫稱其為Algorand'（筆者手中另有Algorand的 最新版本 ，其中已對下文提及的幾處問題完成了修正，可與本文參看）。

一、VRF的共性

VRF的意義很好理解——用以完成出塊人（群）的隨機選擇。為此，VRF的返回值應盡力難以預測。先看Algorand'和Dfinity的套路是怎麼做的：大體上是先將前一個隨機數（最初的隨機數卻是協議給定的）和某種代表高度、輪次的變數進行組合，用某種私鑰對之進行簽名（或者是先簽名再組合），最後哈希一下得出最新的隨機數。這樣產生的隨機數旁人很容易驗證其合乎演算法，"V"就這樣得到了；而哈希返回值又是隨機分布的，「R」也因此得到保證。在此過程中，為降低操縱結果的可能性，有兩個注意事項： A) 簽名演算法應當具有唯一性，也就是用同一把私鑰對同樣的信息進行簽名，只有一個合法簽名可以通過驗證——普通的非對稱加解密演算法一般不具備這個屬性，如SM2。如果用的簽名演算法沒有這種uniqueness屬性，那在生成新隨機數的時候就存在通過反復多次嘗試簽名以挑出最有利者的餘地，會降低安全性。 B) 避免在生成新隨機數時將當前塊的數據作為隨機性來源之一，比如引用本塊交易列表的merkle root值等等，因為這樣做會給出塊人嘗試變更打包交易順序、嘗試打包不同交易以產生最有利的新隨機數的餘地。在設計和檢視新的共識演算法時，以上兩個注意事項是要特別留意的。

考察一下VRF的返回結果應該如何運用。目前所見用法中，VRF的返回結果可以用來公開完成節點或節點群體的選擇，也可以私密地完成選擇。以Dfinity為例，它是利用mod操作來唯一、公開地確定一個Group。Algorand'、Ouroboros Praos是私密選擇的範例，大致套路是對VRF的最新返回值，配上輪次等變數後用私鑰進行簽名並哈希，如果哈希值小於某個閾值，節點就可以私密地知道自己被選中。這種方法很可能在網路節點數較多時的表現會更穩定，否則幸運兒個數上下波動會較大，進而影響協議表現，包括空塊和分叉。

二、簡評強同步假設版本的Algorand'

私密選擇提供了較強的抗擊定點攻擊的能力，但由於幸運兒的總數對於任何一個幸運兒都是不能預知的，也因此給後續共識演算法的設計和區塊鏈的優化帶來了困難。Algorand『採用了很強的同步網路假設（同步網路假設下的共識演算法當然容易做一些），要求預先知道網路消息傳播時間的上限：在固定時間內完成對固定比例的用戶的網路傳播。比如要知道，1KB消息，在1秒鍾內完成全網95%的傳播，而1MB消息需要1.5分鍾完成全網95%的傳播。但這個傳輸上限應該如何選擇？ 通過一段時間的統計結果再乘以一個系數這種經驗統計？只能說「感覺上可以」，但如果要嚴謹和安全，Algorand『演算法應該補充證明即使在遭遇DDOS或互聯網擁堵的情況下消息傳播嚴重超限後演算法仍然能夠保證安全——然而這個證明是缺失的。作為對照，Ouroboros Praos公開承認之前在同步網路假設下設計的Ouroboros協議在非同步網路條件下會出錯，所以才又做了Ouroboros Praos；新版本的Algorand承認在弱同步網路時會在不同的塊上達成共識（後續網路恢復強同步時分叉可以得到解決）雲雲，這些都可資參考。

即使我們暫且認可Algorand'演算法可以通過設定一個很大的傳播時間上限來回應上述問題，但隨之而來的是此時可以看出此演算法缺乏一個非常好的特性：Responsiveness。這個特性指的是：若一個協議被設計為在一個較大的傳播時間上限DELTA下工作，但若實際傳播時間是較小的delta，則協議的實際推進步調將只和delta有關，這種協議被稱為Responsive的。具有Responsive特性的共識演算法再配以同步網路假設會非常理想——出於安全，上限可以設置很大，然而協議執行速度只和當時網路條件有關。Algorand'並不具有這種特性。平均而言，Algorand'完成共識所需的消息傳送次數是11輪，每輪如果要確保安全，完成共識的時間就會很長，單個分區的吞吐量就不會太高。當然，架構設計涉及很多取捨，最終評價一個演算法好還是不好還是要回到初心——准備拿來實現的目標是什麼。上述分析只是嘗試客觀地指出Algorand'演算法的幾個少為人知的固有特徵，供讀者自行評估。

