續古摘奇演算法

『壹』 縱橫圖古代記載

東漢末年，鄭玄註解《易緯·乾鑿度》時提及九宮數，即三階幻方，這是中國歷史上記載最早的九宮圖。九宮圖在《禮記·明堂篇》及《數術記遺》中也有提及，其布局與龜文之說相吻合。古人曾在龜甲或骨上用火灼出窩槽，以求吉祥之兆，九宮圖的出現也是源於這種傳統的神秘文化。

南宋時期，楊輝在其《續古摘奇演算法》中開始使用「縱橫圖」這一名稱，詳述了三至十階的幻方及其變體，共十三種。楊輝列舉的方形縱橫圖共十三幅，包括洛書數（三階幻方）、四四圖（四階幻方）、五五圖（五階幻方）、六六圖（六階幻方）、七七圖（七階幻方）、六十四圖（八階幻方）、九九圖（九階幻方）及百子圖（十階幻方）。他特別提到了「洛書數」和「四四陰圖」的構造方法，即九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出。

元代時，阿拉伯學者扎馬魯丁為安西王推算歷法期間製作的「東阿拉伯系統」數數碼的鐵制六階幻方，以及上海浦東陸家嘴明嘉靖陸深墓中發現的元代玉質可佩掛的四階幻方，都進一步證明了縱橫圖在這一時期的存在和應用。

明代時，明王文素《算學寶鑒》記載了多種縱橫圖，程大位《演算法統宗》中載有縱橫圖14種，而清方中通《數度衍》卷首之一「九九圖說」後附有縱橫圖14種，與楊輝所著《續古摘奇演算法》中的記載頗為相似。張潮《心齋雜俎》卷下「演算法圖補」增補了若干種縱橫圖，梅成《增刪演算法統宗》淘汰了與河圖洛書及縱橫圖相關的內容後，縱橫圖的使用約有一百多年。

清初時，傳教士將《三三等數圖》列表，列出了三至十階的縱橫圖八種，並詳細闡述了作圖方法。19世紀英國人傅蘭雅主編的《格致匯編》載有四階縱橫圖，這是1514年A.度勒所刻十六字方圖的再版。自14世紀起，歐洲開始研究縱橫圖的構造方法，而中國人杜亞泉等從1900年起探討縱橫圖的造法，但多沿用西方的理論。

將從1至n平方的自然數排列成縱橫各有個數的正方形，使每行、每列、有時還包括每條主對角線上的 個數的和都等於同一個數m（2m=n立方+n），稱這樣的排列為階的縱橫圖，亦稱階幻方。

『貳』 九宮圖演算法的介紹

所有的基數的平方宮圖進行排列。古代計量數字的方法之一。在中國古典文獻中記載了洛書的傳說：公元前 23世紀大禹治水之時，一隻巨大的神龜出現於黃河支流洛水中，龜甲上有9種花點的圖案，分別代表這9個數，而3行、3列以及兩對角線上各自的數之和均為15，世人稱之為洛書。中國漢朝的數術記遺中，稱之為九宮算，又叫九宮圖.宋數學家楊輝著《續古摘奇演算法》把類似於九宮圖的圖形命 名為縱橫圖，書中列舉3、4、5、6、7、8、9、10階幻方。其中所述三階幻方構造法：「九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，戴九履一，左七右三，二四為肩，六八為足」，比法國數學家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百餘年。