格子演算法筆記

⑴ 萊昂哈德歐拉的故事 感想

萊昂哈德·歐拉是瑞士數學家和物理學家。他被稱為歷史上最偉大的兩位數學家之一（另一位是卡爾·弗里德里克·高斯）。歐拉是第一個使用「函數」一詞來描述包含各種參數的表達式的人，例如：y = F(x) (函數的定義由萊布尼茲在1694年給出)。他是把微積分應用於物理學的先驅者之一。 歐拉出生於瑞士，在那裡受教育。歐拉是一位數學神童。他作為數學教授，先後任教於聖彼得堡和柏林，爾後再返聖彼得堡。歐拉是有史以來最多產的數學家，他的全集共計75卷。鎮圓歐拉實際上支配了18世紀的數學，對於當時新發明的微積分，他推導出了很多結果。在他生命的最後7年中，歐拉的雙目完全失明，盡管如此，他還是以驚人的速度產出了生平一半的著作。 歐拉的一生很虔誠。然而，那個廣泛流傳的傳說卻不是真的。傳說中說到，歐拉在葉卡捷琳娜二世的宮廷里，挑戰德尼·狄德羅：「先生，(a+b)n/n = x；所以上帝存在，這是回答！」 歐拉的離世也很特別：在朋友的party中他中途退場去工作，最後伏在書桌上安靜的去了。 小行星歐拉2002是為了紀念歐拉而命名的。
[編輯本段]萊昂哈德·歐拉-貢獻
"歐拉進行計算看起來毫不費勁兒，就像人進行呼吸，像鷹在風中盤旋一樣°(阿拉戈語)，這封倫納德．歐拉(1770--1783)無與倫比的數學才能來說並不誇張，他是歷史上最多產的數學家。與他同時代的人們稱他為"分析的化身"。歐拉撰寫長篇學術論文就像一個文思敏捷的作家給親密的朋友寫一封信那樣容易。甚至在他生命最後17年間的完全失明也未能阻止他的無比多產，如果說視力的喪失有什麼影響的話，那倒是提高了他在內心世界進行思維的想像力。 歐拉到底為了多少著作，直至1936年人們也沒有確切的了解。但據估計，要出版已經搜集到的歐拉著作，將需用大4開本60至80卷。1909年瑞士自然科學聯合會曾著手搜集、出版歐拉散軼的學術論文。這項工作是在全世界許多個人和數學團體的資助之下進行的。這也恰恰顯示出，歐拉屬於整個文明世界，而不僅僅屈於瑞士。為這項工作仔細編制的預算(1909年的錢幣約合80000美元)卻又由於在聖彼得堡(列寧格勒)意外地發現大量歐拉手稿而被完全打破了。
[編輯本段]萊昂哈羨旅知德·歐拉-事跡
歐拉的數學生涯開始於牛頓(Newton)去世的那一年。對於歐拉這樣一個天才人物，不可能選擇到一個更有利的時代了。解析幾何(1637年間世)已經應用了90年，微積分大約50年，牛頓(Newton)萬有引力定律這把物理天文學的鑰匙，擺到數學界人們面前已40年。在這每一個領域之中，都已解決了大量孤立的問題，同時在各處做了進行統一的明顯嘗試。但是還沒有像後來做的那樣，對整個數學，純粹數學和應用數學，進行任何有系統的研究。特別是笛卡兒(Descrates)、牛頓(Newton)和萊布尼茨(Leibniz)強有力的分析方法還沒有像後來那樣被充分運用，尤其在力學和幾何學中更是如此。 那時代數學和三角學已在一個較低的水平土系統化並擴展了。特別是後者已經基本完善。在費馬(Fermat)的丟番圖分析和一般整數性質的領域里則不可能有任何這樣的"暫時的完善"(甚至到現在也還沒有)。但就在這方面，歐拉也證明了他確是個大師。