三、簡評Dfinity的可擴展性問題

私密選擇並且立即上任的做法，也給系統分片帶來了極大挑戰。Dfinity是明確要做分片(Sharding)的，所以必須直面挑戰。可擴展性問題非常復雜，完整解決這個問題需要通盤考慮網路、存儲、計算三方面的可擴展性——時下大多數區塊鏈3.0項目只注意到計算的分片和可擴展性，忽略了其餘二者，從而不可能真正實現理想的擴展。由於公鏈節點網路帶寬的制約，計算合約所需的數據通常很難迅速地從一個節點拷貝到另一節點，所以就算用VRF實現了飄忽來去的出塊節點選擇，存儲節點是沒法同樣飄逸如風的。明顯的選擇有那麼幾個：全部節點存儲全部數據，不同節點靜態地分配用來存儲不同分區。前者的可擴展性很差，對於後者而言，如果出塊節點漂浮不定且出塊節點還需要完成合約運算，就意味著基於P2P網路來回遠程訪問存儲，性能多半急劇下降；動態決定的出塊節點只完成排序共識，計算能力和存儲捆綁，通過靜態分區提供可擴展性，可能是合理的應對。然而，最可恨的就是「然而」二字——即使如此，系統還存在一處對存儲和網路構成壓力的所在：最終用戶提交的待打包交易。普通公鏈（先不考慮EOS那種）的帶寬有限，如果用戶提交的待打包交易必須粗放型地全網泛濫傳播，那現有網路帶寬可以提供多少TPS？如果出塊節點是靜態分區或者至少提前一段時間公開知曉，事情尚有迴旋餘地；如果出塊節點是如此飄忽不定，而且直到最後一刻也只有這些節點自己知道，那無論是用戶還是出塊節點候選人看起來最直接的應對之道就是全網泛濫傳播全部待打包交易、保存全部待打包交易，這樣帶寬和存儲仍然成為系統瓶頸。

所以這里碰到的，本質上還是安全、可擴展性、去中心化的不可能三角。

四、簡評Ouroboros Praos

BM懟 Ouroboros的文字已經流傳廣泛。BM的話當然有些明顯是不對的，比如Ouroboros的DPOS是指"Dynamic [stake distribution] POS"而不是BM的Delegate POS，但其關於Pareto分布的評論則值得玩味。如果我們仔細瀏覽後出的Ouroboros Praos，可以發現協議的安全假設和安全證明完全沒有考慮經濟博弈因素，因此洋洋灑灑的證明很可能會不得要領而錯過真正需要防護的方向——畢竟一直以來POS/DPOS這些協議的血管裡面流淌的就是基於經濟博弈和人性進行設計的血液。最明顯的例子是在forward secure signature的實現方法上，協議目前的設計是要求每個好的節點自覺主動地安全刪除用過的私鑰，而完全沒有考慮近乎零的私鑰保存成本如何面對bribe attack的誘惑，然而這卻是值得考慮的。除了形式化證明之外，Ouroboros Praos本身並沒有太多值得關注的協議特徵，總體上就是用VRF抽簽結合POS演算法並針對某些安全假設進行了形式化證明，其做事的態度是非常值得贊賞的。

五、總結

這幾個演算法本身頗有創意，也很值得學習。與此同時，在看過以太坊CASPER目前披露的分區技術後，筆者的體會是：區塊鏈3.0的競爭才剛剛開始，從以太坊團隊的技術路線看，他們的技術考量和選擇要比很多宣稱要超越以太坊的團隊來得深刻和全面。如果當真要超越以太坊，還是應該先從理解以太坊開始。

