演算法第四章

1. 數學建模第四章 圖論 part4.2最短路徑問題-Dijkstra演算法

1.Dijkstra演算法介紹

演算法特點：

迪科斯徹演算法使用了廣度優先搜索解決賦權有向圖或者無向圖的單源最短路徑問題，演算法最終得到一個最短路徑樹。該演算法常用於路由演算法或者作為其他圖演算法的一個子模塊。

演算法的思路

Dijkstra演算法採用的是一種貪心的策略，聲明一個數組dis來保存源點到各個頂點的最短距離和一個保存已經找到了最短路徑的頂點的集合：T，初始時，原點 s 的路徑權重被賦為 0 （dis[s] = 0）。若對於頂點 s 存在能直接到達的邊（s,m），則把dis[m]設為w（s, m）,同時把所有其他（s不能直接到達的）頂點的路徑長度設為無窮大。初始時，集合T只有頂點s。 

然後，從dis數組選擇最小值，則該值就是源點s到該值對應的頂點的最短路徑，並且把該點加入到T中，OK，此時完成一個頂點， 

然後，我們需要看看新加入的頂點是否可以到達其他頂點並且看看通過該頂點到達其他點的路徑長度是否比源點直接到達短，如果是，那麼就替換這些頂點在dis中的值。 

然後，又從dis中找出最小值，重復上述動作，直到T中包含了圖的所有頂點。

2、Dijkstra演算法示例演示

我求下圖，從頂點v1到其他各個頂點的最短路徑.

首先第一步，我們先聲明一個dis數組，該數組初始化的值為：

我們的頂點集T的初始化為：T={v1}

既然是求 v1頂點到其餘各個頂點的最短路程，那就先找一個離 1 號頂點最近的頂點。通過數組 dis 可知當前離v1頂點最近是 v3頂點。當選擇了 2 號頂點後，dis[2]（下標從0開始）的值就已經從「估計值」變為了「確定值」，即 v1頂點到 v3頂點的最短路程就是當前 dis[2]值。將V3加入到T中。 

為什麼呢？因為目前離 v1頂點最近的是 v3頂點，並且這個圖所有的邊都是正數，那麼肯定不可能通過第三個頂點中轉，使得 v1頂點到 v3頂點的路程進一步縮短了。因為 v1頂點到其它頂點的路程肯定沒有 v1到 v3頂點短.

OK，既然確定了一個頂點的最短路徑，下面我們就要根據這個新入的頂點V3會有出度，發現以v3 為弧尾的有： < v3,v4 >,那麼我們看看路徑：v1–v3–v4的長度是否比v1–v4短，其實這個已經是很明顯的了，因為dis[3]代表的就是v1–v4的長度為無窮大，而v1–v3–v4的長度為：10+50=60，所以更新dis[3]的值,得到如下結果： 

因此 dis[3]要更新為 60。這個過程有個專業術語叫做「鬆弛」。即 v1頂點到 v4頂點的路程即 dis[3]，通過 < v3,v4> 這條邊鬆弛成功。這便是 Dijkstra 演算法的主要思想：通過「邊」來鬆弛v1頂點到其餘各個頂點的路程。

然後，我們又從除dis[2]和dis[0]外的其他值中尋找最小值，發現dis[4]的值最小，通過之前是解釋的原理，可以知道v1到v5的最短距離就是dis[4]的值，然後，我們把v5加入到集合T中，然後，考慮v5的出度是否會影響我們的數組dis的值，v5有兩條出度：< v5,v4>和 < v5,v6>,然後我們發現：v1–v5–v4的長度為：50，而dis[3]的值為60，所以我們要更新dis[3]的值.另外，v1-v5-v6的長度為：90，而dis[5]為100，所以我們需要更新dis[5]的值。更新後的dis數組如下圖： 

然後，我們使用同樣原理，分別確定了v6和v2的最短路徑，最後dis的數組的值如下： 

因此，從圖中，我們可以發現v1-v2的值為：∞，代表沒有路徑從v1到達v2。所以我們得到的最後的結果為：

2. 《演算法分析與設計》課程講什麼內容

《演算法分析與設計》課程是理論性與應用性並重的專業課程。本課程以演算法設計策略為知識單元，系統地介紹計算機演算法的設計方法和分析技巧。課程教學主要內容包括：第一章，演算法概述；第二章，遞歸與分治策略；第三章，動態規劃；第四章，貪心演算法；第五章，回溯法；第六章，分支限界法。通過介紹經典以及實用演算法讓同學掌握演算法設計的基本方法。結合實例分析，讓同學深入理解演算法設計的技巧，以及分析演算法的能力。

3. 冒泡排序演算法 [「排序演算法設計」教學設計]