事實上，歐拉多方面才華的最顯著特點之一，就是在數學的兩大分支－－連續的和離散的數學中都具有同等的能力。 作為一個演算法學家，歐拉從沒有被任何人超越過。也許除了雅可比之外，也沒有任何人接近過他的水平。演算法學家是為解決各種專門問題設計演算法的數學家。舉個很簡單的例子，我們可以假定(或證明)任何正實數都有實數平方根。但怎樣才能算出這個根呢？已知的方法有很多，演算法學家則要設計出切實可行的具體步驟來。再比如，在丟番圖分析中，還有積分學里，當一個或多個變數被其他變數的函數進行巧妙的(常常是簡單的)變換之前，問題往往不可能解決。演算法學家就是自然地發現這種竅門的數學家。他們沒有任何同一的程序可循，演算法學家就像隨口會作打油詩的人－－是天生的，而不是造就的。 目前時尚輕視"小小演算法學家"。然而，當兄消一個真正偉大的演算法學家像印度的羅摩奴闊一樣不知從什麼地方意外來臨的時候，就是有經驗的分析學者也會歡呼他是來自天國的恩賜：他那簡直神奇的對表面無關公式的洞察力，會揭示出隱藏著的由一個領域導向另一個領域的線索。從而使分析學者得到為他們提供的弄清這些線索的新題目。演算法學家是"公式主義者"，他們為了公式本身的緣故而喜歡美觀的形式。
[編輯本段]萊昂哈德·歐拉-影響他的兩個因素
在談到歐拉平靜而有趣的生活之前，我們必須介紹一下他那個時代的兩個環境因素，這些因素促進了他的驚人的活躍，並對他的活動有指導作用。 在18世紀的歐洲，大學不是學術研究的主要中心。假如沒有古典派的傳統及其對科學研究的可以想像的敵意，大學本來是可以成為主要中心的。數學對於古代人足夠嚴密，受到重視；而物理學比較新，受到人們的懷疑。此外，在當時的大學里，人們希望數學家把他的大部分力量放在基礎教學上。至於學術研究，如果搞的話，那將是毫無益處的奢侈，就像今天在一般的美國高等學校里那樣。那時候英國大學的研究員滿能夠把他們選擇的課題搞得相當好。然而，他們很少願意選擇什麼課題，反正搞成了什麼或沒搞成什麼都不會對他們的麵包和黃油產生影響。在如此的鬆弛，或者說公開的敵意之下，根本沒有什麼好理由來解釋為什麼那些大學本來應該在科學發展中起帶頭作用，而事實上卻沒有起到。 這個帶頭的責任由得到慷慨或有遠見的統治者所資助的各個皇家科學院承擔了。普魯士腓特烈大帝和俄國葉卡捷琳娜女皇慷慨地給了數學以無法報償的資助。他們使得數學的發展有可能在整整一個世紀之中處於科學史上一個最活躍的時期。對歐拉來說，是柏林和聖彼得堡提供了數學創作的力量。而這兩個創造力的中心都應當把它們對歐拉的激勵歸功於萊布尼茨(Leibniz)不斷進取的雄心。是萊布尼茨(Leibniz)起草過規劃的這兩個科學院給歐拉提供了成為歷史上最多產的數學家的機會。因而，在某種意義上說，歐拉是萊布尼茨(Leibniz)的苗裔。 柏林科學院由於缺乏頭腦而日漸衰敗已有40年，歐拉在腓特烈大帝的鼓勵下給了它有力的沖擊，使它再次有了生氣。彼得大帝在世時沒來得及按照萊布尼茨(Leibniz)的規劃建立起來的聖彼得堡科學院，則由他的繼位者建立起來了。 這兩個科學院不像今天一些科學院那樣以鑒定精心撰寫的優秀著作，授予院士資格為主要職責。它們是研究機構，僱傭院士進行科學研究。薪水和津貼金很優厚，使人足以保證本身家庭的舒適生活。