順便感謝趣鏈邱煒偉博士對本文的貢獻！

『貳』 虛擬貨幣和什麼演算法有關

Litecoin

Litecoin（LTC）發布於2011年10月7日,是目前市值最高的山寨幣，約為 BTC 市值的2%。目前單價為2.31美元，總幣值 3800 萬美元。

這同樣是一種分布式（去中心化）的數字貨幣。不同於比特幣使用的 SHA256 挖礦演算法，LTC 採用 scrypt 演算法。獨特的演算法也是從山寨幣中脫穎而出的關鍵，scrypt 演算法使用 SHA256 作為其子程序，而 scrypt 自身需要大量的內存，每個散列作為輸入的種子使用的，然後與需要大量的內存存儲另一種子偽隨機序列，共同生成序列的偽隨機點而輸出哈希值。在 BTC（Bitcoin）的開采依靠單純的顯卡挖礦已經力不從心（利用一般配置顯卡挖到一個 BTC 大概需要十幾到數十天），各種價格不菲挖礦機的出現提高了普通人通過挖礦獲得 BTC 的門檻，而 LTC 在使用 PC 顯卡挖礦上具有一定優勢。（本段來源於知乎。）

Litecoin 對比 BTC 在技術上做了一點的改進，如果現在 BTC 是金，那 LTC 暫時是銀。

Litecoin 的最大優點是能更快確認真偽，該虛擬貨幣由 Charles Lee 設計和維護。比特幣的交易需要驗證，驗證的時間平均在10分鍾以上，大多數交易網站驗證需要1個小時。Litecoin 交易確認平均為2.5分鍾，開發者聲稱縮短驗證增加了虛擬貨幣的實用性。定製機器和 AMD GPU 的比特幣采礦效率最高，令使用 CPU 采礦的礦工幾乎無利可圖。Litecoin 的采礦排除了 GPU 和定製處理器，因此不過於依賴少量專業礦工。

PPCoin

PPCoin（PPC） 發布於2012年8月19，在 BTC 原有技術上有所提升。使用 proof-of-stake，並加入 coin age 概念。

PPCoin 是 Bitcoin 的分叉項目，目標是實現能源效率，並盡可能保持原 Bitcoin 的最好性能。PPCoin 單價0.22美元，總幣值 400 萬美元。

PPCoin 沒有一個固定的貨幣供應量上限，但這並不意味著 PPCoin 比 Bitcoin 有明顯通脹。可以將 Bitcoin 比做黃金，黃金每年的通脹是1-3％左右，雖然黃金並沒有已知的貨幣供應量上限，但我們仍知道它是可靠的稀缺品。

PPCoin 的鑄造有兩種類型，工作證明及股權證明。工作證明的鑄幣率受摩爾定律影響，這取決於我們的工作證明能力的成倍增長。而大家都知道的是摩爾定律最終會結束，到那時通脹的 PPCoin 可能已經接近黃金的水平。而股權證明鑄造每年最多通脹 1％。與此同時，PPCoin 的交易費用被銷毀以抗衡通脹。所以整體來說， PPCoin 的鑄幣設計仍是未來一個非常低的通脹設計，可以達到和 Bitcoin 相媲美的程度。

PPCoin 的獎勵方式類似彩票，會根據礦工持有的 PPCoin 數量決定獲勝幾率，創始人之一的 Sunny King 說，他們的設計是基於長期能量效率的新概念。

Terracoin

Terracoin（TRC）發布於2012年10月26，總幣量 4200 萬。每塊速度為2分鍾，比 LTC 稍快一些。技術上沒有太多特別之處，類似 BTC 每4年產量減半。

不過運營團隊似乎有較強商業背景，可能會在流通上優於其他比特幣。虛擬貨幣現在的發展越來越得到重視，現在一些有商業背景的團隊進入，會加速虛擬貨幣的發展。

Namecoin

Namecoin 是一個基於比特幣技術的分布式域名系統，其原理和 Bitcoin 一樣， 這個開源軟體首次發布的日期是2011年4月18日。

Namecoin 產生於一個不同於 Bitcoin 主交易區塊的起源塊， 使用一個新的區塊鏈（blockchain），獨立於 Bitcoin 的區塊鏈之外，因為是基於 Bitcoin，域名的安全性， 分布性， 魯棒性， 加密性， 遷移都有數學保證。可以用挖 Bitcoin 的方式，同時挖 Namecoin。

『叄』 為什麼用dda演算法生成圓周或橢圓不需要用到三角運算，所以運算效率高

一個自耕農家庭里，牛頓誕生了。牛頓是一個早產兒，出生時只有三磅重，接生婆和他的親人都擔心他能否活下來。誰也沒有料到這個看起來微不足道的小東西會成為了一位震古爍今的科學巨人，並且竟活到了85歲的高齡。

