秦久韶演算法

A. 秦九韶演算法是甚麼

秦九韶演算法
是中國南宋時期的數學家秦九韶提出的一種多項式簡化演算法。在西方被稱作霍納演算法（Horner
algorithm或Horner
scheme），是以英國數學家威廉·喬治·霍納命名的.
把一個n次多項式f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]改寫成如下形式：
f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1))+......+a[1]x+a[0]
=(a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+......+a[1])x+a[0]
=((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+......+a[2])x+a[1])x+a[0]
=......
=(......((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+......+a[1])x+a[0].
求多項式的值時，首先計算最內層括弧內一次多項式的值，即
v[1]=a[n]x+a[n-1]
然後由內向外逐層計算一次多項式的值，即
v[2]=v[1]x+a[n-2]
v[3]=v[2]x+a[n-3]
......
v[n]=v[n-1]x+a[0]
這樣，求n次多項式f(x)的值就轉化為求n個一次多項式的值。
（註：中括弧里的數表示下標）

結論：對於一個n次多項式，至多做n次乘法和n次加法。

B. 秦九韶演算法公式是什麼

秦九韶演算法公式如下圖所示：

秦九韶演算法的特點和作用

特點：通過一次式的反復計算，逐步得出高次多項式的值，對於一個n次多項式，只需做n次乘法和n次加法即可。

作用：解決了運算次數的問題，大大減少了乘法運算的次數，提高了運算效率。

數學思想：把高次轉化為一次的化歸思想方法。演算法具有通用的特點，可以解決一類問題。

C. 什麼是秦九韶演算法

秦九韶演算法是中國南宋時期的數學家秦九韶提出的一種多項式簡化演算法。在西方被稱作霍納演算法。
一般地，一元n次多項式的求值需要經過[n（n+1）]/2次乘法和n次加法，而秦九韶演算法只需要n次乘法和n次加法。在人工計算時，一次大大簡化了運算過程。
把一個n次多項式

改寫成如下形式：

求多項式的值時，首先計算最內層括弧內一次多項式的值，即

然後由內向外逐層計算一次多項式的值，即

這樣，求n次多項式f(x)的值就轉化為求n個一次多項式的值。
結論：對於一個n次多項式，至多做n次乘法和n次加法。[2] （當最高次項系數不為1時分別為n次乘法和n次加法 ，當最高次項系數為1時，分別為n-1 次乘法 ，n次加法。）