歐拉的家屬一度不少於18個人，他還是足以維持他們都過著豐裕的生活。使18世紀院士生活具有吸引力的最後一點是，他的孩子們只要有任何一點才能，都肯定會得到很好的施展機會。 接下來我們就會看到對歐拉的豐碩數學成果具有決定性影響的第二個因素。提供財政支持的統治者很自然地會希望他們的金錢除開抽象的文化之外再多換到些東西。但必須強調的是，一旦統治者的投資得到了適當的報償，他們就不再堅持要受僱傭的人把剩餘時間也花到"生產性"工作上了。歐拉、拉格朗日和其他院士們都可以自由地做他們樂意做的工作。沒有任何明顯的壓力來迫使誰搞出點什麼能被政府直接利用的實際成果。18世紀統治者們比今天許多研究院院長更明智的是讓科學按自己的規律發展的，只不過偶爾提到他們眼前需要什麼。他們似乎本能地意識到了，只要不時作個恰當的暗示，所謂的"純粹"研究就會把他們期待的緊迫實際問題作為副產品搞出來。 這個籠統的說法有一個重要的例外，它既不證明，也不否定這個規律。剛巧在歐拉的時代，數學研究中懸而未決的問題正好與海洋霸權這個當時也許是第一等的實際問題聯系在一起。航海技術勝過所有其他對手的國家必然會控制海洋。而航海的首要問題是在離岸數百海里的大海中精確地確定艦船的位置，以使之比敵手更快地航抵海戰的地點(不幸，只是為了這個)。正如眾所周知的，英國控制了海洋。它能做到這一點，在很大程度上是由於它的航海家在18世紀能夠把天體力學中的純數學研究成果加以實際應用。這樣一項實際應用正與歐拉直接有關。現代航海的奠基人當是牛頓(Newton)，盡管他本人並不曾為這個問題費過腦筋，也從不曾(就人們迄今所知)踏上過一艘艦船的甲板。確定海上船的位置要靠觀測天體(在特別的航行中有時這要包括木星的衛星)。牛頓(Newton)萬有引力定律表明必要時以充分的耐心可以預先算出百年之內的行星位置和月相盈虧之後，希望控制海洋的那些人便安排航海天文歷的計算人員下苦功編制行星未來位置的表格。 在這一項很實用的事業中，月亮引出了特別棘手的問題，即牛頓(Newton)定律彼此吸引的三個星體的問題。當我們進入20世紀的時候，這個問題還要重現許多次。歐拉是第一個為這個月球問題提出一種可以計算的解法(月球理論)的人。這三個相關星體是月亮、地球和太陽。雖然關於這個問題在這里談不了什麼，要推到後幾章去，但我們可以說，這個問題是整個數學范疇內最難的問題之一。歐拉不曾具體解答這個問題，但他的近似計算方法(今天被更好的方法代替)具有充分的實用價值，足以使英國的計算人員為英國海軍部算出月球表了。為此，計算者獲得5000英鎊(當時這是相當大的一筆款子)，歐拉因其方法而得到300英鎊的獎金。
[編輯本段]萊昂哈德·歐拉-年輕的歐拉
倫納德．歐拉(LeonardEuler)是保羅．歐拉(PaulEuler)與瑪格麗特．布魯克(MargueriteBrucker)夫婦的兒子，大概是瑞士出現的最偉大的科學家。1707年4月15日，他生於巴塞爾。但第二年隨父母搬到了附近的鄉村裡興(Riechen)。在那裡他的父親當了加爾文派的牧師。保羅．歐拉本人就是個有造詣的數學家，他曾是雅格布．伯努利的學生。這位父親想要倫納德也走他的路，在鄉村教堂繼承他的職務。可是，謝天謝地，他犯了教這孩子數學的"錯誤"。 