實數與復數的運演算法則

⑴ 如何區分實數與復數

實數集與數軸上所有點所成的集合一一對應，實數是一維數，復數由實數拓展而來，它是二維數，復數集與復平面上的所有點一一對應，且實數集是復數集的真子集。這就是實數與復數的根本區別和聯系，部分學生對復數與實數的根本區別理解不深，導致解題中常常出現概念性的失誤，現舉例如下：
例1 若不等式 成立，求實數 .
錯解：

因為兩個不全為實數的復數不能比較大小，所以性質 在復數集中不一定成立，上述解法是錯誤的。
正確的解法應該是直接由條件得出不等式組

例2 設關於x的方程
錯解：設兩根為
以 ，從而得
與題意不符。
其錯因在於復數集中|z|2＝z2 不一定成立，因此第二步不一定成立。
正確的解法是：△＝4(1－2m),
(1)
∴兩實根同號，又2(m －)＜0，

(2) △＝4(1 －2m)＜0，
∴
∴
(2) △＝4(1 －2m)＜0，
∴
∴
綜上（1）、（2）得
例3 已知方程 的兩個虛數根為α,β,且|α－β|＝2 ，求實數k.
錯解：∵α＋β＝4，αβ＝3k，
∴ ，
∴
以 代入原方程得 ，均非虛根，不符題意，顯然錯誤。錯因何在？顯然錯在等式 不全為實數時，不一定成立。事實上，令 顯然 更何況，教科書中對 無定義呢。
本題正確的解法是：
解一：∵ ∴設 ∴

∴
解二：∵ ∴

例4 已知
錯解：由
∴
檢驗：由
∴
從而得
錯因何在？顯然是在a,b不全為實數時，等式a2＋b2＝0並不一定等於a＝b＝0.
事實上，分設
然而 ，進一步證明 是錯誤的。
例5 求 的值。
錯解：
錯因何在？顯然在於實數集上的指數運演算法則： 不一定適用於復數集，即 ，且在復數集中 ；
事實上，
例6 已知 中至少有一個為0.
錯證：設 都非0，則 與題設矛盾，因此 中至少有一個為0.
上述證法運用了反證法去證明等價命題，貌似正確，實則在邏輯上有問題，因為 這一性質並沒有被證明可以推廣到復數集中去。
正確的證法是利用模去證：
，從而必有
為0.
或用共軛復數證法： 即

根據教科書及上述各例，歸納出復數與實數的主要區別如下：
1、兩個實數可以比較大小，而不全是實數的兩個復數不能比較大小，如例一；
2、 ；
3、 就不一定成立，又若
不一定能推出 如例2和例4；
4、若 ，但若 則上式不一定成立，如例3；
5、實系數方程 △＝ 時無實根，但在復數集中 ；
6、 在實數集中a的n次方根的情況是：
（1）n為奇數，有一個實根 ，
（2）n為偶數，（i）a＞0時有兩個實數 , (ii) a＜0時無實根，但在復數集中有且僅有n個n次方根，因此，在實數集中 不能分解成一次因式之積，而在復數集中 ；
7、實數集中成立的一些運演算法則及命題未經論證不能擅自用於復數集，如例5和例6。