二進制乘法演算法

① 二進制的演算法 多舉個例子。

1、加法法則： 0＋0＝0，0＋1＝1＋0＝1，1＋1＝10

2、減法法則： 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = 1 有借位，借1當(10)2 0 - 1 - 1 = 0 有借位 1 - 1 - 1 = 1 有借位。減法，當需要向上一位借數時，必須把上一位的1看成下一位的（2）10。

3、乘法法則： 0×0＝0，0×1＝1×0＝0，1×1＝1

4、除法法則： 0÷1＝0，1÷1＝1 除法應注意： 0÷0 = 0 0÷1 = 0 1÷0 = 0 (無意義)

(1)二進制乘法演算法擴展閱讀

二進制是計算技術中廣泛採用的一種數制。二進制數據是用0和1兩個數碼來表示的數。它的基數為2，進位規則是「逢二進一」，借位規則是「借一當二」，由18世紀德國數理哲學大師萊布尼茲發現。當前的計算機系統使用的基本上是二進制系統，數據在計算機中主要是以補碼的形式存儲的。計算機中的二進制則是一個非常微小的開關，用「開」來表示1，「關」來表示0。

② 二進制加減乘除如何算，高手來啊！

二進制遵循以下法則：0+0=0、0+1=1、1+0=1、1+1=0 進位、0-0=0、0-1=1 借位。

代入計算得10000-111=1001。

二進制乘法：（如10111<<1000代表在10111後面添加3個零）

10010<<10000=100100000

10010<<1000=10010000

10010<<10=100100

最後相加，得

100100000+10010000+100100

=110110000+100100

=111010100

(2)二進制乘法演算法擴展閱讀：

二進制優點

1、數字裝置簡單可靠，所用元件少。

2、只有兩個數碼0和1，因此它的每一位數都可用任何具有兩個不同穩定狀態的元件來表示。

3、基本運算規則簡單，運算操作方便。

二進制缺點

用二進製表示一個數時，位數多。因此實際使用中多採用送入數字系統前用十進制，送入機器後再轉換成二進制數，讓數字系統進行運算，運算結束後再將二進制轉換為十進制供人們閱讀。

二進制和十六進制的互相轉換比較重要。不過這二者的轉換卻不用計算，每個C，C++程序員都能做到看見二進制數，直接就能轉換為十六進制數，反之亦然。

③ 二進制數如何進行乘法運算

1、無符號乘法。

無符號的乘法與加法類似，它的運算方式是比較簡單的，只是也可能產生溢出。對於兩個w位的無符號數來說，它們的乘積范圍在0到(2w-1)2之間，因此可能需要2w位二進制才能表示。

因此由於位數的限制，假設兩個w位的無符號數的真實乘積為pro，根據截斷的規則，則實際得到的乘積為 pro mod 2w。

2、補碼乘法。

與加法運算類似，補碼乘法也是建立在無符號的基礎之上的，因此我們可以很容易的得到，對於兩個w位的補碼數來說，假設它們的真實乘積為pro，

則實際得到的乘積為：

U2Tw(pro mod 2w。

上面的式子有一個假設，就是假設對於w位的兩個補碼數來說，它們的乘積的低w位與無符號數乘積的低w位是一樣的。這意味著計算機可以使用一個指令執行無符號和補碼的乘法運算。

3、乘法運算的優化。

根據小學所學的乘法運算，假設兩個w位的二進制數相乘，則需要進行w次與運算，然後進行w - 1次加法運算才能得到結果。

從此不難看出，乘法運算的時間周期是很長的。因此計算機界的高手們想出了一種方式可以優化乘法運算的效率，就是使用移位和加法來替代乘法。

上述優化的前提是對於一個w位的二進制數來說，它與2k的乘積，等同於這個二進制數左移k位，在低位補k個0。在書中對這一等式進行了證明，過程如下。

這個過程主要應用了無符號編碼的公式。

有了上面的基礎，就可以使用移位和加法對乘法優化了。

對於任意一個整數y，它總能使用二進制序列表示（假設不超過二進制的表示範圍），因此可以將x和y乘積的二進制序列表示為如下形式（此公式在書中沒有展現）。

x * y = x * (yw-12w-1 + ... + y020) = (x << w-1) * yw-1 +....+ (x << 0 ) * y0。

舉個例子，對於x * 17，可以計算x * 16 + x = (x << 4) + x ，這樣算下來的話，只需要一次移位一次加法就可以搞定這個乘法運算。

而對於x * 14，則可以計算 x * 8 + x * 4 + x * 2 = (x << 3) + (x << 2) + (x << 1) ，更快的方式可以這么計算，x * 16 - x * 2 = (x << 4) - (x << 1) 。