年輕的歐拉很早就知道自己應該做的是什麼。但是他對父親非常孝順，於是進了巴塞爾大學，學習神學和希伯來語。這時在數學方面已具有相當水平的歐拉吸引了約翰尼斯．伯努利的注意。他熱心地每周給這個年輕人單獨上一次課。歐拉利用每周的其餘時間預習下一課的內容，以便聽老師講課時疑難問題盡可能地少。很快，他的勤勉和卓越能力被丹尼爾．伯努利和尼古拉，伯努利注意到了，他們倆成了歐拉的親密朋友。 倫納德直到1724年他17歲獲得碩士學位才得以快活起來，因為在那以前他的父親一直堅持要他放棄數學而把全部時間花到神學上去。只是當這位做父親的聽到伯努利父子說他的兒子註定將成為大數學家而不是里興的牧師之後，才終於讓了步。伯努利父子的預言實現了，但歐拉早年受到的宗教訓練影響了他的整個一生。他從未丟棄過一點加爾文派教徒的信仰。到晚年，他甚至在相當大的范圍里轉而從事他父親的行當，他帶領全家做家庭祈禱，並通常以講道來結束。 歐拉的第一項獨立工作做於19歲的時候。據說，這第一個成就同時顯露出他後來許多工作的特長和弱點。1727年，巴黎科學院提出船舶樹桅問題懸賞徵答。歐拉的論文沒有贏得這筆獎金，只獲得表揚。他後來以贏得12次獎金補償了這次失落。他的工作的特長在於所包含的分析學－－技術數學;它的弱點是與實際的聯系－－如果有的話－－太疏遠。如果我們記得那個傳說的純屬子虛烏有的瑞士海軍的笑話，對後者就不會覺得很奇怪了。歐拉在瑞士的湖泊可能見到過一、二隻小舟，但他絕沒見到過戰艦。他有時受到批評，說他讓數學脫離了現實。這並不冤枉。對歐拉來說，物質世界只是數學所需要的，而本身並不是一種很有趣的東西。如果世界與他的分析學不一致，那就是世界有毛病。 歐拉知道自己天生是個數學家，便在巴塞爾申請教授職位。求職失敗，在同正在聖彼得堡的丹尼爾．伯努利和尼 歐拉之墓 古拉．伯努利為伍的希望鼓舞下，他又繼續自己的學習。伯努利兄弟熱心地提議為他在聖彼得堡科學院找個職位，並讓他及時了解那裡的情況。 這個階段，歐拉看起來對做什麼都無所謂，只要是科學就行。當伯努利兄弟寫信告訴他聖彼得堡科學院的醫學部將有個空缺時，歐拉在巴塞爾便全力投入生理學的研究，並出席醫學報告會。但是，即便在這個領域，他也未能脫離數學：聽覺生理學提出了以波動方式依次傳播聲音等數學研究問題，這項早期的工作像惡夢中瘋長的樹那樣分枝擴展而貫穿到歐拉整個一生的事業之中。 伯努利兄弟是辦事迅速的人。1727年歐拉收到了去聖彼得堡任科學院醫學部成員的邀請。按照一項聰明的規定，每個外來的成員都要帶領兩個學員－－實際是接受訓練的徒弟。可憐的歐拉，歡樂很快就變得無影無蹤。就在他踏上俄國土地的那一天，開明的葉卡捷琳娜一世女皇去世了。 葉卡捷琳娜在成為彼得大帝的妻子以前是他的情婦，從不止一個方面看，就已經是一個胸懷寬廣的人。就是她，在位僅兩年，便實現了彼得創建科學院的願望。葉卡捷琳娜死後，在小沙皇未成年的情況下，權力落入非常暴虐的集團手裡(小沙皇在能夠執政以前死去也許是幸運呢)。俄國的新統治者把科學院看作不必要的奢侈品，有幾個月甚至打算把它砍掉，並把所有外籍院士遣送回國。這就是歐拉到達聖彼得堡時的情形。混亂中，關於邀請他擔任的醫學部職務杳無音訊，他在絕望中幾乎接受了海軍上尉的職銜，後來得便溜進了數學部。 在這之後，條件好了一點，歐拉便專心工作。整整6年，他一直埋頭在書堆里。這倒不完全是因為他被數學吸引住了，部分地也是因為到處都有密探，使他不敢進行正常的交際活動。