牛頓出生前三個月父親便去世了。在他兩歲時，母親改嫁給一個牧師，把牛頓留在外祖母身邊撫養。11歲時，母親的後夫去世，母親帶著和後夫所生的一子二女回到牛頓身邊。牛頓自幼沉默寡言，性格倔強，這種習性可能來自它的家庭處境。

大約從五歲開始，牛頓被送到公立學校讀書。少年時的牛頓並不是神童，他資質平常，成績一般，但他喜歡讀書，喜歡看一些介紹各種簡單機械模型製作方法的讀物，並從中受到啟發，自己動手製作些奇奇怪怪的小玩意，如風車、木鍾、折疊式提燈等等。

傳說小牛頓把風車的機械原理摸透後，自己製造了一架磨坊的模型，他將老鼠綁在一架有輪子的踏車上，然後在輪子的前面放上一粒玉米，剛好那地方是老鼠可望不可及的位置。老鼠想吃玉米，就不斷的跑動，於是輪子不停的轉動；又一次他放風箏時，在繩子上懸掛著小燈，夜間村人看去驚疑是彗星出現；他還製造了一個小水鍾。每天早晨，小水鍾會自動滴水到他的臉上，催他起床。他還喜歡繪畫、雕刻，尤其喜歡刻日晷，家裡牆角、窗檯上到處安放著他刻畫的日晷，用以驗看日影的移動。

牛頓12歲時進了離家不遠的格蘭瑟姆中學。牛頓的母親原希望他成為一個農民，但牛頓本人卻無意於此，而酷愛讀書。隨著年歲的增大，牛頓越發愛好讀書，喜歡沉思，做科學小實驗。他在格蘭瑟姆中學讀書時，曾經寄宿在一位劑師家裡，使他受到了化學試驗的熏陶。

牛頓在中學時代學習成績並不出眾，只是愛好讀書，對自然現象由好奇心，例如顏色、日影四季的移動，尤其是幾何學、哥白尼的日心說等等。他還分門別類的記讀書筆記，又喜歡別出心裁的作些小工具、小技巧、小發明、小試驗。

當時英國社會滲透基督教新思想，牛頓家裡有兩位都以神父為職業的親戚，這可能影響牛頓晚年的宗教生活。從這些平凡的環境和活動中，還看不出幼年的牛頓是個才能出眾異於常人的兒童。

後來迫於生活，母親讓牛頓停學在家務農，贍養家庭。但牛頓一有機會便埋首書卷，以至經常忘了幹活。每次，母親叫他同傭人一道上市場，熟悉做交易的生意經時，他便懇求傭人一個人上街，自己則躲在樹叢後看書。有一次，牛頓的舅父起了疑心，就跟蹤牛頓上市鎮去，發現他的外甥伸著腿，躺在草地上，正在聚精會神地鑽研一個數學問題。牛頓的好學精神感動了舅父，於是舅父勸服了母親讓牛頓復學，並鼓勵牛頓上大學讀書。牛頓又重新回到了學校，如飢似渴地汲取著書本上的營養。有一次，他去郊外遊玩，之後靠在一棵蘋果樹下休息，忽然，一個蘋果從樹上掉下來。他覺得很奇怪，為什麼蘋果會從上往下掉而不是從下往上掉？他帶著這個疑問回到了家裡研究，後來他發現原來地球是有引力的能把物體吸住。隨後，就出現了《牛頓物理引力學》。

求學歲月

1661年，19歲的牛頓以減費生的身份進入劍橋大學三一學院，靠為學院做雜務的收入支付學費，1664年成為獎學金獲得者，1665年獲學士學位。

17世紀中葉，劍橋大學的教育制度還滲透著濃厚的中世紀經院哲學的氣味，當牛頓進入劍橋時，哪裡還在傳授一些經院式課程，如邏輯、古文、語法、古代史、神學等等。兩年後三一學院出現了新氣象，盧卡斯創設了一個獨辟蹊徑的講座，規定講授自然科學知識，如地理、物理、天文和數學課程。

講座的第一任教授伊薩克·巴羅是個博學的科學家。這位學者獨具慧眼，看出了牛頓具有深邃的觀察力、敏銳的理解力。於是將自己的數學知識，包括計算曲線圖形面積的方法，全部傳授給牛頓，並把牛頓引向了近代自然科學的研究領域。

