費用流演算法

❶ 網路N中的一個s-t流f是最小費用流，當且僅當N(f)中沒有負費用的有向圈。

【答案】：原始對偶演算法告訴我們，流f是最優的，當且僅當(DRP)的最優解的費用為零，它等價於N'(f)中沒有負費用的環流。而N'(f)中沒有負費用的環流，當且僅當它沒有負費用的有向圈。
綜上所述，圈演算法是從任意一個值為v₀的可行流f開始，利用Floyd-Warshall演算法，搜索N'(f)中的負費用有向圈，在這個負費用有向圈上找出最大的環流W，則f+W仍是值為v₀的可行流，而費用卻減少了。因此，圈演算法保持問題(D)是可行的，故也稱問題一可行演算法。

❷ 網路流最小費用最大流

網路流問題中，最小費用最大流問題通過Ford和Fulkerson迭加演算法來求解。基本思路是將單位流量的費用視為長度，首先通過求解最短路問題找到一條自V1至Vn的路徑，將其作為可擴充路，然後使用最大流方法將其流量增至最大值。每一步迭代中，都要更新路徑上的費用，直至達到最小費用最大流的狀態。

迭加演算法的步驟包括：給定目標流量或無限大，初始化最小費用流為零。若達到目標流量，演算法結束；否則尋找從Vs到Vt的最小費用有向路，增加流量並調整費用，重復此過程，直到無最小費用有向路，最終計算出最小費用。例如，通過迭代過程，圖(h)的最小費用為38，圖(g)的最大流為5。

另一種求解方法是圈演算法，利用Ford和Fulkerson標號演算法找出流量為F（小於或等於最大流）的流f，構造調整容量流網路，搜索負費用有向圖，找到最大循環流並加入原網路。在圖(b)中，最小費用為38，最大流為5。

最後，ZKW費用流演算法是一個優化版本，由ZKW大牛提出，它在尋找增廣路的過程中，採用了KM演算法的調整思想，減少了計算次數。演算法首先初始化dis數組，然後進行深度優先搜索，若到達終點，更新流量並繼續搜索；否則，修改dis值並判斷是否結束。這種演算法在處理費用流問題時，提高了效率。

網路流 network flows網路流的理論和應用在不斷發展，出現了具有增益的流、多終端流、多商品流以及網路流的分解與合成等新課題。網路流的應用已遍及通訊、運輸、電力、工程規劃、任務分派、設備更新以及計算機輔助設計等眾多領域。

❸ 最小費用最大流問題演算法舉例

最小費用最大流問題的演算法舉例主要包括Augment Path方法和預推進演算法及其變種。

1. Augment Path方法 核心思想：通過不斷搜索從源點到匯點的增廣路，將該路徑上的容量減去最小值，並在反向路徑上增加或擴大容量，以實現從源點到匯點的最大流量。 特點：確保每次操作都能增加網路中的流，從而避免陷入死循環。但在極端情況下，每次只能將流擴大1，因此效率較低，需要藉助其他演算法來提高效率。

2. 預推進演算法 核心操作：壓入和重標記。壓入操作將邊的始點預流盡可能多的壓向終點，重標記操作將頂點的高度設為所有鄰接點的高度的最小值加一。 變種： RelabeltoFront：維護一個溢出頂點的鏈表，通過Discharge操作不斷使頂點不再溢出，直至所有頂點的高度增加。時間復雜度為O。 Highest Label Preflow Push：與RelabeltoFront本質上沒有區別，但每次前移的都是高度最高的頂點，復雜度為O。 優化：Gap Heuristic，該優化在存在整數k時，對所有滿足h[v]=k的頂點進行更新，以提高演算法性能。

3. 演算法應用 在經濟學和管理學中，最小費用最大流問題用於尋找在給定容量和費用限制下，如何選擇路徑和分配流量以達到費用最小的要求。例如，n輛卡車從A地到B地運送物品，每條路段有不同的路費和容量限制，最小費用最大流問題即指如何分配卡車的出發路徑以達到費用最低，同時確保物品全部送到。