[編輯本段]萊昂哈德·歐拉-軼事
1733年，丹尼爾．伯努利吃夠了神聖俄羅斯的苦頭回自由的瑞士去了，26歲的歐拉坐上了科學院的第一把數學交椅。他感到自己以後的生活要固定在聖彼得堡，便決定結婚，定居下來，並隨遇而安。夫人凱瑟琳娜(Catharina)，是彼得大帝帶回俄國的畫家格塞爾(Gsell)的女兒。後來政治形勢變得更糟了，歐拉曾經絕望得想逃走，但隨著孩子一個接一個地很快出生，他又感到被栓得越來越牢了，使到不休止的工作中去尋求慰借。某些傳記作家把歐拉的無比多產追溯到他這第一次旅居俄國的時期；平常的謹慎迫使他去成了勤奮工作的牢不可破的習慣。 歐拉是能在任何地方、任何條件下進行工作的幾個偉大數學家之一。他很喜歡孩子(他自己曾有13個，但除了5個以外，都很年輕就死了)。他寫論文時常常把一個嬰兒抱在膝上，而較大的孩子都圍著他玩。他寫作最難的數學作品時也令人難以置信的輕松。 許多關於他才思橫溢的傳說流傳至今。有些無疑是誇張的，但據說歐拉確實常常在兩次叫他吃晚飯的半小時左右的時間里趕出一篇數學論文。文章一寫完，就放到給印刷者准備的不斷增高的稿子堆兒上。當科學院的學報需要材料時，印刷者便從這堆兒頂上拿走一旦。這樣一來，這些文章的發表日期就常常與寫作順序顛倒。由於歐拉習慣於為了搞透或擴展他已經做過的東西而對一個課題反覆搞多次，這種惡果便顯得更嚴重，以至有時關於某課題的一系列文章發表順序完全相反。 1730年小沙皇死去，安娜．伊凡諾芙娜(Annalvanovna，彼得的侄女)當了女皇。就科學院而言，受到了關心，工作活躍多了。而俄國，在安娜的寵臣歐內斯特．約翰．德．比隆的間接統治下，遭受了其歷史上一段最血腥的恐怖統治。10年裡，歐拉沉默地埋頭工作。這中間，他遭受了第一次巨大的不幸。他為了贏得巴黎獎金而投身於一個天文學問題，那是幾個有影響的大數學家搞了幾個月時間的(由於有一個類似的問題在高斯(Gauss)那裡出現，我們在這里不介紹它)，歐拉在三天之後把它解決了。可是過分的勞累使他得了一場病，病中右眼失明了。 應該注意到，懷疑數學史中所有趣聞軼事的現代考證已經指出，歐拉右眼的失明根本不能怪那個天文學問題，至於博學的考據家(或別的什麼人)怎麼會對所謂的因果定律懂得這么多，這對於大衛．休謨(DavidHume，歐拉的同時代人)的在天之靈來說則是個有待解決的秘密了。讓我們再小心翼翼地談一下歐拉與無神論者(或許是個泛神論者)法國教授丹尼斯．狄德羅(DenisDiderot，1713-1784)的著名故事。這有點越出了年代順序，因為這件事發生在歐拉第二次居住俄國期間。 受葉卡捷琳娜二世女皇邀請訪問宮廷的狄德羅靠著向朝臣們宣傳無神論過日子。葉卡捷琳娜感到厭煩了，便叫歐拉封住這個誇誇其談的哲學家的嘴。這很容易，因為整個數學對於狄德羅那是天外玄機。德．摩根(DeMorgan)講到這件事的經過(在他的名著(悖論匯編)中，1872)：有人告訴狄德羅，一個博學的數學家有上帝存在的代數證明。如果他想聽，那個數學家將當著整個宮廷公布出來。狄德羅高興地同意了。