在這段學習過程中，牛頓掌握了算術、三角，讀了開普勒的《光學》，笛卡爾的《幾何學》和《哲學原理》，伽利略的《兩大世界體系的對話》，胡克的《顯微圖集》，還有皇家學會的歷史和早期的哲學學報等。

牛頓在巴羅門下的這段時間，是他學習的關鍵時期。巴羅比牛頓大12歲，精於數學和光學，他對牛頓的才華極為贊賞，認為牛頓的數學才超過自己。後來，牛頓在回憶時說道：「巴羅博士當時講授關於運動學的課程，也許正是這些課程促使我去研究這方面的問題。」

當時，牛頓在數學上很大程度是依靠自學。他學習了歐幾里得的《幾何原本》、笛卡兒的《幾何學》、沃利斯的《無窮算術》、巴羅的《數學講義》及韋達等許多數學家的著作。其中，對牛頓具有決定性影響的要數笛卡兒的《幾何學》和沃利斯的《無窮算術》，它們將牛頓迅速引導到當時數學最前沿～解析幾何與微積分。1664年，牛頓被選為巴羅的助手，第二年，劍橋大學評議會通過了授予牛頓大學學士學位的決定。

1665～1666年嚴重的鼠疫席捲了倫敦，劍橋離倫敦不遠，為恐波及，學校因此而停課，牛頓於1665年6月離校返鄉。

由於牛頓在劍橋受到數學和自然科學的熏陶和培養，對探索自然現象產生濃厚的興趣，家鄉安靜的環境又使得他的思想展翅飛翔。1665～1666年這段短暫的時光成為牛頓科學生涯中的黃金歲月，他在自然科學領域內思潮奔騰，才華迸發，思考前人從未思考過的問題，踏進了前人沒有涉及的領域，創建了前所未有的驚人業績。

1665年初，牛頓創立級數近似法,以及把任意冪的二項式化為一個級數的規則；同年11月，創立正流數法(微分)；次年1月，用三棱鏡研究顏色理論；5月，開始研究反流數法(積分)。這一年內，牛頓開始想到研究重力問題，並想把重力理論推廣到月球的運動軌道上去。他還從開普勒定律中推導出使行星保持在它們的軌道上的力必定與它們到旋轉中心的距離平方成反比。牛頓見蘋果落地而悟出地球引力的傳說，說的也是此時發生的軼事。

總之，在家鄉居住的兩年中，牛頓以比此後任何時候更為旺盛的精力從事科學創造，並關心自然哲學問題。他的三大成就：微積分、萬有引力、光學分析的思想都是在這時孕育成形的。可以說此時的牛頓已經開始著手描繪他一生大多數科學創造的藍圖。

1667年復活節後不久，牛頓返回到劍橋大學，10月1日被選為三一學院的仲院侶(初級院委)，翌年3月16日獲得碩士學位，同時成為正院侶(高級院委)。1669年10月27日，巴羅為了提攜牛頓而辭去了教授之職，26歲的牛頓晉升為數學教授，並擔任盧卡斯講座的教授。巴羅為牛頓的科學生涯打通了道路，如果沒有牛頓的舅父和巴羅的幫助，牛頓這匹千里馬可能就不會馳騁在科學的大道上。巴羅讓賢，這在科學史上一直被傳為佳話。

偉大的成就～建立微積分

在牛頓的全部科學貢獻中，數學成就佔有突出的地位。他數學生涯中的第一項創造性成果就是發現了二項式定理。據牛頓本人回憶，他是在1664年和1665年間的冬天，在研讀沃利斯博士的《無窮算術》時，試圖修改他的求圓面積的級數時發現這一定理的。

笛卡爾的解析幾何把描述運動的函數關系和幾何曲線相對應。牛頓在老師巴羅的指導下，在鑽研笛卡爾的解析幾何的基礎上，找到了新的出路。可以把任意時刻的速度看是在微小的時間范圍里的速度的平均值，這就是一個微小的路程和時間間隔的比值，當這個微小的時間間隔縮小到無窮小的時候，就是這一點的准確值。這就是微分的概念。

