匈牙利演算法最大

『壹』 Hungarian algorithm(匈牙利演算法)的實現原理是什麼

匈牙利演算法的實現原理主要是解決二分圖的最大匹配問題，甚至能挖掘出完美匹配的解決方案。具體來說：

1. 基礎概念：

   • 二分圖：頂點被分為兩組，每組內的頂點不能相互連接，而每組頂點可以與另一組的頂點形成邊。
   • 最大匹配：找到一組邊，使得沒有頂點可以再與匹配的邊相連，同時邊數盡可能多。

2. 演算法核心：

   • 整數線性規劃轉換：匈牙利演算法巧妙地將問題轉換為一個整數線性規劃問題。
   • 增廣路構造：通過引入虛擬頂點和邊，演算法逐步構造一個增廣路。每次增廣都能減少未匹配頂點的數量，直到找到一個最大匹配。
   • 調整與優化：演算法通過不斷的調整和優化，尋找一種使得所有頂點都能被匹配到的策略，從而實現最大匹配。

3. 完美匹配：

   • 當二分圖存在完美匹配時，即所有頂點都能找到匹配的邊，匈牙利演算法不僅能提供最大匹配，還能找到這個完美的解決方案。
   • 演算法的迭代過程確保了在每一步都朝著完美匹配的方向前進，直到所有頂點都被納入匹配的網路中。

綜上所述，匈牙利演算法以其高效且精確的求解策略，成為解決二分圖最大匹配與完美匹配問題的關鍵工具。

『貳』 二分圖最大權值匹配演算法（KM演算法）和匈牙利演算法

二分圖最大權值匹配演算法（KM演算法）與匈牙利演算法詳解

二分圖，一種特殊的圖結構，將頂點分為兩個互不相交的集合，其匹配問題在資源分配中尤為重要。最大匹配目標是盡可能多的配對，而最佳匹配則在帶權圖中尋找權值之和最大的配對。解決這類問題的關鍵在於匈牙利演算法，其核心是通過尋找增廣路，即分配與未分配交替出現的路徑，每次找到增廣路就更新匹配，直到無增廣路，匹配完成。

匈牙利演算法的應用涉及深搜和廣搜，雖然深搜代碼較為簡潔，但兩者的區別在於數據結構的使用。以圖為例，演算法過程是：首先用匈牙利演算法尋找最大匹配，若無法找到滿足條件的完備匹配，就需要通過KM演算法更新頂標，繼續尋找最佳匹配。這個過程可能需要反復迭代，直到找到最佳匹配的完備匹配。

KM演算法是用於解決最佳匹配的，它在完備匹配中尋找滿足特定條件的配對，即每個點與另一側點的權值和相等。通過匈牙利演算法找到最大匹配後，用KM演算法更新頂標，繼續這個遞歸過程，直至找到最佳匹配。