一、教材依據本節課是奧教版《演算法與程序設計》(選修1)第四章《演算法與程序實現》的第4節第1課時。二、設計思想【教學指導思想】：基於問題主導的教學模式。
【設計理念】：本節課採用基於問題主導的創新教學模式，指導學生在問題解決視野下去親歷演算法分析與程序設計實踐、理解演算法思想、發現新問題，從而全面提升學生的能力。
【教材分析】：排序演算法是程序設計的基本演算法，主要要求學生理解選擇排序演算法，選擇排序演算法的特點，進一步分析排序演算法時間和空間效率。
【學情分析】：高二年級的學生在高一階段襪畝山的必修教材中已經學習了編製程序解決問題，他們已經具有較強的邏輯思維能力和分析問題的能力，只要講清楚演算法，本節課的內容對學生來說應該容易掌握。
三、教學目標
【知識目標】：理解選擇排序演算法思想，學會使用選擇排序演算法思想解決問題。
【能力目標】：通過學習選擇排序演算法，提高學生分析與解決問題的能力。
【情感態度與價值觀】：通過上機完成「大型國際運動會上的國家排序問題"VB程序設計，體驗編程快樂、感受成功的喜悅與程序的魅力。
四、教學重點
選擇排序演算法的基本思想及相關的程序實現。
五、教學難點
如何使用選擇排序演算法解決實際的問題。
六、教學准備
1.用PowerPoint 2003製作的課件。
2.從網上下載選擇排序的動畫演示文件。
七、教學過程
1.引入新課：(以一些現實生活的實際問題開始，啟發同學們去思考)
教師：同學們每次的考試成績我們會以Excel表格的形式公布給大家，同學們想想計算機是如何在瞬間進行分數排序的呢?
學生想。
2.啟發思考，分析選擇排序演算法及程序實現。
教師：好，今天我們就來學習選擇排序演算法。
開始新課學習：
教師：現在我們一起看看人工是如何進行數據的排序的，老師給出8位同學的分數，同學們把它們由小到大地排成順序。數據分別是：86.5，77.5，87，68.9，89.6，77.2，79.7，71.1。同學們想想笫一個位置應該放哪個數?
學生：放最小的。
教師：好，那麼，我們是不是只需要將最小的數68.9與在第一個位置的數86.5進行交換呢?
學生：是。
教師：同學們再想一下第二個位置是不是應該放置的是除了第一個以外的數中最小的呢?
學生：是。
教師：那麼第N-1個位置應該放什麼呢?
學生：應該放置告中的是除了前N-2個以外的數中最小的。
教師：老師是不是可以總結我們剛才的演算法，所謂選擇排序，就是給數組的N-1個位置選擇合適的數據，而每次是選擇第i個位置的數據到最後一個位置(第Ⅳ個位置)的數據的最小值，然後將找到的最小數據與第i個位置上的數據交換?
學生：是的。
教師：下面我用一個動畫演示剛才的演算法，請同學們看大屏幕。
現在我們只需要將剛才的演算法用VB語言表達出來，就是選擇排序的程序，那麼我們需要解決三個問題：
(1)給數組的N-1個位置選擇合適的數據?這個問題顯然我們可以用一個循環結構來完成：For i=l【o
N-1Next i
(2)如何尋找第i個位置的數據到最後一個位置(第Ⅳ個位置)的數據的最小值?
這個問題也就是在數組中的極值(最大值或最小值)的問題。其實我們只關心最小值數據的位置，用變數M記錄其位置。
於是我們很容易寫出選擇排序的程序。
3.調試程序：
教師：同學們想不想看一下運行結果呢?
學生：想(很耐橘強烈)。
教師：運行程序後，輸入測試數據，可得排序後的輸出結果在窗體上。
4.課堂實踐練習與知識拓寬：
(1)完成課本127頁的國家名排序問題。
【設計意圖】：使學生看到選擇排序不僅可以對數字排序，也可以對字元串排序，同時也能達到對選擇排序的應用練習。
(2)明明的隨機數(題目描述發送到學生機的桌面)
【設計意圖】：這個問題是很現實的例子，學生對這個問題很感興趣，激發他們探索的慾望，要求學習優秀的學生必須完成，我想通過這個問題，一方面提升學生學習的積極性；另一方面再通過這個實際問題的解決，實現本節課的知識目標。
【學習評價】：教師隨機讓個別學生講解練習題的演算法、演示其所編程序，師生共同進行點評。
【課堂小結】：
(1)什麼是選擇排序演算法?
(2)選擇排序演算法的實質及時間和空間效率。
(3)選擇排序演算法的優點、缺點。
八、教學反思
通過本節課的 教學設計 ，我認識到信息技術教學的關鍵是要調動學生的積極性，演算法與程序設計這部分知識如果課堂教學設計不當，就會讓學生覺得很枯燥，所以我將抽象的問題通俗化，復雜的問題分解成幾個小問題來解決，這樣學生就很容易接受，再加上所舉的例子都是學生身邊的實際事例，使學生很想知道問題的答案，從而極大地調動了學生的積極性。
(作者單位陝西省成陽市禮泉縣第一中學)

4. 演算法分析與設計這門課程第四章貪心演算法的知識點有哪些

演算法分析與設計這門課第四章貪心演算法的知識點包含章節導引,第一節活動安排問題,第二節貪心演算法基本要素,第三節最優裝載,第四節單源最短路徑,第五節多機調度問題,課後練習,。