求微分相當於求時間和路程關系得在某點的切線斜率。一個變速的運動物體在一定時間范圍里走過的路程，可以看作是在微小時間間隔里所走路程的和，這就是積分的概念。求積分相當於求時間和速度關系的曲線下面的面積。牛頓從這些基本概念出發，建立了微積分。

微積分的創立是牛頓最卓越的數學成就。牛頓為解決運動問題，才創立這種和物理概念直接聯系的數學理論的，牛頓稱之為"流數術"。它所處理的一些具體問題，如切線問題、求積問題、瞬時速度問題以及函數的極大和極小值問題等，在牛頓前已經得到人們的研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的努力加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統一為兩類普通的演算法——微分和積分，並確立了這兩類運算的互逆關系，從而完成了微積分發明中最關鍵的一步，為近代科學發展提供了最有效的工具，開辟了數學上的一個新紀元。

牛頓沒有及時發表微積分的研究成果，他研究微積分可能比萊布尼茨早一些，但是萊布尼茨所採取的表達形式更加合理，而且關於微積分的著作出版時間也比牛頓早。

在牛頓和萊布尼茨之間，為爭論誰是這門學科的創立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，這種爭吵在各自的學生、支持者和數學家中持續了相當長的一段時間，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期里閉關鎖國，囿於民族偏見，過於拘泥在牛頓的「流數術」中停步不前，因而數學發展整整落後了一百年。

應該說，一門科學的創立決不是某一個人的業績，它必定是經過多少人的努力後，在積累了大量成果的基礎上，最後由某個人或幾個人總結完成的。微積分也是這樣，是牛頓和萊布尼茨在前人的基礎上各自獨立的建立起來的。

1707年，牛頓的代數講義經整理後出版，定名為《普遍算術》。他主要討論了代數基礎及其(通過解方程)在解決各類問題中的應用。書中陳述了代數基本概念與基本運算，用大量實例說明了如何將各類問題化為代數方程，同時對方程的根及其性質進行了深入探討，引出了方程論方面的豐碩成果，如，他得出了方程的根與其判別式之間的關系，指出可以利用方程系數確定方程根之冪的和數，即「牛頓冪和公式」。

牛頓對解析幾何與綜合幾何都有貢獻。他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心，給出密切線圓(或稱曲線圓)概念，提出曲率公式及計算曲線的曲率方法。並將自己的許多研究成果總結成專論《三次曲線枚舉》，於1704年發表。此外，他的數學工作還涉及數值分析、概率論和初等數論等眾多領域。

偉大的成就～對光學的三大貢獻

在牛頓以前，墨子、培根、達·芬奇等人都研究過光學現象。反射定律是人們很早就認識的光學定律之一。近代科學興起的時候，伽利略靠望遠鏡發現了「新宇宙」，震驚了世界。荷蘭數學家斯涅爾首先發現了光的折射定律。笛卡爾提出了光的微粒說……

牛頓以及跟他差不多同時代的胡克、惠更斯等人，也象伽利略、笛卡爾等前輩一樣，用極大的興趣和熱情對光學進行研究。1666年，牛頓在家休假期間，得到了三棱鏡，他用來進行了著名的色散試驗。一束太陽光通過三棱鏡後，分解成幾種顏色的光譜帶，牛頓再用一塊帶狹縫的擋板把其他顏色的光擋住，只讓一種顏色的光在通過第二個三棱鏡，結果出來的只是同樣顏色的光。這樣，他就發現了白光是由各種不同顏色的光組成的，這是第一大貢獻。

牛頓為了驗證這個發現，設法把幾種不同的單色光合成白光，並且計算出不同顏色光的折射率，精確地說明了色散現象。揭開了物質的顏色之謎，原來物質的色彩是不同顏色的光在物體上有不同的反射率和折射率造成的。公元1672年，牛頓把自己的研究成果發表在《皇家學會哲學雜志》上，這是他第一次公開發表的論文。

許多人研究光學是為了改進折射望遠鏡。牛頓由於發現了白光的組成，認為折射望遠鏡透鏡的色散現象是無法消除的(後來有人用具有不同折射率的玻璃組成的透鏡消除了色散現象)，就設計和製造了反射望遠鏡。