這里最後需要提一下的是，加法、減法和移位的速度並不會總快於乘法運算，因此是否要進行上面的優化就取決於二者的速度了。

4、二進制乘法的運算步驟。

二進制數乘法過程可仿照十進制數乘法進行。

但由於二進制數只有0或1兩種可能的乘數位，導致二進制乘法更為簡單。二進制數乘法的法則為：

1、0×0＝0。

2、0×1＝1×0＝0。

3、1×1＝1。

例如：1001和1010相乘的過程如下：

某次部分積的最低位必須和本位乘數對齊，所有部分積相加的結果則為相乘得到的乘積。

參考資料來源：網路——二進制乘法

④ 二進制的加法和乘法運算規則是什麼

二進制乘法和加法都是通過對二進制數的移位來實現的，移位相當於×2，計算機算根據給出的加法式子與乘法式子算要移多少位。
擴展：

1、二進制數據的表示法
二進制數據也是採用位置計數法，其位權是以2為底的冪。例如二進制數據110.11，其權的大小順序為2^2、2^1、2^0、2^-1、2^-2。對於有n位整數，m位小數的二進制數據用加權系數展開式表示，可寫為：
（a(n-1)a(n-2)…a(-m)）2＝a(n-1)×2^(n-1)+a(n-2)×2^(n-2)+……+a(1)×2^1+a(0)×2^0+a(-1)×2^(-1)+a(-2)×2^(-2)+……+a(-m)×2^(-m)
二進制數據一般可寫為：（a(n-1)a(n-2)…a(1)a(0).a(-1)a(-2)…a(-m)）2。
注意：
1.式中aj表示第j位的系數，它為0和1中的某一個數。
2.a(n-1)中的(n-1)為下標，輸入法無法打出所以用括弧括住，避免混淆。
3.2^2表示2的平方，以此類推。
【例1102】將二進制數據111.01寫成加權系數的形式。
解：（111.01）2＝(1×2^2)+(1×2^1)+(1×2^0)+(0×2^-1)+(1×2^-2)
二進制和十六進制，八進制一樣，都以二的冪來進位的。

二進制數據的算術運算的基本規律和十進制數的運算十分相似。最常用的是加法運算和乘法運算。

1. 二進制加法

有四種情況： 0+0＝0

0+1＝1

1+0＝1

1+1＝10 進位為1

【例1103】求 (1101)2+(1011)2 的和

解：

1 1 0 1

+ 1 0 1 1

-------------------

1 1 0 0 0

2. 二進制乘法

有四種情況： 0×0＝0

1×0＝0

0×1＝0

1×1＝1

【例1104】求 (1110)2 乘(101)2 之積

解：

1 1 1 0

×  1 0 1

-----------------------

 1 1 1 0

 0 0 0 0

1 1 1 0

-------------------------

1 0 0 0 1 1 0

(這些計算就跟十進制的加或者乘法相同，只是進位的數不一樣而已,十進制的是到十才進位這里是到2就進了)

3.二進制減法

0－0＝0，1－0＝1，1－1＝0，10－1＝1。

4.二進制除法

0÷1＝0，1÷1＝1。[1][2]

5.二進制拈加法

拈加法二進制加減乘除外的一種特殊演算法。

拈加法運算與進行加法類似，但不需要做進位。此演算法在博弈論（Game Theory）中被廣泛利用。

十進制數轉換為二進制數、八進制數、十六進制數的方法：

二進制數、八進制數、十六進制數轉換為十進制數的方法：按權展開求和法

1．二進制與十進制間的相互轉換：

（1）二進制轉十進制

方法：「按權展開求和」

例： （1011.01）2 ＝（1×2^3＋0×2^2＋1×2^1＋1×2^0＋0×2^(-1)＋1×2^(-2) ）10

＝（8＋0＋2＋1＋0＋0.25）10

＝（11.25）10

規律：個位上的數字的次數是0，十位上的數字的次數是1，......，依獎遞增，而十

分位的數字的次數是-1，百分位上數字的次數是-2，......，依次遞減。

注意：不是任何一個十進制小數都能轉換成有限位的二進制數。

（2）十進制轉二進制

· 十進制整數轉二進制數：「除以2取余，逆序排列」（除二取余法）

例： （89）10 ＝（1011001）2

2 89 ……1

2 44 ……0

2 22 ……0

2 11 ……1

2 5 ……1

2 2 ……0

1

· 十進制小數轉二進制數：「乘以2取整，順序排列」（乘2取整法）

例： (0．625)10= (0．101)2

0.625X2=1.25 ……1

0.25 X2=0.50 ……0

0.50 X2=1.00 ……1

2．八進制與二進制的轉換：

二進制數轉換成八進制數：從小數點開始，整數部分向左、小數部分向右，每3位為一組用一位八進制數的數字表示，不足3位的要用「0」補足3位，就得到一個八進制數。

八進制數轉換成二進制數：把每一個八進制數轉換成3位的二進制數，就得到一個二進制數。

八進制數字與二進制數字對應關系如下：

000 -> 0 100 -> 4

001 -> 1 101 -> 5

010 -> 2 110 -> 6

011 -> 3 111 -> 7

例：將八進制的37.416轉換成二進制數：

3 7 ． 4 1 6

011 111 ．100 001 110

即：（37.416）8 ＝（11111.10000111）2

例：將二進制的10110.0011 轉換成八進制：

0 1 0 1 1 0 . 0 0 1 1 0 0

2 6 . 1 4

即：（10110.011）2 ＝ （26.14）8

3．十六進制與二進制的轉換：

二進制數轉換成十六進制數：從小數點開始，整數部分向左、小數部分向右，每4位為一組用一位十六進制數的數字表示，不足4位的要用「0」補足4位，就得到一個十六進制數。

十六進制數轉換成二進制數：把每一個十六進制數轉換成4位的二進制數，就得到一個二進制數。

十六進制數字與二進制數字的對應關系如下：

0000 -> 0 0100 -> 4 1000 -> 8 1100 -> C

0001 -> 1 0101 -> 5 1001 -> 9 1101 -> D

0010 -> 2 0110 -> 6 1010 -> A 1110 -> E

0011 -> 3 0111 -> 7 1011 -> B 1111 -> F

例：將十六進制數5DF.9 轉換成二進制：

5 D F ． 9

0101 1101 1111 ．1001

即：（5DF.9）16 ＝（10111011111.1001）2

例：將二進制數1100001.111 轉換成十六進制：

0110 0001 ． 1110

6 1 ． E

即：（1100001.111）2 ＝（61.E）16