……歐拉來到狄德羅跟前，以深信不疑的語調莊重地說： "先生，因為，所以上帝存在。請回答！" 這讓狄德羅聽起來像滿有道理似的。這個可憐的人由於難堪的沉默而受到無情嘲笑的羞辱，只好向葉卡捷琳娜請求立即回法國。女皇寬厚地答應了他。 歐拉還不滿足於這個傑作，他又極其認真地用靈魂非有形物質的庄嚴證明來畫蛇添足。據說，這兩個證明當時都寫進了神學論文。這些很可能就是歐拉的才華中確賞脫離現實的方面最突出的代表作。 在歐拉居住俄國期間，數學本身並沒有用完他的全部能力。在要他用與純粹數學相差不太遠的方法施展其數學才能的任何地方，他都使政府的錢花得很值得。歐拉為俄國學校寫過一些初等數學教科書，管理過政府的地理部，幫助改革過度量衡，設計過檢驗天平的實用方法。這些只是他全部活動的一部分，但不管歐拉做多少別的工作，他總是能不斷地在數學方面拿出成果來。 這個時期最重要的著作之一是1736年關於力學的一篇論文。按語中沒有出版日期，但有一個笛卡兒(Descrates)解析幾何出版百年紀念的標注。歐拉的論文為力學做了笛卡兒(Descrates)的論文為幾何學做過的事使之擺脫綜合證明的束縛並使之解析化。牛頓(Newton)的(原理)可以由阿基米德寫出來；歐拉的力學卻不能由任何希臘人寫出來。有力的微積分學被初步引入力學，並進入開創基礎科學的現代時期。在這方面，歐拉後來又被他的朋友拉格朗日(Lagrange)超越了，但採取決定性步驟的榮譽是屬於歐拉的。 1740年安娜死後，俄國政府變得比較開明，但歐拉已吃夠了苦頭，高興地接受腓特烈大帝的邀請到了柏林科學院。皇太後後十分喜歡歐拉，並試圖逗他多講話。她得到的全是單音節的回答。 "你為什麼不願對我講話？"她問。 "陛下，"歐拉回答說，"我來自一個誰講話誰就要被絞死的國家。" 這以後，歐拉在柏林度過了24年。日子並不都是很愉快的，因為腓特烈喜歡的是圓滑的廷臣，而不是單純的歐拉。雖然腓特烈感覺到了贊助數學發展的責任，但他又瞧不起這個學科，自己也不諳此道。不過他還是很賞識歐拉的才能，用來解決造幣、水管、運河通航、年金系統及其他實際問題。 俄國從來不讓歐拉完全脫離它，甚至當歐拉在柏林的時候還給他支付部分薪金。盡管歐拉家屬眾多，他還是很富裕。除了柏林的房子，他在夏洛滕堡附近還有一個農庄。在1760年俄國入侵勃蘭登堡地區時，歐拉的農庄遭到了劫掠。俄軍統帥聲明他"並非向科學開戰"，給了歐拉遠遠大於實際損失的賠償。當伊麗莎白皇後聽到歐拉遭到劫掠的消息時，她另外又給了他超過賠償需要的數目可觀的一大筆錢。 歐拉在腓特烈的宮廷不受歡迎的一個原因是他不能置身於哲學問題的辯論之外，而對那些問題他是一竅不通的。整天只想著向腓特烈獻媚的伏爾泰(Voltaire)喜歡與腓特烈周圍另一些善於咬文嚼字的人一道用形而上學的難題來糾纏取笑不幸的歐拉。歐拉拿出全副好脾氣進行應付，隨著他人的哄鬧，嘲笑自己的滑稽錯誤。但腓特烈逐漸感到惱火了，他開始設法尋找一個比較善辯的哲學家來領導他的科學院並增添他宮廷的歡樂。 達朗貝爾(D'Alembert)被邀請到柏林察看情況。他跟歐拉在數學方面小有齟齬。但達朗貝爾(D'Alembert)可不是那種讓個人的不和影響判斷的人。他直率地對腓特烈說，把任何別的數學家置於歐拉之上都是一種侮辱。