牛頓不但擅長數學計算，而且能夠自己動手製造各種試驗設備並且作精細實驗。為了製造望遠鏡，他自己設計了研磨拋光機，實驗各種研磨材料。公元1668年，他製成了第一架反射望遠鏡樣機，這是第二大貢獻。公元1671年，牛頓把經過改進得反射望遠鏡獻給了皇家學會，牛頓名聲大震，並被選為皇家學會會員。反射望遠鏡的發明奠定了現代大型光學天文望遠鏡的基礎。

同時，牛頓還進行了大量的觀察實驗和數學計算，比如研究惠更斯發現的冰川石的異常折射現象，胡克發現的肥皂泡的色彩現象，「牛頓環」的光學現象等等。

牛頓還提出了光的「微粒說」，認為光是由微粒形成的，並且走的是最快速的直線運動路徑。他的「微粒說」與後來惠更斯的「波動說」構成了關於光的兩大基本理論。此外，他還製作了牛頓色盤等多種光學儀器。

偉大的成就～構築力學大廈

牛頓是經典力學理論的集大成者。他系統的總結了伽利略、開普勒和惠更斯等人的工作，得到了著名的萬有引力定律和牛頓運動三定律。

在牛頓以前，天文學是最顯赫的學科。但是為什麼行星一定按照一定規律圍繞太陽運行？天文學家無法圓滿解釋這個問題。萬有引力的發現說明，天上星體運動和地面上物體運動都受到同樣的規律——力學規律的支配。

早在牛頓發現萬有引力定律以前，已經有許多科學家嚴肅認真的考慮過這個問題。比如開普勒就認識到，要維持行星沿橢圓軌道運動必定有一種力在起作用，他認為這種力類似磁力，就像磁石吸鐵一樣。1659年，惠更斯從研究擺的運動中發現，保持物體沿圓周軌道運動需要一種向心力。胡克等人認為是引力，並且試圖推到引力和距離的關系。

1664年，胡克發現彗星靠近太陽時軌道彎曲是因為太陽引力作用的結果；1673年，惠更斯推導出向心力定律；1679年，胡克和哈雷從向心力定律和開普勒第三定律，推導出維持行星運動的萬有引力和距離的平方成反比。

牛頓自己回憶，1666年前後，他在老家居住的時候已經考慮過萬有引力的問題。最有名的一個說法是：在假期里，牛頓常常在花園里小坐片刻。有一次，象以往屢次發生的那樣，一個蘋果從樹上掉了下來……

一個蘋果的偶然落地，卻是人類思想史的一個轉折點，它使那個坐在花園里的人的頭腦開了竅，引起他的沉思：究竟是什麼原因使一切物體都受到差不多總是朝向地心的吸引呢？牛頓思索著。終於，他發現了對人類具有劃時代意義的萬有引力。

牛頓高明的地方就在於他解決了胡克等人沒有能夠解決的數學論證問題。1679年，胡克曾經寫信問牛頓，能不能根據向心力定律和引力同距離的平方成反比的定律，來證明行星沿橢圓軌道運動。牛頓沒有回答這個問題。1685年，哈雷登門拜訪牛頓時，牛頓已經發現了萬有引力定律：兩個物體之間有引力，引力和距離的平方成反比，和兩個物體質量的乘積成正比。

當時已經有了地球半徑、日地距離等精確的數據可以供計算使用。牛頓向哈雷證明地球的引力是使月亮圍繞地球運動的向心力，也證明了在太陽引力作用下，行星運動符合開普勒運動三定律。

在哈雷的敦促下，1686年底，牛頓寫成劃時代的偉大著作《自然哲學的數學原理》一書。皇家學會經費不足，出不了這本書，後來靠了哈雷的資助，這部科學史上最偉大的著作之一才能夠在1687年出版。

牛頓在這部書中，從力學的基本概念(質量、動量、慣性、力)和基本定律(運動三定律)出發，運用他所發明的微積分這一銳利的數學工具，不但從數學上論證了萬有引力定律，而且把經典力學確立為完整而嚴密的體系，把天體力學和地面上的物體力學統一起來，實現了物理學史上第一次大的綜合。

站在巨人的肩上

牛頓的研究領域非常廣泛，他除了在數學、光學、力學等方面做出卓越貢獻外，他還花費大量精力進行化學實驗。他常常六個星期一直留在實驗室里，不分晝夜的工作。他在化學上花費的時間並不少，卻幾乎沒有取得什麼顯著的成就。為什麼同樣一個偉大的牛頓，在不同的領域取得的成就竟那麼不一樣呢？

其中一個原因就是各個學科處在不同的發展階段。在力學和天文學方面，有伽利略、開普勒、胡克、惠更斯等人的努力，牛頓有可能用已經准備好的材料，建立起一座宏偉壯麗的力學大廈。正象他自己所說的那樣「如果說我看得遠，那是因為我站在巨人的肩上」。而在化學方面，因為正確的道路還沒有開辟出來，牛頓沒法走到可以砍伐材料的地方。

牛頓在臨終前對自己的生活道路是這樣總結的：「我不知道在別人看來，我是什麼樣的人；但在我自己看來，我不過就象是一個在海濱玩耍的小孩，為不時發現比尋常更為光滑的一塊卵石或比尋常更為美麗的一片貝殼而沾沾自喜，而對於展現在我面前的浩瀚的真理的海洋，卻全然沒有發現。」

這當然是牛頓的謙遜。

怪異的牛頓

牛頓並不善於教學，他在講授新近發現的微積分時，學生都接受不了。但在解決疑難問題方面的能力，他卻遠遠超過了常人。還是學生時，牛頓就發現了一種計算無限量的方法。他用這個秘密的方法，算出了雙曲面積到二百五十位數。他曾經高價買下了一個棱鏡，並把它作為科學研究的工具，用它試驗了白光分解為的有顏色的光。

開始，他並不願意發表他的觀察所得，他的發現都只是一種個人的消遣，為的是使自己在寂靜的書齋中解悶，他獨自遨遊於自己所創造的超級世界裡。後來，在好友哈雷的竭力勸說下，才勉強同意出版他的手稿，才有劃時代巨著《自然哲學的數學原理》的問世。

作為大學教授，牛頓常常忙得不修邊幅，往往領帶不結，襪帶不系好，馬褲也不紐扣，就走進了大學餐廳。有一次，他在向一位姑娘求婚時思想又開了小差，他腦海了只剩下了無窮量的二項式定理。他抓住姑娘的手指，錯誤的把它當成通煙斗的通條，硬往煙斗里塞，痛得姑娘大叫，離他而去。牛頓也因此終生未娶。

牛頓從容不迫地觀察日常生活中的小事，結果作出了科學史上一個個重要的發現。他馬虎拖沓，曾經鬧過許多的笑話。一次，他邊讀書，邊煮雞蛋，等他揭開鍋想吃雞蛋時，卻發現鍋里是一隻懷表。還有一次，他請朋友吃飯，當飯菜准備好時，牛頓突然想到一個問題，便獨自進了內室，朋友等了他好久還是不見他出來，於是朋友就自己動手把那份雞全吃了，雞骨頭留在盤子，不告而別了。等牛頓想起，出來後，發現了盤子里的骨頭，以為自己已經吃過了，便轉身又進了內室，繼續研究他的問題。

牛頓晚年

但是由於受時代的限制，牛頓基本上是一個形而上學的機械唯物主義者。他認為運動只是機械力學的運動，是空間位置的變化；宇宙和太陽一樣是沒有發展變化的；靠了萬有引力的作用，恆星永遠在一個固定不變的位置上……

隨著科學聲譽的提高，牛頓的政治地位也得到了提升。1689年，他被當選為國會中的大學代表。作為國會議員，牛頓逐漸開始疏遠給他帶來巨大成就的科學。他不時表示出對以他為代表的領域的厭惡。同時，他的大量的時間花費在了和同時代的著名科學家如胡克、萊布尼茲等進行科學優先權的爭論上。

晚年的牛頓在倫敦過著堂皇的生活，1705年他被安妮女王封為貴族。此時的牛頓非常富有，被普遍認為是生存著的最偉大的科學家。他擔任英國皇家學會會長，在他任職的二十四年時間里，他以鐵拳統治著學會。沒有他的同意，任何人都不能被選舉。

晚年的牛頓開始致力於對神學的研究，他否定哲學的指導作用，虔誠地相信上帝，埋頭於寫以神學為題材的著作。當他遇到難以解釋的天體運動時，竟提出了「神的第一推動力」的謬論。他說「上帝統治萬物，我們是他的僕人而敬畏他、崇拜他」。

1727年3月20日，偉大艾薩克·牛頓逝世。