這個忠告結果只是使腓特烈比原來更加生氣和執拗，歐拉的處境變得無法忍受了。他感到，他的孩子們在普魯士不會有任何前途。終於在他59歲的時候(1766年)收拾起行裝，應葉卡捷琳娜二世的熱誠邀請再次移居聖彼得堡。 葉卡捷琳娜像接待皇親一樣歡迎這位數學家，又給歐拉和他的18位家屬撥了一處傢俱齊備的住宅，還把自己的一名廚師給了歐拉，為他管理膳食。 就在這個時候，歐拉餘下的一隻眼睛開始失明了(因白內障)，不久他就完全成了盲人。在他視力逐漸喪失的過程中，拉格朗日、達朗貝爾和當時的其他大數學家在來往的書信中都表示震驚和同情。而歐拉本人面對失明的到來卻很鎮定。毫無疑問，他的深摯的宗教信仰幫助了他面對未來。但是他並沒有讓自己屈服於寂靜和黑暗，很快便著手補救無法恢復的視力。在最後一點光感消失之前，他就使自己習慣了用粉筆在大石板上寫公式，然後他的孩子們(特別是阿爾伯特[AlbertEuler])當抄寫員，他再口授公式的解釋。他的數學新作不僅沒有減少，反而增多了。 歐拉整個一生都幸運地具有非凡的記憶力。他背過維吉爾的(Virgil(埃涅阿斯紀)(Aeneid)盡管他從年輕時起就很少讀這本書，但他始終能夠說出他那個版本每一真的開頭和結尾。他的記憶既是視覺的，也是聽覺的。他還有驚人的心算能力，不僅能算算術題，也能算比較難的要用到高等代數和微積分的題目。那個時代整個數學領域的主要公式都准確地裝在他的腦子里。 作為他心算能力的一個例證，孔多塞(N.C.deCondorcet)談到，歐拉的兩個學生對一個復雜的收斂級數(就變數的一個特定值)做前17項的求和，結果只是在第50位上相差一個單位數。為了判定哪個對，歐拉使整個心算了一遍，人們肯定他的答案是正確的。這種能力現在幫助了歐拉，使他少受失明之苦。但即使如此，他失明17年間有一個成就也是令人難以置信的。這就是月球運行的理論－－唯一的一個使牛頓都感到頭疼的問題－－在歐拉手裡第一次得到透徹的研究。整個復雜的分析過程完全是在他的頭腦中進行的。 歐拉回到聖彼得堡五年後，又一場災難落到他的頭上。在1771年的大火中，他的房子及全部傢具都燒掉了。只是靠了瑞士僕人彼得．格里姆的英勇，歐拉才倖免於難。格里姆冒著生命危險把有病的盲主人從大火中數了出來。藏書燒了，多虧奧爾洛夫伯爵，歐拉的全部手稿得以保全。葉卡捷琳娜女皇立即補償了歐拉的全部損失，他很快又投入了工作。 1776年(即他69歲時)歐拉遭受了更大的損失，他的妻子死了。第二年，他再次結婚。第二個妻子，薩洛姆．艾比格爾，格塞爾(SalomeAbigailGsell)是第一個妻子的異母姊妹。他的最大不幸是恢復左眼視力手術的失敗(可能是由於外科醫師的疏忽)，那本來是唯一有點兒希望的眼睛。手術是"成功的"，歐拉高興了一陣子。但是不久感染就開始了，經過一段他描述為"可怕的"痛苦之後，他又重新墜入了黑暗之中。 回過頭來瀏覽一下歐拉浩繁的著作。初看起來，我們可能傾向於認為任何有才華的人都能差不多像歐拉一樣容易地做出它的大部分。可是比照數學在今天的情況做一番考察，很快就會糾正我們的錯誤想成了7種文字的單行本。這也說明，公眾對科學的興趣並不是新近才增長起來的，只是有時我們傾向於那樣想像罷了。 歐拉始終保持著充沛的精力和清醒的頭腦，直到臨死的那一秒鍾。那是在1783年